072 đề HSG toán 8 huyện

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức A 

x
3  3x
x4
 2
 3
x 1 x  x 1 x 1

a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x  1
Câu 2. (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với mọi x 

thì giá trị của đa thức :

M   x  2 x  4  x  6  x  8  16 là bình phương của một số hữu tỉ

b) Giải phương trình : x  1  x  x  1
Câu 3. (1,5 điểm) Đa thức P( x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)  0;
P(3)  0; P(5)  0 .

Hãy tính giá trị của biểu thức Q  P  2   7 P  6 
Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình
vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi

E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng
a) DE song song với AC

b) DE  DF ; AE  AF
Câu 5. (1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
c
3


 với a  b  c  0
ab bc ca 2


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a)

2
x
3  3x
x  4 x  x  x  1   x  1 3  3x   x  4
A



x  1 x 2  x  1 x3  1
 x  1  x 2  x  1

2
x3  2 x 2  2 x  1  x  1  x  x  1 x 2  x  1




 x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1 x 2  x  1

2

1 3

x  
2

x  x 1 
2 4

b) Với mọi x  1thì A  2
2
x  x 1 
1 3
x  
2 4

2
2
1 3
1 3


Vì  x     0;  x     0, x  1  A  0, x  1
2 4
2 4



Câu 2.
a) Ta có: M   x 2  10 x  16  x 2  10 x  24   16

Đặt a  x2  10 x  16
2
Suy ra M  a  a  8  16  a 2  8a  16   a  4 
Vậy M   x 2  10 x  20  (dpcm)
2

b / x  1  x  x  1
 x  x  1  x  1  0  x . x  1  x  1  0  x  1 . x  1  0
 x 1  0
x 1  0
x 1



 x  1
 x  1  0
 x 1
Câu 3.
Ta có: P( x) ( x  1),  x  3 ,  x  5
Nên P  x  có dạng P  x    x  1 x  3 x  5 x  a 
Khi đó: P(2)  7.P(6)   3. 5. 7 . 2  a   7.5.3.1. 6  a 

 105. 2  a   105. 6  a 
 105. 2  a  6  a   840

Câu 4.

A
N

M

F
E
1 2

B

Q

a) Chứng minh được

D

C
P

BE BQ BQ AB BD




 DE / / NC hay
EN QP MQ AC DC

DE / / AC
DE BD
BD

 DE 
.CN
(1)
CN BC
BC
CD
Tương tự: DF 
.BM
(2)
BC
DE BD CN
Từ (1) và (2) suy ra

.
DF CD BM
CN AC
DE
BD AB

 1  DE  DF
Mà
và
nên

BM AB

DF
CD AC
Ta có: D1  DAC  DAB  D2  ADE  ADF  AE  AF

b) Do DE / / AC 


Câu 5.
Gọi vế trái là A, ta có:
3  a
1  b
1  c
1
A 
 
 
 
2 ab 2 bc 2 ca 2
a b
bc
ca



2  a  b 2 b  c  2 c  a 


a b
b  a    a  c   c  a


2a  b
2b  c 
2c  a

a b  1
1  ac  1
1 
.


.




2 ab bc
2 bc ca
a b
ca
ac
a b

.

.
2  a  b  b  c 
2  b  c  . c  a 


 a  b  a  c  . 1  1 



2b  c   a  b c  a 
 a  b  a  c  b  c   0( Do a  b  c  0)

2  b  c  a  b  c  a 


Vậy A 

3
2