Dạy học đại số và giải tích lớp 11 nâng cao theo hướng rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh THPT

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1 Lý do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu..............................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM..................................................2
2.1 CƠ SƠ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...............................................................2
2.1.1 Đặc điểm của Toán học..............................................................................2
2.1.2. Nguyên lí giáo dục thực hiện trong môn Toán........................................3
2.1.3. Thực tiễn và mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn...........4
2.1.4. Ý nghĩa của việc vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học Toán ở
trường phổ thông................................................................................................4
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC
TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG HIỆN NAY.......6
2.3. DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO THEO HƯỚNG RÈN
LUYỆN NĂNG LỰC VẬN DỤNG VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH.........6
2.3.1. Một số định hướng nhằm rèn luyên năng lực vận dụng vào thực tiễn cho
học sinh trong dạy học Đại số và giải tích 11 NC..............................................6
2.3.2. Dạy học một số nội dung Đại số và giải tích 11 nâng cao theo hướng rèn
luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh..........................................7
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG
GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN , ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG...........19
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.............................................................................19
3.1. KẾT LUẬN...................................................................................................19
3.2. KIẾN NGHỊ.................................................................................................19
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................20


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, lấy thực tiễn làm thước đo chân lý và là
công cụ trong hầu hết hoạt động của con người. Tuy nhiên, toán học có tính trừu
tượng cao độ, đặc điểm này đã làm cho nó có tính độc lập tương đối so với thực
tiễn. Tính trừu tượng của toán học chỉ che lấp chứ không làm mất đi nguồn gốc
thực tiễn và càng làm tăng thêm sức mạnh ứng dụng của nó trong đời sống con
người. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau:
là công cụ để học tập các môn học khác trong nhà trường, nghiên cứu nhiều nghành
khoa học - công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội. Toán học thúc đẩy mạnh mẽ các
quá trình tự động hoá trong lao động sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và
trở thành công cụ thiết yếu của nhiều nghành khoa học.
Trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa - hiện đại hóa gắn liền với phát triển
nền kinh tế trí thức và xu hướng toàn cầu hóa đòi hỏi phải có con người lao động
toàn diện, có tư duy sáng tạo, kĩ năng thực hành giỏi và ý thức vận dụng những
thành tựu của Toán học trong những điều kiện thực tế nhằm mang lại hiệu quả lao
động cao. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo là nhiệm vụ cấp bách hiện nay,
góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho HS tư duy sáng tạo, năng lực tìm tòi
chiếm lĩnh trí thức, khả năng vận dụng, thực hành, đáp ứng được với yêu cầu thực
tế cuộc sống. “Thực tiễn là nguồn gốc của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lí”.
Chủ tịch Hồ Chí Minh khẳng định “Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là một
nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa Mác – Lê Nin Thực tiễn mà không có lí luận
hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng. Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là
lí luận suông”. Điều này còn được cụ thể hoá và quy định trong Luật giáo dục nước
ta (năm 2005) tại chương 1, điều 3, khoản 2: “Hoạt động giáo dục phải thực hiện
theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận
gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo
dục xã hội”. Do đó dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay phải gắn liền với
thực tiễn đời sống.
Tuy nhiên thực tế dạy học môn Toán ở bậc Trung học hiện nay, vì nhiều lý do
khác nhau giáo viên Toán thường quan tâm nhiều hơn đến dạy học các tri thức, kĩ
năng thuộc về lý thuyết, mà có phần xem nhẹ thực hành vận dụng, hoặc học sinh

không được tiếp cận tri thức toán học từ những vấn đề có nguồn gốc thực tiễn, ít
được vận dụng tri thức toán vào những vấn đề thực tiễn. Điều này dẫn đến hậu quả
là học sinh nắm các tri thức toán lỏng lẻo, không thấy hết ý nghĩa thực tiễn của
môn Toán, thấy môn Toán khô khan, nặng nề lí thuyết...
Chính vì những lý do nêu trên, đề tài “Dạy học Đại số và giải tích 11-NC theo
hướng rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh THPT’’ được lựa
chọn để nghiên cứu.


1.2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một số định hướng, biện pháp dạy học Đại số và giải tích 11-NC
theo hướng rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh nhằm góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục Toán học cho học sinh THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu về tính thực tiễn và ứng dụng của toán học.
- Thực trạng vấn đề vấn đề vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học
Toán hiện nay.
- Đề xuất một số định hướng, biện pháp nhằm rèn luyện năng lực vận dụng
vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và giải tích 11-NC.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học môn Toán.
- Nghiên cứu chương trình, sách GV, sách giáo khoa môn Toán, các tài liệu đổi
mới phương pháp dạy học môn Toán.
- Nghiên cứu các đề tài có nội dung phù hợp với hướng nghiên cứu của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SƠ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.1.1 Đặc điểm của Toán học.
2.1.1.1 Tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng.
Trong toán học, cái trừu tượng tách khỏi mọi chất liệu của đối tượng, chỉ giữ
lại quan hệ về số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi. Như vậy Toán học có tính trừu

tượng cao độ. Sự trừu tượng của toán học diễn ra trên các bình diện khác nhau. Có
những khái niệm toán học là kết quả sự trừu tượng hóa đối tượng vật chất cụ thể,
chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành. Nhưng cũng có nhiều khái niệm
là kết quả của sự trừu tượng đã đạt được trước đó, chẳng hạn khái niệm nhóm,
vành, trường, không gian véc tơ.
Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể
ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và đời sống: khoa học
tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, y học, sinh học, thiên văn học, tâm lí học…
2.1.1.2. Tính logic và tính thực nghiệm của toán học.
Khi xây dựng toán học, người ta dùng suy diễn logic, cụ thể là phương pháp
tiên đề. Theo phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thủy và các tiên
đề rồi dùng các quy tắc logic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các
mệnh đề khác.


