Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN
TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

TR†N ĐÙC DŨNG

V— KIšU ĐA THÙC DÃY VÀ CHŸ SÈ KHƒ QUY
CÕA MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

LUŠN ÁN TI˜N SĨ TOÁN HÅC

Thái Nguyên - 2019


Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN
TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

TR†N ĐÙC DŨNG

V— KIšU ĐA THÙC DÃY VÀ CHŸ SÈ KHƒ QUY
CÕA MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Фi sè và Lý thuy¸t sè
Mã sè: 9 46 01 04

LUŠN ÁN TI˜N SĨ TOÁN HÅC

Tªp thº hưîng d¨n:
GS.TSKH. Nguy¹n Tü Cưíng
GS.TS. Lê Thà Thanh Nhàn

Thái Nguyên - 2019

i

Túm t-t
Cho (R, m) l mởt vnh giao hoỏn, Noether a phng. Cho
M l mởt R-mụun hỳu hÔn sinh chiãu d v A l mởt R-mụun Artin.
Luên ỏn têp trung nghiờn cựu hai vĐn ã. Thự nhĐt, chỳng tụi
giợi thiằu khỏi niằm kiu a thực dóy cừa M, kớ hiằu l sp(M), o
tớnh khụng Cohen-Macaulay dóy cừa M. Chỳng tụi chựng minh rơng
sp(M) chớnh l chiãu cừa qu tớch khụng Cohen-Macaulay dóy cừa M
náu R l thng cừa vnh Cohen-Macaulay a phng. Chỳng tụi
cng nghiờn cựu sỹ thay ời cừa kiu a thực dóy cừa M qua Ưy ừ
húa, qua a phng húa cng nh tớnh khụng tng cừa sp(M/xM)
khi x l mởt phƯn tỷ tham số. Chỳng tụi tớnh toỏn sp(M) thụng qua
cỏc mụun khuyát thiáu cừa M.
VĐn ã nghiờn cựu thự hai l vã ch số khÊ quy cừa mụun Noether
hoc mụun Artin. Trợc hát, chỳng tụi a ra chn ãu cho ch số khÊ
quy cừa cỏc iờan tham số tốt khi kiu a thực dóy cừa mụun Noether
M

l nhọ. Sau ú, chỳng tụi so sỏnh ch số khÊ quy cừa mụun con cừa

M

v ch số khÊ quy cừa ối ngău Matlis cừa mụun thng tng

ựng cừa M.
Luên ỏn ủc chia thnh ba chng. Chng 1 dnh nh-c lÔi mởt
số kián thực c s nh mụun ối ỗng iãu a phng, biu diạn thự cĐp
cừa mụun Artin, kiu a thực, mụun Cohen-Macaulay, mụun CohenMacaulay suy rởng, mụun Cohen-Macaulay dóy v mụun Cohen-

ii

Macaulay suy rởng dóy.
Trong Chng 2, chỳng tụi giợi thiằu khỏi niằm kiu a thực
dóy cừa M, kớ hiằu l sp(M), thụng qua kiu a thực cừa cỏc mụun
thng trong lồc chiãu. Chỳng tụi nghiờn cựu kiu a thực dóy dợi
tỏc ởng a phng húa v Ưy ừ m-adic. Tiáp theo, chỳng tụi
nghiờn cựu mối quan hằ giỳa sp(M) v sp(M/xM) vợi x l phƯn tỷ
tham số cừa M. Khi R l thng cừa vnh Gorenstein a phng,
chỳng tụi tớnh toỏn kiu a thực dóy cừa M thụng qua chiãu v kiu
a thực cừa cỏc mụun khuyát thiáu cừa M.
Trong Chng 3, chỳng tụi nghiờn cựu mởt số vĐn ã vã ch số khÊ
quy cừa mụun. Trợc hát, chỳng tụi a ra cụng thực chn ãu cho
ch số khÊ quy cừa cỏc iờan tham số tốt q cừa M vợi sp(M) 1. PhƯn
cuối cừa Chng dnh nghiờn cựu ch số khÊ quy cừa mụun Artin v
a ra sỹ so sỏnh giỳa ch số khÊ quy cừa mụun con cừa M vợi ch số
khÊ quy cừa ối ngău Matlis cừa mụun thng tng ựng cừa M.


iii

Lới cam oan
Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cựu cừa tụi. Cỏc kát quÊ viát
chung vợi cỏc tỏc giÊ khỏc ó ủc sỹ nhĐt trớ cừa cỏc ỗng tỏc giÊ
trợc khi a vo luên ỏn. Cỏc kát quÊ ủc nờu trong luên ỏn l trung
thỹc v cha tứng ủc ai cụng bố trong bĐt k cụng trỡnh no khỏc.

Tỏc giÊ

TrƯn ực Dng


iv

Lới cÊm n
Tụi xin ủc by tọ lũng biát n án ThƯy tụi: GS. TSKH Nguyạn Tỹ
Cớng. ThƯy ó dỡu d-t tụi tứ nhỳng bợc chêp chỳng Ưu tiờn trờn con
ớng nghiờn cựu khoa hồc, hợng dăn tụi tứ khi tụi lm luên vn thÔc s
v giớ õy l luên ỏn tián s. Phng phỏp ồc sỏch, cỏch phỏt hiằn v
giÊi quyát vĐn ã, nhỳng ý tng toỏn hồc m ThƯy ch bÊo ó giỳp tụi
trng thnh hn trong nghiờn cựu v hon thnh luên ỏn ny. Trong
cụng viằc, ThƯy luụn nghiờm kh-c vợi hồc trũ, trong cuởc sống thƯy luụn
dnh cho hồc trũ cừa mỡnh nhỳng tỡnh cÊm Đm ỏp v sỹ yờu thng.
Bờn cÔnh nhỳng kián thực toỏn hồc, ThƯy nh ngới cha dÔy cho tụi biát
cỏch lm ngới tỷ tá v sống nhõn hêu.

