Bài giảng: Phép đói xứng qua mặt phẳng (Hình học 12 - Chương I: KHỐI ĐA DIỆN)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

§2 Phép đối xứng qua mặt phẳng
và sự bằng nhau của các khối đa diện


Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.

Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạot thu hoạch sáng tạoch sáng tạch sáng tạoo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

2

Đ2

phép đối xứng qua mặt phẳng

và sự bằng nhau của các khối đa diện
bài giảng theo chơng
chơng trình chuẩn
Phép biến hình trong không gian đợc định nghĩa tơng tự nh trong mặt phẳng, cụ
thể:
Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định đợc
một điểm duy nhất M' của mặt phẳng, điểm M' gọi là ảnh của điểm M qua phép
biến hình đó.
Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F thì:
M' = F(M).
Nếu (H) là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M' = F(M), với M (H),
tạo thành hình (H'), ta viết (H') = F(H).
1. Phép đối xứng qua mặt phẳng
Định nghĩa 1
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình
biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, và biến mỗi
điểm M không thuộc (P) thành M' sao cho (P) là mặt
phẳng trung trực của MM'.

M

)

P

M'

Thí dụ 1: Dựng ảnh của đờng tròn (C) qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P).

Giải

Ta xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu (C) nằm trên (P) thì ảnh của (C) là chính nó.
Trờng hợp 2: Nếu (C) không nằm trên (P) thì lấy ba điểm A,
B, C phân biệt trên (C), ta thực hiện:
Dựng (dA) qua A và vuông góc với (P), (dA) (P) = {HHA}.
Trên (dA) lấy điểm A' sao cho HAA = HAA', suy ra:
§(P)(A) = A'.
 Thùc hiƯn tơng tự, ta có:
Đ(P)(B) = B' và Đ(P)(C) = C'.
Vẽ đờng tròn (C') ngoại tiếp A'B'C', ta đợc (C') = Đ(P)((C))
Hoạt động

A
B
P

)

H

A

H

C
H

C

B

C'
A'

B'

Chứng minh rằng phép đổi xứng qua mặt phẳng là phép
biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Thí dụ 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến mặt phẳng () thành mặt phẳng

('). Xác định vị trí tơng đối của () và (') trong mỗi trờng hợp sau:
a. () và (P) cắt nhau.
b. () và (P) trïng nhau.
c. () vµ (P) song song víi nhau.
d. () và (P) vuông góc với nhau.
Giải
a. Nếu () và (P) cắt nhau thì () và (') cắt nhau.
b. Nếu () và (P) trùng nhau thì () và (') trïng nhau.
c. NÕu () vµ (P) song song víi nhau thì () và (') song song với nhau.
d. Nếu () và (P) vuông góc với nhau thì () và (') trùng nhau.
2. Mặt phẳng đối xứng của một hình
Định nghĩa 2
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P)
gọi là mặt phẳng đối xøng cđa h×nh (H).

3


Thí dụ 3: Mọi mặt phẳng đi tâm của mặt cầu đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu.
Thí dụ 4: Tìm các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều.

Giải

S

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD có bốn mặt đối xứng,
gồm:
Hai mặt chéo (SAC) và (SBD).
Hai mặt phẳng trung trực của AB và BC.
B
3. Hình bát diện đều và mặt phẳng đối xứng của nó
Định nghĩa 3
Hình đa diện có 8 mặt là các tam giác đều gọi là hình
bát diện đều (hay hình tám mặt đều).
Tính chất: (Với hình bên): Bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một A
mặt phẳng và đó là một mặt phẳng đối xứng của hình bát diện
đều ABCDEF.
Hoạt động

A F

M

D

O

N

C
E

E

C

B
D

F
1. Chứng minh rằng tính chất trên.
2. Tìm thêm các mặt phẳng đối xứng khác của hình bát
diện đều.

4. Phép dời hình và sự bằng nhau của các hình

Định nghĩa phép dời hình
Một phép biến hình F trong không gian đợc gọi là phép dời hình nếu nó bảo
toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì (có nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kì
M, N lần lợt thành M', N' thì MN = M'N').
Định lí 1: Phép đối xứng qua mặt phẳng là một phép dời hình.
Thí dụ 5: Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M' trùng với M thì ta cũng có đợc

một phép biến hình.
Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất.

Câu hỏi đặt ra "Phép đồng nhất e có phải là một phép dời hình hay không ?", và
câu trả là có bởi:
Phép đồng nhất e biến hai điểm M, N bất kì lần lợt thành M và N. Vì
MN = MN e là phép dời hình.
Thí dụ 6: Giả sử phép dời hình F biến hai đờng thẳng a, b lần lợt thành hai đờng
thẳng a', b'. Chứng minh rằng:
a. Nếu a, b cắt nhau thì a', b' cắt nhau.
Nếu a, b song song thì a', b' song song.
NÕu a, b chÐo nhau th× a', b' chÐo nhau.
b. Góc giữa hai đờng thẳng a và b bằng góc giữa hai đờng thẳng a' và b'.
c. Nếu a và b không có điểm chung thì khoảng cách giữa a và b bằng khoảng
cách giữa a' và b'.
Giải
a. Lấy hai điểm A, B phân biệt thuộc a và gọi A', B' là ảnh của chúng qua F.
Lấy hai điểm C, D phân biệt thuộc b và gọi C', D' là ảnh của chúng qua F.
Nếu a, b cắt nhau: Gọi I là giao điểm của AB và CD và I' là ảnh của nó qua F.
Từ tính chất của phép dời hình, suy ra:
A', B' và I' thẳng hàng.

