Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán (Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN ĐỨC DŨNG

VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY
CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN ĐỨC DŨNG

VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY
CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn:
GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường
GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn

Thái Nguyên - 2019

i

Tóm tắt
Cho (R, m) là một vành giao hoán, Noether địa phương. Cho M là
một R-môđun hữu hạn sinh chiều d và A là một R-môđun Artin.
Luận án tập trung nghiên cứu hai vấn đề. Thứ nhất, chúng tôi giới
thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy của M , kí hiệu là sp(M ), để đo tính
không Cohen-Macaulay dãy của M . Chúng tôi chứng minh rằng sp(M )
chính là chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy của M nếu R là
thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Chúng tôi cũng nghiên
cứu sự thay đổi của kiểu đa thức dãy của M qua đầy đủ hóa, qua địa
phương hóa cũng như tính không tăng của sp(M/xM ) khi x là một phần
tử tham số. Chúng tôi tính toán sp(M ) thông qua các môđun khuyết
thiếu của M .
Vấn đề nghiên cứu thứ hai là về chỉ số khả quy của môđun Noether
hoặc môđun Artin. Trước hết, chúng tôi đưa ra chặn đều cho chỉ số khả
quy của các iđêan tham số tốt khi kiểu đa thức dãy của môđun Noether
M là nhỏ. Sau đó, chúng tôi so sánh chỉ số khả quy của môđun con của
M và chỉ số khả quy của đối ngẫu Matlis của môđun thương tương ứng
của M .
Luận án được chia thành ba chương. Chương 1 dành để nhắc lại
một số kiến thức cơ sở như môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn
thứ cấp của môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun
Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-


ii

Macaulay suy rộng dãy.
Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy
của M , kí hiệu là sp(M ), thông qua kiểu đa thức của các môđun thương
trong lọc chiều. Chúng tôi nghiên cứu kiểu đa thức dãy dưới tác động
địa phương hóa và đầy đủ m-adic. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối
quan hệ giữa sp(M ) và sp(M/xM ) với x là phần tử tham số của M .
Khi R là thương của vành Gorenstein địa phương, chúng tôi tính toán
kiểu đa thức dãy của M thông qua chiều và kiểu đa thức của các môđun
khuyết thiếu của M .
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề về chỉ số khả
quy của môđun. Trước hết, chúng tôi đưa ra công thức chặn đều cho chỉ
số khả quy của các iđêan tham số tốt q của M với sp(M ) ≤ 1. Phần
cuối của Chương dành để nghiên cứu chỉ số khả quy của môđun Artin
và đưa ra sự so sánh giữa chỉ số khả quy của môđun con của M với chỉ
số khả quy của Đối ngẫu Matlis của môđun thương tương ứng của M .


iii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước
khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực
và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả

Trần Đức Dũng


iv

Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy tôi: GS. TSKH Nguyễn
Tự Cường. Thầy đã dìu dắt tôi từ những bước chập chững đầu tiên trên
con đường nghiên cứu khoa học, hướng dẫn tôi từ khi tôi làm luận văn
thạc sĩ và giờ đây là luận án tiến sĩ. Phương pháp đọc sách, cách phát
hiện và giải quyết vấn đề, những ý tưởng toán học mà Thầy chỉ bảo đã
giúp tôi trưởng thành hơn trong nghiên cứu và hoàn thành luận án này.
Trong công việc, Thầy luôn nghiêm khắc với học trò, trong cuộc sống
thầy luôn dành cho học trò của mình những tình cảm ấm áp và sự yêu
thương. Bên cạnh những kiến thức toán học, Thầy như người cha dạy
cho tôi biết cách làm người tử tế và sống nhân hậu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Cô tôi: GS.TS. Lê Thị Thanh
Nhàn. Cô là tấm gương về sự nỗ lực trong gian khó và cùng là người đã
truyền cảm hứng cho tôi về Toán học nói chung cũng như Đại số giao
hoán nói riêng khi tôi còn ngồi trên giảng đường Đại học. Cô đã bỏ ra
rất nhiều công sức và sự kiên nhẫn để không chỉ dẫn dắt, giảng dạy cho
tôi về kiến thức, kinh nghiệm và tư duy của người làm Toán, mà còn
luôn tạo điều kiện, giúp đỡ cho tôi trong công việc, trong cuộc sống. Sự
tận tâm với nghề, với học trò của cô sẽ là cái đích để tôi noi theo và
phấn đấu.
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của hai
người Thầy: GS. TSKH Nguyễn Tự Cường và GS.TS. Lê Thị Thanh


v

Nhàn. Một lần nữa, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô và sẽ
cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy Cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa

Toán - Tin, Phòng Sau Đại học, trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất, phù hợp nhất để tôi vừa
hoàn thành việc học tập, vừa đảm bảo công việc giảng dạy của mình tại
Trường.
Tôi xin cảm ơn PGS.TS Phạm Hùng Quý, TS Đoàn Trung Cường,
TS Trần Nguyên An, TS Trần Đỗ Minh Châu đã dành cho tôi những
tình cảm thân thiết và giải đáp nhiều thắc mắc chuyên môn cho tôi trong
suốt chặng đường dài tôi làm NCS. Xin cảm ơn các anh chị nhóm Đại
số giao hoán Thái Nguyên về những trao đổi quý báu trong quá trình
làm luận án.
Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ. Đặc
biệt là Vợ Phạm Thùy Linh và công chúa nhỏ Trần Phạm Ngân Khánh,
những người đã luôn hy sinh rất nhiều, luôn lo lắng, mong mỏi tôi tiến bộ
từng ngày, từng tháng. Luận án này tôi xin được dành tặng cho những
người mà tôi yêu thương.
Tác giả

Trần Đức Dũng


1

Mục lục

Mở đầu
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

2
11

1.1

Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . .

11

1.2

Môđun Cohen-Macaulay và kiểu đa thức . . . . . . . . .

16

1.3

Môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay
suy rộng dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Kiểu đa thức dãy của môđun

19
23

2.1

Lọc chiều và dãy lọc chính quy chặt . . . . . . . . . . . .

24

2.2

Kiểu đa thức dãy qua địa phương hóa và đầy đủ hóa . .

31

2.3

Mối quan hệ giữa sp(M ) và sp(M/xM ) với x là phần tử

2.4

tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Tính chất đồng điều của kiểu đa thức dãy . . . . . . . .

54

Chương 3. Chỉ số khả quy của môđun

58

3.1

Chỉ số khả quy của môđun Noether . . . . . . . . . . . .

59

3.2

Chỉ số khả quy với kiểu đa thức dãy nhỏ . . . . . . . . .

62

3.3

Chỉ số khả quy của môđun Artin và đối ngẫu Matlis . .

76

Kết luận

85

Tài liệu tham khảo

89


2

Mở đầu

Cho (R, m) là một vành giao hoán, Noether địa phương với iđêan
cực đại duy nhất m và M là một R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Ta
luôn có depth M ≤ dim M . Khi depth M = dim M thì môđun M được
gọi là môđun Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai
trò trung tâm trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực
nghiên cứu khác nhau của Toán học như Hình học đại số, Lý thuyết Tổ
hợp, Lý thuyết bất biến...

Chú ý rằng M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi (M/xM ) =
e(x; M ) với một (và với mọi) hệ tham số x của M . Một trong những mở
rộng quan trọng của lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun Buchsbaum do J. St¨
uckrad và W. Vogel [49] giới thiệu, đó là lớp các môđun M
thỏa mãn giả thuyết đặt ra bởi D.A. Buchsbaum: (M/xM ) − e(x; M )
là hằng số không phụ thuộc hệ tham số x. Sau đó, N.T. Cường, P.
Schenzel và N.V. Trung [48] đã giới thiệu lớp các môđun M thỏa mãn
supx ( (M/xM )−e(x; M )) < ∞, được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy
rộng. Năm 1991, N.T. Cường [5] đã giới thiệu khái niệm kiểu đa thức
của M , kí hiệu là p(M ), để đo tính không Cohen-Macaulay của M , từ
đó phân loại và nghiên cứu cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh trên
vành địa phương. Nếu ta quy ước bậc của đa thức không là −1, thì M
là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1 và M là Cohen-Macaulay


3

suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0.
Một mở rộng quan trọng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay là
lớp Cohen-Macaulay dãy, được R.P. Stanley [41] giới thiệu cho trường
hợp phân bậc và P. Schenzel [39], N.T. Cường, L.T. Nhàn [11] nghiên cứu
cho trường hợp địa phương: M là Cohen-Macaulay dãy nếu mỗi thương
Di /Di+1 là Cohen-Macaulay, trong đó D0 = M và Di+1 là môđun con
lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dim Di với mọi i ≥ 0. Tiếp theo,
N.T. Cường và L.T. Nhàn [11] nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay
suy rộng dãy bằng cách thay điều kiện mỗi môđun thương Di /Di+1 là
Cohen-Macaulay bằng điều kiện Di /Di+1 là Cohen-Macaulay suy rộng.
Mục đích đầu tiên của luận án là giới thiệu khái niệm kiểu đa thức
dãy của M , kí hiệu là sp(M ), để đo tính không Cohen-Macaulay dãy
của M . Chúng tôi chỉ ra rằng sp(M ) chính là chiều của quỹ tích không