Tụi xin by tọ lũng biát n án Cụ tụi: GS.TS. Lờ Th Thanh
Nhn. Cụ l tĐm gng vã sỹ nộ lỹc trong gian khú v cựng l ngới
ó truyãn cÊm hựng cho tụi vã Toỏn hồc núi chung cng nh Ôi số
giao hoỏn núi riờng khi tụi cũn ngỗi trờn giÊng ớng Ôi hồc. Cụ ó
bọ ra rĐt nhiãu cụng sực v sỹ kiờn nhăn khụng ch dăn d-t, giÊng
dÔy cho tụi vã kián thực, kinh nghiằm v t duy cừa ngới lm Toỏn,
m cũn luụn tÔo iãu kiằn, giỳp ù cho tụi trong cụng viằc, trong cuởc
sống. Sỹ tên tõm vợi nghã, vợi hồc trũ cừa cụ s l cỏi ớch tụi noi
theo v phĐn Đu.
Luên ỏn ủc hon thnh dợi sỹ hợng dăn tên tỡnh cừa hai
ngới ThƯy: GS. TSKH Nguyạn Tỹ Cớng v GS.TS. Lờ Th Thanh

v

Nhn. Mởt lƯn nỳa, tụi xin tọ lũng biát n sõu s-c án ThƯy Cụ v s cố
g-ng hn nỳa xựng ỏng vợi cụng lao cừa ThƯy Cụ.
Tụi xin chõn thnh cÊm n Ban Giỏm hiằu, Ban chừ nhiằm
Khoa Toỏn - Tin, Phũng Sau Ôi hồc, trớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi
hồc Thỏi Nguyờn ó tÔo iãu kiằn thuên lủi nhĐt, phự hủp nhĐt tụi
vứa hon thnh viằc hồc têp, vứa Êm bÊo cụng viằc giÊng dÔy cừa
mỡnh tÔi Trớng.
Tụi xin cÊm n PGS.TS PhÔm Hựng Quý, TS on Trung
Cớng, TS TrƯn Nguyờn An, TS TrƯn ộ Minh Chõu ó dnh cho tụi
nhỳng tỡnh cÊm thõn thiát v giÊi ỏp nhiãu th-c m-c chuyờn mụn cho
tụi trong suốt chng ớng di tụi lm NCS. Xin cÊm n cỏc anh ch
nhúm Ôi số giao hoỏn Thỏi Nguyờn vã nhỳng trao ời quý bỏu
trong quỏ trỡnh lm luên ỏn.
Cuối cựng, tụi xin ủc by tọ sỹ biát n vụ hÔn tợi Bố, Mà. c
biằt l Vủ PhÔm Thựy Linh v cụng chỳa nhọ TrƯn PhÔm Ngõn
Khỏnh, nhỳng ngới ó luụn hy sinh rĐt nhiãu, luụn lo l-ng, mong mọi
tụi tián bở tứng ngy, tứng thỏng. Luên ỏn ny tụi xin ủc dnh tng
cho nhỳng ngới m tụi yờu thng.
Tỏc giÊ
TrƯn ực Dng


1

Mửc lửc

M Ưu
Chng 1. Kián thực chuân b

1.1 Mụun ối ỗng iãu

1.2 Mụun Cohen-Macaula

1.3 Mụun Cohen-Macaula

suy rởng dóy . . . . . . . .
Chng 2. Kiu a thực dóy cừa mụun

2.1 Lồc chiãu v dóy lồc ch

2.2 Kiu a thực dóy qua

2.3 Mối quan hằ giỳa sp(M
tham số . . . . . . . . . . .

2.4 Tớnh chĐt ỗng iãu cừa
Chng 3. Ch số khÊ quy cừa mụun
3.1

Ch số khÊ quy cừa mụ

3.2

Ch số khÊ quy vợi kiu

3.3

Ch số khÊ quy cừa mụ

Kát luên

Ti liằu tham khÊo

89


2

M Ưu

Cho (R, m) l mởt vnh giao hoỏn, Noether a phng vợi
iờan cỹc Ôi duy nhĐt m v M l mởt R-mụun hỳu hÔn sinh chiãu
d. Ta luụn cú depth M dim M. Khi depth M = dim M thỡ mụun M
ủc gồi l mụun Cohen-Macaulay. Lợp mụun Cohen-Macaulay
úng vai trũ trung tõm trong Ôi số giao hoỏn v xuĐt hiằn trong
nhiãu lnh vỹc nghiờn cựu khỏc nhau cừa Toỏn hồc nh Hỡnh hồc Ôi
số, Lý thuyát Tờ hủp, Lý thuyát bĐt bián...
Chỳ ý rơng M l Cohen-Macaulay khi v ch khi `(M/xM) = e(x;
M) vợi mởt (v vợi mồi) hằ tham số x cừa M. Mởt trong nhỳng m rởng
quan trồng cừa lợp mụun Cohen-Macaulay l lợp mụun Buchs-baum
do J. Stuăckrad v W. Vogel [49] giợi thiằu, ú l lợp cỏc mụun M thọa
món giÊ thuyát t ra bi D.A. Buchsbaum: `(M/xM) e(x; M) l hơng
số khụng phử thuởc hằ tham số x. Sau ú, N.T. Cớng, P. Schenzel v
N.V. Trung [48] ó giợi thiằu lợp cỏc mụun M thọa món supx(`(M/xM)
e(x; M)) < , ủc gồi l mụun Cohen-Macaulay suy rởng. Nm
1991, N.T. Cớng [5] ó giợi thiằu khỏi niằm kiu a thực cừa M, kớ hiằu
l p(M), o tớnh khụng Cohen-Macaulay cừa M, tứ ú phõn loÔi v
nghiờn cựu cĐu trỳc cừa cỏc mụun hỳu hÔn sinh trờn vnh a

phng. Náu ta quy ợc bêc cừa a thực khụng l 1, thỡ M l CohenMacaulay khi v ch khi p(M) = 1 v M l Cohen-Macaulay


