Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

NGUYÊN HÀM
A - KIẾN THỨC CHUNG
1- Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được
gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K .
Định lí:
+ Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
+ Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có
dạng F  x   C , với C là một hằng số.
Do đó F  x   C, C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu
+ Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:  f  x  dx  f  x  và





 f  x  dx  F  x   C .

 f '  x  dx  f  x   C

Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx
2 - Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

3 - Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp
u  u  x 

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

 dx  x  C
1
 x dx    1 x


 1

 C   1

1

 x dx  ln x  C
1

1

 x dx   x  C
 e dx  e  C
2

x

x

ax
 C  a  0, a  1
ln a
 sin xdx   cos x  C

 du  u  C
1
 u du    1 u


 1

 C   1

1

 u du  ln u  C
1

1

 u du   u  C
 e du  e  C
2

u

u

au
 C  a  0, a  1
ln a
 sin udu   cos u  C

x
 a dx 

u
 a du 

 cos xdx  sin x  C
1
 cos x dx  tan x  C

 cos udu  sin u  C
1
 cos u du  tan u  C

2

1

 sin

2

dx   cot x  C

x
4 – Bảng nguyên hàm mở rộng

2

1

 sin

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
2

u

du   cot u  C

Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

 d  ax  b  

1
 ax  b   C
a

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

kx
 e dx 

ekx
C
k

 1

1  ax  b 

  ax  b  dx  a    1 
dx

 c ,   1

1

 ax  b  a ln ax  b  c  c
e

ax  b

a

px  q

a

2

a

2

1 ax b
e
c
a

dx 

dx 

1
a px q  c
p ln a

1

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c

 sin  ax  b  dx 

1
cos  ax  b   c
a
1

 tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c
1

 cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c

dx
1
x
 arctg  c
2
x
a
a

 sin

dx
1
ax

ln
c
2

x
2a a  x

 cos

2

2

dx
1
 cotg  ax  b   c
 ax  b  a
dx
1
 tg  ax  b   c
 ax  b  a

B - BÀI TẬP
DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT
Câu 1:

Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b .
(2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b .
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b .
(4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b .

Câu 2:

A. 2 .
B. 3 .
C. 1.
D. 4 .
Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .
B.   f  x  .g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx .
C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .
D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    .

Câu 3:

Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
sai?
A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx .
B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx .
C.

Câu 4:

  f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx .

D.

  f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx .

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   .
B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Câu 5:

C.

x

D.



Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

1  1
x với   1 .
 1

f  x  dx  f  x  .



dx 



Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm của

f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:

 I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .
 II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .
 III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  .
Câu 6:

Các mệnh đề đúng là
A.  II  và  III  .
B. Cả 3 mệnh đề.
C.  I  và  III  .
D.  I  và  II  .
Mệnh đề nào sau đây sai?
A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  .

 f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  .
C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  .
D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  .
B.

Câu 7:

Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng định
nào dưới đây đúng?
A. f   x   F  x  , x  K .
B. F   x   f  x  , x  K .
C. F  x   f  x  , x  K .

Câu 8:

D. F   x   f   x  , x  K .

Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K .
C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi x  K
.
D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm
Câu 9:

của f  x  trên K .
Trong các mênh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. Nếu hàm F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  thì F  x  1 cũng là một nguyên hàm của

hàm f  x  .
B. Mọi hàm liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
C. Nếu hàm F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  thì

 f  x dx  F  x   C , với C là một hằng

số.
D. Nếu F  x  , G  x  là hai nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x   C , với C là một
hằng số.
Câu 10: Cho f , g là các hàm số liên tục trên K . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.
A.   f  x  .g  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  g  x  dx .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

f 3  x
C .

3
C.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx .
f   x  f 2  x dx 

B.

D. k  f  x  dx  k  f  x  dx , ( k : hằng số).
DẠNG 2: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai?
A.  dx  x  C .
1
C .
x
Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

B.  sin x dx   cos x  C .
1

C.  ln x dx 

D.

 x dx  ln x  C .

A.  e x dx  e x  C .

B.

 sin

C.  cosxdx  sinx  C .

D.  sinxdx  cosx  C .

Câu 13: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
0dx  C ( C là hằng số).
A. 
C.



 f  2 x  1 dx  2F  2 x 1  C .
1
C.  f  2 x  1 dx  F  2 x  1  C .
2
Câu 15: Khẳng đinh nào sau đây là sai?
A.  a x dx  a x ln a  C  a  0; a  1 .

2

1

dx  x  C .

x
Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A.  e x dx  e x  C .

C.  2xdx  x2  C .

1

A.

 f  x  dx  2  2 x  1

C.

 f  x  dx  2  2 x  1

2

2

dx   tan x  C .

n

 x dx 

x

 C ( C là hằng số).

x n 1
 C ( C là hằng số, n   ).
n 1

 f  2 x  1 dx  2 F  x   1  C .
D.  f  2 x  1 dx  F  2 x  1  C .
B.

B.  cos xdx  sin x  C .
D.

1

x

2

1
dx    C .
x

B.  sin xdx  cos x  C .
D.

Câu 17: Công thức nguyên hàm nào sau đây sai?
2x
C .
A.  2 x dx 
ln 2
dx
C.   ln x  C .
x
Câu 18: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1

x

 e dx  e

D.
f  u  du  F  u   C . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

C.

2

x

B.

 dx  x  2C ( C là hằng số).

Câu 14: Biết

1

1

 x dx  ln x  C .

B.  sin xdx   cos x  C .
dx

D.

 cos x  tan x  C

C .

B.

 f  x  dx  4  2 x  1

C .

D.

 f  x  dx   2 x  1

.

1

2

2

C .

C .

Câu 19: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x 2  x  1 là

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

2 x3 x 2
2 x3 x 2
2 x3
  x.
B.
  xC.
C.
 x2  x  C .
3
2
3

2
3
Câu 20: Nguyên hàm của hàm số f  x   10 x 4  3 x  2 trên  là
A.

3 2
x  2x .
2
3
f  x  dx  2 x5  x 2  2 x  C .
2

A.

 f  x  dx  2 x

C.



5



Câu 21: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

ln  3 x  1  C

3



Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số   x 2   2 x  dx
x


3
x
4 3
A.
 3ln x 
x C .
3
3
x3
4 3
C.
 3ln x 
x .
3
3
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f  x   22 x là

22 x1
C.
A.  2 dx 
ln 2
4x
C .
C.  22 x dx 

ln 2



5



3 2
x  2C .
2

C.

ln 3x  1  C

D.

