ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOAN 8 NĂM HỌC 2017 2018 TỰ LUẬN

PHềNG GIO DC V O TO
YấN TH

K THI CHN HC SINH GII VN HO CP HUYN
NM HC 2017-2018
MễN THI: TON; LP: 8 PH THễNG

THI CHNH THC

Ngy thi: /4/2018
Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao

thi cú 01 trang
Cõu 1. (6,0 im)

1. Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t: x2 - 2xy + y2 + 6x - 6y +5
2. Tỡm s d trong phộp chia ca a thc f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho
a thc g(x) = x2 + 8x + 12.
3. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tớnh S = a2016 + b 2017 + c 2018 +2017.
Cõu 2. (4,0 im)
1. Tỡm s nguyờn t p 4p + 1 l s chớnh phng.
2( x 2 + x + 1)
2. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca cỏc biu thc : B =
x2 + 1

Cõu 3. (4,0 im)

1
2 x3 2x 2
x +1

: 3
1. Cho biu thc: Q = 1 + 3
. Tỡm x nguyờn Q
2
2
x + 1 x x 1 x +1 x x + x

nhn giỏ tr nguyờn.
2. Tỡm cỏc s nguyờn a, b bit: (a + 1) 2 b + (b + 1)2 a = 1
Cõu 4. (5,0 im)
1. Cho tam giỏc ABC cõn ti A. Hai im M, D tng ng l trung im ca BC v
AM. H l hỡnh chiu ca M trờn CD. AH ct BC ti N, BH ct AM ti E. Chng minh
rng:
a) Tam giỏc MHD ng dng vi tam giỏc CMD.
b) E l trc tõm tam giỏc ABN.
2. Cho góc nhọn aOb. A là mt điểm cố định trong gúc aOb. im
M thay đổi trên tia Oa; im N thay đổi tia Ob sao cho 2OM = ON.
Tìm vị trí điểm M, N để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất.
Cõu 5. (1,0 im)

Cho cỏc s thc dng x, y tha món x + y = 2 . Chng minh rng:
1
1
+ 2
1.
x +x y +y
2

--------------Ht---------------Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.

H v tờn thớ sinh: ...............................................................S bỏo danh:......................
Giỏm th 1 (H tờn v ký)...............................................................................................
Giỏm th 2 (H tờn v ký).................................................................................................


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN THẾ

HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG

NGÀY THI

/4/2018

Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
Câu 1

Hướng dẫn giải
= (x - y)2 +6(x - y) +5 = (x - y)2 + 6(x - y)2 + 9 -4

1
(2,0 điểm)

= (x - y + 3)2 - 22 = ( x - y + 5)(x - y +1)

(2.0 điểm)

= (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + 9
= (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + 9
= (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + 9 – 15
= (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - 6
Vậy số dư trong phép chia của đa thức f(x) cho đa thức g(x) là - 6.
a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 ⇒ a; b; c ∈ [ −1;1]

3
(2 điểm)

1
1

Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 9
= (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 9
2

(6 điểm)

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

⇒ a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) ≤ 0

0.5

⇒ a3 + b3 + c3 ≤ 1 ⇒ a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1
⇒ a2016=a2; b2017 = b2; c2018 = c2; ⇒ S = a2016 + b 2017 + c 2018 +2017= 2018

0.75

KL:………..

0.25

Câu 2

(4.0 điểm)
2

Giả sử 4p + 1 là số chính phương=> 4p+1=k (k là số tự nhiên)
 4p=(k-1)(k+1)
=> (k-1)(k+1) chia hết cho 4
Mặt khác: (k+1)+(k-1)=2k là số chẵn nên k-1 và k+1 cùng tính chẵn lẻ.
1
(2.0 điểm)

Do đó k-1 và k+1 là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp => (k-1)(k+1) chia hết cho
8 => 4p chia hết cho 8 => p chia hết cho 2, mà p là số nguyên tố nên p=2
Với p=2 thì 4p+1 =9 là số chính phương
KL:.........................

2
(2.0điểm)

0.5

B=

2( x 2 + x + 1) ( x 2 + 1) + ( x 2 + 2 x + 1)
( x + 1) 2
=
=
1
+
≥1
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1

Dấu “ = ” xảy ra <=> x+1= 0 <=> x = -1
Vậy GTNN của B là 1 <=> x = -1

0.75
0,5
0,25

0.5
0.5


2( x 2 + x + 1) 3( x 2 + 1) − ( x 2 − 2 x + 1)
( x − 1) 2
B=
=

=
3
−
≤3
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1

Dấu “ = ” xảy ra <=> x-1= 0 <=> x = 1
Vậy GTLN của B là 3 <=> x = 1
Câu 3

0,5

0,5
(4 điểm)