3

suy rởng khi v ch khi p(M) 0.
Mởt m rởng quan trồng khỏc cừa lợp mụun Cohen-Macaulay l
lợp Cohen-Macaulay dóy, ủc R.P. Stanley [41] giợi thiằu cho trớng
hủp phõn bêc v P. Schenzel [39], N.T. Cớng, L.T. Nhn [11] nghiờn
cựu cho trớng hủp a phng: M l Cohen-Macaulay dóy náu mội
thng Di/Di+1 l Cohen-Macaulay, trong ú D0 = M v Di+1 l mụun
con lợn nhĐt cừa M cú chiãu nhọ hn dim Di vợi mồi i 0. Tiáp theo, N.T.
Cớng v L.T. Nhn [11] nghiờn cựu lợp mụun Cohen-Macaulay suy
rởng dóy bơng cỏch thay iãu kiằn mội mụun thng Di/Di+1 l
Cohen-Macaulay bơng iãu kiằn Di/Di+1 l Cohen-Macaulay suy rởng.
Mửc ớch Ưu tiờn cừa luên ỏn l giợi thiằu khỏi niằm kiu a thực dóy
cừa M, kớ hiằu l sp(M), o tớnh khụng Cohen-Macaulay dóy cừa M.
Chỳng tụi ch ra rơng sp(M) chớnh l chiãu cừa qu tớch khụng CohenMacaulay dóy cừa M khi R l thng cừa vnh Cohen-Macaulay a
phng. Chỳng tụi nghiờn cựu sỹ thay ời cừa kiu a thực dóy cừa
M

qua a phng hoỏ, qua Ưy ừ húa cng nh tớnh khụng tng cừa

sp(M/xM) khi x l mởt phƯn tỷ tham số. Chỳng tụi tớnh toỏn sp(M)
thụng qua chiãu v kiu a thực cừa cỏc mụun khuyát thiáu cừa M.
Chỳ ý rơng trong bi bỏo [8], N.T. Cớng, .T. Cớng v H.L. Trớng
ó nghiờn cựu mởt bĐt bián mợi cừa M thụng qua số bởi, v khi vnh
c s l thng cừa vnh Cohen-Macaulay a phng thỡ bĐt bián
ny chớnh l kiu a thực dóy cừa M. GƯn õy, S. Goto v L.T. Nhn
[21] ó a ra c trng tham số cừa kiu a thực dóy.

Mửc tiờu thự hai cừa luên ỏn l nghiờn cựu mởt số bi toỏn vã ch
số khÊ quy cừa cỏc mụun hỳu hÔn sinh trờn vnh a phng. Mởt
mụun con N cừa M l bĐt khÊ quy náu N 6= M v N khụng th viát
thnh giao cừa hai mụun con thỹc sỹ chựa nú. Khi ú, nh lý c bÊn
thự hai cừa E. Noether [29] núi rơng mội mụun con N cừa M ãu phõn


4

tớch ủc thnh giao cừa hỳu hÔn mụun con bĐt khÊ quy v số mụun
con bĐt khÊ quy xuĐt hiằn trong mởt phõn tớch bĐt khÊ quy thu gồn (tực l
cỏc thnh phƯn bĐt khÊ quy khụng thứa) l mởt bĐt bián khụng phử thuởc
vo phõn tớch cừa N. BĐt bián ny ủc gồi l ch số khÊ quy cừa N trong
M v ủc kớ hiằu l irM (N) (xem [23],[14]). Náu q l iờan tham số cừa
M, thỡ irM (qM) ủc gồi l ch số khÊ quy cừa q trong M.
Chn ãu cho ch số khÊ quy cừa cỏc iờan tham số cho cỏc lợp
mụun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rởng ó
ủc nhiãu nh toỏn hồc quan tõm nghiờn cựu (xem [14], [15], [22], [23],
[28], [37]). c biằt, kát quÊ gƯn nhĐt cừa P.H. Quý, phỏt biu rơng náu
p(M) 1 thỡ tỗn tÔi chn ãu cho ch số khÊ quy cừa cỏc iờan tham số
cừa M. Tuy nhiờn, vợi mội n 3, S. Goto v N. Suzuki [23] ó xõy dỹng
mởt vnh a phng (R, m) vợi p(R) = n v R l Cohen-Macaulay dóy
(tực l sp(R) = 1) sao cho supqirR (q) = . Vỡ thá, khi p(M) 3, ta khụng
th xột chn ãu cho ch số khÊ quy cừa tĐt cÊ iờan tham số, m ch xột
trờn cỏc iờan tham số tốt giợi thiằu bi N.T. Cớng v .T. Cớng [6]. Chỳ
ý rơng, khi nghiờn cựu cĐu trỳc cừa cỏc mụun Cohen-Macaulay dóy v
Cohen-Macaulay suy rởng dóy (thớng l cỏc mụun trởn lăn, tực l cỏc
iờan nguyờn tố liờn kát cú chiãu khỏc nhau), cỏc hằ tham số tốt úng vai
trũ rĐt quan trồng. Sỹ chn ãu cho ch số khÊ quy cừa cỏc iờan tham
số tốt ủc chựng minh bi H.L. Trớng [43] cho lợp mụun CohenMacaulay dóy (tực l sp(M) = 1) v P.H. Quý [36] cho lợp mụun CohenMacaulay suy rởng dóy (tực l sp(M) 0). Trong luên ỏn ny, chỳng tụi

nghiờn cựu sỹ tỗn tÔi chn ãu cho ch số khÊ quy cừa cỏc iờan tham số
tốt khi sp(M) 1. õy l m rởng khụng tƯm thớng cho kát quÊ chớnh
trong [37]. Ngoi ra, chỳng tụi nghiờn cựu ch số khÊ quy trong phÔm trự
cỏc mụun Artin v so sỏnh ch số khÊ quy cừa cỏc mụun con cừa M vợi
ch số khÊ quy cừa ối ngău Matlis cừa


5

cỏc mụun thng tng ựng cừa M. õy l vĐn ã c bÊn lƯn Ưu
tiờn ủc nghiờn cựu trong luên ỏn ny.
Vã phng phỏp tiáp cên, nghiờn cựu kiu a thực dóy chỳng
tụi khai thỏc cỏc tớnh chĐt cừa lồc chiãu cừa mụun, dóy lồc chớnh
quy cht giợi thiằu bi N.T. Cớng, M. Morales v L.T. Nhn [10] v
nhỳng tớnh chĐt c thự cừa mụun Artin, c biằt l mụun ối ỗng
iãu a phng vợi giỏ cỹc Ôi (Khỏi niằm lồc chiãu ủc giợi thiằu
bi P. Schenzel [39] v ủc iãu chnh bi N.T. Cớng, L.T. Nhn
[11] thuên tiằn cho viằc sỷ dửng). nghiờn cựu chn ãu cho
ch số khÊ quy cừa cỏc iờan tham số tốt khi sp(M) nhọ, chỳng tụi
sỷ dửng lý thuyát vã hằ tham số tốt giợi thiằu bi N.T. Cớng, .T.
Cớng [6], tớnh chĐt ỗng iãu cừa kiu a thực dóy v cỏc kát quÊ
cừa J.D. Sally [38] vã số phƯn tỷ sinh tối thiu cừa mụun.
Luên ỏn ủc chia thnh 3 chng. Chng 1 nh-c lÔi mởt số kián
thực c bÊn cừa Ôi số giao hoỏn nhơm lm c s cho viằc trỡnh by nởi
dung chớnh cừa luên ỏn nhỳng chng sau, gỗm: mụun ối ỗng iãu
a phng vợi giỏ cỹc Ôi, biu diạn thự cĐp cừa mụun Artin, kiu a
thực, mụun Cohen-Macaulay, mụun Cohen-Macaulay suy rởng, mụun
Cohen-Macaulay dóy, mụun Cohen-Macaulay suy rởng dóy.