Cohen-Macaulay dãy của M khi R là thương của vành Cohen-Macaulay
địa phương. Chúng tôi nghiên cứu sự thay đổi của kiểu đa thức dãy của
M qua địa phương hoá, qua đầy đủ hóa cũng như tính không tăng của
sp(M/xM ) khi x là một phần tử tham số. Chúng tôi tính toán sp(M )
thông qua chiều và kiểu đa thức của các môđun khuyết thiếu của M .
Chú ý rằng trong bài báo [8], N.T. Cường, Đ.T. Cường và H.L. Trường
đã nghiên cứu một bất biến mới của M thông qua số bội, và khi vành
cơ sở là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thì bất biến này
chính là kiểu đa thức dãy của M . Gần đây, S. Goto và L.T. Nhàn [21]
đã đưa ra đặc trưng tham số của kiểu đa thức dãy.
Mục tiêu thứ hai của luận án là nghiên cứu một số bài toán về
chỉ số khả quy của các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Một
môđun con N của M là bất khả quy nếu N = M và N không thể viết
thành giao của hai môđun con thực sự chứa nó. Khi đó, định lý cơ bản
thứ hai của E. Noether [29] nói rằng mỗi môđun con N của M đều phân


4

tích được thành giao của hữu hạn môđun con bất khả quy và số môđun
con bất khả quy xuất hiện trong một phân tích bất khả quy thu gọn
(tức là các thành phần bất khả quy không thừa) là một bất biến không
phụ thuộc vào phân tích của N . Bất biến này được gọi là chỉ số khả quy
của N trong M và được kí hiệu là irM (N ) (xem [23],[14]). Nếu q là iđêan
tham số của M , thì irM (qM ) được gọi là chỉ số khả quy của q trong M .
Chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số cho các
lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đã
được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [14], [15], [22], [23],
[28], [37]). Đặc biệt, kết quả gần nhất của P.H. Quý, phát biểu rằng nếu
p(M ) ≤ 1 thì tồn tại chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số

của M . Tuy nhiên, với mỗi n ≥ 3, S. Goto và N. Suzuki [23] đã xây dựng
một vành địa phương (R, m) với p(R) = n và R là Cohen-Macaulay dãy
(tức là sp(R) = −1) sao cho supq irR (q) = ∞. Vì thế, khi p(M ) ≥ 3, ta
không thể xét chặn đều cho chỉ số khả quy của tất cả iđêan tham số,
mà chỉ xét trên các iđêan tham số tốt giới thiệu bởi N.T. Cường và Đ.T.
Cường [6]. Chú ý rằng, khi nghiên cứu cấu trúc của các môđun CohenMacaulay dãy và Cohen-Macaulay suy rộng dãy (thường là các môđun
trộn lẫn, tức là các iđêan nguyên tố liên kết có chiều khác nhau), các hệ
tham số tốt đóng vai trò rất quan trọng. Sự chặn đều cho chỉ số khả quy
của các iđêan tham số tốt được chứng minh bởi H.L. Trường [43] cho
lớp môđun Cohen-Macaulay dãy (tức là sp(M ) = −1) và P.H. Quý [36]
cho lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy (tức là sp(M ) ≤ 0). Trong
luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại chặn đều cho chỉ số khả quy
của các iđêan tham số tốt khi sp(M ) ≤ 1. Đây là mở rộng không tầm
thường cho kết quả chính trong [37]. Ngoài ra, chúng tôi nghiên cứu chỉ
số khả quy trong phạm trù các môđun Artin và so sánh chỉ số khả quy
của các môđun con của M với chỉ số khả quy của Đối ngẫu Matlis của


5

các môđun thương tương ứng của M . Đây là vấn đề cơ bản lần đầu tiên
được nghiên cứu trong luận án này.
Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu kiểu đa thức dãy chúng
tôi khai thác các tính chất của lọc chiều của môđun, dãy lọc chính quy
chặt giới thiệu bởi N.T. Cường, M. Morales và L.T. Nhàn [10] và những
tính chất đặc thù của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều
địa phương với giá cực đại (Khái niệm lọc chiều được giới thiệu bởi
P. Schenzel [39] và được điều chỉnh bởi N.T. Cường, L.T. Nhàn [11] để
thuận tiện cho việc sử dụng). Để nghiên cứu chặn đều cho chỉ số khả quy
của các iđêan tham số tốt khi sp(M ) nhỏ, chúng tôi sử dụng lý thuyết

về hệ tham số tốt giới thiệu bởi N.T. Cường, Đ.T. Cường [6], tính chất
đồng điều của kiểu đa thức dãy và các kết quả của J.D. Sally [38] về số
phần tử sinh tối thiểu của môđun.
Luận án được chia thành 3 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến
thức cơ bản của Đại số giao hoán nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội
dung chính của luận án ở những chương sau, gồm: môđun đối đồng điều
địa phương với giá cực đại, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, kiểu
đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng,
môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Nội dung của Chương 2 trình bày về kiểu đa thức dãy của môđun
dựa theo bài báo [33]. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm
kiểu đa thức dãy của môđun M , kí hiệu là sp(M ), như một độ đo tốt
xem môđun đó gần với tính Cohen-Macaulay dãy như thế nào. Chúng
tôi nghiên cứu sự thay đổi của kiểu đa thức dãy của M qua địa phương
hoá, qua đầy đủ hóa cũng như tính không tăng của sp(M/xM ) khi x
là phần tử tham số. Phần cuối của chương, chúng tôi tính toán sp(M )
thông qua các môđun khuyết thiếu của M .
Nhắc lại rằng một lọc Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M các