Khi trình bày môn Toán trong nhà trường phổ thông, do đặc điểm lứa tuổi
và yêu cầu của tầng bậc học, cấp học, nói chung là vì lí do sư phạm, người ta có
phần châm chước, nhân nhượng về tính logic: mô tả (không định nghĩa) một số
khái niệm không phải là nguyên thủy, thừa nhận (không chứng minh) một số mệnh
đề không phải là tiên đề … Tuy nhiên, nhìn chung là giáo trình toán phổ thông vẫn
mang tính logic, hệ thống: tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa
vào tri thức trước, tất cả như những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ.
2.1.2. Nguyên lí giáo dục thực hiện trong môn Toán.
2.1.2.1. Làm rõ mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn.
Thông qua cái vỏ trừu tượng của Toán học, phải làm cho học sinh thấy rõ mối
quan hệ của Toán học và thực tiễn, cụ thể:
- Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm,
hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ lưu
vực các con song.
- Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của toán học: khái niệm véc tơ phản ánh những đại

lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc,
lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng nhưng khác
nhau về độ lớn v.v…
- Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của Toán học : ứng dụng lượng giác để đo
những khoảng cách không thể tới được, ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức
thời, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích…Muốn vậy, cần tăng cường
cho HS tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn có trong khi học lí thuyết
cũng như làm bài tập.
2.1.2.2. Dạy cho học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng theo tinh
thần sẵn sàng ứng dụng.
Cần dạy theo cách sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn
sàng vận dụng vào thực tiễn. Muốn vậy, cần tổ chức cho học sinh học Toán trong
hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, được thực hiện
độc lập hay trong giao lưu.
Dạy Toán trong hoạt động và bằng hoạt động của học sinh góp phần thực hiện
nguyên lí “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường
gắn liền với xã hội”.
2.1.2.3. Tăng cường vận dụng và thực hành Toán học.
Trong nội bộ môn Toán, cần cho HS làm toán có nội dung thực tiễn như giải
những bài toán bằng cách lập phương trình, giải toán cực trị, đo những khoảng cách
không tới được bằng các dung những hàm số lượng giác,…
Cần cho HS vận dụng những tri thức và phương pháp Toán học vào những
môn học trong nhà trường.


Tổ chức những hoạt động thực hành Toán học trong nhà trường và ngoài nhà
trường như ở nhà máy, đồng ruộng…
2.1.3. Thực tiễn và mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn.
2.1.3.1.Thực tiễn.
Thực tiễn không phải bao gồm tất cả hoạt động của con người mà chỉ là

những hoạt động vật chất, hoạt động đặc trưng , có mục đích , có ý thức, năng
động, sáng tao. Hoạt động này có sự thay đổi trong các giai đoạn lịch sử khác nhau
và được tiến hành bởi đông đảo quần chúng nhân dân trong xã hội. Con người sử
dụng các phương tiện, công cụ vật chất, sức mạnh vật chất của mình tác động vào
tự nhiên, xã hội để làm biến đổi chúng trong hiện thực cho phù hợp với nhu cầu của
mình và làm cơ sở để biến đổi hình ảnh của sự vật trong nhận thức.
2.1.3.2. Mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn.
Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Số học ra đời trước hết do nhu cầu đếm.
Hình học phát sinh do nhu cầu đo đạc… Toán học có tính trừu tượng cao độ, là kết
quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng vật chất khác nhau xuất phát từ nhu cầu
thực tiễn bao gồm nhu cầu đời sống hàng ngày, nhu cầu của các ngành khoa học
khác và nhu cầu nội tại toán học. Do đó thực tiễn không chỉ là nguồn gốc động lực
cho sự phát triển của toán học mà còn là nơi bộc lộ sức mạnh vốn có của nó. Nói
đến toán học người ta thường nghĩ đến những mệnh đề, định lí… có cấu trúc chặt
chẽ logic. Đó là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng có nguồn gốc từ
thực tiễn.
Ngược lại Toán học có ứng dụng rộng rãi và ngày càng quan trọng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội.
Toán học thúc đẩy mạnh mẽ quá trình tự động hóa trong lao động sản xuất, mở
rộng phạm vi ứng dụng và là công cụ thiết yếu cho mọi khoa học. Trong cuộc sống
ngày nay con người phải đối mặt với nhiều vấn đề thực tế liên quan đến đến toán
học: đo đạc, bài toán kinh tế tối ưu trong công nghiệp, nông nghiệp, giao thông vận
tải, xác suất thống kê : thu thập, phân tích, xử lí số liệu,…Do đó ngay từ khi ngồi
trên ghế nhà trường học sinh cần được rèn luyện năng lực vận dụng toán học vào
thực tiễn. Qua đó học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của mỗi nội dung toán học
mà học sinh được lĩnh hội, tạo được hứng thú và đam mê học toán. Khi bước ra
cuộc sống bắt gặp những tình huống thực tế có liên quan đến toán học, học sinh có
thể linh hoạt, sáng tạo vận dụng kiến thức toán để giải quyết. 2.1.4. Ý nghĩa của
việc vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông.
2.1.4.1. Vận dụng Toán học vào thực tiễn có vai trò quan trọng trong việc thực

hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông.
Để đáp ứng yêu cầu nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, tăng cường bồi
dưỡng cho thế hệ trẻ lòng yêu nước , yêu quê hương và gia đình, tinh thần tự tôn


dân tộc, lí tưởng xã hội chủ nghĩa, lòng nhân ái, ý thức tôn trọng pháp luật, tinh
thần hiếu học, chí tiến thủ lập thân, lập nghiệp. Ngoài những giá trị truyền thống
cần được kế thừa và phát triển như lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, lòng nhân
ái, thái độ quý trọng nhiệt tình lao động, ý thức trách nhiệm, các kĩ năng cơ bản…
còn có những giá trị mới xuất hiện trong quá trình chuyển đổi từ nền kinh tế tập
trung, bao cấp sang kinh tế công nghiệp và kinh tế trí thức như tư duy phê phán khả
năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi, ứng dụng thông tin vào hoàn cảnh
mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, để thích ứng với những thay đổi trong cuộc
sống, năng lực hợp tác và giao tiếp có hiệu quả, năng lực chuyển đổi nghề nghiệp
theo yêu cầu mới của sản xuất và thị trường lao động, năng lực quản lí…Do đó cần
rèn luyện cho học sinh năng lực thích ứng, năng lực hành động, năng lực sống và
làm việc tập thể, cộng đồng, năng lực tự học. Có kĩ năng vận dụng những kiến thức
đã học để giải quyết những vấn đề thường gặp trong cuộc sống bản thân và cộng
đồng.
2.1.4.2. Vận dụng Toán học vào thực tiễn góp phần hoàn thành mục tiêu,
nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông .
Vận dụng Toán học vào thực tiễn góp phần thực hoàn thành tốt mục tiêu dạy
học môn Toán THPT:
- Hoàn thiện một số tri thức và kĩ năng toán học cần thiết cho học sinh.
Vận dụng Toán học vào thực tiễn giúp học sinh hoàn thiện các tri thức: tri thức
phương pháp, tri thức sự vật, tri thức giá trị…Rèn luyện các kĩ năng bao gồm:
+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán học.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác.
+ Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống.
- Vận dụng Toán học vào thực tiễn sẽ góp phần làm rõ mối quan hệ biện chứng

