060 đề HSG toán 8 phước hiệp 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHƯỚC HIỆP

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC : 2015-2016
Môn: TOÁN – LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. (3,5 điểm)
a) Chứng minh n3  17n chia hết cho 6 với mọi n

x
x

b) Rút gọn biểu thức:

2
2

 a  1  a   a 2 x 2  1
 a  1  a   a 2 x 2  1

Bài 2. (4,5 điểm).
a) Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại
1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây… Cứ
như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể
luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B.

a 2  b2
b) Biết a  3ab  5 và b  3a b  10 . Tính M 
2018

Bài 3. (4 điểm)
3

3

2

2

a) Giải phương trình:  x 2  x  1 x 2  x  2   12

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 2  y 2  4  x  y   2010
Bài 4. (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung
điểm của BD, BC, DC
a) Chứng minh APQR là hình thang cân
b) Biết AB  6cm, AC  8cm. Tính độ dài của AR
Bài 5. (2,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt
đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh:
1
1
1


BN BM BK
Bài 6. (1,0 điểm)
Biết a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a

2

 b2  c 2   4a 2b2  0
2


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) n3  17n  n3  n  18n  n  n  1 n  1  18n

Vì n  n  1 n  1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3,  2,3  1
nên chia hết cho 6
18n 6 , suy ra điều phải chứng minh
b)
2
 x  a  1  a   a 2 x 2  1  x2  x2a  a  a 2  a 2 x 2  1
 x2  a  1  a   a 2 x 2  1 x2  x2a  a  a 2  a 2 x 2  1
2
2
2
x 2  x 2 a  a 2 x 2  1  a  a 2 x 1  a  a   1  a  a 
 2

x  x 2 a  a 2 x 2  1  a  a 2 x 2 1  a  a 2   1  a  a 2 

x

x

2

 11  a  a 2 

1  a  a2

2
2
 11  a  a 2  1  a  a

Bài 2.
a) Gọi x là số lần đi  x  , x  0  , số lần dừng là x  1
Thời gian đi
4 8 12
4x
   ..... 
 2  4  6  .....  2 x
2 2 2
2
 2 1  2  3  ....  x   x  x  1
Thời gian dừng:
 x  1  1 x  1  x( x  1)
1  2  3  .....   x  1 
2
2
Lập được phương trình
 x  10 (tm)
x( x  1)
2
 x( x  1)  155  3x  x  310  

31
x 
2
(ktm)
3

Khoảng cách AB là 10.10  1.2  220(m)


b)
a 3  3ab 2  5  a 6  6a 4b 2  9a 2b 4  25
b3  3a 2b  10  b6  6a 2b 4  9a 4b 2  100
 a 6  3a 4b 2  3a 2b 4  b6  125
  a 2  b 2   53 
3

Bài 3.
a)

x

2

a 2  b2
5

2018
2018

 x  1 x 2  x  2   12

Đặt x2  x  1  X có
X 2  X  12  0

 X 2  4 X  3 X  12  0  X  X  4   3  X  4   0
X  3
  X  3 X  4   0  
 X  4
2
1  19

2
X  4  x  x  5  0   x     0 (VN )
2
4

X  3  x2  x  2  0   x2  2x    x  2  0

 x  1
  x  1 x  2   0  
x  2
b)
P  x 2  y 2  4  x  y   2010

  x 2  4 x  4    y 2  4 y  4   2018

  x  2    y  2   2018  2018
Vậy Pmin  2018  x  y  2
2

2


Bài 4.

A
D
R

P
B

C

Q

a) PQ là đường trung bình tam giác BDC , suy ra PQ / / AR nên APQR là hình
thang.
1
AQ  BC (trung tuyến tam giác vuông ABC)
2
1
PR  BC (đường trung bình tam giác DBC)
2
Suy ra AQ  PR  APQR là hình thang cân
b) Tính được BC  10cm
Tính chất đường phân giác trong của ABC
DA BA
DA
BA





DC BC
AC BC  BC
Thay số tính đúng AD  3cm, DC  5cm, DR  2,5cm
Kết quả AR  5,5cm
Bài 5.

B

A
N

D

K

M

C


AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành). Theo định lý Talet có:
MN NC MN
MC  AB MN  NB BM






(1)
AB AN NB
AB
BN
BN
KM KD MD
BK  KM AB  MD
BM AB  MD






(2)
BK KA AB
BK
AB
BK
AB
BM BM AB  MC AB  MD MC  MD
Từ (1) và (2) 




BN BK
AB

AB
AB
BM BM
Mà MC  MD  CD  AB nên

 1 (Điều phải chứng minh)
BN BK
Bài 6.

a

2

 b 2  c 2   4a 2b 2   a 2  b 2  c 2  2ab  a 2  b 2  c 2  2ab 
2

2
2
  a  b   c 2   a  b   c 2 



   a  b  c  a  b  c  a  c  b  b  c  a 
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra
điều phải chứng minh.