chuyen de on thi tn-cd dh

Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1 : VÉC TƠ
1- véc tơ trong không gian:
- Các khái niệm , đn, các phép toán về
véctơ…. Giống như trong mặt phẳng .
2- Véc tơ đồng phẳng :
- Đlí 1 , Đlí 2, Đlí 3. ( SGK ).
3- Một số đẳng thức véctơ :
- Qui tắc 3 điểm , hệ thức trung
tuyến , hệ thức trọng tâm tam giác
BÀI 2 : HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ – TOẠ ĐỘ VÉC
TƠ – TOẠ ĐỘ MỘT ĐIỂM
1- Hệtrục toạ độ :
2- Toạ độ cuả véctơ :
-Cho
a
r
ta có :
1 2 3 1 2 3
( ; ; )a a i a j a k a a a a= + + ⇔ =
r r r r r
- Tính chất : Cộng , trừ , k.
a
r
, cùng
phương .
VD : Cho :
(1; 2;3) (1; 1/ 2;0)
: 2
a b

Tinh a b
= − = −
+
r r
r r
4- Toạ độ cuả một điểm :

( ; ; )OM xi y j zk M x y z= + + ⇔
uuuur r r r
.
Đònh Lí : Toạ độ :
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
5- Toạ độ một số điểm :
- M chia AB theo tỉ số K
- I trung điểm AB .
- G trọng tâm tam giác ABC.
- G trọng tâm tứ diện ABCD .
VD : Cho M(1;3;-2) .Tìm toạ độ hình chiếu cuả
điểm M trên :
- mp toạ độ : xOy , yOz , xOz .
- trên trục : 0x ,oy ,oz .
BÀI 3 : TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG
CỦA HAI VÉCTƠ .
1- Tích vô hướng :
ĐN :
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b= + +

r r
TC :
•
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
• AB=
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
uuur
•
.
cos( , )
.
a b
a b
a b
=
r r
urr
r r
•
. 0a b a b= ⇔ ⊥
r r r r
VD: Cho tgiác ABC có :
A(2;1;-1); B(3;2;-1) và C( 3;1;0)

Tính chu vi và góc A cuả tgiác ABC .
2- Tích có hướng :
a-ĐN :
b-TC :( bốn T/C )
VÍ DỤ: Choba vec tơ :

(1;1; 1); (1; 2; 2); (2;5;7)a b c= − = =
r r r
CMR : Ba vectơ trên đồng phẳng
c- Ứng dụng :
UD1: Tính diện tích tam giác ABC.
UD2: Tính thể tích tứ diện
UD3: Tính thể tích hình hộp .
Ví dụ :Cho bốnđiểm :
A(1;0;0) ; B(0;1;0) ; C( 0;0;1)và
D(-2;0;2)
CMR : A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện .
Tính thể tích và đường cao AH cuả tứ diện.
BÀI TẬP :
1- Cho A(1;0;0) ;B( 0;0;1) C(2;1;1)
a-Tìm chu vi và tính diện tích tgiác ABC
b- Tìm toạ điểm D để ABCD là hình bình hành .
c- Tính góc A cuả tgiác ABC .
2- Cho : A(1;2;1) ; B( 5;3;4) và C(8;-3;2) .
a- CMR: Tam giác ABC vuông .
b- Tính diện tích tgiác ABC .
1
Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến
c- Tính bán kính đường tròn ngoại , nội
tiếp R , r của tgiác ABC .

d- Tìm toạ độ chân đường phân giác
trong BE cuả tam giác ABC .
3- Cho : A(0;1;0) ; B(2;3;1) ; C(-2;2;2) và
D( 1;-1;2) .
a-CMR : ABCD là một tứ diện có có 3 mặt
vuộng tại A .
b-Tính thể tích tứ diện ABCD.
c-Gọi G là trọng tâm tam giác BCD .CMR:
AG vuông góc mp( BCD ) .
BÀI 4 : PHƯƠNG TRÌNH
MẶT PHẲNG
1-vtpt – cặp vtcp cuả mp :
*Vt
0n ≠
r r
: Gọi là vtpt cuả mp(
α
) ,nếu nó vuông
gócvới mp(
α
).
*
, 0 :a b ≠
r r uur
gọi là cặp VTCP cuả mp(
α
)nếu chúng
không cùng phương và ssong hoặc nằm trong mp(
α
).