giữa toán học và thực tiễn.
- Vận dụng Toán học vào thực tiễn góp phần hình thành và phát triển các năng
lực trí tuệ.
+ Khả năng quan sát, dự đoán, suy luận hợp lí và suy luận logic.
+ Các thao tác tư duy cơ bản: phân tích, so sánh, tổng hợp.
+ Các phẩm chất tư duy, đặc biệt là tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo.
+ Khả năng diễn đạt chính xác, rõ ràng ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng
người khác.
+ Phát triển trí tưởng tượng không gian.
- Vận dụng Toán học vào thực tiễn nhằm giáo dục về tình cảm và thái độ.
+ Có ý thức tự học, hứng thú và tự tin trong học tập.
+ Có đức tính trung thực, cần cù vượt khó, cẩn thận chính xác, kỉ luật sáng tạo.
+ Có ý thức hợp tác trân trọng thành quả lao động của mình và của người khác.
+ Nhận biết được vẻ đẹp của Toán học và yêu thích môn Toán.
+ Giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội.


2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC
TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG HIỆN
NAY.
Những năm gần đây giáo dục và đào tạo đã có nhiều thay đổi về nội dung sách
giáo khoa, phương pháp dạy học. Sách giáo khoa môn Toán, các tác giả đã tăng
cường hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn, tăng cường mạch toán ứng dụng
trong chương trình. Phương pháp dạy học có nhiều thay đổi theo hướng phát huy
tính tích tực của học sinh, sát thực, trực quan và nhẹ nhàng. Tuy nhiên thực tế việc
dạy học Toán hiện nay vẫn chưa có sự chuyển biến mạnh mẽ. Kiến thức truyền thụ
cho học sinh vẫn mang nặng tính lí thuyết hàn lâm, chưa chú trọng tính ứng dụng
thực tiễn. Học sinh không biết học toán làm gì ? vận dụng kiến thức toán vào chỗ
nào? Học sinh vẫn thấy học toán là khô khan, khó khăn, không thấy được cái hay
cái đẹp của Toán học. Tâm lí thi cử vân còn nặng nề, thi cái gì thì học cái đó. Điều

này dẫn đến không ít giáo viên không coi trong mạch toán ứng dụng, đôi khi còn
cắt giảm chương trình. Chủ yếu rèn cho học sinh các nội dung thi cử, các thủ thuật
làm toán, xa rời thực tiễn. Có chăng giáo viên chỉ đổi mới phương pháp theo hướng
tiếp cận thực tế khi có kiểm tra, thanh tra hay các tiết dự giờ.
Chúng tôi cho rằng những hạn chế trên đây có thể do các nguyên nhân chính
sau:
- Thứ nhất là do khối lượng kiến thức yêu cầu của mỗi tiết học trong phân phối
chương trình khá nhiều. Sách giáo khoa cũng như các tài liệu tham khảo chưa thực
sự quan tâm nhiều đến tính thực tiễn ngoài Toán học mà thông thường chỉ tập trung
vào các ứng dụng trong nội bộ môn Toán.
- Thứ hai là do áp lực và cách đánh giá trong thi cử, kết hợp với bệnh thành tích
trong giáo dục dẫn đến cách dạy và cách học phổ biến hiện nay là “thi gì, học nấy”.
- Thứ ba là khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của GV còn nhiều
hạn chế. Nguyên nhân là do trong quá trình đào tạo của các trường sư phạm GV
chưa được đào tạo một cách có hệ thống về phương pháp dạy học toán theo hướng
vận dụng vào thực tế.
Do đó dạy học toán không tạo được hứng thú, niềm đam mê học toán cho học
sinh. Học sinh không thấy được ứng dụng thực tế của mỗi nội dung toán học mà
học sinh được lĩnh hội. Khi bắt gặp những tình huống thực tế, học sinh thường lúng
túng không biết vận dụng kiến thức toán vào đâu và giải quyết vấn đề gì ? Đây là
những hạn chế cần được nghiên cứu và giải quyết nhằm nâng cao chất lượng và
hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông hiện nay.


2.3. DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO THEO HƯỚNG RÈN
LUYỆN NĂNG LỰC VẬN DỤNG VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH.
2.3.1. Một số định hướng nhằm rèn luyên năng lực vận dụng vào thực tiễn cho
học sinh trong dạy học Đại số và giải tích 11 NC
Định hướng 1: Làm rõ mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn
Trong dạy học GV cần làm cho học sinh thấy được nguồn gốc thực tiễn cũng

như ứng dụng thực tiễn trong đời sống kinh tế xã hội, trong các môn học khác của
mỗi nội dung Toán học mà học sinh được lĩnh hội. Thông qua đó HS thấy được các
hay, cái đẹp của Toán học và tạo được niềm đam mê, hứng thú học Toán của học
sinh.
Định hướng 2. Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn nhằm rèn luyện
năng lực vân dụng, thực hành Toán học.
Phương pháp chung giải bài toán có nội dung thực tiễn.
Bước 1: Toán học hóa nội dung bài toán.
Trong bước này HS phải chuyển từ ngôn ngữ, giả thiết bài toán thực tiễn thành
ngôn ngữ toán học : Các con số, kí hiệu, các phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình, hệ bất phương trình.
Bước 2: Tìm kiếm hướng giải quyết bài toán.
Phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giải hơn. Phải huy động
những kiến thức đã học (Định nghĩa, định lí, quy tắc...) có liên quan đến những
điều kiện, những quan hệ trong bài toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức
gần gũi hơn cả với những dữ kiện bài toán. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những
suy nghĩ có tính chất tìm đoán : Biến đổi cái đã cho, cái phải tìm, liên hệ cái đã cho,
cái phải tìm với những tri thức đã biết. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường
hợp đặc biệt. Sau đó, xét bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho.
Bước 3 : Trình bày lời giải.
Bước 4 : Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
-Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
-Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp giải một loại toán nào
đó.
-Tìm thêm các cách giải khác (nếu có).
-Khai thác các kết quả có thể của bài toán.
-Rút ra kết luận cuối cùng của bài toán thực tiễn : một phương án tối ưu, một kế
hoạch sản xuất, một kết quả đo đạc...Nghiên cứu sâu lời giải, khả năng ứng dụng
thực tiễn của kết quả đó.
-Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán.