4


C', D' và I' thẳng hàng.
Tức là, hai đờng thẳng a', b' cắt nhau tại I', đpcm.
Nếu a, b song song vãi nhau: Gi¶ sư AB = CD thì ABCD là hình bình hành,
suy ra AD = BC.
Từ tÝnh chÊt cđa phÐp dêi h×nh, suy ra:
A'B' = C'D' và A'D' = B'C' A'B'C'D' là hình bình hành
A'B' // C'D'  a' // b', ®pcm.
 NÕu a, b chéo nhau: Thì A, B, C, D không đồng phẳng, suy ra bốn điểm A',

B', C', D' không đồng phẳng, tức là a' và b' chéo nhau.
b. Từ điểm O dùng c¸c tia Ox, Oy theo thø tù song song với a và b.
Gọi O'x'y' là ảnh của Oxy qua F, suy ra:

 O' y '
xOy
x'

 g(a, b) = xOy

x 'O' y ' = g(a', b').
O'
x
'//
a
'
vµ
O'
y
'//
b
'

c. Gäi MN lµ đoạn vuông góc chung của a và b, M'N' là ¶nh cña MN qua F, suy ra:
EF E ' F '
 d(a, b) = EF = E'F' = d(a', b').

E ' F '  a ' vµ E ' F '  b '

Mét sè vÝ dơ vỊ phÐp dêi hình

Phép tịnh tiến
Cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho MM' =
v gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .
Thí dụ 7: Chứng minh rằng phép tịnh tiến là phép dời hình.

Giải
Với phép tịnh tiến theo vectơ v , ta có:


Tv (MN) M ' N '  MM ' NN ' = v
MM'N'N là hình bình hành MN = M'N'.
Vậy, phép tịnh tiến là một phép dời hình.
Hoạt động


u

M'

M
N'
N

Dựng ảnh của tứ diện ABCD qua phép tịnh tiến lần lợt

theo các vectơ AB và BC .

Phép đối xứng qua đờng thẳng (gọi là phép đối xứng trục)
Phép đối xứng qua đờng thẳng () là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc ()
thành chính nó, và biến mỗi điểm M không thuộc () thành M' sao cho trong

mặt phẳng (M, ()), () là đờng trung trực của MM'.
Thí dụ 8: Chứng minh rằng phép đối xứng trục là phép dời hình.

Giải
Với phép đối xứng trục (), ta có:
Đ()(MN) = M'N'  () lµ trung trùc cđa MM' vµ NN'.
NhËn xÐt r»ng:
MN2 = MF2 + NF2 = M'F2 + N'F2 = M'N'2
MN = M'N'.
Vậy, phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Hoạt động

M
E

N

()
M'

F

N'

Dựng ảnh của hình hộp ABCD.A'B'C'D' qua phÐp ®ãi xøng
trơc AC'.

5

Phép đối xứng qua một điểm (gọi là phép đối xứng tâm)
Phépđối xứng
qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao
cho OM OM ' 0 .
ThÝ dơ 9:

Chøng minh r»ng phÐp ®èi xøng tâm là phép dời hình.

Giải

Với phép đối xứng tâm O, ta cã:
 

OM  OM ' 0
§(O)(MN) = M'N'     
ON  ON ' 0
 ABCD là hình bình hành MN = M'N'.
Vậy, phép đối xứng tâm là một phép dời hình.

Hoạt động

M

M'
O

N

N'

Dựng ảnh của hình chóp tứ giác đều S.ABCD qua phép đói
xứng tâm O với O là giao điểm của AC và BD.

Định nghĩa hai hình bằng nhau
Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Thí dụ 10:
Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
a. Hai hình chóp A.A'B'C'D' và C'.ABCD bằng nhau.
b. Hai hình lăng trụ ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau.
Giải
a.
Ta lần lợt thực hiện:
D
C
Phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực (P) của
AA', ta đợc:
B
A
Đ (A.A'B'C'D') = A'.ABCD.
(P)



Phép đối xứng qua mặt phẳng (BDD'B'), ta đợc:
Đ(BDD'B')(A'.ABCD) = C'.CBAD.
Vậy, ta đợc A.A'B'C'D' và C'.ABCD bằng nhau.
b.
Với phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC'B'), ta đợc:
Đ(ADC'B')(ABC.A'B'C') = AA'D'.BB'C'.
Vậy, ta đợc ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau.

D'
A'

C'
B'

Định lí 2: Hai hình tứ diện có các cạnh tơng ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Hệ quả 1: Hai tứ diện đều có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hệ quả 2: Hai hình lập phơng có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hoạt động

Chùng minh hai hệ quả trên.

bài tập lần 1
Bài tập 1: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đờng thẳng (d) thành đờng

thẳng (d'). Xác định vị trí tơng đối của (d) và (d') trong mỗi trờng hợp sau:
a. (d) nằm trên (P).
b. (d) vuông gãc víi (P).
c. (d) song song víi (P).