*Nếu mp(
α
) có cặp vtct
, 0 :a b ≠
r r uur
thìmp(
α
) có vtpt
là
, .n a b
 
=
 
r urr
2-Pt tổng quát cuả mặt phẳng:
*Đònh nghiã : Pt cuả mp có dạng :
mp(
α
) : Ax + By + CZ+D = 0
Với : VTpt
( ; ; )n A B C=
r
.
** Đònh lí :Mp(
α
) đi qua M(x
0
;y
0
;z

0
)và có vtpt
( ; ; )n A B C=
r
là :
mp(
α
) A(x-x
0
)+ B(y-y
0
)+ C(z-z
0
)= 0
*** Chú ý:
-mp(
α
) qua gốc O: Ax+By+Cz = 0.
- Mp(xOy) : z=0
- Mp(xOz) : y=0
- Mp(yOz) : x=0
-mp(
α
) qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) và C(0;0;c) :
( ) 1
x y z
a b c
α
+ + =
-Hai mp ssong: Vtpt mp nầy là một vtpt cuả mp

kia .
- Hai mp vuông góc : VTpt mp nầy là một vtcp cuả
mp kia .
VÍ Dụ và Bài tập :
Viếtpt mp(
α
) trong cáctrường họp sau :
1- (
α
) qua A(1;-2;3) và có vtpt
(2; 3; 1)n = − −
r
2-(
α
) có Cặp VTCP
(0;1;2); (1; 2;3)a b= = −
r r
và
qua M(1;-2;3)
3-(
α
) qua 3điểm : A(1;0;3) ; B(-1;2;-2) và C(2;-
3;1)
4-(
α
) qua A(-1;3;2) và vuông góc với trục 0z.
5-(
α
) qua A(-3;2;-2) và chứa ox .
6- (

α
) qua hình chiếu cuả A(1;-2;3) lên các trục
Ox,Oy,Oz .
7-Cho : A(2;-1;4) ; B(-1;0;2) , C(1;1;-1) ; D(0;3;-1)
2
Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến
a- Viết ptmp(ABC) . Suy ra ABCD tứ
diện
b- Viết ptmp(
α
) qua D và vuông góc
DC .
BÀI 5 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MP – CHÙM
MP
1- Vò trí tương đối hai mặt phẳng :
Cho hai mp : (
α
1
) A
1
x +B
1
y+C
1
=0
(
α
2) A
2
x +B

2
y+C
2
=0
* (
α
1
) cắt(
α
2)
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
⇔ ≠ ≠

*(
α
1
) ssong (
α
2)
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
⇔ = = ≠
* (
α
1

)
≡
(
α
2)
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
⇔ = = =

2- Chùm mặt phẳng :
• Đònh Nghiã :
• Đònh lí :
• Ví dụ và bài tập :
1- Cho hai mp (
α
1
) x+y+5z = 0
(
α
2
) 2x+3y-z = 0
a- CMR : (
α
1
) và (
α
2
) cắt nhau theo

giao tuyến (d ) .
b-Viết pt mp (
α

) đi qua M(3;2;1) và chứa
gtuyến (d ) .ĐS : 5x+14y-74z +31 = 0 .

Bài tập : Viết ptmp(
α

) qua gioa tuyế cuả haimp :
2x – z = 0 ; x+y-z + 5 = 0
và vuông góc mp : 7x –y +4z – 3 = 0 .
BÀI 6 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNGTHẲNG
1 – Pt tham số cuả đường thẳng :
• Đònh lí :
-Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x
0
;y
0
;z
0
) và có
vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
thì ptts của (d) có dạng:
(d)
0 1

0 2
0 3
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈


= +

2-Pt chính tắc cuả đưởng thẳng ( d ) :
• Đònh lí :
-Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x
0
;y
0
;z
0
) và có
vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
thì ptctắc cuả (d) có dạng:
(d)
0 0 0
1 2 3

x x y y z z
a a a
− − −
= =

** Chú ý :
-Hai mp ssong :VTcp
1 2
a a=
ur uur

-mp vuông góc với đthẳng: VTcp
d
a vtpt n
α
=
uur uur

VD : Viết ptts và ptct của đường thẳng AB :
Với A(3;5;7) và B( 1;2;3) .
3- Ptrình tổng quát cuả đường thẳng :
-Trong không gian hai mp (
α
1
) và (
α
2
)
cắt nhau theo giao tuyến (d ) thì pt tổng quát cuả (d)
có dạng .

(d)
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


• Chú ý :
- Tìm điểm M thuộc (d) ta cho 1 ẩn
rồi giài hpt tìm hai ẩn còn lại :
M(x;y;z) .
- Véc tơ chỉ phương cuả ( d) :

1 2 1 2 3
; ( ; ; )
d
a n n a a a
 
= =
 
uur ur uur
- pttq các trục toạ độ là :
Ox
0

0
y
z
=


=

; Oy
0
0
x
z
=


=

; OZ
0
0
y
z
=


=

VD: Viết ptts và PTCT cuả ( D ) biết :
3

Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến
(D)
3 2 1 0
4 3 1 0
x y
y z
− + =


− + =


BÀI TẬP : ĐƯỜNG THẲNG
1-Viết pt : ts , ctắc , pttq của AB: Với A(-1;2;-2)
và B( 2;-3;4 ) .
2-Viết PTTS và PTTQ cuả đường thẳng (d) biết :
a- Qua A(-1;2;-3) và ssong trục Ox .
b- Qua M( 2;-4;-2)và vuông góc với mp(Oxy).
c- Qua M (2;3;5) và ssong với đường thẳng :
(D)
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
− + − =


+ − + =


d- Qua A(3;2;1) và vuông góc với đt:

3
( )
2 4 1
x y z +
∆ = =
và cắt (
∆
) .
3-Cho mp(
α
) P: x+y+z-1= 0 và đt(d
1
)
1
1
x
z
=