Nởi dung cừa Chng 2 trỡnh by vã kiu a thực dóy cừa

mụun dỹa theo bi bỏo [33]. Trong chng ny, chỳng tụi giợi thiằu
khỏi niằm kiu a thực dóy cừa mụun M, kớ hiằu l sp(M), nh mởt
ở o tốt xem mụun ú gƯn vợi tớnh Cohen-Macaulay dóy nh thá
no. Chỳng tụi nghiờn cựu sỹ thay ời cừa kiu a thực dóy cừa M
qua a phng hoỏ, qua Ưy ừ húa cng nh tớnh khụng tng cừa
sp(M/xM) khi x l phƯn tỷ tham số. PhƯn cuối cừa chng, chỳng tụi
tớnh toỏn sp(M) thụng qua cỏc mụun khuyát thiáu cừa M.
0

Nh-c lÔi rơng mởt lồc Hm (M) = Dt ... D1 D0 = M cỏc


6

mụun con cừa M ủc gồi l lồc chiãu cừa M, náu Di l mụun con
lợn nhĐt cừa M cú chiãu nhọ hn dim Di1 vợi mồi i = 1, ..., t. Kiu a
thực dóy cừa M, kớ hiằu l sp(M), ủc nh ngha theo khỏi niằm
kiu a thực p(M) trong [5] v ủc nh ngha thụng qua kiu a
thực cừa cỏc mụun thng trong lồc chiãu nh sau:
sp(M) = max{p(Di1/Di) | i = 1, . . . , t}.
Chỳ ý rơng sp(M) = 1 khi v ch khi M l mụun Cohen-Macaulay
dóy. Ngoi ra, sp(M) 0 khi v ch khi M l mụun CohenMacaulay suy rởng dóy. Nhỡn chung, sp(M) o tớnh khụng CohenMacaulay dóy cừa mụun M. Cử th, kớ hiằu nSCM(M) l qu tớch
khụng Cohen-Macaulay dóy cừa M, tực l
nSCM(M) := {p Spec(R) | Mp khụng l Cohen-Macaulay dóy}.
Khi ú nSCM(M) khụng nhĐt thiát l têp con úng cừa Spec(R) vợi
tụpụ Zariski, nhng nú luụn ờn nh vợi phộp c biằt húa, tực l náu
q p l hai iờan nguyờn tố cừa R sao cho q nSCM(M), thỡ p
nSCM(M). Vỡ thá ta cú th nh ngha ủc chiãu cừa nSCM(M). Náu
R l thng cừa vnh Cohen-Macaulay a phng thỡ nSCM(M) l
úng trong Spec(R) vợi tụpụ Zariski. Chỳng tụi ch ra rơng náu R l

catenary thỡ sp(M) dim(nSCM(M)). ng thực xÊy ra khi R l
thng cừa vnh Cohen-Macaulay a phng (Mằnh ã 2.2.4).
Chỳng tụi nghiờn cựu kiu a thực dóy thụng qua a phng
húa (nh lý 2.2.7) v sỹ thay ời cừa kiu a thực dóy dợi phộp Ưy
ừ húa m-adic. Chỳ ý rơng kiu a thực bÊo ton qua Ưy ừ (xem [5,
Bờ ã 2.6]). Tuy nhiờn, kiu a thực dóy thỡ khụng cú tớnh chĐt ny
(Vớ dử 2.2.8 v Vớ dử 2.2.11).
nh lý 2.2.9. Ta luụn cú sp(Md) sp(M). ng thực xÊy ra khi R/p
l khụng trởn lăn vợi mồi iờan nguyờn tố liờn kát p cừa M.


7

Nh-c lÔi rơng, theo M. Nagata [30], vnh R ủc gồi l khụng
trởn lăn náu dim(R/cpb) = dim Rc vợi mồi pb Ass Rc.
Chỳng tụi nghiờn cựu mối quan hằ giỳa sp(M) v sp(M/xM) khi
x l phƯn tỷ tham số. Nhỡn chung, chỳng ta khụng so sỏnh ủc
sp(M) v sp(M/xM) (Vớ dử 2.3.6), nhng khi x l phƯn tỷ tham số vợi
tớnh chĐt c biằt, thỡ ta cú quan hằ sau.
nh lý 2.3.5. GiÊ sỷ sp(M) > 0. Cho x m l phƯn tỷ lồc chớnh quy
cht cừa Di1/Di vợi mồi i t. Khi ú sp(M/xM) sp(M) 1. ng thực
xÊy ra khi R l thng cừa vnh Cohen-Macaulay a phng.
ng thực sp(M/xM) = sp(M) 1 trong nh lý 2.3.5 cú th
khụng cũn ỳng náu ta bọ i giÊ thiát R l thng cừa vnh CohenMacaulay a phng (Vớ dử 2.3.6). Nh-c lÔi rơng, khỏi niằm phƯn tỷ
lồc chớnh quy cht giợi thiằu bi N.T. Cớng, M. Morales v L.T. Nhn
[10]

l mởt trớng hủp c biằt cừa khỏi niằm phƯn tỷ lồc chớnh quy

giợi thiằu bi N.T. Cớng, P. Schenzel v N.V. Trung [48]. Náu x l

phƯn tỷ lồc chớnh quy cht cừa M, thỡ x l phƯn tỷ lồc chớnh quy (xem
Bờ ã 2.1.7(i)). Tuy nhiờn iãu ngủc lÔi khụng ỳng. Thêm chớ khi x
l phƯn tỷ M-chớnh quy, thỡ x văn khụng nhĐt thiát l phƯn tỷ lồc chớnh
quy cht cừa M (xem Vớ dử 2.1.6).
GiÊ sỷ rơng (R, m) l thng cừa vnh Gorenstein a phng
0