1
ln 3 x  1  C .
3

x3
4 3
 3ln x 
x C .
3
3
x3
4 3

D.
 3ln x 
x C .
3
3

B.

x 1
dx ?
x2



1
C .
2 x 1

A.

 f  x  dx  2 x

 3x 2  2 x  C .

B.  22 x dx 

x 1
dx  ln | x |  ln x 2  C .
x2
x2

 xC
x 1
C.  2 dx  2 3
.
x
x
C
3
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 là:

A.

D.

5

22 x
C .
ln 2
22 x 1
D.  22 x dx 
C.
ln 2

2x

Câu 24: Tìm nguyên hàm

 f  x  dx  10x

1
là
3x  1

B. ln  3 x  1  C .

.

B.

D. 4 x  1 .

B.

 2 x  1
3

B.



x 1
1
dx  ln | x |   C .
2
x
x

D.



x 1
1
dx  ln x   C .
2
x
x

3

C.

C.

2

 2 x  1
3

3

C .

D.

3

 2 x  1
4

Câu 26: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x3 là
2 x 3

A.

 f  x  dx  e

C.

 f  x  dx  2e

C .

2 x 3

C .

Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

1
x
sin
2

1

2 x 3

C .

1

2 x 3

C .

B.

 f  x  dx  2 e

D.

 f  x  dx  3 e

B.



.

2

A.



dx

x

 2 tan  C .
x
2
sin 2
2

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
dx

x
 2 tan  C .
x
2
sin 2
2
Trang 6

3

C .


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
C.



Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

dx

1
x
  cot  C .
x
2
2
sin 2
2

D.

Câu 28: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx  2x  C .
1
C.  f  x  dx    C .
2x
f  x  dx  sin x  e
Nếu 

dx

x
 2cot  C .
x
2
sin 2
2

1
.
2x

 f  x dx  2 2 x  C .
D.  f  x  dx  ln 2x  C .

A.

Câu 29:



B.

x

C

thì

x

B. f  x   cos x  e x .

A. f  x    cos x  e .
C. f  x   cos x  e x .
Câu 30: Tìm khẳng định sai?
x e1

A.  xe dx 
 2C .
e 1
C.  e x dx  C  e x

D. f  x    cos x  e x  C .
2x 1
C.
x 1
D.  tan 2 xdx  tan x  x  C .

B.  2 x dx 

Câu 31: Cho F  x  là nguyên hàm của f  x  

2x 4  3
. Khi đó
x2

2 x3 3
2 x3
B. F  x  
 C .
 3ln x  C .
3
x
3
2x3
2 x3 3
C. F ( x) 

D. F ( x ) 
 3ln x  C .
 C .
3
3
x
Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  sin 2 x là

A. F ( x ) 

A. x2  2cos 2x  C .

1
B. x 2  cos 2 x  C .
2

C. x2  2cos 2 x  C .

1
D. x 2  cos 2 x  C
2

.
Câu 33: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x  

1
là
sin  x  2 
2

A. cot  x  2   C .
C. 

2 cos  x  2 
sin

3

 x  2

B.  cot  x  2   C .

C .

D. 

cos  x  2 

C .

sin 3  x  2 

Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là
A. F  x   e x  sin x  2018 x  C .

B. F  x   e x  sin x  2018 x  C .

C. F  x   e x  sin x  2018 x .

D. F  x   e x  sin x  2018  C .

Câu 35: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  e x .

 f  x  dx  e
C.  f  x  dx  e
A.

x

 e x  C .

x

 e x  C .

Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x là
A. e x  C .
B. e x  C .
Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số y  sin( x  1) ?
A.  sin( x  1)dx   cos( x  1)  C .

x

 e x  C .

x

 e x  C .

 f  x  dx  e

D.  f  x  dx  e
B.

C.  e  x  C .

D. e x  C .

B.  sin( x  1)dx  cos( x  1)  C .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
C.  sin( x  1)dx  ( x  1) cos( x  1)  C .

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
D.  sin( x  1)dx  (1  x) cos( x  1)  C .

2

Câu 38: Hàm số F  x   e x là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
2

2

B. f  x   2 x 2e x  C .

A. f  x   2 xe x .

2

2

C. f  x   xe x .
D. f  x   x 2e x  3 .
Câu 39: Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  cos(2 x  3) .
1
A. F ( x )   sin(2 x  3)  C .
B. F ( x)  sin(2x  3)  C .
2
1
C. F ( x)   sin(2 x  3)  C .
D. F ( x )  sin(2 x  3)  C .
2
Câu 40: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
A. f  x   sin 2 x , g  x   cos 2 x .
B. f  x   e x , g  x   e  x .
C. f  x   sin 2 x , g  x   sin 2 x .

D. f  x   tan 2 x , g  x  

Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan x là
1
A.  ln cos x  C.
B. 
 C.
cos 2 x
Câu 42: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
đây đúng?

A. F  x   2 tan x  3 .

D.

1
 C.
cos 2 x

2
 
và F    3 . Khẳng định nào dưới
2
cos x
4

B. F  x   tan x  4 .

C. F  x   2 tan x  5 .
Câu 43: Tìm khẳng định sai?

D. F  x   2 cot x  5 .

A.  tan 2 xdx  tan x  x  C .
C.  2 x dx 

C. ln cos x  C.

1
.
cos 2 x 2

B.

2x 1
C.
x 1

e
 x dx 

x e1
 2C .
e 1

D.  e x dx  C  e x

Câu 44: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  

1
là
1 x

1
1
ln(1  x)2  C .
C.  ln 2  2x  C .
D.  ln 1  x  C .
2
2
6

Câu 45: Cho hàm số f  x  thỏa f   x  
và f  2   0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3  2x
A. f  x   3ln 3  2 x .
B. f  x   2 ln 3  2 x .
A. ln 1  x  C .

B.

C. f  x   3ln 3  2 x .

D. f  x   2 ln 3  2 x .

 
 
Câu 46: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm f ( x)  sin 2 x và F    1. Tính F   
4
6
 
  3
A. F    0.
B. F    
6
6 4
Câu 47: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1
A.  dx  ln 3x  C .
3x

  1

C. F    
6 2

  5
D. F    
6 4

B.  e x dx  e x  C .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
2x
D.  2 dx 
C .
ln 2
x

C.  sin x dx  cosx  C .
Câu 48: Tìm nguyên hàm I   2 x  1dx
2
3
1
C. I 
3

 2 x  1

A. I 

 2 x  1

Câu 49: Tìm a  b biết

3

3

1
C .
2 2x 1
1
D. I 
C .
4 2x 1

C .