6

môđun con của M được gọi là lọc chiều của M , nếu Di là môđun con
lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dim Di−1 với mọi i = 1, ..., t. Kiểu đa
thức dãy của M , kí hiệu là sp(M ), được định nghĩa theo khái niệm kiểu
đa thức p(M ) trong [5] và được định nghĩa thông qua kiểu đa thức của
các môđun thương trong lọc chiều như sau:
sp(M ) = max{p(Di−1 /Di ) | i = 1, . . . , t}.
Chú ý rằng sp(M ) = −1 khi và chỉ khi M là môđun Cohen-Macaulay
dãy. Ngoài ra, sp(M ) ≤ 0 khi và chỉ khi M là môđun Cohen-Macaulay

suy rộng dãy. Nhìn chung, sp(M ) đo tính không Cohen-Macaulay dãy của
môđun M . Cụ thể, kí hiệu nSCM(M ) là quỹ tích không Cohen-Macaulay
dãy của M , tức là
nSCM(M ) := {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay dãy}.
Khi đó nSCM(M ) không nhất thiết là tập con đóng của Spec(R) với
tôpô Zariski, nhưng nó luôn ổn định với phép đặc biệt hóa, tức là nếu
q ⊂ p là hai iđêan nguyên tố của R sao cho q ∈ nSCM(M ), thì p ∈
nSCM(M ). Vì thế ta có thể định nghĩa được chiều của nSCM(M ). Nếu
R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thì nSCM(M ) là đóng
trong Spec(R) với tôpô Zariski. Chúng tôi chỉ ra rằng nếu R là catenary
thì sp(M ) ≥ dim(nSCM(M )). Đẳng thức xảy ra khi R là thương của
vành Cohen-Macaulay địa phương (Mệnh đề 2.2.4).
Chúng tôi nghiên cứu kiểu đa thức dãy thông qua địa phương hóa
(Định lý 2.2.7) và sự thay đổi của kiểu đa thức dãy dưới phép đầy đủ
hóa m-adic. Chú ý rằng kiểu đa thức bảo toàn qua đầy đủ (xem [5, Bổ
đề 2.6]). Tuy nhiên, kiểu đa thức dãy thì không có tính chất này (Ví dụ
2.2.8 và Ví dụ 2.2.11).
Định lý 2.2.9. Ta luôn có sp(M ) ≤ sp(M ). Đẳng thức xảy ra khi R/p
là không trộn lẫn với mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M.


7

Nhắc lại rằng, theo M. Nagata [30], vành R được gọi là không trộn
lẫn nếu dim(R/p) = dim R với mọi p ∈ Ass R.
Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa sp(M ) và sp(M/xM ) khi
x là phần tử tham số. Nhìn chung, chúng ta không so sánh được sp(M )
và sp(M/xM ) (Ví dụ 2.3.6), nhưng khi x là phần tử tham số với tính
chất đặc biệt, thì ta có quan hệ sau.
Định lý 2.3.5. Giả sử sp(M ) > 0. Cho x ∈ m là phần tử lọc chính quy

chặt của Di−1 /Di với mọi i ≤ t. Khi đó sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1. Đẳng
thức xảy ra khi R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương.
Đẳng thức sp(M/xM ) = sp(M ) − 1 trong Định lý 2.3.5 có thể
không còn đúng nếu ta bỏ đi giả thiết R là thương của vành CohenMacaulay địa phương (Ví dụ 2.3.6). Nhắc lại rằng, khái niệm phần tử
lọc chính quy chặt giới thiệu bởi N.T. Cường, M. Morales và L.T. Nhàn
[10] là một trường hợp đặc biệt của khái niệm phần tử lọc chính quy giới
thiệu bởi N.T. Cường, P. Schenzel và N.V. Trung [48]. Nếu x là phần tử
lọc chính quy chặt của M , thì x là phần tử lọc chính quy (xem Bổ đề
2.1.7(i)). Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Thậm chí khi x là phần
tử M -chính quy, thì x vẫn không nhất thiết là phần tử lọc chính quy
chặt của M (xem Ví dụ 2.1.6).
Giả sử rằng (R, m) là thương của vành Gorenstein địa phương
(R , m ) chiều n. Kí hiệu K j (M ) là R-môđun Extn−j
R (M, R ). Theo P.
Schenzel [39], K j (M ) được gọi là môđun khuyết thiếu thứ j của M . Ta kí
hiệu E(R/m) là bao nội xạ của R/m. Theo định lý Đối ngẫu địa phương
(xem [4, 11.2.6]), ta có H j (M ) ∼
= HomR (K j (M ), E(R/m)). Kết quả cuối
m

cùng trong nội dung thứ nhất là tính toán sp(M ) thông qua các môđun
khuyết thiếu của M . Cho Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M là lọc
chiều của M . Đặt dim Di = di với i = 0, 1, ..., t. Ta quy ước dim Dt = −1


