014 đề HSG toán 8 gia viễn 2014 2015

UBND HUYỆN GIA VIỄN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI KHẢO SÁT
CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: TOÁN
Năm học: 2014-2015
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

Câu 1. (5 điểm)
 x2  2 x
 1 2
2 x2
Cho biểu thức A   2

. 1  2 
2
3  
2
x

8
8

4
x

2
x


x

 x x 

a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x  x  2   x 2  2 x  2   1  0
b) y 2  4x  2 y  2 x1  2  0

x 2  4 x  6 x 2  16 x  72 x 2  8 x  20 x 2  12 x  42



c)
x2
x 8
x4
x6
Câu 3. (3 điểm)
1) Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: p  n3  n2  n  1
2) Tìm a, b sao cho f ( x)  ax3  bx 2  10 x  4 chia hết cho đa thức
g ( x)  x 2  x  2
ab
3) Cho 4a 2  b2  5ab và 2a  b  0. Tính P  2
4a  b 2
Câu 4. (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất
kỳ  CM  CD  , vẽ hình vuông CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP
cắt BD tại K.
a) Chứng minh: DH vuông góc với BM .

PC PH KP
b) Tính Q 


BC DH MK
c) Chứng minh: MP.MK  DK .BD  DM 2
Câu 5. (1,5 điểm)
 x y
x2 y 2
1) Cho x, y  0. Chứng minh rằng : 2  2  4  3  
y
x
 y x
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B  xy  x  2  y  6   12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  2045


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a)

2 x 2  8  0

Giá trị của A được xác định  8  4 x  2 x 2  x3  0
x  0

 x 2  4
2 x 2  8



x  2
 4  2  x   x 2  2  x   0   2  x   4  x 2   0  
x  0
x  0

x

0


Ta có:
 x2  2 x
 1 2 
2x2
A 2

1  2 
2
3 
 2x  8 8  4x  2x  x  x x 
 x2  2 x
  x2  x  2 
2x2


 .

2
2
x2

 2  x  4  4  2  x   x  2  x   


x


 2 x   2  x   4 x2 x2  x  2x  2
.
x2
2  x2  4  2  x 

2

2 x 2  x3  4 x  2 x 2  4 x 2 x  x  1  2  x  1

.
x2
2  x2  4  2  x 


 x  x2  4

2  x2  4  2  x 

.

 x  2  x  1  x  1
x2

2x

b)
x 1
*
  x  1 2 x  2 x  2 2 x mà 2 x 2 x
2x
 x  1(tm)
 2 2x  1 x  
 x  1(tm)
x 1
Vậy A 
  x  1 hoặc x  1
2x


Câu 2.
a)
x  x  2  x2  2x  2  1  0
  x 2  2 x  x 2  2 x  2   1  0
  x2  2 x   2  x2  2 x   1  0
2

  x 2  2 x  1  0
2

  x  1  0  x  1  0  x  1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1
b)
2
y  4 x  2 y  2 x1  2  0

4

 y 2  2 y  1   2 x   2.2 x  1  0
2

  y  1   2 x  1  0
2

y 1  0
 y  1
 x

2  1  0  x  0
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất  x; y    0; 1
c)
2
x  4 x  6 x 2  16 x  72 x 2  8 x  20 x 2  12 x  42



(1)
x2
x 8
x4
x6
ĐKXĐ: x  2; x  4; x  6; x  8

1

 x  2





2 x
2 x

 x  2  x  4   x  6  x  8

2

2

 x  8


2

8

 x  4


2

4

 x  6


2

6

x2
x8
x4
x6
2
8
4
6
 x2
 x8
 x4
 x6
x2
x8
x4
x6
2
4
6
8




x2 x4 x6 x8
2 x  8  4 x  8 6 x  48  8 x  48



 x  2  x  4   x  6  x  8

x  0
x  0
x  0



(tm)
x

2
x

4

x

6
x

8
8
x


40
x



5











Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  0; x  5
Câu 3.
1) Biến đổi được p   n2  1  n  1
Nếu n  0;1 không thỏa mãn đề bài
Nếu n  2 thỏa mãn đề bài vì p   22  1  2  1  5
Nếu n  3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n  1  1 và
n2  1  n  1  1
Vậy n  2 thì p  n3  n2  n  1là số nguyên tố.
2) *g ( x)  x 2  x  2   x  1 x  2 

* f ( x)  ax3  bx 2  10 x  4 g ( x)
 f ( x)  ax3  bx 2  10 x  4   x  1 x  2  Q  x  (1)

- Thay x1  1; x2  2 vào 1 ta có:
a  b  6  0 và 8a  4b  16  0  a  2 và b  8
a  2

Vậy f  x   ax3  bx 2  10 x  4 g  x   
b  8
3)
Biến đổi được:
b  4 a
4a 2  b2  5ab   4a  b  a  b   
b  a
Mà 2a  b  0  4a  2b  b nên a  b
a2
1

Ta có: P  2
4a  a 2 3
1
Vậy 4a 2  b2  5ab và 2a  b  0 thì P 
3

x  


Câu 4.

A

B
K

H
N
P

D

C

M

a) Chứng minh được : DH vuông góc với BM
Chứng minh được: CD  BC; PC  CM ; DCB  BCM  900
 DPC  BMC  c.g.c   BHP  900
1
PC 2 DM .PC SPDM
b) Chứng minh được: MP  BD 


BC 1 DM .BC SBDM
2
1
1
.DB.KP S
DB.KP S
PH
PH
PBM
2
2
Tương tự


;


 PBD
DH 1 .DB.MK S BDM DH 1 DB.MK S BDM
2
2
S
 S PBM  S PBD
 Q  PDM
 1.
S BDM
(1)
c) Chứng minh: MCP MKD  g.g   MP.MK  MC.MD
Chứng minh: DBC DKM ( g.g )  DK .BD  DC.DM  2 
Từ 1 &  2 

 MP.MK  DK .BD  DM . MC  DC 
 MP.MK  DK .BD  DM 2


Câu 5.
1)

x y
  2 với mọi x, y  0
y x
x y
x y
   2  0;   1  1
y x
y x

Học sinh chứng minh

x y
 x y 
    2    1  0
y x
 y x 
 x y
 x y
x2 y 2
 2  2  2      2.    2  0
y
x
 y x
 y x
 x y
x2 y 2
 2  2  4  3  
y
x
 y x
Dấu "  " xảy ra  x  y  0
2)
B  xy  x  2  y  6   12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  2045

*) x2  2 x  1   x  1  0  x 2  2 x  3  2 với mọi x 
2

y 2  6 y  9   y  3  0  y 2  6 y  12  3 với mọi y 

2

 B  xy  x  2  y  6   12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  2045

  x 2  2 x  y 2  6 y   12  x 2  2 x   3  y 2  6 y   36  2009
  x 2  2 x  y 2  6 y  12   3  y 2  6 y  12   2009
  x 2  2 x  3 y 2  6 y  12   2009

Từ 1 ,  2  ,  3  B  2.3  2009  B  2015
*) B  2015  x  1& y  3
x  1
*) MinB  2015  
 y  3

(3)

(1)

(2)