B. I 

C .
7 x  11

 ( x  1)( x  2)dx  a ln x  2  b ln x  1  C ?

A. a  b  7 .

B. a  b  5 .

C. a  b  11 .

D. a  b  5 .

 
Câu 50: Tìm hàm số F  x  biết F   x   sin 2 x và F    1 .
2
1
1
A. F  x    cos 2 x  .
B. F  x    cos 2 x .
2
2
1
3
C. F  x   cos 2 x  .
D. F  x   2 x    1 .
2
2
x
Câu 51: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  .
2
x3 x 2
A.  f  x  dx  x3  x2  C .
B.  f  x  dx    C .
3 4

2
x
x2
C.  f  x  dx  x3   C .
D.  f  x  dx  x3   C .
4
2
2
2x  7 x  5
Câu 52: Tính nguyên hàm I  
dx .
x 3
A. I  2 x 2  x  2ln x  3  C .
B. I  x 2  x  2ln x  3  C .
C. I  x 2  x  2ln x  3  C .
Câu 53: Hàm số F  x  


f  x   x

D. I  2 x 2  x  2 ln x  3  C .

1 3 x 1
e
9 x 2  24 x  17  C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
27





 2 x  1 e



A. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 .
C.

2

3 x 1


f  x   x


 2 x  1 e

B. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 .

.

D.

2

3 x 1

.

Câu 54: Tính I   8sin3x cos x dx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó a  b bằng:

A. 3 .
B. 1 .
Câu 55: ) Họ nguyên hàm của hàm số f  x  x  sin x là
A. 1  cos x  C .

B.

x2
 cos x  C .
2

C. 1 .

C.

D. 2 .

x2
 cos x  C .
2

D. x2  cos x  C .

Câu 56: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm

f x

.

A. f  x  

x2
1
 cos x  .
2
2

B. f  x  

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
x2
 cos x  2 .
2

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

x2
C. f  x    cos x  2 .
2

x2
D. f  x    cos x .
2

Câu 57: Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f  x  
A. F ( x )  2 2 x  1  1 .

2
thỏa mãn F  5  7 .
2x 1
B. F ( x)  2 x  1  4 .

C. F ( x )  2 x  1  10 .
Câu 58: Cho f  x  

x2  2 x

 x  12

D. F ( x )  2 2 x  1 .

, F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Tìm phương án sai?

x2  x 1
x2  2 x  2
.
B. F  x  
.
x 1
x 1
x2  x 1
x2
C. F  x  
.

D. F  x  
.
x 1
x 1
Câu 59: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x.ln 9 thỏa F  0   2 . Tính F 1 .

A. F  x  

A. F 1  6 .

2

C. F 1  12  ln 3 .

B. F 1  3 .

Câu 60: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

D. F 1  4 .

x 1
, biết đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm
x2

1; 2  ,
1
1 .
x
1
C. F  x   ln x   3 .

x
Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x  sin 6 x .

A. F  x   ln x 

1
 3.
x
1
D. F  x   ln x   1 .
x

B. F  x   ln x 

x 2 sin 6 x
f  x  dx 

C .
2
6
x 2 sin 6 x
f  x  dx 

C .
2
6

x 2 cos 6 x
A. 
B.  f  x  dx  

C.
2
6
x 2 cos 6 x
C. 
D.  f  x  dx  
C.
2
6
1
Câu 62: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
và F 1  3 . Tính F  4  .
x
A. F  4   5 .
B. F  4  3 .
C. F  4   3  ln 2 .
D. F  4   4 .

Câu 63: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 3  sin 2 x .
A.



C.



x4 1
f  x  dx   cos 2 x  C .
4 2

x4
f  x  dx 
 cos 2 x  C .
4

x4 1
f  x  dx   cos 2 x  C .
4 2

B.



D.

 f  x  dx  3x

C. ln[( x  1)( x  3)] .

 2cos 2 x  C .

x3
?
x  4x  3
x 1
 2.
B. ln
x 3
D. ln(2 x  1 ) .

Câu 64: Hàm số F(x) nào sau đây là 1 nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. 2ln x  3  ln x  1  C .

2

2

Câu 65: Tìm giá trị m để hàm số F  x   m 2 x 3   3m  2  x 2  4 x  3 là một nguyên hàm của hàm số

f  x   3 x 2  10 x  4 .
A. m   1 .

B. m   1 .

C. m  1 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. m  2 .
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

Câu 66: Cho hàm số F  x   ax3   a  b  x 2   2a  b  c  x  1 là một nguyên hàm của hàm số

f  x   3x 2  6 x  2 . Tổng a  b là
A. 4 .

B. 2 .
DẠNG 3: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN TÌM HẰNG SỐ C

C. 5 .

D. 3 .

Câu 67: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 2  x 3  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là

2 3 x4
x   4x .
C. x 3  x 4  2 x .
3
4
Câu 68: Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’  x   4 x 3 – 3 x 2  2 và F  1  3
A. 2 x 3  4 x 4 .

B.

A. F  x   x 4 – x 3  2 x  3

B. F  x   x 4 – x 3 +2x  3

C. F  x   x 4 – x 3  2 x  3

D. F  x   x 4  x 3  2 x  3

Câu 69: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F (0) 
1
A. F ( x)  e x  x 2  .

2
3
C. F ( x)  e x  x 2  .
2

2 3 x4
x   4x .
3
4

D.

3
. Tìm F ( x) .
2

1
B. F ( x )  2e x  x 2  .
2
5
D. F ( x)  e x  x 2  .
2

 
Câu 70: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   2 x  3cos x, F    3
2

2
A. F ( x)  x  3sin x  6 
4

2

C. F ( x)  x 2  3sin x 
4
2

2
B. F ( x)  x  3sin x 
4
2

D. F ( x)  x2  3sin x  6 

Câu 71: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 
1
B. F (3)  ln 5  5.
2

A. F (3)  2ln5  3.

2
4

1
1
và F (2)  3  ln 3. Tính F (3).
2 x 1
2
1
C. F (3)  ln 5  3.

