tiếp tuyến của đường cong

Tiếp tuyến của đồ thi Giáo viên :TRẦN KHẮC HẢI
§1:TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
I/ LÝ THUYẾT:
1/ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG:
ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y=f(x) xđ trên khoảng (a; b) và có đồ thị là (C)
Cát tuyến cắt (C) tại hai điểm M=(x; y) và M
0
=(
0
x
; y
0
)
Nếu khi x
→
0
x
thì M
→
M
0

Khi đó cát tuyến MM
0
→
M
0
T .Thì M
0
T gọi là tiếp

tuyến của đường cong (C) tại điểm M
0
và phương trình tiếp
của (C) tịa M
0
là :M
0
T:y = f
/
(
0
x
)(x-
0
x
)+ y
0
2/ ĐIỀU KIỆN ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG:
Cho hàm số y=f(x) TXĐ :D và có đồ thị là (C) và đường thẳng d:y=a.x+b .Khi đó d là tiếp tuyến
của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:



=
+=
axf
bxaxf
)(
.)(
'

(I)
II/ CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN:
1/ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM
BÀI TOÁN:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểmM(x
0
; y
0
)
∈
(C)
PHƯƠNG PHÁP:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; y
0
) của (C) là :(d) y = f
/
(x
0
) (x – x
0
) + y
0
BÀI TẬP:
BÀI 1: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau.
1/ Cho hàm số (C) :
23
23
+−= xxy

. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn . Chứng
tỏ hệ số góc của tiếp tuyến này bé hơn hệ số góc của mọi tiếp tuyến khác của (C) .
2/ Cho hàm số (C) :
12
3
−
−
=
x
x
y
Lập phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
3/ Cho hàm số (C) :
132
23
−+= xxy
. Lập phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với
trục hoành.
4/ Cho hàm số
2
3
3
2
1
24
+−= xxy
(C).Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn .
5/ Cho hàm số
2
5

3
2
1
24
+−= xxy
. (C) :Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn .
6/ Cho hàm số
1
1
2
+
+
=
x
x
y
(C) :Lập phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
7/ Cho hàm số
1
2
+
+−
=
x
xx
y
(C) :Lập phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của (C) với trục
hoành.
8/ Cho hàm số
1

2
+
−
=
x
x
y
(C) :Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
0
=x
.
9/ Cho hàm số
1
23
−
−
=
x
x
y
(C) :Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
0
5
2
y =
.
10/ Cho hàm số
xxxy 96
23

+−=
(C) : Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn .
Chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn đạt giá trị bé nhất của (C) .
39
ϕ
α
ϕ
α
∆x
∆y
f(x
o
)
f(x)
y
(C)
M
T
M
o
0
x
o
x
H
Tiếp tuyến của đồ thi Giáo viên :TRẦN KHẮC HẢI
2/ TIẾP TUYẾN ĐỊ QUA MỘT ĐIỂM:
BÀI TOÁN:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(x

a
; y
a
) cho trước .
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1:
Gọi d là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k (d):y =k(x – x
a
) + y
a

Để đường thẳng d là tiếp tuyến của(C) khi hệ phương trình sau có nghiệm:



=
+−=
kxf
yxxkxf
)(
)()(
'
00

Cách 2:
Gọi điểmM(x
0
; y
0
)

∈
(C) khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x
0
; y
0
) của (C) là
d: y = f
/
(x
0
) (x – x
0
) + y
0
;(*)
Gt ta có d đi qua A nên (*)
(**)))((
000
/
yxxxfy
aa
+−=⇔
Giải phương trình (**) tìm x
0
từ đó suy ra y
0
thay vào pt (* ) ta có phương trình tiếp tuyến d.
BÀI TẬP:
BÀI 2: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau
1/ Cho hàm số

1
12
+
−
=
x
x
y
( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua
) 2 ; 0 (=A
.
Tìm toạ độ tiếp điểm
2/ Cho hàm số:
22
2 )( xy −=
( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của(C) đi qua
) 4 ; 0 (=A
.
Tìm toạ độ tiếp điểm.
3/ Cho hàm số :
xxy 3
4
1
3
−=
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
)0 ; 32(=A
.
4/ Cho hàm số :
1

1
+
+=
x
xy
(C)
Chứng minh rằng qua điểm
) 1 ; 1 ( −=A
bao giờ cũng kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
(C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau
5/ Cho hàm số :
x
x
y
1
2
+
=
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
) 0 ; 2- (A
.
Chứng tỏ hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
6/ Cho hàm số :
1
2
−
=
x
x
y