0

j

(R , m ) chiãu n. Kớ hiằu K (M) l R-mụun Ext

n j
R 0 (M,

0

R ). Theo P.

j

Schenzel [39], K (M) ủc gồi l mụun khuyát thiáu thự j cừa M. Ta kớ
hiằu E(R/m) l bao nởi xÔ cừa R/m. Theo nh lý ối ngău a phng
(xem [4, 11.2.6]), ta cú Hj (M)



Hom (Kj(M), E(R/m)). Kát quÊ cuối

=

m

R

cựng trong nởi dung thự nhĐt l tớnh toỏn sp(M) thụng qua cỏc mụun
0

khuyát thiáu cừa M. Cho Hm (M) = Dt ... D1 D0 = M l lồc chiãu
cừa M. t dim Di = di vợi i = 0, 1, ..., t. Ta quy ợc dim Dt = 1


8

khi Dt = 0. t (M) = {d0, ..., dt}. Chỳ ý rơng
(M) \ {1} = {dim(R/p) | p AssR M}.
0

Hn nỳa, náu Hm (M) 6= 0 thỡ (M) = {dim(R/p) | p AssR M}. t
q1 := max dim(Kj(M)) v q2 := max p(Kj(M)). nh lý sau õy ch
j /(M)

j(M)

ra rơng sp(M) cú th tớnh toỏn thụng qua chiãu v kiu a thực cừa
j

cỏc mụun khuyát thiáu K (M).
nh lý 2.4.2. Náu R l thng cừa vnh Gorenstein a phng thỡ

sp(M) = max{q1, q2}.
Chng 3 trỡnh by mởt số vĐn ã vã ch số khÊ quy cừa mụun
dỹa theo hai ti liằu [9], [18]. Trong chng ny chỳng tụi ch ra tỗn tÔi
chn ãu cho ch số khÊ quy cừa cỏc iờan tham số tốt ối vợi mụun
M

trong trớng hủp sp(M) 1. Chỳng tụi so sỏnh ch số khÊ quy cừa

cỏc mụun con cừa M vợi ch số khÊ quy cừa ối ngău Matlis cừa cỏc

mụun thng tng ựng cừa M.
Nh-c lÔi rơng, vợi mội lồc Hn . . . H1 H0 = M cỏc mụun
con cừa M thọa món dim Hi < dim Hi1 vợi mồi i, iờan tham số q =
(x1, . . . , xd) cừa M ủc gồi l tốt ựng vợi lồc trờn náu
(xhi+1, . . . , xd)M Hi = 0
vợi mồi i n, trong ú hi = dim Hi. Náu q l iờan tham số tốt ựng vợi
lồc chiãu cừa M thỡ ta núi q l iờan tham số tốt cừa M.
0

Cho Hm (M) = Dt ... D1 D0 = M l lồc chiãu cừa M. Cho
k {0, 1, . . . , t} l số nguyờn bộ nhĐt sao cho p(Dk) 1.
nh lý 3.2.6. GiÊ sỷ sp(M) 1. Khi ú tỗn tÔi mởt hơng số c sao
cho irM (qM) c vợi mồi iờan tham số tốt q cừa M ựng vợi lồc Dk
...D1D0=M.


9

Náu x l iờan tham số tốt ối vợi lồc chiãu, thỡ x l iờan tham số
tốt vợi lồc Dk . . . D1 D0 = M trong nh lý 3.2.6. Do ú hơng số

c trong nh lý trờn cng l chn ãu cho ir M (qM) vợi mồi q l iờan
tham số tốt cừa M. Hn nỳa, náu p(M) 1, thỡ k = 0 v do ú mồi iờan
tham số cừa M ãu l iờan tham số tốt ựng vợi lồc trong nh lý 3.2.6.
Do vêy, nh lý 3.2.6 l m rởng kát quÊ chớnh vã chn ãu cho ch số
khÊ quy cừa cỏc iờan tham số cừa mụun M trong bi bỏo [37].

Theo I.G. Macdonald [25], mụun Artin A gồi l bĐt khÊ tờng
náu A 6= 0 v A khụng th biu diạn thnh tờng cừa hai mụun con
thỹc sỹ cừa nú, tực l náu A = B + C, trong ú B, C l cỏc mụun
con cừa A thỡ A = B hoc A = C. I.G. Macdonald [25] ó chựng minh
rơng mồi mụun Artin A luụn biu diạn ủc thnh tờng khụng thứa
cừa hỳu hÔn mụun con bĐt khÊ tờng. Ngoi ra, số thnh phƯn bĐt
khÊ tờng xuĐt hiằn trong biu diạn l ởc lêp vợi cỏch biu diạn bĐt khÊ
tờng khụng thứa cừa A. Ta gồi bĐt bián ny l ch số khÊ quy cừa
mụun Artin A, kớ hiằu l irR(A).
Kớ hiằu E(R/m) l bao nởi xÔ cừa R-mụun R/m v DR() l
hm tỷ Hom(, E(R/m)). Vợi mội R-mụun L bĐt k ta gồi DR(L) l
ối ngău Matlis cừa L. Trong trớng hủp vnh R l Ưy ừ, náu M l Rmụun hỳu hÔn sinh v A l R-mụun Artin thỡ D(M) l R-mụun
Artin v D(A) l R-mụun hỳu hÔn sinh. Náu vnh R l khụng Ưy ừ
thỡ M



D(D(M)) v D(M) l R-mụun Artin, tuy nhiờn D(A) khụng

d=

nhĐt thiát l R-mụun hỳu hÔn sinh.
Mối quan hằ giỳa ch số khÊ quy cừa mụun con N cừa M vợi
ch số khÊ quy cừa ối ngău Matlis cừa mụun thng M/N ủc

ch ra trong nh lý sau.


10

Đành lý 3.3.10. Cho R = Rc và N là môđun con cõa M. Khi đó
irR(D(M/N)) ≤ irM (N).
Đ¯ng thùc x£y ra khi `R(M/N) < ∞.