D.
2

F (3)  2ln 5  5.
F  x
f  x    2 x  1 x  2 
F 1  2
Câu 72: Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết
.
2 3 3 2
29
2 3 3 2
A. F  x   x  x  2 x 
.
B. F  x   x  x  2 x .
3
2
6
3
2
1

2
3
C. F  x   x2  x  x2  2 x   2 .
D. F  x   x 3  x 2  2 x  2 .
3
2

2

1

Câu 73: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  2 x  2 thỏa mãn F( )  1 là:
sin x
4





A. F( x)  cotx  x2 
C. F( x)  cotx  x 2

2
16

2
16
2
2
D. F( x)  cotx  x 
16
 
B. F( x)  cotx  x 2 

Câu 74: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f ( x)  sin 2 x , biết F    0 .
6
1

1

A. F  x   cos 2 x .
B. F  x   cos 2 x  .
2
2
6
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

1
1
C. F  x   cos 2 x  .
D. F  x   sin 2 x  .
4
4
Câu 75: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x và đồ thị của hàm số y  F  x  đi qua

 
điểm M  0;1 . Tính F   .
2
 
 
A. F    1.

B. F    1 .
2
2
Câu 76: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  
A. F  x   2 2 x  1  4 .
C. F  x   2 2 x  1  10 .

 
C. F    2 .
2

 
D. F    0 .
2

2
thỏa mãn F  5  7
2x 1
B. F  x   2 2 x  1  1 .

D. F  x   2 2 x  1 .

2x  3
 x  0 . Biết rằng F 1  1 thì F  x  là
x2
3
3
A. F  x   2 x   2 .
B. F  x   2ln x   4 .
x

x
3
3
C. F  x   2 x   4 .
D. F  x   2ln x   2 .
x
x
x
x
Câu 78: Nếu F  x  là một nguyên hàm của f ( x)  e (1  e ) và F (0)  3 thì F ( x ) là?
Câu 77: Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

A. e x  x

B. e x  x  2

C. e x  x  C

D. e x  x  1

3

Câu 79: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   8 1  2 x  . Tính I  F 1  F  0  .
A. I  0 .
B. I  2 .
C. I  16 .
D. I  2 .
DẠNG 4: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HÀM HỮU TỈ
P( x)
Dạng: I  

Q ( x)
– Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành
tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
1
A
B


Chẳng hạn:
( x  a)( x  b) x  a x  b
1
A
Bx  C

 2
, vôùi   b 2  4ac  0
2
( x  m)(ax  bx  c) x  m ax  bx  c
1
A
B
C
D




2
2

2
( x  a ) ( x  b)
x  a ( x  a ) x  b ( x  b) 2
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x 2  3x  3
1
a. f(x) =
.
b. f(x) = 2
.
x 1
x  3x  2
 Giải
a. Ta có:
x 2  3x  3
1 
1

 f ( x)dx =  x  1 dx =   x  2  x  1  dx = 2 x2 + 2x + lnx + 1 + C.
b. Ta có:
dx
dx
1 
 1
 f ( x)dx =  x2  3x  2 =  ( x  1)( x  2) dx =   x  1  x  2  dx

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
= ln|x + 1| - ln|x + 2| + C = ln

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

x 1
C .
x2

Nhận xét: Qua thí dụ trên:

Câu a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức là đã biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu
thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên
hàm.
Câu b) chúng ta nhận thấy:
( A  B) x  2 A  B
1
A
B
=

=
( x  1)( x  2)
x  3x  2 x  1 x  2
Ta được đồng nhất thức 1 = (A + B)x + 2A + B.
Để xác định A, B trong (1) ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Phương pháp đồng nhất hệ số: Đồng nhất đẳng thức, ta được:
A  B  0
A 1


.

2 A  B  1
 B  1
2

Câu 80: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax 

f 1  0

b
 x  0  , biết rằng F  1  1 , F 1  4 ,
x2

.

3x 2 3 7

 .
4 2x 4
3x 2 3 7
F
x


 .
C.  
2 4x 4
6x  2

Câu 81: Tìm 
dx .
3x  1
4
A. F  x   ln 3 x  1  C
3
4
C. F  x   2 x  ln 3 x  1  C
3
x2  x  1
Câu 82: Nguyên hàm 
dx
x 1
x2
1
A.
B. 1 
C .
 ln x  1  C .
2
2
 x  1
A. F  x  

Câu 83: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x  

1
2

(1)

2
A.  ln x 1  C .

B.

3x 2 3 7
  .
4 2x 4
3x 2 3 1
F
x

  .
D.  
2 2x 2
B. F  x  

B. F  x   2 x  4 ln  3x  1  C
D. F  x   2 x  4 ln 3 x  1  C

C. x 

1
C.
x 1

1
là
x 1

2

1 x 1
ln
C .
2 x 1

1 x 1
C.  ln
C .
2 x 1

Câu 84: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x  
1
x2
A. F  x   ln
C.
5 x1
2
1 2x  1
C. F  x    ln
C.
5
x2

D. x 2  ln x  1  C .

D.

1

ln x 2 1  C .
2

1
?
 2 x  1 x  2 

1
x2
B. F  x   ln
C
5 2x 1

D. F  x  

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
1
3x  6
ln
C.
15 2 x  1

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
1

.
x x
B. F  x   ln x  ln x  1 .
D. F  x    ln x  ln x  1 .

Câu 85: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x  

2

A. F  x   ln x  ln x  1 .
C. F  x    ln x  ln x  1 .
x 1
Câu 86: Biết 
dx  a.ln x  1  b.ln x  2  C . Tính giá trị của biểu thức a  b .
 x  1 2  x 
A. a  b  1.

B. a  b  5 .
x 1
Câu 87: Họ các nguyên hàm của hàm số y  2 là:
x
1
1
A. ln x   C .
B. ln x   C .
x
x
x
Câu 88: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2
x 4

1
1
2
A. ln x  4  C .
B.
C .
2
2
2  x  4
Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
A.
C.





1  x2
f  x  dx   ln
C .
x

Câu 90: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

Câu 91:

1 x 3
ln
C .

2 x 1


Nguyên hàm x
A.

2

B.

D. a  b  1.

1
C. e x   C .
x

D. ln x 

C.

1
4  x2  4

2

1
C .
x

D. 2 ln x2  4  C .

C .

1
.
x 1  x 2 

1  x2
C .
x

f  x  dx  ln

C. a  b  5 .

B.

 f  x  dx  ln

D.

 f  x  dx   ln

x
1  x2
x

C .

1  x2

C .