Định hướng 3. Rèn luyện năng lực dùng Toán học để giải quyết các vấn đề thực
tiễn cho HS.
Định hướng 4. Cần chú trọng mạch toán ứng dụng có trong chương trình.


2.3.2. Dạy học một số nội dung Đại số và giải tích 11 nâng cao theo hướng rèn
luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh.
2.3.2.1. Chương 1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.
Những kiến thức cần nhớ.
- Hiểu khái niệm hàm số lượng giác y  s inx , y  cos x , y  tan x , y  cot x và tính
chất tuần hoàn của chúng.
- Nắm được sự biến thiên và hình dáng đồ thị của các hàm số lượng giác nêu trên.
- Hiểu cách tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp
giải một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
Những nội dung thực tế cần rèn luyện cho HS.
Nhiều hiện tượng tự nhiên thay đổi có tính chất tuần hoàn như: Chuyển động
các hành tinh, chuyển động guồng nước quay, chuyển động quả lắc đồng hồ, sự
biến thiên của cường độ dòng điện...Để giải quyết các bài toán này có sử dụng các
hàm số lượng giác và các phương trình lượng giác.
Ví dụ 1: Một guồng nước có dạng hình tròn
có bán kính 2, 5m, có trục quay cách mặt
nước 2 m, quay đều mỗi phút một vòng.
Khi guồng quay đều, khoảng cách h(mét) từ
một chiếc gầu gắn từ điểm A của guồng
nước đến mặt nước tính theo công thức
h  y trong đó
� � 1�
�
y  2  2,5sin �
2 �x  �

� với x là thời gian
� � 4�
�
quay của guồng ( x �0 ) tính bằng phút, ta
quy ước y  0 khi gầu ở trên mặt nước, y  0

Hình 1

khi gầu ở dưới nước. Hỏi:
a, Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất?
b, Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất?
c, Chiếc gầu cách mặt nước 2m đầu tiên là khi nào?
Giải:
a,

Chiếc

gầu

ở

vị

trí

thấp

nhất

khi

� � 1�
�
sin �
2 �x  �
� 1
� � 4�
�

:

ta

có:

� � 1�
�
� 1� 
sin �
2 �x  �
 1 � 2 �x  �   k 2 � x  k ( k ��)
�
� 4� 2
� � 4�
�

Điều đó chứng tỏ gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút, 1 phút, 2 phút, ...
b,

Chiếc

gầu

ở

vị

trí

cao

nhất

khi

:

� � 1�
�
1
� 1� 
sin �
2 �x  �
 1 � 2 �x  �  k 2 � x   k (k ��)
�
2
� 4� 2
� � 4�
�

� � 1�
�
sin �
2 �x  �
� 1
� � 4�
�

ta

có:


Điều đó chứng tỏ gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút, 1,5 phút, 2,5 phút,
...
�

1 �

�
�
2 �x  �
c, Chiếc gầu cách mặt nước 2m khi sin �
� 0 ta có:
� � 4�
�
� � 1�
�
1 1
� 1�

sin �
2 �x  �
 1 � 2 �x  � k � x   k ( k ��)
�
4 2
� 4�
� � 4�
�

Do đó lần đầu tiên cách mặt nước 2m khi quay được

1
phút.
4

Hình 2
Ví dụ 2. Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh
Bắc Ninh ) có trò chơi đu. Khi người
đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người đu
dao động qua lại vị trí cân bằng.
Nghiên cứu trò chơi này người ta thấy
khoảng cách h (tính bằng mét) từ
người chơi đến vị trí cân bằng được
biểu diễn qua thời gian t ( t �0 )
được tính bằng giây bởi hệ thức:
h d

trong đó



�
�
d  3cos �  2t  1 �
�3
�

Hình 3
ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu, d < 0 trong
trường hợp trái lại.
a, Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân
bằng nhất.
b, Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân
bằng 2mét.
Giải:




�
�
�
�
a, Người chơi đu xa vị trí cân bằng nhất khi cos �  2t  1 � �1 � sin �  2t  1 � 0
�3
�
�3
�




1
 2t  1  k � t   3k  1 Vì k �� và 0 �t �2 nên k � 0;1
3
2
1
Với k = 0 thì t 
2
Với k = 1 thì t  2
�

Vậy trong 2 giây đầu người chơi đu xa vị trí cân bằng nhất khi t 

1
giây và t  2
2

giây.
b, Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 m khi:



2
2
�
�
�
� 4
�
� 1
3cos �  2t  1 � �2 � cos 2 �  2t  1 � � cos �  2t  1 �  �

 2t  1  �  k 2
3
�3
�
�3
� 9
�3
� 9
3 1 3k
1
t�  
với   arccos( )
4 2 2
9
0
�
t
�
2
k nguyên để
nên:
3 1 3k
1 

1
Với t   
ta có   �k �1 
ta chọn   arccos( ) �1, 682 khi đó
4 2 2
3 2

2
9
0, 601  k  0, 732 � k  0 và t �0,90
3 1 3k
1 

1
Với t    
ta có   �k �1 
ta chọn   arccos( ) �1, 682 khi đó
4 2 2
3 2
2
9
0, 066  k  1, 267 � k � 0;1

Với k = 0 thì t �0,10
Với k = 1 thì t �1, 60
Vậy trong khoảng 2 giây đầu tiên có 3 thời điểm người chơi đu cách vị trí cân bằng
2 m là t �0,90 ; t �0,10 ; t �1, 60
2.3.2.2. Chương 2. Tổ hợp và xác suất.
Những kiến thức cần nhớ.
- Nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân.
- Hiểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Đặc biệt thấy rõ mối liên hệ
và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp. Nhớ các công thức tính hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp.
- Nhớ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
- Nắm được các khái niệm phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho một
biến cố.
- Nắm vững cách tính xác suất cổ điển, quy tắc cộng và nhân xác suất

- Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của
nó là kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. Nhớ công thức tính kì vọng, phương sai,
độ lệch chuẩn.
Những nội dung thực tế cần rèn luyện cho HS.
Những bài toán thực tiễn liên quan đến tổ hợp.


Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xác định số
phần tử của một tập hợp hoặc phải tính xem khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu
nhiên là bao nhiêu. Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ thực tiễn về tổ hợp:
Những bài toán thực tiễn liên quan đến đếm số phương án.
Ví dụ 3. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố
danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về
con người, 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn 1 đề tài. Hỏi mỗi thí
sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?
Giải:
Mỗi thí sinh được quyền chọn 1 đề tài nên có: 8+7+10+6=31 (cách)
Ví dụ 4. Một người đi từ Thái Nguyên về Hà Nội và từ Hà Nội vào thành phố
Hồ Chí Minh. Biết từ Thái Nguyên về Hà Nội có thể đi bằng ôtô, tàu hỏa, xe máy.
Từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh có thể đi bằng ôtô, tàu hỏa, xe máy, mày
bay. Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ Thái Nguyên đến thành phố Hồ Chí Minh. Biết
để đi từ Thái Nguyên đến thành phố Hồ Chí Minh phải đi qua Hà Nội.
Giải:
Ta thấy có 3 cách đi từ Thái Nguyên về Hà Nội ,ứng với mỗi cách đi đó có 4 cách
đi từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh .
Vậy số cách đi từ Thái Nguyên đến thành phố Hồ Chí Minh là: 3.4=12 (cách)
Những bài toán thực tiễn liên quan đến thành lập số từ các số cho trước
Ví dụ 5. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ
số sao cho
a, Các chữ số đều khác nhau.

b, Chữ số đầu tiên là 3.
c, Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4.
Giải:
a, Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập
5 của 7 phần tử suy ra Có A75  2520 số
b, Gọi số cần lập là abcde
b, c, d, e đều có 7 cách chọn
Có 1.7.7.7.7 = 2401 số.
c, Gọi số cần thiết lập là abcde
Chữ số cuối cùng khác 4 suy ra e có 6 cách chọn (trừ số 4)
a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
Có 6.6.5.4.3 = 2160 số.
Ví dụ 6. Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5
chữ số khác nhau.
Giải


Gọi số cần thiết lập là abcde
Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Chọn e = 0 suy ra e có 1 cách chọn
Khi đó a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn
Có 6.5.4.3 = 360 số.
Trường hợp 2: Chọn e � 2; 4;6 suy ra e có 3 cách chọn
Khi đó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e
b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
Có 3.5.5.4.3 = 900 số. Vậy có 360 + 900 = 1260 số
Những bài toán thực tiễn của tổ hợp có liên quan đến yếu tố hình học
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5
đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó không
có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam
giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành).
Giải
a, Mỗi tam giác được tạo thành bởi ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau
Số tam giác là 4.5.6 = 120
b, Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng
thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại
Số hình thang là : C42 .C51.C61  C41.C52 .C61  C41.C51.C62  720 hình thang
Những bài toán thực tiễn liên quan đến xác suất.
Ví dụ 8. Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi
vàng, 1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố
a, 2 viên lấy ra màu đỏ
b, 2 viên bi một đỏ,1 vàng
c, 2 viên bi cùng màu
Giải
n     C102

A là biến cố a, B là biến cố b, C là biến cố c.
C42
a, n  A   C � P  A   2
C10
2
4

C41 .C21
b, n  B   C .C � P  B   2
C10
1
4

1
2

c, U là biến cố 2 viên đỏ, V là biến cố 2 viên xanh,W là biến cố 2 viên vàng . U , V,
W là các biến cố đôi một xung khắc:


P  C   P  U   P  V   P  W 

C42 C32 C22 2



C102 C102 C102 9

Ví dụ 9. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi: “Chúc mừng
bạn đã trúng thưởng xe FORD”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp
khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.
Giải:
Gọi A là biến cố nắp khoen đầu trúng thưởng.
P ( A) 

2
20

B là biến cố nắp khoen thứ hai trúng thưởng.
C là biến cố cả 2 nắp đều trúng thưởng.
Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng.
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng.
P (B/ A) 

1
19

Từ đó ta có: P(C )  P( A).P( B / A) 

2 1
. �0, 0053
20 19

Vậy xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là 0,0053.
2.3.2.3. Chương 3. Dãy số, cấp số cộng cấp số nhân.
Những kiến thức cần nhớ.
- Nắm được phương pháp quy nạp toán học
- Hiểu các khái niệm : dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi, dãy số bị
chặn .
- Nắm được cách cho một dãy số, các
phương pháp đơn giản khảo sát tính tăng
giảm của một dãy số.
- Nắm vững các khái niệm: cấp số cộng,
cấp số nhân
-Nắm vững công thức xác định số hạng
tổng quát và công thức tính tổng n số hạng
đầu tiên của một cấp số cộng, một cấp số

nhân.
Những nội dung thực tế cần rèn luyện
cho HS.
Ví dụ 10. Thỏ đẻ con dẫn đến dãy số Fibonacci:
Hình 4
Một nông dân mua một đôi thỏ để nuôi. Tháng đầu tiên đôi thỏ ấy sinh được
một đôi thỏ con, tháng thứ hai sinh một đôi nữa và dừng lại. Các đôi thỏ con đến
lượt mình lại sinh 2 đôi khác (mỗi tháng sinh một đôi) rồi cũng dừng lại. Hỏi cứ
mỗi tháng người nông dân có bao nhiêu đôi thỏ?


