053 đề HSG toán 8 củ chi 2018 2019

TRƯỜNG THCS
CỦ CHI

ĐỀ THI OYMPIC TOÁN LỚP 8
NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1. (6 điểm)
a) Giải phương trình:

1
1
1
1



x 2  9 x  20 x 2  11x  30 x 2  13x  42 18

b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
A

a
b
c


3
bc a a c b a bc

Câu 2. (5 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập

phương của chúng chia hết cho 9
b) Tìm các số nguyên n để n5  1 chia hết cho n3  1
Câu 3. (3 điểm)
a) Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

1 1 1
  9
a b c

b) Cho a, b dương và a2000  b2000  a2001  b2001  a 2002  b2002 .
Tính a 2011  b2011
Câu 4. (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C
vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng
minh rằng:
a)OAOB
.  OC.OH

b) OHA có số đo không đổi
c) Tổng BM .BH  CM .CA không đổi


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) ĐKXĐ: x  4; x  5; x  6; x  7
Phương trình trở thành:
1

1



1



 x  4  x  5  x  5 x  6   x  6  x  7 



1
18

1
1
1
1
1
1
1






x  4 x  5 x  5 x  6 x  6 x  7 18
1
1
1




x  4 x  7 18
 18( x  7)  18  x  4    x  7  x  4 


 x  13
  x  13 x  2   0  
x  2

b) Đặt b  c  a  x  0;
Từ đó suy ra a 

c  a  b  y  0;

abc  z 0

yz
xz
x y
;b 
;c 
2
2
2

Thay vào ta được:
A

y  z x  z x  y 1  y x   x z   y z  


            
2x
2y
2z
2  x y   z x   z y  

Từ đó suy ra A 

1
 2  2  2  hay A  3  a  b  c
2

Câu 2.
a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a  b chia hết cho 3
Ta có: a3  b3   a  b   a 2  ab  b2    a  b   a  b   3ab 


2

Vì a  b chia hết cho 3 nên  a  b   3ab chia hết cho 3.
2

2
Do vậy,  a  b   a  b   3ab  chia hết cho 9



b)
n5  1  n3  1   n5  n 2  n 2  1  n3  1
 n 2  n3  1   n 2  1  n3  1
  n  1 n  1  n  1  n 2  n  1
 n  1 n2  n  1
 n  n  1 n 2  n  1

Hay

n2  n n2  n  1   n 2  n  1  1  n 2  n  1
 1 n2  n  1

Xét hai trường hợp:
n  0
)n 2  n  1  1  n 2  n  0  
n  1

)n2  n  1  1  n2  n  2  0, không có giá trị của n thỏa mãn

Câu 3.
b c
1

1


a
a a


a c
1
a.Từ a  b  c  1    1  
c b
b
a b
1
c 1 c  c




1 1 1
a b a c  b c
   3          3 2 2 2  9
a b c
b a c a c b

Dấu “=” xảy ra  a  b  c 

1
3

b)  a 2001  b2001   a  b    a 2000  b2000  ab  a 2002  b2002


  a  b   ab  1
a  1
  a  1 b  1  0  
b  1

b  1(tm)
Với a  1  b2000  b 2001  
b  0(ktm)
 a  1(tm)
Với b  1  a 2000  a 2001  
 a  0(ktm)

Vậy a  1; b  1  a 2011  b2011  2
Câu 4.

O

H

A
M

K

B
a) BOH
b)

COA  g.g  

OB OH

 OA.OB  OH .OC
OC OA

OB OH
OA OH



và O chung  OHA OBC
OC OA
OC OB

C


 OHA  OBC (không đổi)
c) Vẽ MK  BC; BKM

CKM

BHC ( g.g )

BM BK

 BM .BH  BK .BC
BC BH
CAB  g.g  

(3)

CM CK

 CM .CA  BC.CK (4)

CB CA

Cộng từng vế của (3) và (4) ta có:
BM .BH  CM .CA  BK .BC  BC.CK  BC. BK  KC   BC 2 (Không đổi)