1
.
x  4x  3
2

1 x3
ln
C .
2 x 1

1 x 3
C.  ln
C.
2 x 1

1 x5
ln
C .
6 x 1

C.

D.

1 x 3
ln
C .

2 x 1

D.

1 x 1
ln
C .
6 x 5

dx

 4x  5 .

1
x 1
ln
C .
6 x5

B.

1
x 1
ln
C .
6 x5

x 3
b
dx  a ln x  1 

 C với a, b   . Chọn khẳng định đúng trong các
 2x 1
x 1
khẳng định sau:
b
2a
a
1
A.  2 .
B.
 1 .
C. a  2b .
D.
 .
a
b
2b
2
2x  3
Câu 93: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2
.
2x  x 1
2
2
2
5
A.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C .
f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C

3

3
3
3
B.
.
1
5
2
5
C.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C .
D.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C .
3
3
3
3
DẠNG 5: NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG
1. Công thức cộng
cos(a  b)  cos a. cos b   sin a. sin b
Câu 92: Biết rằng

x

2

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

sin(a  b)  sin a. cos b  sin b. cos a
tan a  tan b
1  tan a. tan b
2. Công thức nhân đôi
tan(a  b) 

1  tan 2 a
cos 2a  cos a – sin a  2 cos a – 1  1 – 2 sin a 
1  tan2 a
2 tan a
2 tan a
; tan 2a 
sin 2a  2 sin a. cos a 
2
1  tan2 a
1  tan a
;
cos 3  4 cos 3   3 cos 
sin 3  3 sin   4 sin 3 
3. Công thức hạ bậc
1  cos 2a
1  cos 2a
1  cos 2a
; cos2 a 
; tan2 a 
sin2 a 

2
2
1  cos 2a
3 sin   sin 3
cos 3  3 cos 
sin 3  
;
cos3  
4
4
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos  . cos    cos(   )  cos(   )
2
1
sin  . sin    cos(   )  cos(   )
2
1
sin  . cos   sin(   )  sin(   )
2
5. Công thức biến đổi tổng thành tích


cos   cos   2 cos
. cos
2
2


cos   cos   2 sin

.sin
2
2


sin   sin   2 sin
. cos
2
2

 
sin   sin   2 cos
. sin
2
2
sin(   )
tan   tan  
cos  cos 
sin(   )
tan   tan  
cos  cos 
Hệ quả:
2

2

2

2





cos   sin   2 cos      2 sin    
4
4






cos   sin   2 cos       2 sin    
4
4


B – BÀI TẬP
Câu 94: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  sin x  1 là
sin 2 x
A. cos x  x  C .
B.
C.  cos x  x  C .
D. cos x  C .
 xC .
2
Câu 95: Cho a   , hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f  x   cos x .

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
A. F  x   sin x .

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
xa
xa
.
cos
2
2
xa
xa
D. F  x   2 sin
.
cos
2
2

B. F  x   2 cos

x

x

C. F  x   2 sin   a  cos   a  .
2


2

Câu 96: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x là

A.  sin 2 x  C .
B.  cos2x  C .
C. cos2x  C .
D. cos 2 x  C .
Câu 97: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g  x   tan x ?
2
(III) f  x   tan 2 x  1
2
cos x
B.  II  .
C.  II  ,  III  .

(I) f  x   tan 2 x  2 (II) f  x  
A.  III  .

D.  I  ,  II  ,  III  .

Câu 98: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x     sin 2 x  cos3x dx .

1

1

1

1

Câu 99: Nguyên hàm của hàm số f  x   sin x cos x là:
1
1
A.  sin x cos x .
B. cos 2 x  C .
C.  cos 2 x  C .
4
4
x
2
Câu 100: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4  sin x là

D.

 f  x  dx  2 cos 2x  3 sin 3x  C .
C.  f  x  dx   cos 2 x  sin 3x  C .
A.

sin 3 x
C .
3
4x x 1
C.
  sin 2 x  C .
ln 4 2 4
Câu 101: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan 2 x .

A. 4 x ln x 

 f ( x)dx  tan x  x  C .
C.  f ( x)dx  tan x  C .
A.

 f  x  dx   2 cos 2x  3 sin 3x  C .
D.  f  x  dx  cos 2 x  sin 3x  C .
B.

B. 4 x ln x 
D.

1
sin 2 x  C .
4

sin 3 x
C .
3

4x 1
 sin 2 x  C .
ln 4 4

 f ( x)dx  tan x  x  C .
D.  f ( x)dx x  tan x  C .
B.

Câu 102: Nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.cos5 x là.
1

1
1
1
A.  f ( x)dx  cos2 x  cos8 x  C .
B.  f ( x)dx  cos2 x  sin 8 x  C .
4
16
4
16
1
1
1
1
C.  f ( x)dx  sin 2 x  cos8 x  C .
D.  f ( x )dx   cos2 x  cos8 x  C .
4
16
4
16
Câu 103: Tính I   8sin 3x cos xdx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó, a  b bằng
A. 1.
B. 2.
2
Câu 104: Nguyên hàm  sin 2 xdx là
1
1
x  sin 4 x  C .
2
8
1

1
C. x  sin 4 x  C .
2
4
DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT

A.

C. 3.

D. 1 .

1 3
sin 2 x  C .
3
1
1
D. x  sin 4 x  C .
2
8

B.

2x
Câu 105: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   5 .

A.  52 x dx  2.

52x
C .

ln5

B.  52 x dx 

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
25x
C .
2ln 5
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

C.  52 x dx  2.5 2 x ln 5  C .

D.  52 x dx 

25x1
C .
x 1

2018x
Câu 106: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  e .

1

A.

 f  x  d x  2018 .e

2018 x

C

 f  x  dx  e
f  x  dx  e
D. 

.

2018 x

f  x  dx  2018e
C
C. 
.
Câu 107: Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f  x   e1 4x ?
A. y  4e1 4 x .

B. y 

2018 x

B.

1 1 4 x
e .

4

C. y 

2018 x

C

.
ln 2018  C

1 1 4 x
e .
4

.

D. y  e1 4 x .

x
Câu 108: Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e  2x thỏa mãn F  0   3 . Tìm F  x .

2

A. F  x   e x  x 2  5 .
2
C. F  x   e x  x 2  3 .
2

B. F  x   2e x  x 2  1 .

2
1
D. F  x   e x  x 2  .
2

x
Câu 109: Cho hàm số f  x thỏa mãn f   x  2018 ln2018  cos x và f  0  2 . Phát biểu nào sau đúng?
x
A. f  x  2018  sin x 1.