Đôi thỏ bố mẹ : 1 đôi; Thế hệ thứ nhất: 1 đôi; Thế hệ thứ 2: 2 đôi; Thế hệ thứ 3:
3 đôi; Thế hệ thứ 4: 5 đôi; Thế hệ thứ 5: 8đôi; Thế hệ thứ 6: 13 đôi; Thế hệ thứ 7:
21 đôi
Để trả lời câu hỏi này, ta có sơ đồ các đôi thỏ kể từ đôi thỏ mua về đầu tiên
Trước hết viết số 1 cho đôi thỏ mua về và một số 1 nữa cho đôi thỏ con sinh ở
tháng thứ nhất (thế hệ F1). Tháng thứ 2 cả 2 đôi thỏ này đều sinh con nên phải viết
số 2 (thế hệ F2). Đến đây đôi thỏ người nông dân mua ban đầu ngừng sinh.
Tháng tiếp theo thế hệ F1 sinh 1đôi, thế hệ F2 sinh 2 đôi thế nên thế hệ F 3 có 3 đôi
nên có 5 đôi thế hệ F4. Như vậy mỗi tháng chỉ có 2 thế hệ sau cùng sinh đẻ, nên số
thỏ tiếp theo là tổng của số thỏ sau cùng cộng lại. Những số được lập thành như
vậy được gọi là dãy số Fibonacci (Fibonacci là biệt danh của Léonard Pisano-nhà
toán học người Ý)
Ví dụ 11. Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các kỹ sư được tuyển dụng. Công
ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là:
Phương án 1: người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và
kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm
Phương án 2: người lao động sẽ nhận được nhận 7 triệu đồng cho quí đầu tiên và
kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quí .
Nếu bạn là người lao động bạn sẽ chọn phương án nào?

Giải
Phương án 1: đó là cấp số cộng với số hạng đầu u1 =36 triệu và công sai d = 3
triệu
Phương án 2: đó là cấp số cộng với số hạng đầu u1 =7 triệu và công sai d =
0,5triệu
Vậy theo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận được là:
S10 =(72+9.3).5=195 triệu.
Theo phương án 2: tổng số tiền mà người lao động nhận được là
S40 =(14+39.0,5)20=670 triệu.
Vậy nếu nguời lao động chọn phương án 2 để nhận lương thì số tiền lương sẽ cao
hơn.
Ví dụ 12. Để chuẩn bị một trò chơi, giáo viên thành hai đội công bố luật chơi và
yêu cầu học sinh chuẩn bị thóc để chơi. Luật chơi như sau:
Giáo viên có một bàn cờ vua gồm 64 ô vuông, đội nào bốc thăm đi trước sẽ đặt
một hạt thóc vào ô thứ nhất, đội kia sẽ đặt 2 hạt ở ô thứ 2. Cứ tiếp tục như vậy 2
đôi sẽ thay phiên nhau và số hạt thóc đặt ở ô sau cứ gấp đôi ô trước đó. Đội nào hết
thóc trước khi đến ô cuối cùng thì sẽ thua cuộc.
Giải.
a. Phương án 1: chuẩn bị lượng thóc để đặt vào 64 ô
Số hạt thóc mà giáo viên đặt vào mỗi ô của bàn cờ tuân theo một cấp số nhân với
công bội là q = 2, u1 = 1


Số hạt thóc mà học sinh cần chuẩn bị chính là tổng số hạt thóc cần dùng để đặt vào
64 ô của bàn cờ.
Theo công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân ta có:
S64 = 264-1 (hạt)
Lúc đó học sinh có thể ước lượng về khối lượng thóc học sinh cần mang đi. Để làm
điều này học sinh cân thử 1 lượng thóc nhất định và suy ra khối lượng của 2 64-1
hạt. Giả sử 100 hạt nặng 20g thì khối lượng thóc cần chuẩn bị là:

m

264  1
.20  3, 69.1018 g  3690 tỉ tấn
1000

Làm theo phương án này vừa thừa thóc mặt khác lại không chuẩn bị được do số
thóc quá lớn.
b. Phương án 2 : tính lượng thóc chuẩn bị cho cả hai trường hợp đi trước hoặc đi
sau. Sau đó chuẩn bị lượng thóc ở trường hợp nhiều hơn.
Trường hợp 1: nhóm học sinh đi trước:
Khi đó số thóc học sinh đặt vào ô vuông bàn cờ trong mỗi lần đi lần lượt là: 1, 4,
16, …
Ta thấy dãy số trên lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q
= 4 và ô cuối cùng mà nhóm này đặt thóc chính là ô 63 của bàn cờ.
Do vậy số thóc học sinh cần chuẩn bị chính là tổng của

63  1
 32 số hạng đầu tiên
2

1  432
�6,15.1018 hạt thóc.
1 4
20
 1, 23.1018 �1230 tỉ tấn
Khối lượng thóc tương ứng là: m  6,15.1018.
100

của cấp số nhân trên: S32 

Trường hợp 2: nhóm học sinh đi sau. Khi đó số thóc học sinh đặt vào
các ô vuông bàn cờ trong mỗi lượt đi lần lượt là: 2, 8, 32,...
Dãy số trên cũng là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 2 , công bội q = 4 vầ ô cuối
cùng mà nhóm học sinh này bỏ thóc vào là ô vuông 64 của bàn cờ.
Do đó số thóc học sinh cần chuẩn bị chính là tổng của 32 số hạng đầu tiên của cấp
số nhân trên: S32  2.

1  432
�12,3.1018 hạt.
1 4

Khí đó khối lượng thóc tương ứng là:
m  12,3.1018.

20
�2460 tỉ tấn.
100

Vậy học sinh phải chuẩn bị 2460 tỉ tấn thóc để tham gia trò chơi. Ta thấy rằng số
thóc này quá lớn nên cũng như phương án 1 thì học sinh không thể nào chuẩn bị đủ
lượng thóc để chơi trò chơi này.
2.3.2.4.Chương 4. Giới hạn
Những kiến thức cần nhớ.
- Định nghĩa dãy số có giới hạn 0.


- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
- Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực.
- Định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của hàm số.

