đề thi - đáp an HSG lớp 8 huyện trực ninh năm học 2007-2008

phòng giáo dục - đào tạo đề thi khảo sát học sinh giỏi
huyện trực ninh Môn: Toán 8 * Năm học 2007 - 2008
-------------- (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (2 điểm):
Cho hai đa thức
( )
mxxxA
+=
268
2

( )
32
=
xxB
Với giá trị nào của m thì A
( )
x
chia hết cho B
( )
x
Bài 2 (4,5 điểm):
Cho biểu thức:
32
2
2
2
2
3
:
2

2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
A










+

+
=
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của A đợc xác định?
b) Rút gọn biểu thức A?
c) Tìm x để A = - 1
Bài 3 (3,5 điểm):
a) Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thì x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz.
b) Cho a, b, c là 3 số thoả mãn điều kiện sau:
1 1 1
0
a b c
+ + =

Tính giá trị của biểu thức: P =
2 2 2
ab bc ca
c a b
+ +
Bài 4 (7 điểm): Cho hình thang ABCD có
à
à
0
90A D= =
; BC = AB + CD.

Gọi O là trung điểm của AD , trên BC lấy điểm E sao cho BE = AB.
a ) Chứng minh rằng các tam giác AED và BOC là các tam giác vuông
b ) Chứng minh AD
2
= 4 AB . CD
c ) Gọi I và H lần lợt là giao điểm của OC với DE , OB với AE .
Tính diện tích tứ giác OIEH biết AB = 9cm ; CD = 4 cm
Bài 5 (2 điểm):
Cho a,b ,c, d là các số thực dơng thoả mãn a
2
+ b
2
+c
2
= 1 Chứng minh rằng :

3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3
2
a b c
b c c a a b abc
+ +
+ + +
+ + +
Họ và tên thí sinh: Chữ ký của Giám thị 1:
Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 2:
phòng giáo dục - đào tạo Hớng dẫn chấm khảo sát học sinh giỏi
huyện trực ninh Môn: Toán 8 Năm học 2007 2008

-------------- (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (2 điểm):
Cho hai đa thức
( )
mxxxA
+=
268
2

( )
32
=
xxB
Với giá trị nào của m thì A
( )
x
chia hết cho B
( )
x
+ Phân tích
( )
mxxxA
+=
268
2
= (2x -3).(4x-7) + (21+m)
+ A
( )
x
chia hết cho B

( )
x

(21 + m) = 0

m= -21
Bài 2 (4,5 điểm):
Cho biểu thức:
32
2
2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
A

+





+
=
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của A đợc xác định?
Điều kiện xác định : x


2 ; x

3; x

0
b) Rút gọn biểu thức A?
32
2

2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
A

+





+
=
2 2 3
2 2
2 4 2 2
.
2 4 2 3
x x x x x
x x x x x

+
= +
ữ
+

2 2 2 2
2
(2 ) 4 (2 ) (2 )
.
4 ( 3)
x x x x x
x x x

+ +

=
ữ



2 2 2 2 2 2
2 2
(2 ) 4 (2 ) (2 ) (2 2 )(2 2 ) 4 (2 )
. .
4 ( 3) 4 ( 3)
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
+ + + + + + +
= =

2 2 2
2
2 .4 4 (2 ) 4 (2 ) (2 )
. .
4 ( 3) (2 ).(2 ) ( 3)
x x x x x x x x
x x x x x x x
+ +
= =
+
2
4
3
x
x

=

c) Tìm x để A = - 1
2
2
4
1 4 3
3
x
x x
x
= = +


4x
2
+ x -3 = 0

(x+1)(4x- 3) = 0

x= -1; x=
3
4
Bài 3 (3,5 điểm):
a) 1.5đ Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thì x
3
+ y
3
+ z
3

= 3xyz.
+ x + y + z = 0 suy ra z = - ( x+y) nên
x
3
+ y
3
+ z
3
= x
3
+ y
3
(x+y)
3
+ = x
3
+ y
3
x
3
-3xy(x+y) - y
3
+ = -3xy(x+y) = 3xyz
b)2đ Cho a, b, c là 3 số thoả mãn điều kiện sau:
1 1 1
0
a b c
+ + =

1

Tính giá trị của biểu thức: P =
2 2 2
ab bc ca
c a b
+ +
+ P =
2 2 2
ab bc ca
c a b
+ +
=
3 3 3
abc abc abc
c a b
+ +
=
3 3 3 3 3 3
1 1 1abc abc abc
abc
c a b a b c

+ + = + +
ữ

+ Ta có
1 1 1
0
a b c
+ + =
nên theo câu a) ta có

3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
+ + =
+P =
3 3 3
1 1 1 3
.abc abc
a b c abc

+ + =
ữ

= 3
Bài 4 (7 điểm): Cho hình thang ABCD có
à
à
0
90A D= =
; BC = AB + CD.
Gọi O là trung điểm của AD , trên BC lấy điểm E sao cho BE = AB.
2
1
2
1
H
I
F
O
E