(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua
) 0 ; 2 (A
.
Tìm toạ độ tiếp điểm
7/ Cho hàm số :
1
2
2
+
−+
=
x
xx
y
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua gốc toạ độ O.
Tìm toạ độ tiếp điểm
8/ Cho hàm số :
)2(2
)1(
2
−
−
=
x
x
y
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
) 2 ; 0 (A
.
Tìm toạ độ tiếp điểm

9/ Cho hàm số :
4
4
−
=
x
y
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của(C) qua điểm
) 4 ; 1 (A
.
Tìm toạ độ tiếp điểm.
10/ Cho hàm số :
1
2
+
−
=
x
x
y
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của(C) qua điểm
) 0 ; 3- (A
.
Tìm toạ độ tiếp điểm.
40
Tiếp tuyến của đồ thi Giáo viên :TRẦN KHẮC HẢI
BÀI 3: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau.
1/ Cho hàm số:
1
42

+
−−
=
x
x
y
(C).Tìm m để đ thẳng
mxyd
+=
2:)(
tiếp xúc (C) .
2/ Cho hàm số :
1
12
+
−
=
x
x
y
(C) .
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
) 0 ;
2
1
(A
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( 1 ; 3 )B

c/ Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) qua

( -1 ; 2 )C
.
3/ Cho hàm số :
2
3
3
2
1
24
+−= xxy
(C) .
a/Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0 ;
3
2
)
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0 ;
3
2
) .
4/ Cho hàm số :
23
3
+−= xxy
(C) .
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại C(-2;0)
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm
)0;1(=A
; C = (-2;0)
5/ Cho hàm số :
226132

23
+−+−+−= xmxmxy )()(
(C
m
) .Tùy theo giá trị m, viết phương trình
tiếp tuyến của (C
m
) đi qua
);( 20A
.
6/ Cho hàm số :
1
2
2
+
++
=
x
mmxx
y
(C
m
) .Tìm m sao cho qua điểm A(0 ;1) không có đường thẳng
nào tiếp xúc với đồ thị hàm số (C
m
) .
3/ TIẾP TUYẾN VỚI HỆ SỐ GÓC CHO TRƯỚC:
BÀI TOÁN 1:
Cho hàm số :
)(xfy =

(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến
cóhệ số góc k cho trước
PHƯƠNG PHÁP :
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y = f
/
(x
0
)(x – x
0
) + y
0
(1) với
)();(
00
CyxM ∈=
Vì tiếp tuyến (d) có hệ số góc k nên ta có : f
/
(x
0
) = k giải tìm được x
0
:(là hoành độ tiếp điểm)
⇒
y
0
= f(x
0
). Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập .
BÀI TOÁN 2:
Cho hàm số :

)(xfy =
(C) và2 đường thẳng .
1 1 1
2 2 2
( ) :
( ) :
d y a x b
d y a x b
= +
= +
(
1
a
,
2
a
:gọi là hệ số góc) .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến d song song
1
d
hoặc d vuông góc
2
d
PHƯƠNG PHÁP :
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y = f
/
(x
0
)(x – x
0

) + y
0
(1)
Gĩa thiết ta có d song song
1
d
khi: f
/
(x
0
) =
1
a
(*) hay d vuông góc
2
d
khi: f
/
(x
0
) =
2
1
a
−
(**)
Giải phương trình (*) hoặc (**) tìm được x
0
:(là hoành độ tiếp điểm)
⇒

y
0
= f(x
0
).
Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập
BÀI TOÁN 3:
Cho hàm số :
)(xfy =
(C) và đường thẳng d:y = a.x + b. Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc có số đo là
ϕ
cho trước.
PHƯƠNG PHÁP:
41
Tiếp tuyến của đồ thi Giáo viên :TRẦN KHẮC HẢI
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d’ và điểm
)();(
00
CyxM ∈=
khi đó ta có phương trình
đường thẳng d’ : y =k(x – x
0
) + y
0

⇔
d’:k.x-y+ y
0
–k. x

0
= 0.(1)
Mặt khác phương trình đường thẳng d: a.x – y + b = 0 nên ta có:
cos
(*)
1.1
1.
22
++
+
=
ak
ka
ϕ
giải tìm k khi đó ta lại có:
f
/
(x
0
) = k giải tìm được x
0
:(là hoành độ tiếp điểm)
⇒
y
0
= f(x
0
).
Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập .
BÀI TẬP :