- Các định lý và quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và giới hạn một bên
của dãy số và hàm số.
- Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn
- Một số tính chất quan trọng của hàm số liên tục.
Những nội dung thực tế cần rèn luyện cho HS.
Ví dụ 13. Trong quân sự có bài toán vết đạn ở trường bắn:
ta tượng tượng mỗi vết đạn trên mục tiêu ở trường bắn như
một điểm đựơc đánh dấu bởi số thứ tự của nó. Những hình
tròn của mục tiêu và cuộc thi bắn được xem như kéo dài vô
hạn. Ta gọi những phần tử được đánh số của tập hợp các vết
đạn là các số hạng của một dãy. Như vậy dãy là một tập vô
hạn các phần tử được đánh số.
Nếu tiếp tục theo dõi cuộc thi bắn thì sẽ tìm ra những hình
Hình 5
ảnh để nói về dãy số và về giới hạn.
- Với xạ thủ giỏi, dù lấy hình tròn nhỏ bao nhiêu, bắt đầu từ một lần bắn nào đó trở
đi các vết đạn tiếp sau đều rơi vào hình tròn đó. Theo cách nói của Toán học có
nghĩa là dãy các vết đạn hướng tới tâm bia, tâm bia là giới hạn của các vết đạn
- Còn với xạ thủ còn non kinh nghiệm thì dù chọn trước hình tròn có bán kính nào
đó bao gio cũng có một viên đạn có số thứ tự lớn hơn nằm ngoài giới hạn của hình
tròn đã trọn. Theo cách nói của Toán thì dãy các vết đạn không dần tới tâm hình
tròn
Ví dụ 14. Nên chia kẹo cho các cậu bé như thế nào? Tất nhiên là phải cậu một nửa
- mình một nửa.
Người có kẹo phải chia nó làm hai phần bằng nhau để cho bạn. Phần thu được cũng
phải chia làm đôi để phân cho bạn của mình. Cứ như vậy có thể chia cái kẹo thành
một phân số tùy ý, độ lớn của các phần chia liên tiếp giảm dần tới không: Một cái
kẹo, nửa cái kẹo, phần tư cái kẹo, phần tám, phần mười sáu và cứ như vậy cái kẹo
ban đầu cứ thế nhỏ dần, dù cho trước một độ lớn nào, bắt đầu từ một phần chia nào
đó tất cả các phần chia tiếp sau sẽ nhỏ hơn độ lớn cho trước.

Hình 6
Sự kiện này được diễn đạt một cách chặt chẽ theo Toán học như sau: Sự dần tiến tới
không có nghĩa là với một lân cận nhỏ tùy ý của 0 ( Độ dài thường được biểu thị
bằng  ) bao giờ cũng tìm được một số thứ tự mà mọi số hạng có số thứ tự lớn hơn
của dãy phải nằm trong lân cận đó
Ví dụ 15. : Giới hạn về năng lượng thể thao của con người


Trong [23, tr.154] sgk Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao có trình bày (không
chứng minh) định lý: “ Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”. Bây
giờ ta liên hệ định lý này vào lĩnh vực thể thao.
Cách đây không lâu thì thành tích mà các vận động viên chạy 100m cần cố
gắng là 9s và bây giờ đã đạt được. Có thể khẳng định một nhà quán quân tương lai
nào đó sẽ rút ngắn được thời gian thêm 1 đến 2 giây. Ta xem kỷ lục về chạy cự li
100m như các số hạng của một dãy số nào đó. Nhà toán học gọi nó là dãy đơn điệu.
Nếu khẳng định được rằng không có ai có thể chạy 100m ít hơn 2 giây thì ta nói
rằng các số hạng của dãy số của chúng ta bị chặn ở dưới. Theo định lý trên thì trên
bậc thang kết quả chạy 100m có một mốc mà dãy các kỉ lục sẽ dần tới. Dù chọn
một lân cận nhỏ tùy ý của mốc, mọi số hạng của dãy bắt đầu từ một số hạng nào đó
sẽ nằm trong lân cận. Dãy các kỷ lục có thể dần tới giới hạn mà không đạt tới giới
hạn đó. Kỷ lục hôm nay khác với giới hạn một phần mười giây thì kỉ lục tiếp sau sẽ
có thể khác năm phần trăm, kỉ lục tiếp theo khác một phần trăm, tiếp theo nữa là
một phần nghìn và mỗi kết quả đứng sau là một kỉ lục vì nó nhỏ hơn kết quả đứng
trước. Ta nói dãy số các kỷ lục chạy 100m của con người có giới hạn
Ví dụ 16. Chiều cao của con người:
Cứ mỗi lần sinh nhật con người cha lại đánh dấu chiều cao và cẩn thận ghi
chiều cao vào bên cạnh. Qua năm tháng, cậu bé lớn dần lên đã tạo nên một bậc
thang toàn bộ các vạch dấu trên khung cửa. Đó là dãy các độ tăng chiều cao từ năm
này qua năm khác. Các vạch dấu trên khung cửa xích lại gần nhau và đến một thời

gian nào đó chúng ngừng tăng. Nói theo Toán học thì dãy các chiều cao ghi trên
khung cửa có giới hạn và dãy các độ tăng chiều cao của con người từ năm này qua
năm khác giảm dần đến không
Ví dụ 17. : Người bán hàng còn thiếu kinh nghiệm cân hàng:
Sau 2 lần xúc và đưa gói đường lên cân nhưng đường quá nhiều phải xúc bớt
ra. Xúc một nửa muôi ra và gói đường lại được đặt lên cân. Lần này thì số đường
lại ít hơn. Lại xúc vào, lại thừa lại xúc ra, khối lượng đường trước mỗi lần cô bán
hàng thêm vào hoặc bớt ra lập thành một dãy. Các số hạng của dãy này khi thì
“dương” (lúc cô bán hàng xúc đường ra) khi thì “âm”(lúc thêm vào). Theo cách nói
của Toán học, dãy này tiến dần tới giới hạn do người mua đường định trước.
2.3.2.5. Chương 5. Đạo hàm
Những kiến thức cần nhớ.
- Nắm vững định nghĩa, ý nghĩa đạo hàm;
- Nhớ các quy tắc và công thức tính đạo hàm.
- Nắm được định nghĩa vi phân, công thức tính gần đúng nhờ vi phân.
- Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp cao và ứng dụng trong cơ học của đạo hàm
cấp hai.
Những nội dung thực tế cần rèn luyện cho HS.