D
C
B
A
a ) 3 điểm Chứng minh rằng các tam giác AED và BOC là các tam giác vuông
* ) Chứng minh các tam giác CDE và BAE là các tam giác cân ( 0.25 )

à
ã
0
1
180
2
BCD
E

=
( 0,25 )

ả
ã
0
2
180
2
ABC
E

=
( 0,25 )

à
ả
ã
ã
0
1 2
360 ( )
2
BCD ABC
E E
+
+ =
( 0,25 )
+ Chứng minh
ã
ã
BCD ABC+
= 180
0
( 0,25 )
Tam giác AED vuông tại E ( 0,25 )
* ) Kéo dài CO cắt AB tại F
+ Chứng minh : DOC = AOF ( g . c. g ) ( 0,5 )
+ Chứng minh BF = BC ( 0,25 )
FBC cân tại B ( 0,25 )
OB là đờng cao của tam giác ( 0,25 )
BOC là tam giác vuông tại O ( 0,25 )
b ) ( 1 điểm ) Chứng minh AD
2

= 4 AB . CD
Vì
ã
0
90COB =
nên
à
ả
0
1 2
90O O+ =
Mà
à
ả
0
1 2
90B O+ =
nên
à
à
1 1
O B=
( 0,25 )
+ Chứng minh ODC đd BAO ( g . g ) ( 0,25 )

OD CD
AB OA
=
OD . OA = AB . CD ( 0,25 )

.
2 2
AD AD
AB CD=
AD
2

= 4 AB . CD
( 0,25 )
c ) 3 điểm Tính diện tích tứ giác OIEH biết AB = 9cm ; CD = 4 cm
+ Vì AD
2
= AB . CD ( chứng minh trên ) nên ta có AD = 12 cm OA = 6 cm ( 0,25 )
+ Chứng minh OHA đồng dạng OAB ( g . g ) ( 0,25 )

2
2
2
OHA
OAB
S
OA OA
S OB OB

= =
ữ

( 0,25 )

2

2 2
4
13
OA
OA AB
= =
+
( 0,5 )
+ Tính đợc S
OAB
=
2
1
. 27( )
2
OA OB cm=
( 0,25 )
S
OHA
=
2
108
( )
13
cm
( 0,25 )
+ Chứng minh OHA = OHE ( c . g . c ) ( 0,25 )
S
OHE
= S

OHA
=
2
108
( )
13
cm
( 0,25 )
+ Chứng minh tứ giác OHEI là hình chữ nhật ( 0,25 )
S
OIEH
= 2 S
OHE
=
2
216
( )
13
cm
( 0,5 )
Bài 5 (2 điểm):
Cho a,b ,c, d là các số thực dơng thoả mãn a
2
+ b
2
+c
2
= 1 Chứng minh rằng :

3 3 3

2 2 2 2 2 2
1 1 1
3
2
a b c
b c c a a b abc
+ +
+ + +
+ + +
+
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 a b c a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + +
+ + = + +
+ + + + + +
+=
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + = + + +
+ + + + + +
+ a,b ,c, d là các số thực dơng nên ta có :

2 2
2b c bc+
;

2 2
2c a ca+
;
2 2
2a b ab+
.Suy ra
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b bc ca ab
+ + + + + +
+ + +
=
3 3 3
3
2 2 2
a b c
abc abc abc
+ + +

hay
3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3
2
a b c
b c c a a b abc

+ +
+ + +
+ + +
.
+ Đẳng thức xảy khi a = b = c=
3
3
phòng giáo dục - đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
huyện trực ninh Môn: Toán 8 Năm học 2007 2008
-------------- (Thời gian làm bài 120 phút)
Đề lu tham khảo
Bài 1 (2 điểm):
Cho hai đa thức
( )
mxxxA
+=
268
2

( )
32
=
xxB
Với giá trị nào của m thì A
( )
x
chia hết cho B
( )
x
Bài 2 (2 điểm):

Cho 2 phơng trình:

0152
2
=+
xx
( 5)(3 4 ) 0x x k+ + =
Tìm giá trị của k để 2 phơng trình trên tơng đơng?
Bài 3 (4,5 điểm):
Cho biểu thức:
32
2
2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x

x
A










+





+
=
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của A đợc xác định?
b) Rút gọn biểu thức A?
c) Tìm x để A = - 1
Bài 4 (3,5 điểm):
b) Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thì x
3
+ y
3
+ z
3

= 3xyz.
b) Cho a, b, c là 3 số thoả mãn điều kiện sau:
1 1 1
0
a b c
+ + =

Tính giá trị của biểu thức: P =
2 2 2
ab bc ca
c a b
+ +
Bài 5 (6 điểm):
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung điểm
của AB và BC. Các đờng thẳng DN và CM cắt nhau tại I.
a) Chứng minh

CIN vuông.
b) Tính diện tích

CIN theo a.
c) Chứng minh

DAI cân.
Bài 6 (2 điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
2
4 3
1
x

M
x
+
=
+