Chuyên đề ôn thi ĐH số 8: Lượng giác

33
Chuyên đề 8:

LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:

bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=

2. Radian: (rad)

rad
0
180
π
=


3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30

0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2


II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:

2. Đường tròn lượng giác
:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:


π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,

2
2
- D
2k
2
2
B
2k

x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
πα
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α

.
y
x
o
180
O
+
−
x

y
O
C
A
B
D
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
πα
2kAB +=

34

III. Đònh nghóa hàm số lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )

• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:

cos
sin
tg
cot
OP
OQ
AT
gBU
α
α
α
α
=
=
=
=



b. Các tính chất :

• Với mọi
α
ta có :

1 sin 1 hay sin 1
αα
−≤ ≤ ≤

1 cos 1 hay cos 1
αα
−≤ ≤ ≤

•
tg xác đònh
2
k
π
α απ
∀≠ +
•

cotg xác đònh k
α απ
∀≠


c. Tính tuần hoàn



sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
gk g

α πα
α πα
α πα
α πα
+=
+=
+=
+=

)( Zk ∈

+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=
R
1−
1−
'x
'u
u

t
't
'y
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'xO
t
1−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−

35
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt

-3
-1
-3
/3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
-3
-1
-3
/3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5

π
/6
3
π
/4
2
π
/3
-
π
/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2
-2
/2
-3
/2
-1/2-2/2-3/2
3
/2
2
/2
1/2
3 /2
2

/2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3/3
3
B
π
/2
3
/3
1
3
O



0
0
30
0
45
0
60
0

90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Góc

Hslg
0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2

π

4
3
π

6
5
π

π

π
2

sin
α
0
2
1

2
2
2
3
1
2
3

2

2

2
1

0 0
cos
α
1
2
3

2
2
2
1

0
2
1
−

2
2
−
2
3
−

-1 1

tg
α
0
3
3

1
3

kxđ
3−

-1
3
3
−

0 0
cotg
α
kxđ
3

1
3
3
0
3
3
−

-1
3−

kxđ kxđ


+
−

36
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Đó là các cung
:
1.
Cung đối nhau
:
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2.
Cung bù nhau
:
và -

α πα
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)

3.
Cung phụ nhau
: và
2
π
α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)

4.
Cung hơn kém

2
π
: và
2
π
α α
+ (Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)

5.
Cung hơn kém
π

: và
α πα
+ (Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)

1. Cung đối nhau:

2. Cung bù nhau
:


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
α α
α α
αα
α α
−=
−=−
−=−
−=−

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
π αα
π αα
πα α
π αα
− =−

−=
−=−
−=−



3. Cung phụ nhau
:
4. Cung hơn kém
2
π



cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α α
π
α α
π
α α

π
α α
−=
−=
−=
−=

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+=−
+=
+=−
+=−

5. Cung hơn kém
π
:


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
π αα
π αα
πα α
π αα
+=−
+=−
+=
+=

Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin

Hơn kém
π
tang , cotang

37
Ví dụ 1:
Tính
)
4
11
cos(
π
− ,
4
21
π
tg

Ví dụ 2:
Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos(
xxxA
++−++=
ππ
π

VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:

22
cos sin 1
sin
tg =
cos
cos
cotg =
sin
αα
α
α
α
α
α
α
+=

2
2
2
2
1
1 tg =
cos
1
1 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α

α
α
α
αα
+
+


Ví dụ:
Chứng minh rằng:
1.
44 22
cos sin 1 2sin cosx xxx+=−

2.
xxxx
2266
cossin31sincos −=+

2. Công thức cộng :


cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg
tg( + ) =
1.
tg tg

tg( ) =
1.
tg tg
tg tg
α βαβαβ
α βαβαβ
α βαββα
α βαββα
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+= −
−= +
+= +
−= −
−
−
−
+


Ví dụ:
Chứng minh rằng:

π
αα α
π

αα α
+= −
−= +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4

3. Công thức nhân đôi:


α αα
α
α
α α
α αα
α
α
α
=−
=−
=−
=−
=
=
−
22
2
2
44

2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg

2
2cos1
cos
2
α
α
+
=

2
2cos1
sin
2
α
α
−
=

ααα
2sin
2
1
cossin
=