6


d. (d) cắt (P) và không vuông góc với (P).
e. (d) cắt (P) và góc giữa d và (P) bằng 450.
Bài tập 2: Cho hai đờng thẳng song song (d) và (d').
a. Tìm các phép tịnh tiến biến (d) thành (d').
b. Tìm phép đối xứng qua mặt phẳng biến (d) thành (d').

c. Tìm phép đối xứng tâm biến (d) thành (d').
d. Tìm phép đối xứng trục biến (d) thành (d').
Bài tËp 3: Cho hai tø diƯn ABCD vµ A'B'C'D' cã các cạnh tơng ứng bằng nhau

AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', DA = D'A', DB = D'B', AC = A'C'. Chứng minh
rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, C, D lần lợt thành các
điểm A', B', C', D'.
Bài tập 4: Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD.
Bài tập 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AB

và CD.
a. Chứng minh IJ là đoạn thẳng vuông góc chung của AB và CD. Tính IJ.
b. Chứng tỏ rằng tứ diện đó có ba trục đối xứng.
Bài tËp 6: Cho tø diÖn ABCD. Chøng tá r»ng phÐp dời hình biến mỗi điểm A, B,

C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất.
Bài tập 7: Cho mặt phẳng (P) và cho phép dời hình F có tính chất F biến điểm M

thành điểm M khi và chỉ khi M nằm trên (P). Chứng tỏ rằng F là phép đối xứng
qua mặt phẳng (P).
Bài tập 8: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của AB

và mặt phẳng trung trực của CD chia tứ diƯn ABCD thµnh bèn tø diƯn b»ng nhau.
Bµi tËp 9: Chứng minh rằng hai tứ diện có các cạnh tơng øng b»ng nhau th× b»ng nhau.

7


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 850.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
Bài toán 1: ảnh của một hình qua phép dời hình.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa của các phép dời hình trong không gian.

Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đờng thẳng (d) thành đờng
thẳng (d'). Xác định vị trí tơng đối của (d) và (d') trong mỗi trờng hợp sau:
a. (d) nằm trên (P).
b. (d) vuông góc với (P).
c. (d) song song với (P).
d. (d) cắt (P) và không vuông góc với (P).
e. (d) cắt (P) và góc giữa d và (P) bằng 450.
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua mặt phẳng.
Giải
a. Nếu (d) nằm trên (P) thì (d) trùng với (d').
b. Nếu (d) vuông góc với (P) thì (d) trùng với (d').
c. NÕu (d) song song víi (P) th× (d) song song với (d').
d. Nếu (d) cắt (P) và không vuông góc với (P) thì (d') cắt (d).
e. Nếu (d) cắt (P) và góc giữa d và (P) bằng 45 0 thì (d') cắt (d) và vuông góc với d.
Ví dụ 1:

Bài toán 2: Tìm phép dời hình biến hình (H1) thành hình (H2).

8


Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của các dời hình.
Ví dụ 1:
Cho hai đờng thẳng song song (d) và (d').
a. Tìm các phép tịnh tiến biến (d) thành (d').
b. Tìm phép đối xứng qua mặt phẳng biến (d) thành (d').
c. Tìm phép đối xứng tâm biến (d) thành (d').
d. Tìm phép đối xứng trục biến (d) thành (d').
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của các phép dời hình tơng ứng.
Giải
Lấy điểm A (d) và A' (d') và gọi I là trung điểm của AA'.
a.
Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA' đều
A
(
'
d
biến đờng thẳng (d) thành (d').
'
Vì có vô số vectơ v nên có vô số phép tịnh tiến biến
()
A
(d) thành (d').
d
b. Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng ((d), (d')), khi đó phép

)
đối xứng qua mặt phẳng (P) sẽ biến (d) thành (d').
A M (
ThËt vËy, lÊy M tuú ý thuéc (d) vµ gäi M' là
' ' d
ảnh của M qua Đ(P), ta có:
I
MM'  (P)  MM'  ((d), (d')).
M '
P
)
Khi ®ã, trong mặt phẳng ((d), (d')) ta có:
0
)
IA M 0 M 1
A M0 (



d
 IA ' M 0 M ' 2 A'M'//AM M' (d').
)
AM // IM

0
Vì mặt phẳng (P) là duy nhất nên có duy nhất một phép đối xứng qua mặt phẳng
biến (d) thành (d').
c. Phép đối xứng tâm I sẽ biến (d) thành (d').
(
A M

Thật vậy, lÊy M tuú ý thuéc (d) vµ gäi M' lµ ¶nh cđa M
d
' '
qua §I, ta cã:
I
'

 'A'I
MAI = M'A'I (c.g.c)  MAI
)
M
(
 A'M'//AM  M'  (d').
M A
d
V× cã vô số điểm I nên có vô số phép đối xứng tâm biến (d) thành (d').
d. Gọi (a) là đờng thẳng qua I và song song với ((a) ((d), (d')), khi đó phép) đối
xứng qua đờng thẳng (a) sẽ biÕn (d) thµnh (d').
ThËt vËy, lÊy M tuú ý thuéc (d) và gọi M' là
A' M' (d')
ảnh của M qua §(a), ta cã:
MM'  (P)  MM'  ((d), (d')).
I
(a)
Khi đó, trong mặt phẳng ((d), (d')) ta có:
M0
IA M 0 M 1
A M0 (d)

IA
'
M
M
'
2

A'M'//AM

M'

(d').