C. f  x  

B. f  x  

2018x
 sin x 1 .
ln 2018

2018x
 sin x 1 .
ln 2018

x
D. f  x  2018  sin x 1.

3x 2

(2  e
Câu 110: Tính 

) dx

A. 3 x  4 e 3 x  1 e 6 x  C

B. 4 x  4 e 3 x  5 e 6 x  C

3
6
4 3x 1 6 x
C. 4 x  e  e  C
3
6

3
6
4 3x 1 6 x
D. 4 x  e  e  C
3
6

F(x)  ex  ex  x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
f (x)  ex ex 1
B. f ( x )  e x  e  x  1 x 2

Câu 111: Hàm số
A.
C.

x

x

f (x)  e e 1

Câu 112: Họ nguyên hàm của hàm số

D. f ( x )  e x  e  x

f (x)  e2x e3x là :

e3 x e2 x

C.
A.
3
2
e3 x e3x

C .
C.
2
2
Câu 113: Họ nguyên hàm của hàm số

2
1
 x2
2

e2 x e3x


C .
B.
2
3
e2 x e3x

C.
D.
3
2

f (x)  32x 23x

32 x
23 x

C .
A.
2.ln 3 3.ln 2
32 x
23x

C .
C.
2.ln 3 3.ln 2

là :

32 x

23x

C .
B.
2.ln 3 3.ln 2
32 x
23x

C .
D.
2.ln 3 3.ln 2





Câu 114: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  e  x .
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

x

 f  x  dx  e  C .
C.  f  x  dx  e  e  C .

Câu 115: F  x là một nguyên hàm của hàm số
A.

x

x

x

 f  x  dx  e  x  C .
D.  f  x  dx  e  C .
B.

x

2

y  xex . Hàm số nào sau đây không phải là F  x ?

A. F  x   1 e x  2 .

B. F  x   1 e x  5 .

C. F  x    1 e x  C .

D. F  x    1 2  e x


2

2

2



2


2

2

2



2x
x
Câu 116: Tìm nguyên hàm F  x của hàm số f  x   2  3 



2

.

x
.
4 

x

x

12
2x x

C .
ln12
3
22 x  3x x x 
F
x




C.

.
ln 2  ln 3 4x 

x
B. F  x   12  x x  C .

A. F  x  

D. F  x  


Câu 117: Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017 


2018
C .
x4
504, 5
f  x  d x  2017e x 
C .
x4

A.

 f  x  dx  2017e

C.



x



2018e  x
x5

22 x  3x x x ln 4 


.

ln 2  ln3
4x 


.


504, 5
C .
x4
2018
f  x  d x  2017e x  4  C .
x

B.

 f  x  d x  2017e

D.



x



Câu 118: Tính  22 x.3x.7 x dx

84 x
C

A.
ln 84
Câu 119: Nguyên hàm

22 x.3x.7 x
C
B.
ln 4.ln 3.ln 7

C. 84 x  C

D. 8 4 x ln 84  C

e2 x1  2
 3 ex dx là:

5 53 x1 2  3x
5 53 x1 2 3x
e

e

C
A.
.
B. e  e  C .
3
3
3
3

5
x
5
5 3 x1 2 3
5 3 x1 2  3x
e

e

C
C.
.
D. e  e  C .
3
3
3
3
1
Câu 120: Cho F  x là nguyên hàm của hàm số f  x   x
và F  0    1 ln 4 . Tập nghiệm S của
e 3



3



x

phương trình 3F  x   ln e  3  2 là
A. S  2 .

B. S  2;2 .

C. S  1;2 .

D. S 2;1 .

Câu 121: Hàm số F  x   1 e 3 x 1  9 x 2  24 x  17   C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây.
27


f  x   x


 2 x  1 e
C.
Câu 122: Cho hai hàm số F  x    x

A. f  x   x  2 x  1 e3 x 1 .
2
2

3 x 1
2

.

 ax  b  e x và

nguyên hàm của hàm số f  x .
A. a  1 , b   7 .
B. a   1 , b   7 .



D. f  x    x  2 x  1 e .
f  x     x  3x  6 e . Tìm a và b để F  x là một
B. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 .
3 x 1

2

2

C. a   1 , b  7 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
x

D. a  1 , b  7 .

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A



Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng







Câu 123: Cho F  x   ax 2  bx  c e2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x   2018x 2  3x  1 e2 x trên
khoảng  ;  . Tính T  a  2b  4c .
A. T   3035 .
B. T  1007 .
C. T  5053 .
D. T  1011 .
2
x
Câu 124: Biết F  x   ax  bx  c e là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 2  5x  2 e x trên  .







Tính giá trị của biểu thức f  F  0  .
A.  e  1 .
B. 20e 2 .
C. 9e .
DẠNG 7: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BIẾT HÀM f   x 

Câu 125: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '( x ) 



D. 3e .

1
, f (1)  1. Tính f (5)
2x 1

1
B. f (5)  ln 3 .
C. f (5)  ln 2 .
D. f (5)  ln 3  1 .
2
Câu 126: Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm f  x  .

A. f (5)  2ln3 1.

x2
x2
 cos x  2 .
B. f  x    cos x  2 .
2
2
2
x
x2
1
C. f  x    cos x .

D. f  x    cos x  .
2
2
2
Câu 127: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f  x  

A. f  x   3 x  5sin x  2 .

B. f  x   3 x  5sin x  5 .

C. f  x   3 x  5sin x  5 .

D. f  x   3 x  5sin x  5 .





Câu 128: Tìm hàm số y  f  x  biết f   x   x 2  x  x  1 và f  0   3 .
x4 x2
 3.
4
2
4
x
x2
C. f  x     3 .
4
2

A. f  x  

B. f  x   3 x 2  1 .
D. f  x  

x4 x2
 3.
4
2

1
, f  0   2017 , f  2   2018 .
x 1

Câu 129: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1 thỏa mãn f   x  
Tính S  f  3  f  1 .
A. S  4 .

B. S  ln 2 .

C. S  ln 4035 .
D. S  1 .
3x 1
Câu 130: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2 thỏa mãn f   x  
, f  0   1 và f  4   2 . Giá
x2
trị của biểu thức f  2   f  3 bằng:
A. 3  20ln 2 .

