042 đề HSG toán 8 2018 2019

UBND
NĂM

Ỏ
201 - 2019

Ấ

Môn:
12/05/2019
_____________________________________________

Câu 1 (2,0 điểm)
C

biểu

 x 4  x 2  4 x  1 x  1 x  1  x( x  1)  (1  x)


.
.
2
3
x

1
x

1
x


1
x

1



ức: P  

a) R gọ P.
b) m gi
gu
c
để
gi
gu
Câu 2 (6,0 điểm)
a)
c đ ức u
:
)
)
) + 128.
n
b) C
l ố gu
dương, c ứ g mi
g 16 – 15n – c i ế c 225.
c) Đ

ức f ) c i c
+ 1 dư 4, chia cho x2 + 1 dư 2x + 3. m ầ dư khi
chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1).
d) C ứ g mi
g
g i ốc
ươ g li
iế c g i c c c g l
m ốc
ươ g l .
Câu 3 (5,0 điểm)
a) m c c ố gu
;
ỏ mã : x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
3x 2  2 x  3
b) m gi
l
gi
ỏ
c biểu ức: C 
.
x2  1
c) Cho ba ố
đ im
c
u ỏ mã 3 + y3 + z3 3
.
gi

c

biểu

ức: B 

16( x  y) 3( y  z ) 2038( z  x)


.
z
x
y

Câu 4 (7,0 điểm)
4.1: Cho hình vuông ABCD. ọi l m điểm
c
C. u
u gg c i
c C
i . u g u ế
c
m gi c
c
Đư g
g
u
g
g i
c
. C ứ g mi :

a) ứ gi c
l
i.
2
b) AF = FK.FC
c) C u i m gi c
C
gđ i i
đ i
C.
4.2: C
m gi c
C u g i c
c, AC = b
đư g
g c

l

d. C ứ g mi

Câu 5 (1,0 điểm)
C c c ố dươ g b c

g:

1 1
2
 
.

b c d

ỏ mã

b

c

. C ứ g mi

a
b
c


1
1 b  a 1 c  b 1 a  c

--- Hế ---

:

i
C

gi c c

.

Câu 1 (2 điểm)
C

 x 4  x 2  4 x  1 x  1 x  1  x( x  1)  (1  x)


.
.
2
3
x

1
x

1
x

1
x

1



ức: P  

biểu

a) R gọ P.

b) m gi
gu

c

để

gi

gu

 x 4  x 2  4 x  1 x  1 x  1  x( x  1)  (1  x)
P


.
2
x

1
x

1
x

1
x3  1



* Đ XĐ:

±

 ( x  x 2  4 x  1)  ( x 2  2 x  1)  ( x 2  2 x  1)  x 2  1
a) P  
. 3
x2  1

 x 1
x4  x2  1 x2  1

.
x 2  1 x3  1
( x 4  x)  ( x 2  x  1) x 2  1

. 3
x2  1
x 1
2
x(x  1)( x  x  1)  ( x 2  x  1) x 2  1

. 3
x2  1
x 1
2
2
2
(x  x  1)( x  x  1)
x 1


.
2
x 1
( x  1)( x 2  x  1)
x2  x 1

x 1
1
x 2  x  1 x(x  1)  1

b) P 
=x
x 1
x 1
x 1
1
 Z  x – 1  Ư ) { ; -1}
Để 
x 1
4

)
)

i Đ XĐ)
i - Đ XĐ)
gu
i  {2;0}.
Câu 2 (6 điểm)

a)
c đ ức u
:
)
)
)
.
n
b) C
l ố gu
dương, c ứ g mi
g
– 15n – c i ế c
.
2
c) Đ
ức f ) c i cho x + 1 dư 4, chia cho x + 1 dư 2x + 3. m ầ dư khi
chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1).
d) C ứ g mi
g
g i ốc
ươ g li iế c g i c c c g l
m ốc
ươ g l .
a) x(x+ 4)(x+ 6)(x + 10) + 128
= [x(x+10)].[(x+4)(x+6)] + 128
= ( x2 + 10x).(x2 + 10x + 24) + 128
Đặ 2
c :
a(a + 24) + 128

= a2 + 24a + 128
= (a+8)(a+16)
= (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16)
= (x + 2)(x + 8)(x + 5 + 17 )(x + 5 - 17 )


b) i
c : 16 – 15 – 1 = 0 225
i
b i
đ g i
ức l
c :
k
16 – 15k – 1 225
c ứ g mi b i
đ g i
k+1
:
– 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1
= 16k (15 + 1) – 15k – 15 – 1
= (16 k – 15k – 1) + 15(15k – 1)
= (16 k – 15k – 1) + 225. A(k) 225
n
–
– c i ế c
i mọi l ố gu
dươ g.
c) T e đ
l Bê-du ta có: f(x) chia

dư  f(-1)=4
D b c đ ức c i
) ^
) l 3 nên đ ức dư c d g 2 + bx+c
ọi ươ g l
c :
2
f(x) = (x+1)(x +1)Q + ax2 + bx+c
=(x+1) (x2 +1)Q + ax2 +a -a +bx+c
=(x+1) (x2 +1)Q + a(x2 +1) -a +bx+c
= [(x+1)Q + a](x2 +1) + bx+c- a
b  2
f ) c i 2 dư
3 
(1)
c

a

3

ặ
c f(-1)=4  a -b+ c = 4 (2)
3

a


2


Từ ) (2)  b  2
 9
c 
2

3
9
V đ ức dư là: x2 +2x + .
2
2
d) ọi i ố c
ươ g li iế đ l k2
)2.
c : k2 + (k+1)2 + k2.(k+1)2 = k4 +2k3+ 3k2 + 2k +1 = (k2 + k +1)2 = [k(k + 1) +1]2 l
ốc
ươ g. 1)
)l c
i ố
i li iế
)c
)
l  [k(k

