MỘT SỐ ỨNG DỤNG BĐT CÔ-SI

1Bất đẳng thức Cô-si.
*Bất đẳng thức Cô-si :
Với n số không âm a
1
, a
2
, . . . , a
n
( n 2), ta có:

n
n
a
2
a
1
a
n
n
a
2
a
1
a



+++
(1)
Có đẳng thức khi và chỉ khi a
1

= a
2
= . . . = a
n

( Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân
của chúng)
Chứng minh :
Đặt T =
n
n
a
2
a
1
a
+++

. Khi đó (1) T
n
a
1
a
2
. . . a
n
(1*)
*) Nếu a
1
= a

2
= . . . = a
n
thì (1*) trở thành đẳng thức
T
n
= T.T. . . .T = a
1
a
2
. . . a
n
*) Nếu a
1
, a
2
, . . . , a
n
là n số không bằng nhau tất cả thì có bất đẳng
thức T
n
> a
1
a
2
. . . a
n
(1**)
Ta chứng minh (1**) bằng qui nạp ( dành cho học sinh chuyên)
Với n = 2 : dễ thấy (1**) đúng , tức là :

2
a
1
a
2
2
2
a
1
a
2
T
2
a
1
a
>








+
=

Giả sử (1**) đúng với n - 1 số không bằng nhau tất cả có trung bình cộng bằng T. Ta phải
chứng minh (1**) đúng với n.

Thật vậy, trong n số a
1
, a
2
, . . . , a
n
không bằng nhau tất cả phải có 1 số bé hơn T và một số lớn
hơn T, giả sử a
1
và a
2
: a
1
< T < a
2
.
Do đó ta có (T - a
1
)(a
2
- T ) > 0
Hay :
0
T
2
a
1
a
T
2

a
1
a
>+
.
Ta xét n - 1 số không âm a
3
, a
4
, . . . a
n
, (a
1
+ a
2
- T), hiển nhiên n - 1 số không bằng nhau tất cả, và
theo giả thiết qui nạp ta có:
T
n-1
> a
3
a
4
. . . a
n
(a
1
+ a
2
- T) > a

3
a
4
. . . a
n
T
2
a
1
a
Vậy T
n
> a
1
a
2
. . . a
n
.
2.1. Chứng minh một số bất đẳng thức.
2.1.a, Chứng minh các bất đẳng thức đại số và giải tích:
Ví dụ 1: Với mọi n thuộc N*, chứng minh rằng
n
2
1n
n!

+

(1)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số tự nhiên khác 0 đầu tiên 1, 2, . . . , n
ta có:

minh. chứngượcd (1n!
nn
n
).
n
2
1n
n
!
2
1n
n
!
n2
)1n(n
n
!
n
n3.2.1
n
n21

+


+

+

=
+++



Dấu = xảy ra khi nào? ( trong bất đẳng thức Cô-si ) Dấu = trong (1)
xảy ra khi và chỉ khi n = 1
Ví dụ 2: Cho a > -1 , n N . Chứng minh rằng : (1 + a )
n
1 + na (2)
Hớng dẫn:
- Bất đẳng thức (2) đựôc gọi là bất đẳng thức Béc-nu-li
- Với a > -1, ta có 1 + a > 0
+) Nếu
0na1
+
, thì (2) hiển nhiên đúng

++) Nếu 1 + na > 0 , ta có (2) 1 + a
n
na1
+
(2*)
So sánh (2*) với bất đẳng thức Cô-si , ta đợc điều gì ? (2*) có gần gũi với
1
Bất đẳng thức Cô-si không ? từ
n
na1
+

n
na1
+
=
n
)na1(1...1.1
+
( gồm
n-1 số 1 và 1 + na) ta có lời giải tóm tắt sau:
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số gồm n-1 số 1 và số 1 + na ta có

n
na1
n
)na1(111
+
+++++

1 số 1-n
1 + na
n
na1
+
, hay (1 + a )
n
1 + na. (2) đợc chứng minh .
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi hoặc a = 0 hoặc n = 0 hoặc n = 1.
Ví dụ 3: Cho dãy số (u
n
), đợc xác định nh sau:

n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
n
u
++=
. Chứng minh u
n
< 2, n .