B. ln 2 .

C. 12 .

D. 10  ln 2 .

Câu 131: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1 thỏa mãn f   x  
Giá trị f  3 bằng
A. 2  ln 2 .

B. 1  2ln 2 .

3
; f  0   1 và f 1  f  2   2 .
x 1

C. 1  ln 2 .

Câu 132: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 0 thỏa mãn1 f   x 

x


D. 1.
2

 1
x3

2

, f  1  1 và f 1  2 .

Giá trị của biểu thức f  2   f  2  bằng

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

27
3
15
 4 ln 2 .
B.  4ln 2 .
C. 4 ln 2 .
D.
 4ln 2
4
4
4
Câu 133: Hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f   x   x  1 . Biết rằng f  0   3 .

A.

Tính f  2   f  4  ?

A. 10 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 11 .
2
Câu 134: Biết hàm số y  f  x  có f   x   3 x  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là
A. x3  x 2  3x  5 .

C. 2 x3  x 2  7 x  5 . D. x3  x 2  4 x  5 .
1
Câu 135: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2;1 thỏa mãn f   x   2
và f  3  f  3  0 .
x  x2
Giá trị của biểu thức f  4   f  4  bằng
A. 0 .

B. x3  2 x 2  5 x  5 .

1
B.  ln 2 .
3

C.

1
ln 2 .
3

Câu 136: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1;1 và thỏa mãn f   x  

D.

1
ln 5 .
3

1
. Biết rằng
x 1
2

 1
1
f  3  f  3  0 và f     f    2 . Tính T  f  2   f  0   f  4  .
 2
2
9
6
1 9
1 6
A. T  1  ln .
B. T  1  ln .
C. T  1  ln .
D. T  1  ln .
5
5
2 5
2 5

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN
2. Đổi biến dạng 1
Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x    t  . Trong đó   t  cùng với đạo hàm của nó (  '  t  là những hàm
số liên tục) thì ta được :
 f ( x)dx   f   t   '  t  dt   g (t )dt  G (t )  C .
2.1. Phương pháp chung
 Bước 1: Chọn t=   x  . Trong đó   x  là hàm số mà ta chọn thích hợp .
 Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   '  t  dt .
 Bước 3: Biểu thị : f ( x )dx  f   t    '  t  dt  g (t )dt .
 Bước 4: Khi đó : I   f ( x)dx   g (t )dt  G (t )  C
2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :
Dấu hiệu
Hàm số mẫu số có



Hàm số : f x;   x 
Hàm f  x  
Hàm f  x  



Cách chọn
t là mẫu số
t    x

a.s inx+b.cosx
c.s inx+d.cosx+e
1

x 
x

t  tan ;  cos  0 
2 
2

Với : x  a  0 và x  b  0 .
Đặt : t  x  a  x  b
Với x  a  0 và x  b  0 .
Đặt : t   x  a   x  b

 x  a  x  b 

1. Đổi biến dạng 2
Nếu :  f ( x)dx  F ( x)  C và với u    t  là hàm số có đạo hàm thì :

 f (u )du  F ( (t ))  C
1.1. Phương pháp chung
 Bước 1: Chọn x    t  , trong đó   t  là hàm số mà ta chọn thích hợp .
 Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   '  t  dt

 Bước 3: Biến đổi : f ( x)dx  f   t    '  t  dt  g  t  dt
 Bước 4: Khi đó tính :  f ( x)dx   g (t )dt  G (t )  C .
1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Dấu hiệu
Cách chọn

a2  x2

  
Đặt x  a sint ; với t    ;  . hoặc x  a cost ;
 2 2
với t   0;   .
Đặt x 

x2  a2

2

a x

2

a
a
  
. ; với t    ;  \ 0 hoặc x 
sint
cost
 2 2

 
với t   0;   \   .
2
  
Đặt x  a tant ; với t    ;  . hoặc x  a cot t
 2 2
với t   0;   .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

a x
. hoặc
ax

ax
.
a x

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

Đặt x  acos 2t
Đặt x  a  (b – a)sin2t

 x  a  b  x 

  
Đặt x  atant ; với t    ;  .
 2 2

1
a  x2
2

BÀI TẬP
Câu 1.

DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN
2x
Cho hàm số f  x   2
. Khi đó:
x 1
A.  f  x dx  2 ln 1  x 2   C .
B.  f  x dx  3ln 1  x 2   C .
C.

Câu 2.

 f  x dx  4 ln 1  x   C .
2

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) 

D.
2 x
là :

x  4x  4

1
.ln x 2  4 x  4  C .
2
C. 2 ln x 2  4 x  4  C .

Câu 4.

B. ln x 2  4 x  4  C .
D. 4 ln x 2  4 x  4  C .

3x2
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3
là:
x 4
A. 3ln x 3  4  C

B. 3ln x3  4  C

C. ln x 3  4  C

D.  ln x 3  4  C

Tính F ( x)  

x3
dx
x4 1
1

B. F ( x )  ln x 4  1  C
4
1
D. F ( x )  ln x 4  1  C
3

A. F ( x )  ln x 4  1  C
1
C. F ( x )  ln x 4  1  C
2

Câu 5.

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) 

sin x
là
cos x  3

A.  ln cos x  3  C

ln cos x  3
C
2
Nguyên hàm của hàm số: y  sin3 x.cosx là:
1
1
A. cos 4 x  C .
B. sin 4 x  C .
4

4
2
Tính  cos x.sin x.dx
C. 

Câu 6.

Câu 7.

3sin x  sin 3 x
C
12
sin 3 x
C
C.
3
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan x là:

A.

Câu 8.

2

2

A.

Câu 3.

 f  x dx  ln 1  x   C .

A. ln cos x  C

B. 2ln cos x  3  C
D. 4ln cos x  3  C

C.

1 3
sin x  C .
3

B.

3cos x  cos 3 x
C
12

D.  cos 2 x  C .

D. sinx .cos 2 x  C

B.  ln cos x  C

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

tan 2 x
C
C.
2
Câu 9.

D. ln  cos x   C

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 

ex
là:
ex  3

A. e x  3  C
C. 2 ln e x  3  C

B. 3e x  9  C
D. ln e x  3  C

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số
1
A.
B.
2  C
ln 2.2 x
Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số

2

f ( x )  2 x 2 x là:
1 x2
.2  C
ln 2

C.

2

1

2x

2

2

D. ln 2.2x  C

C

2

ex
B.
C .
2
2

D. e x  C .
1 x2
e C.
2
1 2
D. e x 1  C .
2

B.