11

Chng 1
Kián thực chuân b
Trong chng ny, chỳng tụi nh-c lÔi mởt số kián thực ó biát vã
mụun ối ỗng iãu a phng, biu diạn thự cĐp cừa mụun Artin,
kiu a thực, mụun Cohen-Macaulay, mụun Cohen-Macaulay suy
rởng, mụun Cohen-Macaulay dóy v mụun Cohen-Macaulay suy
rởng dóy nhơm thuên tiằn cho viằc theo dừi cỏc chng sau. Trong
suốt chng ny, luụn giÊ thiát (R, m) l vnh giao hoỏn Noether, M l
R-mụun hỳu hÔn sinh chiãu d. Cho A l R-mụun Artin. Vợi mội iờan
I

cừa R, kớ hiằu Var(I) l têp cỏc iờan nguyờn tố cừa R chựa I. Kớ

hiằu Rc v Md lƯn lủt l Ưy ừ m-adic cừa R v M. Cho L l Rmụun (khụng nhĐt thiát hỳu hÔn sinh hay Artin).

1.1

Mụun ối ỗng iãu a phng

Mửc tiờu cừa tiát ny l nh-c lÔi mởt số kát quÊ vã mụun ối ỗng

iãu a phng nh tớnh triằt tiờu, tớnh Artin, ối ngău a phng,
tõp iờan nguyờn tố g-n kát v chiãu nhơm phửc vử cho viằc chựng
minh cỏc kát quÊ Chng 2 v Chng 3. nh ngha v cỏc tớnh
chĐt c s cừa mụun ối ỗng iãu a phng cú th xem trong [4].
Mởt trong nhỳng kát quÊ quan trồng v cú nhiãu ựng dửng cừa lý


12

thuyát ối ỗng iãu a phng l tớnh triằt tiờu cừa mụun ối ỗng
i

iãu a phng (xem [4, 6.1.2,6.1.4]). Chỳ ý rơng HI (L) = 0 vợi mồi
i

> dim SuppR L. é õy, SuppR L khụng nhĐt thiát úng trong Spec R

vợi tụpụ Zariski. Tuy nhiờn SuppR L ờn nh vợi phộp c biằt húa
nờn ta nh ngha ủc chiãu cừa SuppR L.
nh lý 1.1.1. (nh lý triằt tiờu v khụng triằt tiờu cừa Grothendieck).
(i)
(ii)

i

Náu M 6= 0 thỡ d = max{i | (Hm (M) 6= 0}.
i

Náu M 6= 0 thỡ depth M = min{i | (Hm (M) 6= 0}.
Nhỡn chung mụun ối ỗng iãu a phng khụng l mụun

hỳu hÔn sinh v cng khụng l mụun Artin. nh lý sau (xem [4,
nh lý 7.1.3, nh lý 7.1.6]) ch ra rơng mụun ối ỗng iãu a
phng vợi giỏ cỹc Ôi hoc tÔi cĐp cao nhĐt luụn l Artin.
nh lý 1.1.2. GiÊ sỷ rơng (R, m) l vnh a phng v M l Rmụun hỳu hÔn sinh. Khi ú
(i)
(ii)

i

Hm (M) l R-mụun Artin vợi mồi số tỹ nhiờn i.
d

HI (M) l R-mụun Artin vợi mồi iờan I cừa R.
Tiáp theo, ta nh-c lÔi mởt số kián thực vã ối ngău Matlis v ối ngău

a phng. Kớ hiằu E(R/m) l bao nởi xÔ cừa R-mụun R/m v DR() l
hm tỷ Hom(, E(R/m)). Vợi mội R-mụun M ta gồi DR(M) l ối ngău
Matlis cừa M. Chỳ ý rơng AnnR L = AnnR D(L) vợi L l R-mụun bĐt k.
Trong trớng hủp vnh R l Ưy ừ, ối ngău Matlis cho ta mởt tng
ng khỏ àp giỳa phÔm trự cỏc R-mụun Artin v phÔm trự cỏc Rmụun hỳu hÔn sinh. Cử th, náu M l R-mụun hỳu hÔn sinh v A l Rmụun Artin thỡ D(M) l R-mụun Artin v D(A) l Rmụun hỳu hÔn sinh. Hn nỳa, D(D(M))



M v D(D(A))

A (xem

[4, nh lý 10.2.12]). Náu vnh R l khụng Ưy ừ thỡ M



D(D(M)) v

=

=
d=


13

D(M) l R-mụun Artin, tuy nhiờn D(A) khụng nhĐt thiát l R-mụun
hỳu hÔn sinh.
GiÊ sỷ rơng (R, m) l thng cừa vnh Gorenstein a
0

0

j

phng (R , m ) chiãu n. Kớ hiằu K (M) l R-mụun Ext

n j
R 0 (M,

j

0

R ).
j

Khi ú K (M) l R-mụun hỳu hÔn sinh. Theo P. Schenzel [39], K (M)
ủc gồi l mụun khuyát thiáu thự j cừa M.
nh lý 1.1.3. (nh lý ối ngău a phng) GiÊ sỷ (R, m) l Ênh
ỗng cĐu cừa mởt vnh Gorenstein a phng. Khi ú ta cú ng
cĐu cỏc R-mụun
Hj (M)



Hom (Kj(M), E(R/m)).

m

=

R

Tiáp theo, chỳng tụi trỡnh by vã biu diạn thự cĐp cừa mụun
ối ỗng iãu a phng. Lý thuyát biu diạn thự cĐp cho cỏc
mụun ủc giợi thiằu bi I.G. Macdonald [25] cú th xem l ối ngău
cừa lý thuyát phõn tớch nguyờn s. Nh-c lÔi rơng mởt R-mụun L
ủc gồi l thự cĐp náu L 6= 0 v vợi mồi x R, phộp nhõn bi x
trờn L l ton cĐu hoc ly linh. Trong trớng hủp ny, Rad(Ann R L)

l iờan nguyờn tố, chng hÔn l p, v ta gồi L l p-thự cĐp. Mởt biu
diạn thự cĐp cừa L l mởt phõn tớch
L = L1 + . . . + Ln
thnh tờng hỳu hÔn cỏc mụun con pi-thự cĐp Li. Náu L = 0 hoc L
cú mởt biu diạn thự cĐp thỡ ta núi L l biu diạn ủc. Biu diạn thự
cĐp ny ủc gồi l tối thiu náu cỏc iờan nguyờn tố pi l ụi mởt
khỏc nhau v khụng cú hÔng tỷ Li no l thứa, vợi mồi i = 1, . . . , n.
Chỳ ý rơng náu L1, L2 l cỏc mụun con p-thự cĐp cừa L thỡ L1+L2
cng l mụun con p-thự cĐp cừa L. Vỡ thá mồi biu diạn thự cĐp cừa L ãu
cú th a ủc vã dÔng tối thiu bơng cỏch bọ i cỏc thnh phƯn thự cĐp
thứa v ghộp lÔi cỏc thnh phƯn thự cĐp cựng chung mởt iờan