0
AM // IM

0
Vì đờng thẳng (a) là duy nhất nên có duy nhất một phép đối xøng trơc biÕn (d)
thµnh (d').



Cho hai tø diƯn ABCD vµ A'B'C'D' có các cạnh tơng ứng bằng nhau
AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', DA = D'A', DB = D'B', AC = A'C'. Chøng minh
VÝ dô 2:

9

rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, C, D lần lợt thành các
điểm A', B', C', D'.
Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng cũng với tính chất về sự bảo
toàn khoảng cách của phép dời hình.

Giải
Giả sử có hai phép dời hình F1 và F2 đều biến các điểm A, B, C, D lần lợt thành
các điểm A', B', C', D'.
Nếu F1 và F2 khác nhau thì có ít nhÊt mét ®iĨm M sao cho:
F1 (M) M1

F2 (M) M 2 ,
 M M
2
 1

suy ra:
A'M1 = AM = A'M2
vµ t¬ng tù B'M1 = B'M2, C'M1 = C'M2, D'M1 = D'M2.
Do ®ã, bèn ®iĨm A', B', C', D' cïng n»m trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
M1M2, trái với giả thiết A'B'C'D' là hình tứ diện.
Vậy, với mọi điểm M ta đều có F 1(M) = F2(M), tức là hai phép dời hình F 1 và F2
trùng nhau.
Bài toán 3: Tìm mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng, tâm đối xứng của khối
đa diện (H).
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng, tâm đối xứng của khối đa diện.

Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD.
Hớng dẫn: Với tứ diện đều ABCD thì các đỉnh có vai trò giống nhau, xét mặt phẳng

Ví dụ 1:



đối xứng (P) biến A thành B, ta thấy:
Trớng hợp 1: Nếu A, B thuộc (P) thì để C biến thành D mặt phẳng (P)
phải là mặt phẳng trung trực của CD.
Trớng hợp 2: Nếu (P) là mặt phẳng trung trực của AB thì (P) sẽ chứa CD
nên thoả mÃn.
Từ đó, ta nhận thấy các mặt phẳng trung trực của các cạnh của tứ diện
đều là mặt phẳng đối xứng của nó.

Giải Bạn đọc tự vẽ hình

Giả sử là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD, tức là phép đối xứng D
biến tập hợp {HA, B, C, D} thành chính nó.
Vì D không thể biến đổi đỉnh thành chính nó (vì khi đó D là một phép đồng
nhất) nên phải có một đỉnh (giả sử là A), biến thành một đỉnh khác (giả sử là đỉnh B).
Khi đó, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ( đi qua C và D).
Nh vậy, tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng, đó là các mặt phẳng trung
trực của các cạnh.
Ví dụ 2:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AB
và CD.
a. Chứng minh IJ là đoạn thẳng vuông góc chung của AB và CD. Tính IJ.
b. Chøng tá r»ng tø diƯn ®ã cã ba trơc ®èi xøng.

10

Hớng dẫn: Để chứng minh IJ là đờng vuông gãc chung cđa AB vµ CD ta cã thĨ lùa

 Giải

chọn theo các cách:
Cách 1: (Sử dụng tính chất đờng trung tuyến trong tam giác cân): Cụ thể:
a 3
AJ BJ
(1)
2 JAB cân tại J AB IJ.
a 3
CI DI
(2)
2 ICD cân tại I CD IJ.
Từ (1) và (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Cách 2: Sử dụng quan hƯ vu«ng gãc trong kh«ng gian.

a. Ta cã:
AB  CI
A


AB

(ICD)

AB

IJ.

(1)
AB  DI
I
CD  AJ

D
B
(2)
CD  BJ  CD  (JAB)  CD  IJ.
Tõ (1) vµ (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
J
Trong AIJ, ta cã:
C
2
2
2


a
3
a
a
a
2


IJ2 = AJ2  AI2 = 
=
 IJ =
.

 2    2 
2
2


b. NhËn xÐt r»ng với phép đối xứng qua trục IJ thì:
D IJ (A) B
DIJ(ABCD) = BADC IJ là trục đối xứng cđa ABCD.

D IJ (C) D
Tõ ®ã, suy ra tø diƯn có ba trục đối xứng là các đờng thẳng nối trung điểm của hai
cạnh đối diện.
Bài toán 4: Chứng minh F là một phép dời hình .
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa phép dời hình, phép đối xứng qua mặt phẳng, phép tịnh tiến,
phép đối xứng qua đờng thẳng, phép đối xứng tâm.

Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B,
C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất.
Hớng dẫn: Thiết lập phép biến hình F(ABCD) = ABCD và để chứng minh F là phép
Ví dụ 1:

Giải

đồng nhất chúng ta sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng.

Giả sử phép dêi h×nh f tháa m·n:
F(A) = A, F(B) = B, F(C) = C, F(D) = D.
ta chøng minh r»ng F(M) = M với M bất kì.
Thật vậy, giả sử F(M) = M' M.

Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên:
AM = AM', BM = BM', CM = CM', DM = DM'
 A, B, C, D nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn MM'
tức là A, B, C, D đồng phẳng, điều này trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện.
Vậy, ta phải có M' M và do đó F là phép đồng nhất.