= −

Viết ptđt (d
2
) qua điểm M(1;1;-1) ,biết (d
2
)
nằm trong mp(

α
) và d
2
vuông góc d
1 .
4-Viết ptđt(d
’
) là hình chiếu vuông góc của đt (d)
lên mp (
α
) :
a- Cho (d) :
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =
Và mp(
α
) 2x + y + z – 8 = 0
b- Cho
2 0
( )
2 1 0
x y z
d
x z
+ − + =


− + =


Và (
α
) x-y +2z-1 = 0 .
BÀI 7 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CUẢ ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1- Toạđộ giao điểm cuả đường thẳng vả
mphẳng :
TH1 : Cho (d)
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈


= +

Và mp(
α
) : Ax+By+cz+D = 0
-Ta thế (d) vaò pt mp(
α
) giải tìm t = ?.
-Thế t = ? vào pt (d) tìm : x;y;z .

TH2 :Cho (d)
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


Và mp(
α
) : Ax+By+cz+D = 0
-Dùng máy tính,giải pt 3 ẩn tìm toạ độ giao điểm
x;y;z .
Ví dụ- Bài tập :
1- Tìm toạ độ giao điểm cuả (d) và mp(
α
):
a-Cho (d)
1
2 3 ; ( ) 2 2 0
3
x t
y t x y z
z t
α

= +


= − + − + − =


=

b-Cho:
3 5 7 16 0
( ) ; ( ) 5 4 0
2 6 0
x y z
d x z
x y z
α
+ + + =

− − =

− + − =

2- Cho đt (d) :
3 1
2 1 3
x y z− −
= =
−

Và mp(

α
) x+y+z = 0 .
a-Tìm toạ giao điểm A cuả (d) và mp(
α
) .
b-Viếtptđt ( D ) qua A vuông góc (d) và nằm trong
mp(
α
) .
2-Vò tí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cách 1:
-Gọi VTcp (d) là
( )
d
a va vtpt mp n
α
α
uur uur
:
• Nếu
. 0 ( ) ( )
d
a n d cat
α
α
≠ ⇔
uur uur
• Nếu
// : ;
. 0

: ;
d
d M d M
a n
d M d M
α
α α
α α
∈ ∉

= ⇔

⊂ ∈ ∈

uur uur
4
Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến
Cách2:
- Giải hpt giưã (d) và mp(
α
) :
+ Hệ có nghiệm duy nhất : (d) cắt (
α
) .
+ Hệpt vô nghiệm : (d) // mp(
α
) .
+ Hệpt vô số nghiệm : (d)
⊂
mp(

α
).
Ví dụ- Bài tập :
1-Xét vò trí tương đối (d) vàcác mp(
α
) :
Cho (d)
1 2
2 4
3
x t
y t
z t
= +


= +


= +

và các mp(
α
) là :
(
α
1
) x+y+z+2 = 0
(
α

2
) 4x+8y+2z – 7 =0
(
α
3
) 2x-2y+4z –10 = 0
(
α
4
) x-y+2z+5 = 0 .
2-Cho (d) : (d) :
1 1
2 1 1
x y z− +
= =
−
và mp(
α
) : x+2y +z –1 = 0 .
CMR : d cắt mp(
α
) và tìm toạ độ giao điểm nầy.
ĐS : I( 7/3;-1/3;-2/3)
3- Vòtrí tương đối đthẳng và đthẳng :
* Cách 1 :
-(d
1
) qua M(x
0
;y

0
;z
0
) , có vtcp
1
a
ur
.
- (d
2
) qua N(x
0
;y
0
;z
0
) , có vtcp
2
a
uur
.
• Tính :
1 2
, ,a a MN
 
 
ur uur uuuur
.
+
[ ]

1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
. . 0
. 0
: . . 0
d cat d a a MN
a a
d cheo d a a MN

 
⇔ =
 

≠ ⇒

 
⇔ ≠
 

uur uur uuuur
ur uur r
uuruur uuuur
+
[ ]
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
. 0
//

d d M d thi M d
a a
d d M d thi M d
≡ ⇔ ∈ ∈

= ⇒

⇔ ⇔ ∈ ∉

ur uur r
** Cách 2 :
-Giải hệ pt gồm hai đường thẳng d1 và d2 .
Ví dụ1 : Cho (d
1
)
3 5 1 0
2 3 8 3 0
x y z
x y z
+ − + =


+ − + =


(d
2
)
1
1 2 3

x y z−
= =
−
CMR: d
1
⊥
d
2
và d
1
cắt d
2 .
Ví dụ2 : Xét vòtrí tương đối của:
(d) với d
1
, d
2
, d
3
và d
4
:

1
2
3
4
1 1 5
( )
2 3 1

4 1 3
:
6 9 3
3 2 6
:
4 6 2
3 2 6
:
4 3 5
1 2 1
:
3 2 2
x y z
d
x y z
d
x y z
d
x y z
d
x y z
d
− + −
= =
− − −
= =
− − −
= =
− − −
= =

− + +
= =

5