023 đề HSG toán 8 huyện

ĐỀ BÀI
Câu 1. ( 5 điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a) A  n3  n2  n  1 là số nguyên tố

n4  3n3  2n2  6n  2
b) B 
có giá trị là một số nguyên
n2  2
c) D  n5  n  2 là số chính phương.
Câu 2. (5 điểm) Chứng minh rằng:
a)

a
b
c


 1 biết abc  1
ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1

b) Với a  b  c  0 thì a 4  b4  c 4  2  ab  bc  ca 

2

a 2 b2 c 2 c b a
c) 2  2  2   
b
c
a
b a c
Câu 3. (5 điểm) Giải các phương trình sau:

a)

x  214 x  132 x  54


6
86
84
82

b) 2 x 8x  1 . 4 x  1  9
2

c) x2  y 2  2 x  4 y  10  0 với x, y nguyên dương.
Câu 4. (5 diểm) Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , O là giao điểm hai đường
chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F
a) Chứng minh : Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC
b) Chứng minh:

1
1
2


AB CD EF

c) Gọi K là điểm bất kỳ thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và
chia đôi diện tích tam giác DEF

ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) A  n3  n2  n  1   n2  1  n  1
Để A là nguyên tố thì n  1  1  n  2 . Khi đó A  5
2
b) B  n2  3n  2
n 2
B có giá trị nguyên  2 n2  2
n2  2  1
 n 2  1(ktm)
2
n  2 là ước tự nhiên của 2   2

n

2

2
 n  0 (tm)

Vậy với n  0 thì B có giá trị nguyên.
c)
D  n5  n  2  n  n 4  1  2  n  n  1 n  1  n 2  1  2
 n  n  1 n  1  n 2  4   5  2  n  n  1 n  1 n  2  n  2   5n  n  1 n  1  2

Mà n  n  1 n  1 n  2  n  2  5 (tích 5 số tự nhiên liên tiếp)
Và 5n  n  1 n  1 5 . Vậy D chia 5 dư 2
Do đó D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương.
Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương.
Câu 2.

a)
a
b
c
ac
abc
c





ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1 abc  ac  c abc 2  abc  ac ac  c  1
ac
abc
c
abc  ac  1




1
1  ac  c c  1  ac ac  c  1 abc  ac  1
b)
a  b  c  0  a 2  b 2  c 2  2  ab  ac  bc   0
 a 2  b 2  c 2  2  ab  ac  bc 

(1)

 a 4  b 4  c 4  2  a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2   4  a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2   8abc  a  b  c 

(Vì a  b  c  0 )
 2  ab  ac  bc   2  a 2b2  a 2c 2  b2c 2 

(2)

Từ (1) và (2)  a 4  b4  c 4  2  ab  ac  bc 

2


c) Áp dụng bất đẳng thức x 2  y 2  2 xy . Dấu bằng xảy ra khi x  y
a 2 b2
a b
a
 2  2. .  2.
2
b
c
b c
c
a2 c2
a c
c


2.
.

2.

b2 a 2
b a
b
c2 b2
c b
b


2.
.

2.
a2 c2
a c
a
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
2
2
 a 2 b2 c 2 
c2 a c b
a c b a b
2 2  2  2   2     2  2  2   
c
a 
c
a
c b a
c b a b
b
Dấu "  " xảy ra khi a  b  c

Câu 3.
a)
x  214 x  132 x  54


6
86
84
82
 x  214   x  132
  x  54


 1  
 2  
 3  0
 86
  84
  82

x  300 x  300 x  300



0
86
84
82
1
1 

 1
  x  300       0  x  300  0  x  300
 86 84 82 
Vậy S  300
b)
2
2 x  8 x  1 . 4 x  1  9

  64 x 2  16 x  18 x 2  2 x   9   64 x 2  16 x  1 64 x 2  16 x   72

Đặt 64 x 2  16 x 

1
k
2

Ta có:
 k  0,5 k  0,5  72  k 2  72,25  k  8,5


Với k  8,5 ta có phương trình :
1

x

2
64 x 2  16 x  8  0   2 x  1 4 x  1  0  
 x  1

4

Với k  8,5 ta có phương trình:

64 x 2  16 x  9  0  8 x  1  8  0 (vô nghiệm)
2

1 1 
Vậy S   ;  
2 4
2
2
c) x  y  2 x  4 y  10  0   x 2  2 x  1   y 2  4 y  4   7  0

  x  1   y  2   7   x  y  1 x  y  3  7
Vì x, y nguyên dương nên x  y  3  x  y  1
x  3
 x  y  3  7 và x  y  1  1  
y 1
2

2

Phương trình có nghiệm dương duy nhất  x; y    3;1
Câu 4.

B

A
E

F

K
O

I
N

M

D
a) Vì AB / /CD  SDAB  SCBA (cùng đáy và cùng đường cao)
 SDAB  S AOB  SCBA  S AOB hay S AOD  SBOC
EO AO
b) Vì EO / / DC 

. Mặt khác AB / / DC
DC AC

C


AB AO
AB
AO
AB
AO
EO
AB








DC OC
AB  BC AO  OC
AB  BC AC
DC AB  DC
EF
AB
AB  DC
2
1
1
2







2 DC AB  DC
AB.DC
EF
DC AB EF
c) Dựng trung tuyến EM , dựng EN / / MK  N  DF 
Kẻ đường thẳng KN là đường phải dựng.
Chứng minh: SEDM  SEFM (1)

Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE  SIMN  2 
Từ (1) và (2) suy ra SDEKN  SKFN