11


Cho mặt phẳng (P) và cho phép dời hình F có tính chất F biến điểm M
thành điểm M khi và chỉ khi M nằm trên (P). Chứng tỏ rằng F là phép đối xứng
qua mặt phẳng (P).
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua mặt phẳng.
Giải
Phép dời hình F biến mọi điểm M nằm trên (P) thành M.
Với điểm M không nằm trên (P) ta gọi (a) là đờng thẳng đi qua M và vuông góc
với (P), giả sử (a) cắt (P) tại H thì:
F(H) = H F(a) = (a') là đờng thẳng đi qua H và vuông góc với (P)
F(a) = (a).
Từ đó, suy ra điểm M biến thành điểm M' nằm trên (a), M' khác với M và HM = HM'.
Tức (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM'.
Suy ra, F là phép đối xứng qua mặt phẳng (P).
Bài toán 5: Chứng minh hai đa diện bằng nhau.
Phơng pháp áp dụng
Để chứng minh hình (H1) bằng hình (H2), ta thêng lùa chän mét trong hai c¸ch:
C¸ch 1: (Sư dụng định nghĩa): Tìm một phép biến hình biến (H1) thành hình
(H2) hoặc ngợc lại.
Cách 2: (Sử dụng định lí): Tìm một hình (H) rồi khẳng định:
(H) = (H1) và (H) = (H2)  (H1) = (H2).
VÝ dô 1:

Cho tø diện đều ABCD. Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của AB
và mặt phẳng trung trực của CD chia tứ diƯn ABCD thµnh bèn tø diƯn b»ng nhau.
 Híng dÉn: Sử dụng định nghĩa để chứng minh.
Giải
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD thì (CDE) và (ABF) theo thứ tự
là mặt phẳng trung trực của AB và CD, suy ra:
EF là trục đối xøng cđa tø diƯn.
A
Tõ ®ã, ta cã nhËn xÐt:
 ACEF là ảnh của ADEF qua phép đối xứng qua mặt
E
(ABF) nên:
ACEF = ADEF.
(1)
BCEF là ảnh của BDEF qua phép đối xứng qua mặt C
B
(ABF) nên:
BCEF = BDEF.
(2)
F
ACEF là ảnh của BDEF qua phép đối xứng trục EF nên:
ACEF = BDEF.
D(3)
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra bèn khèi tø diƯn b»ng nhau.
VÝ dơ 2:
Chøng minh r»ng hai tø diện có các cạnh tơng ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp vectow trong không gian.
Giải
A'
A

Giả sử hai tứ diện ABCD và
M'
M
A'B'C'D' có các cạnh tơng ứng
bằng nhau, tức là:
AB = A'B', BC = B'C',
B'
D
B D'
CD = C'D', DA = D'A',
DB = D'B', AC = A'C'.
C'
C
VÝ dô 2:

12


Ta đi chứng minh rằng có một phép dới hình F biến các điểm A, B, C, D lần l ợt
thành các điểm A', B', C', D'.






Đặt DA a , DB b , DC c , D ' A ' a ' , D ' B ' b' , D 'C ' c' .
 tån tại bộ sô (x; y; z) sao cho:
Với mỗi điểm
M luôn

DM xa yb zc .


Khi đó, ta xác định đợc một phép biến hình F biến điểm M thành điểm M' sao
cho:

D ' M ' xa '  yb '  zc' .
NhËn thÊy rằng F biến các điểm A, B, C, D lần lợt thành các điểm A', B', C', D'.

Ta đi chứng
F là một phép dời hình bằng việc lấy điểm N và giả sử:
minh
DN x ' a y ' b  z ' c .
Suy ra F biÕn N
 thµnh
 N' sao cho:
D ' N ' x ' a '  y ' b '  z ' c' .
NhËn xÐt r»ng:

 



MN = DN  DM = (x ' x)a  (y ' y)b  (z '  z)c


 2

 MN2 = MN 2 =  (x ' x)a  (y'  y)b  (z '  z)c 



2
2
2
2
2
2
= (x'  x) . a + (y'  y) . b + (z'  z) . c +


+ 2(x'  x)(y'  y). a b + (y'  y)(z'  z). b c +

+ 2(x'  x)(z'  z). a c .
(1)
T¬ng tù, ta cịng cã:



M'N'2 = (x'  x)2. a ' 2 + (y'  y)2. b ' 2 + (z'  z)2. c' 2 +
 
 
+ 2(x'  x)(y'  y). a ' b ' + (y'  y)(z'  z). b ' c' +
 
+ 2(x'  x)(z'  z). a ' c' .
(2)
Hai tứ diện
ABCD
và
A'B'C'D'

có
các
cạnh
tơng
ứng
bằng
nhau
nên:
2 2 2 2 2  2
=
,
=
,
=
,
a
a' b
b c
c'
        
=
,
=
ab
a ' b ' b c b' c' , a c = a ' c'
do đó, từ (1) và (2) suy ra:
MN2 = M'N'2  MN = M'N'  F là phép dời hình.
C. bài tập rèn luyện
Bài tập 1: Chứng minh rằng phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có
cùng bán kính.