BÀI 4: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau
1/ Cho hàm số :
1
43
2
−
+−
=
x
xx
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có
hệ số góc
1−=k
. Tìm toạ độ tiếp điểm
2/ Cho hàm số :
3
)1(
3
1
−=
xy
(C).Viết ptrình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó hợp với trục
hoành một góc
0
45
.Tìm toạ độ tiếp điểm
3/ Cho hàm số :
132
3

2
3
++−= xx
x
y
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
013 =+−∆ xy:)(
.Tìm toạ đôtiếp điểm
4/ Cho hàm số:
2
x 2x 1
y
x 1
+ -
=
-
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của(C) vuông góc với tiệm cận
xiên của hàm số.Tìm toạ độ tiếp điểm.
5/ Cho hàm số :
x
xx
y
−
+−
=
2
96
2
(C).Tìm tất cả các điểm ở trên trục tung sao cho từ đó kẻ tiếp
tuyến với đồ thị (C) song song với đường thẳng:

xy
4
3
−=
.
6/ Cho hàm số :
1
1
+
−=
x
xy
( C) .Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị hàm số (C) mà các tiếp
tuyến tại đó song song với nhau.
7/ Cho hàm số
1
22
2
+
++
=
x
xx
y
(C). Tìm trên đồ thị (C) các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông
góc với tiệm cận xiên của hàm số .
8/ Cho hàm số :
mx
mxx
y

+
++−
=
4
43
2
(C
m
)Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm
có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận đứng của hàm số .
Chú ý : (Đường thẳng song song Ox có hệ số góc k = 0)
BÀI 5: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau.
1/ Cho hàm số y=
2 1
2
x
x
−
−
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng –3
b/ Viết pt tiếp tuyến của(C)song song với đường thẳng 3x+ 4y – 8 = 0
c/ Viết ptrình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y=3x+1
d/ Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác thứ nhất
2/ Cho hàm số :
2
3
2
+
−+
=

x
xx
y
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có
hệ số góc k = 2. Tìm toạ độ tiếp điểm .
42
Tiếp tuyến của đồ thi Giáo viên :TRẦN KHẮC HẢI
3/ Cho hàm số :
xxxy +−=
23
2
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của(C) biết tiếp tuyến đó có
hệ số góc k = 1.Tìm toạ độ tiếp điểm.
4/ Cho hàm số :
23
23
+−= xxy
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến song
song với
019 =−−∆ yx:)(
.
5/ Cho hàm số :
232
3
1
23
++−= xxxy
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp
tuyến song song với trục hoành .
6/ Cho hàm số :

1
23
+++= xxxy
(C) .
a/ Chứng minh rằng trên (C) không có điểm nào mà tiếp tuyến tại đó song song với trục
hoành .
b/ Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất .
7/ Cho hàm số :
2
2
+
−
=
x
x
y
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến song song
với
0=+∆ yx:)(
.
8/ Cho hàmsố:
2
23
+
+
=
x
x
y

(C) .Tìm những điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) có hệ số
góc
4=k
. Viết phương trình tiếp tuyến đó .
9/ Cho hàm số :
3
53
+
+
=
x
x
y
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến vuông góc
với
01 =−+∆ yx:)(
.
10/ Cho hàm số :
2
52
2
−
−
=
x
xx
y
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến vuông
góc với
014 =−+∆ yx:)(

.
BÀI 6:L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau
1/ Cho hàm số :
13
3
+−= xxy
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến vuông
góc với
029
=++∆
xy:)(
.
2/ Cho hàm số :
mx
mmmxx
y
+
−+++
=
12
22
(C
m
).Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C
m
) tại x = 0
vuông góc với
x
y
3

= -

3/ Cho hàm số :
1
24
−−−= xmxxy
(C
m
) .Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (C
m
) tại điểm A có
hoành đô bằng 1 song song với đường thẳng y = 2x .
4/ Cho hàm số :
1
23
+−= mxxy
(C
m
) .Tìm m để đường thẳng
)(∆
: y = - x + 1 cắt đồ thị hàm
số (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0 ; 1) , B , C sao cho các tiếp tuyến với đồ thị (C
m
) tại B và C
vuông góc với nhau .
4/ CÁC DẠNG MỞ RỘNG KHÁC:
BÀI TOÁN 1 :
Cho hàm số y= f(x) (C) . Tìm những điểm M(x

M
; y
M
) từ đó kẻ được n tiếp tuyến với đồ thị
hàmsố (C)
PHƯƠNG PHÁP :
Gọi điểm N(x
0
; y
0
) là toạ độ tiếp điểm
⇒
phương trình tiếp tuyến (d) tại N là:
y =f
/
(x
0
) (x – x
0
) + y
0

43