2
+ 1) +1] l
)
ừ )
) u
đ cm.
Câu 3 (5,0 điểm)

a) m c c ố gu
;
ỏ mã : x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
3x 2  2 x  3
b) m gi
l
gi
ỏ
c biểu ức: C 
.
x2  1
c) C b ố
đ im
c
u ỏ mã 3 + y3 + z3 3
.
gi

c

biểu

ức: B 

16( x  y) 3( y  z ) 2038( z  x)


.
z
x

y

a) x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
 x2 + y2 – 2xy = 35xy - 5x2y2 - 60
 (x – y)2 = 5(3 – xy)(xy – 4) (1)
– y)2 ≥
3 – xy)(xy – ) ≥

 3≤

≤

 xy  {3;4}


Đ g

ức

 xy  4

  x, y 
x  y


)

 x  2

y  2

.

  x  2

  y  2

)  {(2;2);(-2;-2)}
3x 2  2 x  3 2( x 2  1)  (x 2  2 x  1)
(x  1) 2
b) C 
=
=2  2
≥
x2  1
x2  1
x 1
mi C
x = 1
3x 2  2 x  3 4( x 2  1)  (x 2  2 x  1)
(x  1) 2
=
=
≤
C
4

x2  1
x2  1
x2  1
m C

 x = -1
3
3
3
c) x + y + z 3
;
)
3
3
 (x+y) – 3xy(x+y) + z – 3xyz= 0
 (x+y+z)3 – 3z(x+y)(x+y+z) – 3xy(x+y+z) = 0
 (x+y+z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0
1
 (x+y+z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z-x)2] = 0
2
x  y  z  0
 x  y   z


x

y

0

 y  z  x
 
 
 y  z  0
 z  x   y



  z  x  0
 x  y  z (loai, vi x  y  z )
B

16( x  y) 3( y  z ) 2038( z  x) 16( z) 3( x) 2038( y)
= (-16) + (-13) + 2038 =





z
x
y
z
x
y

2019.
Câu 4 (7,0 điểm)
4.1: Cho
u g
C . ọi l m điểm
c
C. u
u gg c i
c C
i . u g u ế

c
m gi c
c
Đư g
g
u
g
g i
c
. C ứ g mi :
a) ứ gi c
l
i.
2
b) AF = FK.FC
c) C u i m gi c
C
gđ i i
đ i
C.
4.2: C
m gi c
C u g i c
c, AC = b
đư g
g c
4.1:
a)

l

d. C ứ g mi

X

g:

1 1
2
 
.
b c d

ABE
ADF c :
ABE = ADF (=900)
C l
u g)
BAE = DAF c g
DAE )
đ ABE = ADF (g-c-g)
 AE = AF
i
 AEF u g c
l u g u ế c
AEF

i
C

gi c c

.


 AI c g l đư g c c AEF
 AI  EF hay GK  EF
X IEG
IFK c :
GIE = KIF đối đ )
IE = IF (gt)
IEG = IFK (so le trong)
đ IEG = IFK (g-c-g)
 IG = IK
ứ gi c
c
i đư g c
c
u i u g điểm m i đư g
g );
cm ) đ g
i u gg c i
u
l
i.
 )
b)
X AFK
CAF c :
KAF = FCA (=450)

F: g c c u g
đ AFK ∽ CAF (g-g)
AF KF


 AF2 = KF.CF.
CF AF
c) Đặ l đ d i c
u g
C 
gđ i
ABE = ADF (theo a)  BE = DF
c :
l
i e )
Chu vi EKC l : CEKC
C
C
C
C
C
g đ i.
4.2:
 AB (E  AB); DF  AC (F  AC)
l
c
l i
gi c EAF
l
u g

iế đ i u i- -g
đư c:
AD
DE = DF =
2
c g u g g c i C)
c đ g d g)
 DFC ∽ BAC
DF CD
(1)


AB BC
DE BD
ươ g c ứ g mi
(2)

AC CD
DF DE CD+BD


C g i ế ươ g ứ g c
)
) đư c:
AB AC
BC
AD AD
BC
AD  1
1 

1
1
2
1 1
2

đ cm)


 2  2 

  

 1 
b c d
AB AC AD
AB AC BC
2  AB AC 
Câu 5
điểm)
C
c c ố dươ g
bc
ỏ mã
b
c
. C ứ g mi :
a
b
c



1
1 b  a 1 c  b 1 a  c


d g

u b đ g

ức u- i- Cố - i

c :

a
b
c
a
b
c
a2
b2
c2






=

=
≥
1  b  a 1  c  b 1  a  c 2b  c 2c  a 2a  b 2ab  ac 2bc  ab 2ac  bc
(a  b  c) 2
3(ab  bc  ac)
c ứ g mi
(a  b  c)2 ≥ 3 b bc c )
 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3 b 3bc 3c
 a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥



1
[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] ≥
2

a
b
c


1
1 b  a 1 c  b 1 a  c

u

a  b  c
1

 a  b  c  1  a  b  c  .

3
a, b, c  0


lu

đ

g)