14

nguyờn tố. Têp hủp {p1, . . . , pn} l ởc lêp vợi viằc chồn biu diạn thự
cĐp tối thiu cừa L v ủc gồi l têp cỏc iờan nguyờn tố g-n kát cừa
L, kớ hiằu l AttR L. Cỏc hÔng tỷ Li, i = 1, . . . , n ủc gồi l cỏc
thnh phƯn thự cĐp cừa L. Náu pi l tối tiu trong têp AttR L thỡ pi ủc
gồi l iờan nguyờn tố g-n kát cụ lêp cừa L v Li ủc gồi l thnh
phƯn thự cĐp cụ lêp cừa L. Chỳ ý rơng mởt mụun Artin l biu diạn
ủc (xem [25, nh lý 5.2]).
Bờ ã 1.1.4. GiÊ sỷ A l mởt R-mụun Artin. Khi ú
(i)
(ii)

AttR A 6= khi v ch khi A 6= 0.
min AttR A = min Var(AnnR A).

(iii)

Náu x R \ p vợi mồi p AttR A \ {m} thỡ `R(A/xA) < .

(iv)

Cho 0 A A A

0

00

0 l dóy khợp ng-n cỏc R-mụun

Artin. Khi ú ta cú
AttR A

00

0

00

AttR A AttR A AttR A .

Cho A l R-mụun Artin. Khi ú A cú cĐu trỳc tỹ nhiờn nh Rcmụun. Vợi cĐu trỳc ny, mởt mụun con cừa A xột nh R-mụun khi
v ch khi nú l mụun con cừa A xột nh Rc-mụun. Do ú A l
Rc-mụun Artin v ta cú mối quan hằ giỳa têp iờan nguyờn tố g-n
kát nh sau.
Bờ ã 1.1.5. ([4, 8.2.4 v 8.2.5]) AttR A = {P R | P AttRbA}.
Kát quÊ sau õy liờn quan án têp iờan nguyờn tố g-n kát cừa

mụun ối ỗng iãu a phng qua a phng húa v Ưy ừ
húa ủc dựng trong chựng minh vã sau cừa luên ỏn.
nh lý 1.1.6. ([40, nh lý 4.8], [34, nh lý 1.1])


(i) Att H
Rp

idim R/p

pRp

mụun hỳu hÔn sinh M, số nguyờn i 0 v p Spec R.
(ai)
(a)

Cỏc phỏt biu sau l tng ng:
R l thng cừa vnh Cohen-Macaulay a phng.

(b) Att H
R

idim R/p
pRp

mụun hỳu hÔn sinh M, số nguyờn i 0 v p Spec R.
i

i

(c) Att (H (M)) = AttR(H (M)) S Ass (R/pR) vợi mồi R-mụun
R

m

m

p

R

b

hỳu hÔn sinh M v số nguyờn i
PhƯn cuối cựng cừa tiát ny dnh trỡnh by vã chiãu cừa mụun
ối ỗng iãu a phng vợi giỏ cỹc Ôi v mối quan hằ giỳa cỏc
i

iờan nguyờn tố liờn kát cừa M vợi iờan nguyờn tố g-n kát cừa Hm (M).
Vợi mội R-mụun Artin A, ta t dim A := dim(R/AnnRA). Khi ú

dim(R/AnnRA) = max{dim R/p | p AttR A}
theo Bờ ã 1.1.4(ii). Vợi mội số nguyờn j 0, mụun ối ỗng iãu
j

a phng Hm (M) l R-mụun Artin, vỡ thá nú l Rc-mụun Artin.
j

j

Chỳ ý rơng dimR Hm (M) dimRb Hm (M) (xem [12, Tớnh chĐt 2.4]).
Vợi mội têp con T cừa Spec(R) v số nguyờn i 0, t
(T )i = {p T | dim(R/p) = i}.
j

Chỳ ý rơng (AssR M)j (AttR Hm (M))j vợi mồi số nguyờn j 0 theo
j

[4, 11.3.9]. Bờ ã sau õy ch ra cỏc mối quan hằ giỳa dim R Hm (M)
j

j

v dimRb Hm (M); giỳa (AssR M)j v (AttR Hm (M))j.
Bờ ã 1.1.7. ([12, Tớnh chĐt 2.4, Hằ quÊ 4.2]; [32, nh lý 3.1]) Cho
j 0 l mởt số nguyờn. GiÊ sỷ rơng R l thng cừa mởt vnh
Cohen-Macaulay a phng. Khi ú
(i)
(ii)

j

j

j

dimR Hm (M) = dimRb Hm (M) v dimR Hm (M) j;
j

j

(AttR Hm (M))j = (Var(AnnR Hm (M)))j = (AssR M)j.


16

1.2

Mụun Cohen-Macaulay v kiu a thực
Mụun Cohen-Macaulay v mụun Cohen-Macaulay suy rởng

l hai lợp mụun quen thuởc v quan trồng trong Ôi số giao hoỏn.
Ta luụn cú bĐt ng thực depth M dim M (xem [1, Mằnh ã
1.2.12]). Khi M = 0 hoc M 6= 0 v depth M = dim M thỡ ta núi M l
mụun Cohen-Macaulay. Náu R l mụun Cohen-Macaulay trờn
chớnh nú thỡ ta núi R l vnh Cohen-Macaulay. Chỳ ý rơng náu M l
Cohen-Macaulay thỡ dim R/p = dim M vợi mồi p AssR M.
Sau õy l mởt số tớnh chĐt cừa mụun Cohen-Macaulay (xem
[26, Trang 137, nh lý 17.3, nh lý 17.5, nh lý 17.11]).
Bờ ã 1.2.1. Cỏc phỏt biu sau l tng ng:
(i)
(ii)