Đạo hàm là công cụ rất quan trọng trong việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của hàm số. Bài toán cực trị là một trong các dạng toán gần gũi với cuộc sống.
Vì vậy, trong dạy học nói chung và dạy học Toán nói riêng, cần phải tập dượt và
rèn luyện cho học sinh thói quen có ý thức luôn tìm cách để đạt tới cực trị trong học
tập, lao động sản xuất và đời sống. Chẳng hạn tìm cách để tiết kiệm nguyên liệu ít
nhất, giá thành thấp nhất, chất lượng sản phẩm tốt nhất, …
Trên cơ sở những cuộc tập dượt ở nhà trường mà một phần chủ yếu là những bài
toán có nội dung thực tiễn” .Do vậy trong quá trình dạy học đạo hàm giáo viên nên
tăng cường đưa vào những bài toán cực trị gắn liền với thực tiễn để đạt được mục
đích trong quá trình dạy học.

Ví dụ 18. Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có thiết diện
ngang hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kíchthước của miếng
phụ để sử dụng khối gỗ một cách tốt nhất (tức là diện tích sử dụng theo tiết diện
ngang lớn nhất).
Giải:
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều dài miếng phụ và d là
đường kính của khúc gỗ
Ta có thiết diện ngang của thanh xà có cạnh là:



d
d 2 2
và 0  x 
2
4



; 0 y

d
2

Hình 7
Theo bài ra ta có hình chữ nhật ABCD như hình vẽ bên Áp dụng định lý Pitago ta
có:
2

d � 2

1
�
2
2x 
d 2  8x 2  4 2 x
�
� y  d � y 
2�
2
�

Suy ra diện tích mỗi miếng phụ là:
0 x



d 2 2

S  S (x) 



1
x d 2  8x2  4 2 x
2

với

4

Ứng dụng đạo hàm ta có S lớn nhất khi x 

34  3 2
16

Ví dụ 19.Trong lĩnh vực thủy lợi, cần xây dựng nhiều
mương dẫn nước dạng “Thủy động học‟‟(ký hiệu diện
tích tiết diện ngang của mương là s và độ dài đường
biên giới hạn của tiết diện này là l và l - đặc trưng cho
khả năng thấm nước
Hình 8
của mương; mương được goi là có dạng thủy động học nếu với s xác định và l nhỏ
nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng
thủy động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật).


Giải.
Gọi x , y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của mương. Theo bài ra ta
có: S  x. y; l  2 y  x 

2S
x
x

2S
2 S
x 2  2S
 x ta có l ' ( x)  2  1 
x
x

x2
S
S
l ' ( x)  0 � x 2  2S  0 � x  2 S khi đó y  
.
x
2

Xét hàm số l ( x) 

2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG
GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN , ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG
Dạy học Đại số và giải tích 11 NC theo định hướng rèn luyện năng lực vận
dụng vào thực tiễn cho học sinh THPT góp phần rèn luyện cho học sinh kĩ năng
giải các bài toán có nội dung thực tiễn có trong chương trình, bước đầu rèn luyên
khả năng toán học hoá các tình huống thực tế : Xây dựng các bài toán có nội dung
thực tiễn. Qua đó học sinh không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn thấy được
ứng dụng thực tiễn của Toán học trong mọi lĩnh vực đời sống kinh tế xã hội. Tạo
cho học sinh niềm đam mê và hứng thú học tập môn Toán và góp phần tích cực đổi
mới phương pháp dạy học.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN
Đề tài đã thu được những kết quả chính sau đây:
- Làm sáng tỏ đặc điểm của Toán học, vai trò của Toán học đối với khoa học kĩ
thuật và đời sống thực tiễn.
- Làm rõ mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn trong dạy học Toán. Ý
nghĩa của việc vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ
thông.
- Nhận xét về thực trạng của vấn đề vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học
Toán ở trường phổ thông hiện nay.

- Đề xuất một số định hướng và các ví dụ minh họa nhằm rèn luyên năng lực vận
dụng vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và giải tích 11-NC.
Hạn chế của đề tài:
- Do hạn chế về thời gian và kinh nghiệm đề tài mới chỉ dừng lại ở việc hệ thống và
phân tích một số định hướng và các ví dụ minh họa có trong chương trình Đại số và
giải tích 11-NC, chưa mang tính bao quát, chưa đưa ra được các ví dụ mới có nội
dung thực tiễn.
- Chưa thực nghiệm sư phạm một cách đầy đủ và khoa học nên kết quả thực
nghiệm chỉ có thể đưa ra những nhận xét, đánh giá một cách khái quát.


3.2. KIẾN NGHỊ
- Tăng cường những bài toán có nội dung thực tiễn trong SGK, sách bài tập, sách
tham khảo. Cần đưa các dạng toán trên vào nội dung kiểm tra thường xuyên, thi tốt
nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng...để GV và HS ý thức được việc dạy và học Toán
gắn liền với thực tiễn.
- Phân phối chương trình môn Toán cần thay đổi hợp lí nhằm dành nhiều thời gian
cho luyện tập. Thực tế dạy Toán hiện nay khối lượng kiến thức yêu cầu của mỗi tiết
học trong phân phối chương trình khá nhiều do đó không đủ thời gian để học sinh
thấy được ý nghĩa thực tiễn của mỗi nội dung toán học mà HS được lĩnh hội.
- Tăng cường trang bị cho các nhà trường những phương tiện dạy học hiện đại,
những mô hình trực quan gắn liền với thực tiễn đời sống. Bên cạch đó mỗi GV cần
đầu tư thời gian và tâm huyết tìm tòi, sáng tạo đổi mới phương pháp dạy học theo
hướng vận dụng vào thực tiễn.
- Trong quá trình đào tạo của các trường sư phạm GV cần được đào tạo một cách
có hệ thống về phương pháp dạy học Toán theo hướng vận dụng vào thực tiễn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), và các tác giả khác (2007), Đại số và giải tích 11,
NXB Giáo dục, Hà Nội.
2. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), và các tác giả khác (2007), Sách giáo viên Đại số

và giải tích 11, NXB Giáo dục, Hà Nội.
3. Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư
phạm, Hà Nội.
4. Bộ giáo dục và đào tạo (2003), Triết học ( tập 3), NXB Chính trị Quốc gia, Hà
Nội.
5. Nguyễn Nhất Lang (2003), Tuyển tập các bài Toán thực tế hay và kho, NXB Đà
Nẵng, Đà Nẵng.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Hà Trung, ngày 05 tháng 05 năm 2019
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Mai Đức Tài