8

khi Dt = 0. Đặt Λ(M ) = {d0 , ..., dt }. Chú ý rằng
Λ(M ) \ {−1} = {dim(R/p) | p ∈ AssR M }.
Hơn nữa, nếu Hm0 (M ) = 0 thì Λ(M ) = {dim(R/p) | p ∈ AssR M }. Đặt

q1 := max dim(K j (M )) và q2 := max p(K j (M )). Định lý sau đây chỉ
j ∈Λ(M
/
)

j∈Λ(M )

ra rằng sp(M ) có thể tính toán thông qua chiều và kiểu đa thức của các
môđun khuyết thiếu K j (M ).
Định lý 2.4.2. Nếu R là thương của vành Gorenstein địa phương thì
sp(M ) = max{q1 , q2 }.
Chương 3 trình bày một số vấn đề về chỉ số khả quy của môđun
dựa theo hai tài liệu [9], [18]. Trong chương này chúng tôi chỉ ra tồn tại
chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt đối với môđun
M trong trường hợp sp(M ) ≤ 1. Chúng tôi so sánh chỉ số khả quy của
các môđun con của M với chỉ số khả quy của đối ngẫu Matlis của các
môđun thương tương ứng của M .
Nhắc lại rằng, với mỗi lọc Hn ⊂ . . . ⊂ H1 ⊂ H0 = M các môđun
con của M thỏa mãn dim Hi < dim Hi−1 với mọi i, iđêan tham số q =
(x1 , . . . , xd ) của M được gọi là tốt ứng với lọc trên nếu
(xhi +1 , . . . , xd )M ∩ Hi = 0
với mọi i ≤ n, trong đó hi = dim Hi . Nếu q là iđêan tham số tốt ứng với
lọc chiều của M thì ta nói q là iđêan tham số tốt của M .
Cho Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M là lọc chiều của M . Cho
k ∈ {0, 1, . . . , t} là số nguyên bé nhất sao cho p(Dk ) ≤ 1.
Định lý 3.2.6. Giả sử sp(M ) ≤ 1. Khi đó tồn tại một hằng số c sao
cho irM (qM ) ≤ c với mọi iđêan tham số tốt q của M ứng với lọc Dk ⊂
. . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M .

9

Nếu x là iđêan tham số tốt đối với lọc chiều, thì x là iđêan tham
số tốt với lọc Dk ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M trong Định lý 3.2.6. Do đó hằng
số c trong định lý trên cũng là chặn đều cho irM (qM ) với mọi q là iđêan
tham số tốt của M . Hơn nữa, nếu p(M ) ≤ 1, thì k = 0 và do đó mọi
iđêan tham số của M đều là iđêan tham số tốt ứng với lọc trong Định
lý 3.2.6. Do vậy, Định lý 3.2.6 là mở rộng kết quả chính về chặn đều cho
chỉ số khả quy của các iđêan tham số của môđun M trong bài báo [37].
Theo I.G. Macdonald [25], môđun Artin A gọi là bất khả tổng nếu
A = 0 và A không thể biểu diễn thành tổng của hai môđun con thực sự
của nó, tức là nếu A = B + C, trong đó B, C là các môđun con của A
thì A = B hoặc A = C. I.G. Macdonald [25] đã chứng minh rằng mọi
môđun Artin A luôn biểu diễn được thành tổng không thừa của hữu hạn
môđun con bất khả tổng. Ngoài ra, số thành phần bất khả tổng xuất
hiện trong biểu diễn là độc lập với cách biểu diễn bất khả tổng không
thừa của A. Ta gọi bất biến này là chỉ số khả quy của môđun Artin A,
kí hiệu là irR (A).
Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của R-môđun R/m và DR (−) là
hàm tử Hom(−, E(R/m)). Với mỗi R-môđun L bất kỳ ta gọi DR (L) là
đối ngẫu Matlis của L. Trong trường hợp vành R là đầy đủ, nếu M là
R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin thì D(M ) là R-môđun
Artin và D(A) là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu vành R là không đầy đủ
thì M ∼
= D(D(M )) và D(M ) là R-môđun Artin, tuy nhiên D(A) không
nhất thiết là R-môđun hữu hạn sinh.
Mối quan hệ giữa chỉ số khả quy của môđun con N của M với chỉ
số khả quy của đối ngẫu Matlis của môđun thương M/N được chỉ ra
trong định lý sau.

10

Định lý 3.3.10. Cho R = R và N là môđun con của M . Khi đó
irR (D(M/N )) ≤ irM (N ).
Đẳng thức xảy ra khi

R (M/N )

< ∞.