Điều kiện: x ≠ 0,x ≠ -1, x ≠ 2

1
2  x3 − 2x 2
 x +1
−
−
Q=1+  3
: 3
2
2
 x + 1 x − x −1 x +1 x − x + x
x +1+ x +1− 2 x2 − x +1 x2 − x +1

⋅
=1 +
x( x − 2 )
( x + 1) x 2 − x + 1

(

=1+

1
(2 điểm)

(

)

)

− 2x + 4x
x2 − x +1
⋅
( x − 1) x 2 − x + 1 x( x − 2)
2

(

)

(

)

− 2 x( x − 2)
x2 − x +1
⋅
( x + 1) x 2 − x + 1 x( x − 2)
−2
=1+
x +1
x −1
=
x +1
Q nhận giá trị nguyên  ( x − 1) M( x + 1)  ( x + 1) − 2  M( x + 1)  2M( x + 1)
 x+1 là ước của 2  x+1 ∈ { −2; −1;1; 2}
=1+

1

0.75

Tìm được: x ∈ { − 3;−2;1} đều t/m ĐKXĐ

0.25

KL:……….
(a + 1) 2 b + (b + 1) 2 a = 1 (1).

2
(2 điểm)

Ta có:
(1) ⇔ ab( a + b) + 4ab + ( a + b) = 1 ⇔ ab( a + b + 4) + ( a + b + 4) = 5 ⇔ ( a + b + 4)( ab + 1) = 5
Khi đó chỉ xảy ra 4 trường hợp sau:
 a + b = 1 a + b = −9  a + b = −3 a + b = −5
; 
; 
; 

 ab = 0
ab = −2
 ab = 4
 ab = −6
Từ đó tìm ra (a, b) = (0,1);(1, 0);( −6,1);(1, −6) . (Mỗi trường hợp 0,25 điểm)

KL:……………..
Câu 4

0.75

1

0.25
(5 điểm)


A

D
H

E

1.a
(2 điểm)
B

M

C

N

a)
Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam
giác ABC.
Mà ∆ ABC cân tại A (gt)
Suy ra: AM là đường cao của ∆ ABC
Xét ∆ MHD và ∆ CMD có:
·
·
(= 900)
MHD
= CMD
·
·
MDH
= CDM
Suy ra: ∆ MHD ∆ CMD (g.g).

1

b) ∆ MHD
1.b
(2 điểm)

∆ CMD (câu a)
HD HM
⇒
=
MD CM
HD HM
⇒
=
(vì MD = AD, CM = BM)
AD BM

1

1

Mặt khác ta có:

·ADH = 900 + DMH
·
·
.
= BMH
Suy ra ∆HDA ∆ HMB (trường hợp đồng dạng thứ hai)
·
Do đó: ·AHD = BHM

·
Từ đó: ·AHB = DHM
= 900 hay BH ⊥ AN
Kết hợp với AM ⊥ BC ta suy ra E là trực tâm của tam giác ABN

2
(1,0
điểm)

x
a

C
A
M
b
O

N

0,5

0,5


Dùng tia Ox n»m ngoµi góc aOb sao cho ∠aOx = ∠bOa
Trªn tia Ox lÊy C sao cho OC =
Chứng minh được:
⇒

∆ COM

OA
2

0.5

∆ AON (c.g.c)

MC OM 1
=
= ⇒ AN = 2 MC.
NA ON 2

⇒ 2AM + AN = 2AM + 2MC
= 2 ( AM + MC) ≥ 2AC
DÊu "=" x¶y ra ⇔ M thuéc ®o¹n th¼ng AC và N nằm

0.5

trên tia Ob sao cho ON=2OM.
1
1
1
1
+ 2
=
+
x + x y + y x ( x + 1) y ( y + 1)
1 1  1

1
1
1
1
1 
= −
+ −
=  + ÷− 
+
÷
x x +1 y y +1  x y   x +1 y +1 
1
1 1 1
1 1
4
≤ .  + ÷ với a, b dương, dấu
Áp dụng BĐT + ≥
và
a+b 4  a b
a b a+b
bằng xảy ra ⇔ a = b = c.
1
1 1  1
1 1 
≤ .  + 1÷;
≤ .  + 1÷
Ta có
x +1 4  x  y +1 4  y 
Đặt P =

Câu 5
(1 điểm)

2

0,5

1 1  1
1  1 1 1 1
1 
+
Bởi vậy P =  + ÷− 
÷ ≥  + ÷− .  + 1 + + 1÷
y 
 x y   x +1 y +1  x y  4  x
3 1 1 1 3 4
1 3 1
− = − = 1.
= .  + ÷− ≥ .
4  x y 2 4 x+ y 2 2 2

0,5

Dấu “=” xảy ra  x=y=1

Điểm toàn bài (20điểm)

Lưu ý khi chấm bài:

-

Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ,
hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần
theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.