Hớng dẫn:
Theo bất đẳng thức Cô-si , ta có:

n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
1n
1...11
+>
++

+++

1số
hay
n
n
n
n
1
2
n
n

n
1
+>+
(5*)
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
1n
1...11
>
+

+++

1số

hay
n
n
n
n

1
2
n
n
n
1
>
(5**)
Cộng từng vế (5*) và (5**) có điều phải chứng minh .
Ví dụ 4: Chứng minh rằng :
dãy số u
n
=
(
)
n
1
1
n
+
,( n = 1, 2, 3, . . .) là một dãy số tăng
Nhận xét:
- Đây là dãy số quen thuộc với học sinh 11. Nh đã biết trong SGK Đại số
và Giải tích 11 :
...7182818284,2
n
n
1
1
n

lime
=






+
+
=
và kết quả nầy
chỉ đợc công nhận, không chứng minh . Đây là một phát minh quan trọng của
Toán học ở cuối thế kỷ 16 - đầu thế kỷ 17.

H ớng dẫn :
- Ta có u
n
=
(
)
n
1
1
n
+
và u
n + 1
=

+
+
+
1n
1
1
1n
.
- Dãy số (u
n
) tăng khi u
n
< u
n + 1
, n = 1, 2, . . . .
- Chỉ cần chứng minh
(
)
n
1
1
n
+
<

+
+
+
1n
1
1
1n
.

áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n + 1 số không đồng thời bằng nhau


nhau bằng sốn
n
1
1,...,
n
1
1,
n
1
1,1
+++
ta đợc

1n
n
n
1
1
n
1
1n1
1n
1
+






+>

++
+
2
hay

n
n
1
1
1n
1n
1
1
1n
n
n
1
1
1n
1
1






+>
+

+
+
+






+>
+
+
Bài toán đợc chứng minh.
L u ý : Nếu chứng minh u
n
=
(
)
n
1
1
n
+

,( n = 1, 2, 3, . . .) là dãy số bị chặn
trên (u
n
< 3, với n = 1, 2, ...) thì u
n
có

giới hạn.
Ví dụ 5: Cho a > 0, b > 0, c> 0. Chứng minh rằng :

c
a
log2c
2
ab
log1.b
a
log1







++
(7)
Giải :
Ta có
ab

a
logb
a
loga
a
logb
a
log1
=+=+
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si :
c
ab
log2c
2
ab
log1
+
Do vậy:

c
a
log2c
a
log2c
ab
log.ab
a
log2c
2
ab

log1.b
a
log1
=






++
Suy ra (7) đợc chứng minh . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a
2
= b
2
= c
2.1b) Chứng minh bất đẳng thức l ợng giác :
Ví dụ 6: Chứng minh rằng

2
1
1
2
xcos
2
xsin
2

+

- áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng trên, ta đợc :

xcosxsin
22
xcos
2
xsin
2
+
+
vì
2xcosxsin2
+
nên :
2
1
1
2
2
22
xcosxsin
22
xcos
2
xsin
2

=

+
+
- Suy ra điều phải chứng minh.
- Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
.Zk,2k
4
5
x
+

=
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng:

8
33
a
4
cos.a2cos
8
33
2

(9), với mọi a.
H ớng dẫn :
- Ta có :

3
2222
)asina)(cosasina(cos
2
1
)asina)(cosasina(cos
2
1
a
4
cos.a2cos
+=
+=








- Đặt cosa - sina = x và cosa + sina = y x
2
+ y
2

= 2
- Khi đó (9)
8
33
3
xy
2
1

(9*)
- áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

2
1
3
y
3
1
3
y
3
1
3
y
3
1
2
x
4
1

3
y
2
x
27
1
=






+++
có đợc (9*) và từ đây
suy ra dấu = xảy ra khi nào ? (9) hoàn toàn đợc chứng minh.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng trong moi ABC ta có:







++
++
2
A
cos.
2

C
cos
2
C
cos.
2
B
cos
2
B
cos.
2
A
cos.
2
C
sin.
2
B
sin.
2
A
sin8
C
2
sinB
2
sinA
2
sin

(10)
H ớng dẫn :
3
- Đánh giá các giá trị của cos
2
A
cos
2
B
, cos
2
B
cos
2
C
, cos
2
C
cos
2
A
làm xuất
hiện các giá trị nầy!
- Vì A, B, C là 3 góc của ABC nên ta có sinAcotg
2
B
> 0, sinBcotg
2
A
> 0

- áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc:

2
B
gcotBsin
2
A
gcotAsin
2
2
A
gcotBsin
2
B
gcotAsin

+
hay
*)10(
2
A
gcotBsin
2
B
gcotAsin
2
1
2
B
cos

2
A
cos2






+
Dấu = trong (10*) xảy ra A = B
- Lập luận tơng tự ta có :

*)*10(
2
B
gcotCsin
2
C
gcotBsin
2
1
2
C
cos
2
B
cos2

+
Dấu = trong (10**) xảy ra B = C

**)*10(
2
C
gcotAsin
2
A
gcotCsin
2
1
2
A
cos
2
C
cos2






+
Dấu = trong (10***) xảy ra C = A

- Từ (10*), (10**),(10***) suy ra:







++






++
+






++

+
2
A
cos
2
C
cos
2
C
cos
2
B
cos
2
B
cos
2
A
cos4
2
B
gcot
2
A
gcotCsin
2
A
gcot
2
C

gcotBsin
2
C
gcot
2
B
gcotAsin







++
++






++

+
+
+
+
+

2
A
cos
2
C
cos
2
C
cos
2
B
cos
2
B
cos
2
A
cos8
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
2
C
sin

2
C
cos2
Csin
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
2
B
sin
2
B
cos2
Bsin
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
2

A
sin
2
A
cos2
Asin
2
A
cos
2
C
cos
2
C
cos
2
B
cos
2
B
cos
2
A
cos4
2
B
sin
2
A
sin

2
BA
sin
Csin
2
A
sin
2
C
sin
2
AC
sin
Bsin
2
C
sin
2
B
sin
2
CB
sin
Asin
- Suy ra (10) đợc chứng minh .
- Dấu = xảy ra khi nào? Khi đồng thời (10*), (10**), (10***) có dấu
bằng.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng trong mọi ABC ta luôn có:

)11(

8
3
)AsinCsinCsinBsinBsinA(sin
6
1
2
A
sin
2
A
sin
2
A
sin
2
A
sin
2
A
sin
2
A
sin
+++
++
H ớng dẫn :
- Trong mọi ABC, ta có sinA, sinB, sinC,
2
A
sin

,
2
B
sin
,
2
C
sin
,
2
A
tg
,
2
B
tg
,
2
C
tg
đều là những số dơng.
4
- Đánh giá các giá trị
2
B
sin
2
A
sin
,

2
C
sin
2
B
sin
,
2
A
sin
2
C
sin
,
áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta đợc:

)1.11(
2
B
sin.
2
A
sin
2
B
tg
2
A
tg
8

3
Bsin.Asin
6
1
+
)2.11(
2
C
sin.
2
B
sin
2
C
tg
2
B
tg
8
3
Csin.Bsin
6
1
+
)3.11(
2
A
sin.
2
C

sin
2
A
tg
2
C
tg
8
3
Asin.Csin
6
1
+
- Cộng từng vế (11.1), (11.2), (11.3) và chú ý đến

1
2
A
tg
2
C
tg
2
C
tg
2
B
tg
2
B

tg
2
A
tg
=++
(11) đợc chứng minh
- Dấu = xảy ra khi và chỉ khi trong (11.1), (11.2), (11.3) đồng thời có dấu
bằng.
2.1c) Chứng minh bất đẳng thức hình học:
Để giải quyết tốt một bài toán về bất đẳng thức trong hình học, học sinh cần
nắm vững kiến thức về hình học, về độ dài đoạn thẳng . . . Còn bất đẳng thức
Cô-si chỉ là công cụ hổ trợ để ta giải quyết bài toán này tốt hơn, không phải khi
gặp một bài toán về bất đẳng thức hình học là nghĩ ngay đến bất đẳng thức Cô-si .
Ví dụ 10: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O). Gọi AA, BB, CC là ba trung
tuyến. AA, BB, CC lần lợt cắt (O) tại A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng:

4
9
CC
'CC
BB
'BB
AA
'AA

111
++
(12)
H ớng dẫn :
- Trớc tiên, ta phải xác định các tỉ số

111
CC
'CC
,
BB
'BB
,
AA
'AA
? ( thờng theo độ dài các
cạnh của ABC) - lu ý AA, BB, CC là ba
trung tuyến.
- Ta có:
2
2
c
2
b
4
2
a
2
a
m

4
2
a
C'A'.BA
1
AA'.AA
+
=+==
.
Suy ra
2
c
2
b
2
a
2
c2
2
b2
.
2
1
1
AA'.AA
2
'AA
1
AA
'AA

+
+
==
- Lập luận tơng tự, ta đợc:








+
+
+
+
+
=++
2
b
2
a
2
c
2
a
2
c
2
b

2
c
2
b
2
a
.
2
1
3
1
CC
'CC
1
BB
'BB
1
AA
'AA
(*)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si , thì

2
3
2
b
2
a
2
c

2
a
2
c
2
b
2
c
2
b
2
a

+
+
+
+
+
- Do đó từ (*) (12) đợc chứng minh .
- Dấu = xảy ra ABC đều
Ví dụ 11: Cho 3 đờng tròn có chu vi C
1
, C
2
, C
3
từng đôi một tiếp xúc ngoài tại
A, B, C. Đờng tròn ngoại tiếp ABC có chu vi C. Chứng minh rằng:

3

321
3 CCCC

(13)
5