11

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết
về môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp của môđun
Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay
suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy
rộng dãy nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các chương sau. Trong suốt
chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether, M là Rmôđun hữu hạn sinh chiều d. Cho A là R-môđun Artin. Với mỗi iđêan
I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Kí
hiệu R và M lần lượt là đầy đủ m-adic của R và M . Cho L là R-môđun
(không nhất thiết hữu hạn sinh hay Artin).

1.1

Môđun đối đồng điều địa phương
Mục tiêu của tiết này là nhắc lại một số kết quả về môđun đối đồng

điều địa phương như tính triệt tiêu, tính Artin, đối ngẫu địa phương,
tâp iđêan nguyên tố gắn kết và chiều nhằm phục vụ cho việc chứng minh
các kết quả ở Chương 2 và Chương 3. Định nghĩa và các tính chất cơ sở
của môđun đối đồng điều địa phương có thể xem trong [4].
Một trong những kết quả quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý


12

thuyết đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu của môđun đối đồng
điều địa phương (xem [4, 6.1.2,6.1.4]). Chú ý rằng HIi (L) = 0 với mọi
i > dim SuppR L. Ở đây, SuppR L không nhất thiết đóng trong Spec R
với tôpô Zariski. Tuy nhiên SuppR L ổn định với phép đặc biệt hóa nên
ta định nghĩa được chiều của SuppR L.
Định lý 1.1.1. (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của Grothendieck).
(i) Nếu M = 0 thì d = max{i | (Hmi (M ) = 0}.
(ii) Nếu M = 0 thì depth M = min{i | (Hmi (M ) = 0}.
Nhìn chung môđun đối đồng điều địa phương không là môđun hữu
hạn sinh và cũng không là môđun Artin. Định lý sau (xem [4, Định lý
7.1.3, Định lý 7.1.6]) chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương với
giá cực đại hoặc tại cấp cao nhất luôn là Artin.
Định lý 1.1.2. Giả sử rằng (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó
(i) Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số tự nhiên i.
(ii) HId (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R.
Tiếp theo, ta nhắc lại một số kiến thức về đối ngẫu Matlis và đối
ngẫu địa phương. Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của R-môđun R/m và
DR (−) là hàm tử Hom(−, E(R/m)). Với mỗi R-môđun M ta gọi DR (M )
là đối ngẫu Matlis của M . Chú ý rằng AnnR L = AnnR D(L) với L là Rmôđun bất kỳ. Trong trường hợp vành R là đầy đủ, đối ngẫu Matlis cho

ta một tương đương khá đẹp giữa phạm trù các R-môđun Artin và phạm
trù các R-môđun hữu hạn sinh. Cụ thể, nếu M là R-môđun hữu hạn
sinh và A là R-môđun Artin thì D(M ) là R-môđun Artin và D(A) là Rmôđun hữu hạn sinh. Hơn nữa, D(D(M )) ∼
= M và D(D(A)) ∼
= A (xem
[4, Định lý 10.2.12]). Nếu vành R là không đầy đủ thì M ∼
= D(D(M )) và


13

D(M ) là R-môđun Artin, tuy nhiên D(A) không nhất thiết là R-môđun
hữu hạn sinh.
Giả sử rằng (R, m) là thương của vành Gorenstein địa phương
(R , m ) chiều n. Kí hiệu K j (M ) là R-môđun Extn−j
R (M, R ). Khi đó
K j (M ) là R-môđun hữu hạn sinh. Theo P. Schenzel [39], K j (M ) được
gọi là môđun khuyết thiếu thứ j của M .
Định lý 1.1.3. (Định lý đối ngẫu địa phương) Giả sử (R, m) là ảnh
đồng cấu của một vành Gorenstein địa phương. Khi đó ta có đẳng cấu
các R-môđun
Hmj (M ) ∼
= HomR (K j (M ), E(R/m)).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày về biểu diễn thứ cấp của môđun đối
đồng điều địa phương. Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được
giới thiệu bởi I.G. Macdonald [25] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết
phân tích nguyên sơ. Nhắc lại rằng một R-môđun L được gọi là thứ cấp
nếu L = 0 và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên L là toàn cấu hoặc
lũy linh. Trong trường hợp này, Rad(AnnR L) là iđêan nguyên tố, chẳng
hạn là p, và ta gọi L là p-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của L là một

phân tích
L = L1 + . . . + Ln
thành tổng hữu hạn các môđun con pi -thứ cấp Li . Nếu L = 0 hoặc L
có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói L là biểu diễn được. Biểu diễn thứ
cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác
nhau và không có hạng tử Li nào là thừa, với mọi i = 1, . . . , n.
Chú ý rằng nếu L1 , L2 là các môđun con p-thứ cấp của L thì L1 +L2
cũng là môđun con p-thứ cấp của L. Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của L
đều có thể đưa được về dạng tối thiểu bằng cách bỏ đi các thành phần
thứ cấp thừa và ghép lại các thành phần thứ cấp cùng chung một iđêan


