Đề HSG Toán 8-H.Tam Đảo 2015(144)

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1( 2,0 điểm):
Cho biểu thức: M=
3 6 2
6 5 2 9 6 3
6 2 4 6 24 3 3
1 . : :
2
9 3 6 9
x x x
x
x x x x x x
 
   
− −
− +
 
 ÷  ÷
− + + +
   
 
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của
x
để M đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất
đó.
Câu 2( 2,0 điểm):
Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a)
1 2 3 1
2015 2014 1006 2013 2012 1007
x x x x− −
+ + = + +
b)
2
2 3
4 1 2 5
1
1 1
y
y
y y y
−
+ ≤
−
+ + −
Câu 3( 2,5 điểm):
a) Cho ba số
, ,x y z
khác không thỏa mãn:
2015
1 1 1 1
2015
x y z
x y z
+ + =




+ + =


Chứng minh rằng trong ba số
, ,x y z
tồn tại hai số đối nhau.
b) Cho ba số dương
, ,a b c
. Chứng minh rằng:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Câu 4( 2,5 điểm):
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC
(M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao
cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH
⊥
BN ( H
∈
BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 5( 1 điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2
5 2 4 2 4 2015x y xy x y
+ + − + +
.
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: Toán - Lớp 8
Câu Ý Nội dung Điểm
1
(2,0
điểm)
a
ĐKXĐ:
3 3
0; 3; 2.x x x≠ ≠ ± ≠
3 6 2
6 5 2 9 6 3
3 2
3 3
3 2 2 2 3 3 6 3
3 2
3 2 3 3 3 2 3
6 2 4 6 24 3 3
1 . : :
2
9 3 6 9
6 ( ) 4
2( 3) 4 3( 2)
1 . : :

2
( ) 3 ( 3) ( 6 9)
6 ( ) 4
2 4 2
1 . : .
3 ( 3) ( 3) 3(
x x x
M
x
x x x x x x
x
x x
x
x x x x x x
x
x
x x x x x x
 
   
− −
= − +
 
 ÷  ÷
− + + +
   
 
 
 
−
   

− +
 
 
= +
 ÷  ÷
− + + +
 
   
 
 
−
 
 
= +
 ÷
+ + +
 
3 2 3 2 3
3 2 3 3 3
2)
5 4 .( 3) 5
. .
3 ( 3) 4( 2) 2
x x x x
x x x x x
 
 
+
 
 

+ + +
= =
+ + − −
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Ta có:
3
3 3
5 7
1
2 2
x
M
x x
+
= = +
− −
M có giá trị lớn nhất khi
3
2x −
có giá trị nhỏ nhất mà
x Z∈
nên
3
2x −
phải có giá trị nguyên dương nhỏ nhất
⇒

3
2x −
=6
2 x⇒ =
Vậy
2x =
thì M có giá trị lớn nhất và bằng
13
6
0,25
0, 5
0,25
2
(2,0
điểm)
a
1 2 3 1
2015 2014 1006 2013 2012 1007
1 2 2 2 3 4 4 1
2015 2014 2014 1006 2013 2012 2012 1007
1 2 1 4 3 4 4 1
2015 2014 1007 2012 2013 2012 2012 1007
1 2 3 4
1 1 1 1
2015 2014 2013 2012
2016
20
x x x x
x x x x
x x x x

x x x x
x
− −
+ + = + +
− − − −
⇔ + + + = + + +
− − − −
⇔ + + + = + + +
− − − −
⇔ − + − = − + −
−
⇔
2016 2016 2016
15 2014 2013 2012
1 1 1 1
( 2016)( ) 0 2016
2015 2014 2013 2012
x x x
x x
− − −
+ = +
⇔ − + − − = ⇔ =
0,25
0,25
0,25
0,25
b
ĐK: y
1≠
2 2 2

2 3 2 3
2
3 3 2
2
4 1 2 5 4(1 ) 1 2 5
0
1
1 1 (1 )(1 ) 1
3 3 3 ( 1) 3 ( 1)
0 0 0
1 1 (1 )(1 )
3
0 3 0 0
1
y y y y y
y
y y y y y y y
y y y y y y
y y y y y
y
y y
y y
− − + + + −
+ ≤ ⇔ + ≤
−
+ + − + + − −
− − −
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
− − − + +
−

⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥
+ +
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là
0
1
y
y
≥


≠

0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2,5
điểm)
a
2 2
2
1 1 1
( )( ) 1
( )( ) 0
( ) ( )( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( )( ) 0
0
( ( )( ) 0 0

0
x y z
x y z
x y z xy yz zx xyz
x xy xz xyz y z xy xz yz y z xyz
x y z x y z yz y z
y z x xy xz yz
x y x y
x y y z z x y z y z
z x z x
+ + + + =
⇔ + + + + − =
⇔ + + + + + + + − =
⇔ + + + + + =
⇔ + + + + =
+ = = −
 
 
⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ = −
 
 
+ = = −
 
Vậy trong ba số
, ,x y z
tồn tại hai số đối nhau
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
b
Ta có:
2 2 2 2
( )
, ,
a b c a b c
x y z
x y z x y z
+ +
+ + ≥ ∀
+ +
>0 (1)
Thật vậy, áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. . . ( )
a b c
x y z
x y z
a b c
x y z
x y z
a b c
x y z a b c
x y z

+ + + +
 
 
= + + + +
 
 
 
 
 
≥ + + = + +
 
 
 
2 2 2 2
( )
, ,
a b c a b c
x y z
x y z x y z
+ +
⇒ + + ≥ ∀
+ +
>0.
Áp dụng BĐT (1) ta có:
2 2 2 2
( )
, , 0
2( ) 2
a b c a b c a b c
a b c

b c c a a b a b c
+ + + +
+ + ≥ = ∀ >
+ + + + +
⇒
ĐPCM. Dấu “=” xảy ra
⇔
a=b=c
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(2,5
điểm)
a
M
N
C
H
D
O
E
B
A
Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
0,25
Và

·
·
0
45EBO MCO
= =
BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)
⇒
OE = OM và
·
·
EOB MOC=
Lại có
¶
¶
2 3
O O
+ =

·
0
90BOC =
vì tứ giác ABCD là hình vuông
·
·
·
·
·
·
0

90EOM EOB MOB MOC MOB COB= + = + = =
kết hợp với OE =
OM
⇒
∆OEM vuông cân tại O
0,25
0,25
b Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông
⇒
AB = CD và AB // CD
+ AB // CD
⇒
AB // CN
⇒

AM BM
MN MC
=
( Theo ĐL Ta- lét) (*)
Mà BE = CM (gt) và AB = CD
⇒
AE = BM thay vào (*)
Ta có :
AM AE
MN EB
=
⇒
ME // BN ( theo ĐL đảo của ĐL Ta-lét)
0,25
0,25

0,25
c Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN
·
·
'OME MH B⇒ =
( cặp góc đồng vị)
Mà
·
0
45OME
=
vì ∆OEM vuông cân tại O
·
·
0
' 45MH B MCO⇒ = =
⇒
∆OMC
:
∆BMH’ (g.g)
'
OM MC
MB MH
⇒ =
,kết hợp
·
·
'OMB CMH=
( hai góc đối đỉnh)

⇒
∆OMB
:
∆CMH’ (c.g.c)
·
·
0
' 45OBM MH C⇒ = =
Vậy
·
·
·
0
' ' ' 90BH C BH M MH C= + =
'CH BN
⇒ ⊥

Mà CH
⊥
BN ( H
∈
BN)
⇒
H
≡
H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng
0,5
0,5
5
(1,0

điểm)
Ta có:
2 2
5 2 4 2 4 2015x y xy x y+ + − + +
2 2 2 2
2 2 2
4 4 4 4 2 1 2010
(2 ) ( 2) ( 1) 2010 2010 , ,
x xy y y y x x
x y y x x y z
+ + + + + + − + +
= + + + + − + ≥ ∀
Vậy Min(A)=2010
⇔
1
2
x
y
=


=−

0,25
0,5
0,25
Tổng điểm 10,0
HÕt