105 đề HSG toán 8 2018 2019

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn 8
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 2/05/2019

Bài 1. (6,0 điểm)
a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3  2019 x2  2019 x  2018
b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x 2  y 2  4 x  2 y  5  0
c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

Bài 2. (4,0 điểm)
a. Chứng minh a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca  với mọi số thực a, b, c.
b. Chứng minh rằng với mọi số ngun x thì biểu thức P một số chính phương.

P   x+5 x+7  x  9  x  11 + 16.
Bài 3 (3.0 điểm):
Cho biểu thức: P 

1
1
1
1
1
 2
 2
 2
 2
x  x x  3x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20

2

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.

Bài 4. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vng tại A  AC  AB . Vẽ đường cao AH  H  BC  . Trên tia
đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt
đường thẳng AC tại P.
a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.
b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
Bài 5 (2.0 điểm):
ˆ  ABC
ˆ . Đường
Cho tam giác ABC có Aˆ  Bˆ . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HAC
ˆ cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại
phân giác của góc BAH
F. Chứng minh rằng: CF // AE.

________________Hết________________
\


ĐÁP ÁN

Câu 1: a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3  2019 x2  2019 x  2018
A = x3  2019 x2  2019 x  2018
A = x3  1  2019( x2  x  2019)
A = (x - 1)(x 2  x  1)  2019( x2  x  1)

A =  x 2  x  1 ( x  1  2019)
A = (x 2 + x + 1 )(x  2018)

b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x 2  y 2  4 x  2 y  5  0
x2  y 2  4 x  2 y  5  0  ( x 2  4 x  4)  ( y 2  2 y  1)  0
 ( x  2)2  ( y  1)2  0
 x  2 và y  1
c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n =
59.5n 59 và 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59
vậy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n)

Câu 2:
a. Chứng minh a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca  với mọi số thực a, b, c.
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
0  a  b  c  a 2  ab  ca ;
0  b  c  a  b2  bc  ab
0  c  a  b  c 2  ca  bc

Do đó, suy ra: a2  b2  c2  2(ab  bc  ca)
b. Chứng minh rằng với mọi số ngun x thì biểu thức P một số chính phương.
Ta có: P   x+5 x+7  x  9 x  11 + 16.
 P  ( x  5)( x  11)( x  7)( x  9) + 16.
 P  ( x2  16 x  55)( x 2  16 x  63)+ 16.
 P  ( x2  16 x  55)2  8( x2  16 x  55)+ 16.
 P  ( x2  16 x  55)2  2( x2  16 x  55).4+ 42 .
 P  ( x 2  16 x  59)2 . Vơi x là số ngun thì P là một số CP.

Bài 4 (3.0 điểm):
Cho biểu thức: P 

1
1
1
1
1
 2
 2
 2
 2
x  x x  3x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20
2

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.

a) Tìm điều kiện đúng: x  0; x  1; x  2; x  3; x  4; x  5
b) Rút gọn đúng:
1
1
1
1
1




x( x  1) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5)

1 1  1
1   1
1   1
1   1
1 
= 
 








 x 1 x   x  2 x 1   x  3 x  2   x  4 x  3   x  5 x  4 
1
1
5

 
x  5 x x  x  5

P


I
K

B

1

H

Q
1

C

A

Chứng minh:  ABC

S

P

Câu 4

 KPC ( G.G)

b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
PB
(Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vuông).
2
Lại có: HK  HA (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK.

Ta có: AQ  KQ 

S

5
(2đ)

ˆ  HAC
ˆ  EAH
ˆ  CAE
ˆ
ˆ  Bˆ  BAE
Ta có: CEA
CAE cân ở C  CA = CE (1)
Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có:
BE MB MA FA



EH KH KH FH

(2)

BE AB

(3)
EH AH
AB CA CE
(theo (1))


 CAH và  CBA đồng dạng 

AH CH CH

AE là phân giác của  ABH 

(4)
Từ (2), (3), (4) 

FA CE
AH EH
hay


 AE CF (đpcm)
FH CH
FH CH

0,5đ

0,5đ
0,25
đ
0,25
đ
0,5đ