14

nguyên tố. Tập hợp {p1 , . . . , pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ
cấp tối thiểu của L và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của
L, kí hiệu là AttR L. Các hạng tử Li , i = 1, . . . , n được gọi là các thành
phần thứ cấp của L. Nếu pi là tối tiểu trong tập AttR L thì pi được gọi
là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của L và Li được gọi là thành phần thứ
cấp cô lập của L. Chú ý rằng một môđun Artin là biểu diễn được (xem
[25, Định lý 5.2]).
Bổ đề 1.1.4. Giả sử A là một R-môđun Artin. Khi đó
(i) AttR A = ∅ khi và chỉ khi A = 0.
(ii) min AttR A = min Var(AnnR A).
(iii) Nếu x ∈ R \ p với mọi p ∈ AttR A \ {m} thì

R (A/xA)

< ∞.

(iv) Cho 0 → A → A → A → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun Artin.
Khi đó ta có
AttR A ⊆ AttR A ⊆ AttR A ∪ AttR A .
Cho A là R-môđun Artin. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như
R-môđun. Với cấu trúc này, một môđun con của A xét như R-môđun
khi và chỉ khi nó là môđun con của A xét như R-môđun. Do đó A là
R-môđun Artin và ta có mối quan hệ giữa tập iđêan nguyên tố gắn kết
như sau.
Bổ đề 1.1.5. ([4, 8.2.4 và 8.2.5]) AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttR A}.
Kết quả sau đây liên quan đến tập iđêan nguyên tố gắn kết của
môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa
được dùng trong chứng minh về sau của luận án.
Định lý 1.1.6. ([40, Định lý 4.8], [34, Định lý 1.1])


15
i−dim R/p

(i) AttRp HpRp

(Mp ) ⊆ {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p} với mọi R-

môđun hữu hạn sinh M , số nguyên i ≥ 0 và p ∈ Spec R.
(ii) Các phát biểu sau là tương đương:
(a) R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương.
i−dim R/p

(b) AttR HpRp

(Mp ) = {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p} với mọi R-

môđun hữu hạn sinh M , số nguyên i ≥ 0 và p ∈ Spec R.
(c) AttR (Hmi (M )) = ∈ AttR (Hmi (M ))
p

AssR (R/pR) với mọi R-môđun

hữu hạn sinh M và số nguyên i ≥ 0.
Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày về chiều của môđun
đối đồng điều địa phương với giá cực đại và mối quan hệ giữa các iđêan
nguyên tố liên kết của M với iđêan nguyên tố gắn kết của Hmi (M ). Với
mỗi R-môđun Artin A, ta đặt dim A := dim(R/AnnR A). Khi đó
dim(R/AnnR A) = max{dim R/p | p ∈ AttR A}
theo Bổ đề 1.1.4(ii). Với mỗi số nguyên j ≥ 0, môđun đối đồng điều địa
phương Hmj (M ) là R-môđun Artin, vì thế nó là R-môđun Artin. Chú ý
rằng dimR Hmj (M ) ≥ dimR Hmj (M ) (xem [12, Tính chất 2.4]). Với mỗi
tập con T của Spec(R) và số nguyên i ≥ 0, đặt
(T )i = {p ∈ T | dim(R/p) = i}.
Chú ý rằng (AssR M )j ⊆ (AttR Hmj (M ))j với mọi số nguyên j ≥ 0 theo
[4, 11.3.9]. Bổ đề sau đây chỉ ra các mối quan hệ giữa dimR Hmj (M ) và
dimR Hmj (M ); giữa (AssR M )j và (AttR Hmj (M ))j .
Bổ đề 1.1.7. ([12, Tính chất 2.4, Hệ quả 4.2]; [32, Định lý 3.1]) Cho
j ≥ 0 là một số nguyên. Giả sử rằng R là thương của một vành CohenMacaulay địa phương. Khi đó
(i) dimR Hmj (M ) = dimR Hmj (M ) và dimR Hmj (M ) ≤ j;
(ii) (AttR Hmj (M ))j = (Var(AnnR Hmj (M )))j = (AssR M )j .


16

1.2

Môđun Cohen-Macaulay và kiểu đa thức
Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng là

hai lớp môđun quen thuộc và quan trọng trong Đại số giao hoán. Ta
luôn có bất đẳng thức depth M ≤ dim M (xem [1, Mệnh đề 1.2.12]).
Khi M = 0 hoặc M = 0 và depth M = dim M thì ta nói M là môđun
Cohen-Macaulay. Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta
nói R là vành Cohen-Macaulay. Chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay
thì dim R/p = dim M với mọi p ∈ AssR M .
Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay (xem [26,
Trang 137, Định lý 17.3, Định lý 17.5, Định lý 17.11]).
Bổ đề 1.2.1. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay;
(ii) Mp là Rp -môđun Cohen-Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p của R;
(iii) M là môđun Cohen-Macaulay;
(iv) Tồn tại (với mọi) hệ tham số của M là M -dãy;
(v) Tồn tại (với mọi) hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) =

R (M/xM );

(vi) M/xM là Cohen-Macaulay với một (mọi) phần tử M -chính quy x;
(vii) Hmi (M ) = 0 với mọi i = 0, . . . , d − 1.
Với mỗi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) =

R (M/xM )−e(x; M ).