Bài tập 2: Phép tịnh tiến T theo véctơ v 0 biến mặt phẳng (P) thành mặt phẳng
(P'). Trong trờng hợp nào th×:
a. (P) trïng (P').
b. (P) song song víi (P').
c. (P) cắt (P').
Bài tập 3: Phép đối xứng qua đờng thẳng () biến đờng thẳng (d) thành đờng thẳng
(d'). Xác định vị trí tơng đối của (d) và (d') trong các trêng hỵp sau:
a. (d) trïng víi ().
b. (d) song song với ().
c. (d) cắt () và không vuông góc với ().
d. (d) cắt () và vuông góc với ().
13


Bài tập 4: Trong không gian cho mặt phẳng (), đờng thẳng (a) nằm trên () và
điểm I nằm trên đờng thẳng (a). Xét phép dời hình F có tính chất F() = , F(a) = a
và đối với mọi điểm M trong không gian M = F(M) khi và chØ khi M trïng víi I.
Chøng minh r»ng nÕu ®iĨm M khác I thì F biến M thành M' sao cho I là trung điểm
của MM'.
Bài tập 5: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (P').
a. Tìm các phép tịnh tiến biến (P) thành (P').
b. Tìm phép đối xứng qua mặt phẳng biến (P) thành (P').
c. Tìm phép đối xứng tâm biến (P) thành (P').
d. Tìm phép đối xứng trục biến (P) thành (P').
Bài tập 6: Cho hai đờng tròn có bán kính bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song
song. HÃy chỉ ra phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm biến đờng tròn này thành đờng
tròn kia. Trong trờng hợp nào thì còn có phép đối xứng qua mặt phẳng biến đờng tròn
này thành đờng tròn kia?

Bài tập 7: Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây:
a. Hình chóp tứ giác đều.
b. Hình chóp cụt tam giác đều.
c. Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.
Bài tập 8: Cho hai phép dời hình f và g. Với mỗi điểm M trong không gian ta gọi M 1
là ảnh của M qua f và gọi M' là ảnh của M 1 qua g, tøc lµ M1 = f(M) vµ M' = g(M1).
Khi đó ta có một phép biến hình h biến M thành M', phép biến hình đó gọi là hợp
thành của các phép dời f và g, kí hiệu là f g.
a. Chứng tỏ rằng hợp thành của hai hay nhiều phép dời hình là một phép dời hình.
b. Chứng minh rằng nếu f là phép dời hình và e là phép đồng nhất thì f e = e  f = f.
Bµi tËp 9: Chøng minh rằng hợp thành của nhiều phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến.
Bài tập 10: Chứng minh rằng:
a. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song
song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến.
b. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau là một phép đối xứng trục.
Bài tập 11: Cho phép dời hình f thoả mÃn điều kiện f f = e, biÕt r»ng cã mét ®iĨm I
duy nhÊt sao cho f biÕn I thµnh chÝnh nã. Chøng minh rằng f là một phép đối xứng tâm.
Bài tập 12: Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.
Ngợc lại mỗi phép tịnh tiến đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng tâm bằng
vô số cách.
Bài tập 13: Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng AB không có điểm chung với (P). HÃy
xác định điểm M nằm trên (P) sao cho cã chu vi ABM bÐ nhÊt.
Bµi tËp 14: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R = AB, một
điểm M
thay đổi trên mặt cầu. Gọi C', D', M' là các điểm sao cho CC ' = DD ' = MM ' = AB .
Chứng minh rằng nếu BC'D'M' là hình tứ diện thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó
nằm trên (S).
Bài tập 15: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
a. Hai hình chóp A.A'B'C'D' và C'.ABCD bằng nhau.

b. Hai hình lăng trụ ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau.

D. hớng
hớng dẫn đáp sốp số
Bài tập 1:
Giả sử (S) là mặt cầu tâm O bán kính R, và F là phép dời hình bất kì.
Gọi O' = F(O) và (S') là mặt cầu tâm O' bán kính R.
Với mỗi điểm M S, ta cã:
F(M) = M'  O'M' = OM = R M' (S').
Ngợc lại, với mỗi điểm M'  (S'), ta cã:
M' = F(M)  OM = O'M' = R  M  (S).
Nh vËy, phÐp dêi h×nh biến F biến mặt cầu S thành mặt cầu S' cã cïng b¸n kÝnh.
14


Bài tập 2:

a. Để (P) trùng (P') thì đờng thẳng chứa vectơ v phải song song hoặc thuộc (P).

b. Để (P) song song với (P') thì đờng thẳng chứa vectơ v phải cắt (P).
c. Không thể xảy ra trờng hợp (P) cắt (P').
Bài tập 3:
a. Nếu (d) trùng với () th× (d) trïng víi (d').
b. NÕu (d) song song víi () thì (d) song song với (d').
c. Nếu (d) cắt () và không vuông góc với () thì (d') cắt (d).
d. Nếu (d) cắt () và vuông góc với () thì (d) trùng với (d').
Bài tập 4:
Giả sử A là điểm nằm trên đờng thẳng (a) và khác điểm I và:
F(A) = A' A' A
(c)

M
và vì F(a) = (a) nên A' (a).
Ngoài ra vì IA = IA' nên I là trung điểm của
(
C
đoạn thẳng AA'.
B
A' I
(a)
Gọi (b) là đờng thẳng nằm trong mặt phẳng
A
B'
(), đi qua I và vuông góc với (a). Ta có:
F() = () F(b) ,
C'
b
ngoài f(b) đi qua F(I) = I và vuông góc với F(a) = a nên F(b)
=
b.
M'
Lập luận tơng tự nh phần trên, suy ra nếu B nằm trên (b) và khác I thì:
F(B) = B' sao cho I là trung điểm BB'.
Gọi â là đờng thẳng vuông góc víi () t¹i I. Ta cã:
F(c) = (c)  F(C) = C' víi C  (c) vµ C  I thì I là trung điểm của CC'.
Bây giờ giả sử M là một điểm bất kì trong không gian. Gọi A, B, C lần l ợt là hình
chiếu của M trên đờng thẳng (a), (b), (c). Nói cách khác IM là đờng chéo của hình
hộp chữ nhật có ba cạnh là IA, IB, IC.
Khi đó, gọi A', B' và C' lần lợt là các điểm đối xứng của A, B, C qua điểm I thì
theo nh trên, ta có:
A' = F(A), B' = F(B), C' = F(C).