1 x2 1
e C .
2

Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

ln x
.
x

2



1

2

 f  x  dx  2 ln x  C .
D.  f  x  dx  e  C

 f  x  dx  ln x  C .
C.  f  x  dx  ln x  C
A.

A.

ln 2

f ( x)  2 xe x là:

C .

Câu 14. Nguyên hàm

C.

2

e x
C .
A.
2
C. e x  C .
2
Câu 12. Tính  x.e x 1dx
A. e x

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

B.

x

1  ln x
dx  x  0  bằng
x

1 2
ln x  ln x  C .
2

B. x  ln 2 x  C .

Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 
1 2 2
ln ( x  1)  C
2
1
C. ln 2 ( x 2  1)  C
2
dx
Câu 16. Tính 
x.ln x
A. ln x  C
C. ln(lnx)  C

 x.

1

D. x  ln 2 x  C .
2

2x
ln( x 2  1) là:
2
x 1

B. ln( x2  1)  C

A.

Câu 17. Họ nguyên hàm

C. ln 2 x  ln x  C .

D.

1 2 2
ln ( x  1)  C
2

B. ln | x |  C
D. ln | lnx |  C
3

x 2  1dx bằng

1 3 2
3

3
1
. ( x  1)  C.
B. . 3 ( x 2  1)  C.
C. . 3 ( x 2  1)4  C. D. . 3 ( x 2  1)4  C.
8
8
8
8
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ

A.

Loại 1: Nếu

 f  x  dx  F  x   C

thì

 f u  x   .u '  x  dx  F u  x    C .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u '  x 
thì ta thực hiện phép đổi biến số t  u  x  , suy ra dt  u '  x  dx .
Khi đó ta được nguyên hàm:

 g  t  dt  G  t   C  G u  x   C.

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  .
HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC
Câu 18. Cho  f ( x )dx  F ( x)  C. Khi đó với a  0, ta có
1
F (a x  b)  C
2a
1
C. F (a x  b)  C
a
Câu 19. Hàm số f ( x)  x(1  x)10 có nguyên hàm là:

A.

( x  1)12 ( x  1)11

C .
A. F ( x) 
12
11
( x  1)11 ( x  1)10

C .
C.
11

10
dx
Câu 20. Tính 
thu được kết quả là:
(1  x 2 ) x
A. ln x  x 2  1  C .
x

C. ln

1  x2

 f (a x  b)dx bằng:
B. a.F (a x  b)  C
D. F (a x  b)  C

( x  1)12 ( x  1)11

C.
B. F ( x) 
12
11
( x  1)11 ( x  1)10

C .
D. F ( x) 
11
10

B. ln x 1  x 2  C .

C .

D.

1
x2
.ln
C .
2 1  x2

3

Câu 21. Tính  x  x  1 dx là :

 x  1
A.
5

5

 x  1


4

C

4

B.

 x  1
5

5

 x  1

4

4

C

x5 3x 4
x2
x5 3x 4
x2

 x3   C

 x3   C
D.
5
4
2
5
4
2

5
Câu 22. Xét I   x 3  4 x 4  3  dx . Bằng cách đặt: u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng?
C.

1
1
1
u 5du .
B. I   u 5du .
C. I   u 5 du .
D. I   u 5 du .

16
12
4
6
8
7
Câu 23. Cho  2 x  3x  2  dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của biểu

A. I 

thức 12 A  7 B bằng
23
A.
.
252

B.

241
.
252

x
dx là:
1
A. ln t  C , với t  x 2  1 .

Câu 24. Nguyên hàm của

x

C.

52
.
9

D.

7
.
9

2

B.  ln t  C , với t  x 2  1 .

1

1
ln t  C , với t  x 2  1 .
D.  ln t  C , với t  x 2  1 .
2
2
HÀM CHỨA CĂN THỨC
Câu 25. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3

C.

A.

2

 f  x  dx  3 x

2x  3  C .

B.

1

 f  x  dx  3  2 x  3

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
2x  3  C .

Trang 24

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
C.

2

 f  x  dx  3  2 x  3

2x  3  C .

Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
D.

 f  x  dx 

2x  3  C .

Câu 26. Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  3 x  1 ?
A.

F  x 

C. F  x  

4
3
x

1
 3  C

8
.

3
 x  1 3 x  1  C .
4

Câu 27. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  
1

43
4
 x  1  C .
3
3
3
D. F  x   4  x  1  C .
4

B. F  x  

1
.
2 2x 1

A.

 f  x dx  2

2x 1  C .

B.

 f  x dx 

C.

 f  x dx  2

2x 1  C .

D.

 f  x dx   2 x  1

2x 1  C .

1

Câu 28. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x )  x 1  x 2 là:
3
1
1
A. F ( x) 
1  x2
B. F ( x) 
1  x2
3
3
2

x2
1
1  x2
C. F ( x) 
D. F ( x) 
1  x2
2
2












2x 1

C .

2




2

Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 1  x 2 là:
3
3
1
A.
1  x2   C
B.  1  x 2   C

3
3
3
2
C. 2 1  x 2   C
D. 
1  x2   C

3
3
Câu 30. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x 3x  1 là:
1 3
1
1 3
1
7
5
6
4
A.
B.

 3 x  1  3  3 x  1  C .
 3x  1  3  3 x  1  C .
21
15
18
12
1
1 3
1
3
4
C. 3  3 x  1  3  3 x  1  C .
D.
 3 x  1  3  3 x  1  C .
9
12
3
Câu 31. Cho I   x3 x 2  5dx , đặt u  x 2  5 khi đó viết I theo u và du ta được
A. I   (u 4  5u 2 )du.

B. I   u 2 du.

C. I   (u 4  5u 3 )du. D. I   (u 4  5u 3 )du.

4

Câu 32. Cho I   x 1  2 x dx và u  2 x  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
0

3

A. I 

1 2 2
x  x  1 dx .
2 1
5

3

3

B. I   u 2  u 2  1 du .
1

3

3

1u u 
C. I     .
2  5 3 1

Câu 33. Khi tính nguyên hàm
A.  2u  u 2  4 du .
5

Câu 34. Tính tích phân: I  
1

D. I 



1 2 2
u  u  1 du .
2 1

x3
dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào?
x 1
B.   u 2  4 du .
C.  2  u 2  4 du .
D.   u 2  3du .

dx
được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Tổng a  b là
x 3x  1

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25