Khi đó I(x; M ) ≥ 0. Chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay thì I(x; M ) =
0 với mọi hệ tham số x. Năm 1965, D.A. Buchsbaum đã đặt ra giả
thuyết: I(x; M ) là hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M .

Tuy nhiên, năm 1973, W. Vogel và J. St¨
uckrad đã đưa ra loạt ví dụ
chứng tỏ giả thuyết của D.A. Buchsbaum là không đúng. Nghĩa là, nhìn


17

chung I(x; M ) phụ thuộc vào hệ tham số x. Mặc dù câu hỏi của Buchsbaum không đúng nhưng nó dẫn đến việc nghiên cứu một lớp môđun mở
rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay. Cụ thể W. Vogel và J. St¨
uckrad đã
giới thiệu lý thuyết môđun Buchsbaum (xem [42]). M được gọi là môđun
Buchsbaum nếu I(x; M ) là hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x
của M . Ngay sau đó, N.T. Cường, P. Schenzel và N.V. Trung [48] đã
nghiên cứu lớp môđun có tính chất sup I(x; M ) < ∞ trong đó cận trên
lấy theo tất cả các hệ tham số x của M và họ gọi lớp môđun đó là CohenMacaulay suy rộng. Như vậy, lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng là
mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay và lớp môđun Buchsbaum.
Chú ý rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì Mp là
môđun Cohen-Macaulay và dim Mp + dim R/p = d với mọi iđêan nguyên
tố p ∈ SuppR M \ {m}, hơn nữa SuppR M là catenary. Điều ngược lại
cũng đúng nếu R là vành thương của vành Cohen-Macaulay địa phương.
Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng
(xem [44, Bổ đề 1.2, Bổ đề 1.6, Bổ đề 1.7]).
Định lý 1.2.2. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng;
(ii) M/Hm0 (M ) là môđun Cohen-Macaulay suy rộng;
(iii)

i
R (Hm (M ))

< ∞ với mọi i = 0, . . . , d − 1;

(iv) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng;
(v) Tồn tại một hệ tham số chuẩn tắc x = x1 , . . . , xd của M , tức là
I(x; M ) =

2
2
R (M/((x1 , . . . , xd ))M )

− e(x21 , . . . , x2d ; M ).

Khái niệm kiểu đa thức được giới thiệu bởi N.T. Cường [5]. Cho
x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M . Cho n = (n1 , . . . , nd ) là một


18

bộ gồm d số nguyên dương. Xét hiệu số
IM,x (n) =

nd
n1
R (M/(x1 , . . . , xd )M )

− n1 n2 . . . nd e(x, M ),

trong đó e(x, M ) là bội của M ứng với hệ tham số x. Nhìn chung,
IM,x (n) xét như một hàm số với các biến n1 , . . . , nd , không là đa thức
với n1 , . . . , nd

0, nhưng nó luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên

bởi các đa thức.
Định nghĩa 1.2.3. ([5, Định lý 2.3]) Bậc bé nhất của tất cả các đa thức
theo biến n chặn trên hàm số IM,x (n) không phụ thuộc vào việc chọn hệ
tham số x. Bất biến này được gọi là kiểu đa thức của M , và được kí hiệu
là p(M ).
Kiểu đa thức của một môđun có thể cho ta biết nhiều thông tin
về cấu trúc của môđun đó. Chẳng hạn, nếu quy ước bậc của đa thức 0
là −1 thì rõ ràng M là Cohen - Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1
và M là Cohen - Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0. Kiểu đa
thức của một môđun có thể coi là một độ đo tốt để xem môđun đó gần
với tính Cohen-Macaulay như thế nào. Quỹ tích không Cohen-Macaulay
nCM(M ) của M , cho bởi
nCM(M ) := {p ∈ SuppR M | Mp không là Cohen-Macaulay}.
Nhìn chung nCM(M ) không là tập con đóng của Spec R với tôpô Zariski,
nhưng nó luôn ổn định với phép đặc biệt hóa, tức là nếu q ⊂ p là hai
iđêan nguyên tố của R sao cho q ∈ nCM(M ) thì p ∈ nCM(M ). Vì thế ta
có thể định nghĩa được chiều của nCM(M ). Nếu R là thương của vành
Cohen-Macaulay địa phương thì nCM(M ) là đóng với tôpô Zariski. Kết
quả dưới đây cho ta mối quan hệ giữa kiểu đa thức p(M ), chiều của
Hmj (M ) và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M ) của M .