NÕu gäi M' lµ điểm sao cho hình hộp có ba cạnh IA', IB', IC' nhận IM' làm đờng chéo
thì hiển nhiên F biến M thành M' và I là trung điểm của MM'.
Bài tập 5:
Lấy điểm A (P) và A' (P') và gọi I là trung điểm của AA'.
a.
Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA' đều biến mặt phẳng (P) thành (P').
Vì có vô số vectơ v nên có vô số phép tịnh tiến biến mặt phẳng (P) thành (P').
b. Gọi (Q) là mặt phẳng qua I và song song với mặt phẳng (P), khi đó phép đối xứng
qua mặt phẳng (Q) sẽ biến (P) thành (P').
Thật vậy, lÊy M tuú ý thuéc (P) vµ gäi M' lµ ảnh của M
(P')
qua Đ(Q), ta có:
A' M'
MM' (Q) tại M0 là trung điểm của MM'.
I
Khi đó, ta có:
M0
Q)
IA M 0 M 1
0


IA' M 0 M ' 2
A M (P)
 A'M', AM, IM0 theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song song
M' (P').
Vì mặt phẳng (Q) là duy nhất nên có duy nhất một phép đối xứng qua mặt phẳng
biến (P) thành (P').
c. Phép đối xứng tâm I sÏ biÕn (P) thµnh (P').
(

A M
P
'
'
I
'
)
15
(
A
M


ThËt vËy, lÊy M tuú ý thuéc (P) vµ gäi M' là ảnh của M
qua ĐI, ta có:

'A'I
MAI = M'A'I (c.g.c)  MAI
M
 A'M'//AM  M'  (P').
V× cã vô số điểm I nên có vô số phép đối xứng tâm biến (P) thành (P').
d. Gọi (d) là đờng thẳng qua I và song song với (P), khi đó phép đối xứng qua đờng
thẳng (d) sẽ biến (P) thành (P').
ThËt vËy, lÊy M tuú ý thuéc (P) vµ gäi M' là
(P')
A' M'
ảnh của M qua Đ(a), ta có:
MM' (d) tại M0 là trung điểm của MM'.
(d) I
M0

Khi đó, ta cã:
0
IA M 0 M 1


(P)
A
M
IA' M 0 M ' 2
 A'M', AM, IM0 theo thø tù thc ba mỈt phẳng song song M' (P').
Vì có vô số đờng thẳng (d) (mọi đờng thẳng trong mặt phẳng (Q)) là nên có vô số
phép đối xứng trục biến (d) thµnh (d').
Bµi tËp 6:
Gäi O, O' theo thø tù lµ tâm của hai đờng tròn, khi đó:
Phép tịnh tiến theo vectơ OO' biến đờng tròn này thành đờng tròn kia.
Gọi I là trung điểm OO' thì phép đối xứng tâm I biến đờng tròn này thành đờng tròn kia.
Trong trờng hợp OO' vuông góc mặt phẳng chứa đờng tròn thì phép đổi xứng qua
mặt phẳng trung trực của OO' biến đờng tròn này thành đờng tròn kia.
Bài tập 7:
Bạn đọc tự vẽ hình
a. Với hình chóp tứ giác ®Ịu S.ABCD cã bèn mỈt ®èi xøng, gåm:
 Hai mỈt chéo (SAC) và (SBD).
Hai mặt phẳng trung trực của AB và BC.
b. Với hình chóp cụt tam giác đều ABC.A'B'C', giả sử:
AA', BB' và CC' đồng quy tại S.
M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA.
Khi đó ABC.A'B'C' sẽ có ba mặt phẳng đối xứng, gồm:
(SAN), (SBP), (SCM).
c. Với hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' sẽ có ba mặt phẳng đối xứng là các mặt
phẳng trung trực của các cạnh AB, AD và AA'.

Bài tập 8:
a. Giả sử f và g là các phép dời hình.
Với hai điểm M, N bất kì, giả sử f(M) = M1, f(N) = N1, g(M1) = M', g(N1) = N'.
Nh vậy, theo định nghĩa, phép hợp thành g f biến hai điểm M, N lần lợt thành
hai điểm M', N'.
Nhng vì f và g là các phép dời hình nên M1N1 = MN và M'N' = M1N1, do đó M'N'
= MN.
Vậy, ta đợc g f là một phép dời hình.
Tơng tự, ta cũng có f g là một phép dời hình.
b. Hiển nhiên.


Bài tập 9:
Giả sử T1 và T2 lần lợt là các phép tịnh tiến theo vectơ v1 và v 2 . Nếu
T1 biến điểm M thành M1 và T2 biến M1 thành M2 thì hợp thành T2 T1 biến điểm M
thành điểm M2.