M l mụun Cohen-Macaulay;
Mp l Rp-mụun Cohen-Macaulay vợi mồi iờan nguyờn tố p cừa R;

(iii)

Md l mụun Cohen-Macaulay;

(iv)

Tỗn tÔi (vợi mồi) hằ tham số cừa M l M-dóy;

(v)

Tỗn tÔi (vợi mồi) hằ tham số x cừa M sao cho e(x; M) = `R(M/xM);

(vi)

M/xM l Cohen-Macaulay vợi mởt (mồi) phƯn tỷ M-chớnh quy x;

(vii)

i

Hm (M) = 0 vợi mồi i = 0, . . . , d 1.
Vợi mội hằ tham số x cừa M, t I(x; M) = `R(M/xM)e(x; M). Khi

ú I(x; M) 0. Chỳ ý rơng náu M l Cohen-Macaulay thỡ I(x; M) = 0 vợi
mồi hằ tham số x. Nm 1965, D.A. Buchsbaum ó t ra giÊ thuyát: I(x;
M) l hơng số khụng phử thuởc vo hằ tham số x cừa M. Tuy nhiờn,
nm 1973, W. Vogel v J. Stuăckrad ó a ra loÔt vớ dử chựng tọ giÊ
thuyát cừa D.A. Buchsbaum l khụng ỳng. Ngha l, nhỡn


17

chung I(x; M) phử thuởc vo hằ tham số x. Mc dự cõu họi cừa Buchsbaum khụng ỳng nhng nú dăn án viằc nghiờn cựu mởt lợp mụun m
rởng cừa lợp mụun Cohen-Macaulay. Cử th W. Vogel v J. Stuăckrad ó

giợi thiằu lý thuyát mụun Buchsbaum (xem [42]). M ủc gồi l mụun
Buchsbaum náu I(x; M) l hơng số khụng phử thuởc vo hằ tham số x cừa
M. Ngay sau ú, N.T. Cớng, P. Schenzel v N.V. Trung [48] ó nghiờn
cựu lợp mụun cú tớnh chĐt sup I(x; M) < trong ú cên trờn lĐy theo tĐt
cÊ cỏc hằ tham số x cừa M v hồ gồi lợp mụun ú l Cohen-Macaulay
suy rởng. Nh vêy, lợp mụun Cohen-Macaulay suy rởng l m rởng cừa
lợp mụun Cohen-Macaulay v lợp mụun Buchsbaum.
Chỳ ý rơng náu M l mụun Cohen-Macaulay suy rởng thỡ Mp l
mụun Cohen-Macaulay v dim Mp + dim R/p = d vợi mồi iờan nguyờn tố
p SuppR M \ {m}, hn nỳa SuppR M l catenary. iãu ngủc lÔi cng
ỳng náu R l vnh thng cừa vnh Cohen-Macaulay a phng.

Sau õy l mởt số c trng cừa mụun Cohen-Macaulay suy
rởng (xem [44, Bờ ã 1.2, Bờ ã 1.6, Bờ ã 1.7]).
nh lý 1.2.2. Cỏc phỏt biu sau l tng ng:
(i)
(ii)

M l mụun Cohen-Macaulay suy rởng;
0

M/Hm (M) l mụun Cohen-Macaulay suy rởng;
i

(iii)

`R(Hm (M)) < vợi mồi i = 0, . . . , d 1;

(iv)

Md l mụun Cohen-Macaulay suy rởng;

(v)

Tỗn tÔi mởt hằ tham số chuân t-c x = x1, . . . , xd cừa M, tực l
2

2

2

2

I(x; M) = `R(M/((x 1, . . . , x d))M) e(x 1, . . . , x d; M).
Khỏi niằm kiu a thực ủc giợi thiằu bi N.T. Cớng [5]. Cho x =
(x1, . . . , xd) l mởt hằ tham số cừa M. Cho n = (n1, . . . , nd) l mởt


18

bở gỗm d số nguyờn dng. Xột hiằu số
IM,x(n) = `R(M/(x

n

1

1

n

,...,x

d

d

)M) n1n2 . . . nd e(x, M),

trong ú e(x, M) l bởi cừa M ựng vợi hằ tham số x. Nhỡn chung,
IM,x(n) xột nh mởt hm số vợi cỏc bián n1, . . . , nd, khụng l a thực
vợi n1, . . . , nd 0, nhng nú luụn nhên giỏ tr khụng õm v b chn
trờn bi cỏc a thực.
nh ngha 1.2.3. ([5, nh lý 2.3]) Bêc bộ nhĐt cừa tĐt cÊ cỏc a
thực theo bián n chn trờn hm số IM,x(n) khụng phử thuởc vo viằc
chồn hằ tham số x. BĐt bián ny ủc gồi l kiu a thực cừa M, v
ủc kớ hiằu l p(M).
Kiu a thực cừa mởt mụun cú th cho ta biát nhiãu thụng tin vã
cĐu trỳc cừa mụun ú. Chng hÔn, náu quy ợc bêc cừa a thực 0 l
1 thỡ rừ rng M l Cohen - Macaulay khi v ch khi p(M) = 1 v M
l Cohen - Macaulay suy rởng khi v ch khi p(M) 0. Kiu a thực
cừa mởt mụun cú th coi l mởt ở o tốt xem mụun ú gƯn vợi
tớnh Cohen-Macaulay nh thá no. Qu tớch khụng Cohen-Macaulay
nCM(M) cừa M, cho bi
nCM(M) := {p SuppRM | Mp khụng l Cohen-Macaulay}.
Nhỡn chung nCM(M) khụng l têp con úng cừa Spec R vợi tụpụ Zariski,
nhng nú luụn ờn nh vợi phộp c biằt húa, tực l náu q p l hai
iờan nguyờn tố cừa R sao cho q nCM(M) thỡ p nCM(M). Vỡ thá ta
cú th nh ngha ủc chiãu cừa nCM(M). Náu R l thng cừa vnh
Cohen-Macaulay a phng thỡ nCM(M) l úng vợi tụpụ Zariski. Kát

quÊ dợi õy cho ta mối quan hằ giỳa kiu a thực p(M), chiãu cừa
j

Hm (M) v chiãu cừa qu tớch khụng Cohen-Macaulay nCM(M) cừa M.