16




Vì MM1 v1 và M1 M 2 v 2 nªn:





MM 2 = MM1 + M1 M 2 = v1 + v 2 .

Vậy, ta đợc T2 T1 là một phép tịnh tiến theo vectơ v1 + v 2 .
Một cách tổng quát: hợp thành của n phép tịnh tiến đà cho là một phép tịnh tiến có
vectơ tịnh tiến bằng tổng các vectơ của các phép tịnh tiến đà cho.
Bài tập 10:
a.
Giả sử Đ(P) và Đ(Q) là các phép đối xứng qua các mặt phẳng (P) và (Q) song
song với nhau.
Với điểm M bất kì, ta gọi:
M1 = Đ(P)(M) và M' = Đ(Q)(M1)
[Đ(Q) Đ(P)](M) = M'
F
E
và E, F theo thứ tự là trung điểm của MM 1, M1 M'.
M
M'
M1
Khi ®ã:
 
 

MM ' = MM1  M1 M ' = 2EM1  2M1 F
Q
P
 

= 2 EM1 M1 F = 2EF không đổi.
Vậy, hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là
một phép tịnh tiến theo vectơ 2EF .

b.
Giả sử Đ(P) và Đ(Q) là các phép đối xứng qua các mặt phẳng (P) và (Q) vuông
góc với nhau.
Gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Với điểm M bất kì, ta gọi:
M1 = Đ(P)(M) và M' = Đ(Q)(M1) [Đ(Q) Đ(P)](M) = M'.
Xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Khi M nằm trên (P) hoặc (Q) thì dễ thấy M' đối xứng với M qua đ ờng
thẳng (d).
Trờng hợp 2: Khi M không nằm trên (P) và không nằm trên (Q).
Khi đó:
MM1 (P)
(MM1 M ')  (P)
M1
M
 

M
M
'

(Q)
(MM
M
')

(Q)
 1

1
I

 (MM1M')  d.
Q
Gäi I là giao điểm của (d) và (MM1M') thì:
(d)
M'
IM = IM1 = IM'
P
I là tâm đờng tròn ngoại tiếp MM1M' I là trung điểm MM'.
Ngoài ra, vì MM' (d) nên (d) là trung trực của MM'.
Vậy, ta thấy DQ DP là phép đối xứng qua đờng thẳng (d).
Bài tập 11:
Với một điểm M bất kì khác I, ta gọi M' là ảnh của M qua f, khi đó M
và M' không trùng nhau.
Vì f f = e nên f biến M' thành M.
Vậy, f biến đoạn thẳng MM' thành đoạn thẳng M'M.
Từ đó suy ra f biến trung điểm đoạn thẳng MM' thành chính nó và vì vậy, theo giả
thiết trung điểm MM' là điểm I.
Vậy f là phép đối xứng qua tâm I.
Bài tập 12:
Giả sử D1 và D2 là các phép đối xứng tâm có tâm lần lợt là O1 và O2.
Gọi M là một điểm bất kì, M1 = D1(M) và M' = D2(M1) thì phép hợp thành D1
D2 biến M thµnh M'.





17

Ta cã:

  


MM ' MM1  M1 M ' = 2O1 M1  2M1O2 = 2 O1O2 .
Suy ra:


D1 D2 là phép tịnh tiến theo vectơ v = 2 O1O2 .

Ngợc lại cho T là phép tịnh tiến theo vectơ v . Ta lấy hai điểm O1 và O2 sao cho


v
(có vô số các cặp điểm O1 và O2 nh vậy).
O1O2 =
2
Khi đó hợp thành của các phép đối xứng tâm với tâm lần lợt là O1 và O2 là phép
tịnh tiến T.
Bài tập 13:
Gọi A1 là điểm ®èi xøng víi A qua
A
(P) vµ {HN} = (A1B)  (P):
M
B
Khi ®ã, víi ®iĨm M bÊt kú thc (P), ta cã:
H
CVABM = AB + MA + MB
N

= AB + MA1 + MB  AB + A1B = AB + NA + NB. A
1
VËy, chu vi ABM bÐ nhÊt  M N.
Bài tập 14:
Phép tịnh tiến T theo vect¬ v = AB , ta cã:

Tv (A) = B, Tv (C) = C', Tv (D) = D' vµ Tv (M) = M'
 Tv (ACDM) = BC'D'M'.
Bëi vËy, T biÕn tâm O của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ACDM thành tâm mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện AC'D'M', tức OO ' = v = AB .
V× OO' = AB nên điểm O' nằm trên mặt cầu (S).
Bài tập 15:
a. Ta lần lợt thực hiện:
Phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực (P) của
D
AA', ta đợc:
Đ(P)(A.A'B'C'D') = A'.ABCD.
B
A
Phép đối xứng qua mặt phẳng (BDD'B'), ta đợc:
Đ(BDD'B')(A'.ABCD) = C'.CBAD.
Vậy, ta đợc A.A'B'C'D' và C'.ABCD bằng nhau.
D
b. Với phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC'B'), ta đợc:
'
Đ(ADC'B')(ABC.A'B'C') = AA'D'.BB'C'.
B
A
Vậy, ta đợc ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau.
'

'

18

C

C
'