đạo hàm và đạo hàm cấp cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.88 MB, 17 trang )

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 1

ạ
ả
ố

đị

ạ đượ
ậ

ọ

ườ

ể

ố
ế

ọ

ạ để

ớ

Đề

ạ ồ
ử ụ

ệ để

ố

ố

ủ đố ố ạ đ ể

Δ →

ủ

ạ

ả ằ

Ý

ắ

ậ

ố

ườ

′

ạ

ố

lim

x →x0

ậ
ứ
độ ứ
đạ

′

−
−

ộ để
đị
f ( x ) − f ( x0 )

ủ

ế

ủ
ờ ủ đệ

ế
ế

ể độ
ượ

−
−

−

→

ả

lim

x − x0
đạ
ạ

ế

ờ

ậ

ạ để
→

ươ
ĩ
ố

ồ

Δ −

ế

ầ
đạ

ế
ố
ĩ ủ đạ
Ý
ĩ
ọ
ệ ố
đ

ế

−
−

ế

f '( x0 )
Ý

ặ

′

→

−
−

ố ạ để

→

ạ

ĩ đạ

ạ

Δ
Δ

ụ ạ để

Đị

ệ

ớ

ố ạ để

ế
ớ

ế

đ

−

ủ
′

đạ

ạ

∈

ố

Δ
ọ

ỉ

−
−

−

ườ

Ấ

ế

để

ủ

→

Đặ Δ

ĐẠ

ầ Đặ
ờ ả

ả

đạ

′

ĐẠ

x →0

y
x

Δ

Δ

ụ ạ để
ủ đồ

ủ đồ

ị

ố

ị

đị
ạ

đ
ạ M x0 ; f ( x0 )

ố

ẳ

Δ

ạ M x 0 ; y0
ở

ươ

ạ

ờ để

ờ để
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 1
Website:www.vted.vn

2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn
′

′

( u v)′

u′ v′

( uv)′

⎛n∈ N ⎞
⎜n 1 ⎟

⎝
⎠

′

⎛ u ⎞′
⎜ ⎟
⎝v⎠

u′v v′u

u′v − v′u

x

′

1
2 x

≠

2

v
′
⎛1⎞
v′
( ku)′ ku′
⎜ ⎟ − 2

⎝v⎠
v
Đạ
ủ
ố ợ
ế
đạ
ạ
ố
đạ
ạ
ố ợ
đạ
ạ
y′ x y′u.u′x
Đạ
ủ
ố ượ
sin x
sin u( x )
lim
1
lim
1 ớ lim u( x ) 0
x → x0
x →0 x
x → x 0 u( x )
1
1
′

′
tan x ′
cot x ′ −
cos2 x
sin2 x
dy
Đạ

df ( x )
ấ

f ''( x )
Ý
ĩ

f ( x0

f ′( x ). x

f '( x ) ′ f '''( x )
ơ ọ
ố ứ ờ ủ

f ''( x ) ′ f ( n) ( x )
ể độ

ố
′

⎛ ⎞

′⎜ ⎟
⎝ ⎠

−

−

2

≥

ờ để

′

′

⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠

⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠

−

−

⎛ ⎞

′⎜ ⎟
⎝ ⎠

ố
⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠
ố

ạ

∈

⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠

ố

⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠

⎡⎣ f ( n−1) ( x ) ⎤⎦′

f ′( x0 ). x

′
′

⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠

x ) ≈ f ( x0 )

⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠

−
Đạ

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn

ủ

⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠

−

ố ạ để

ả

∞

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 3
Đạ

ủ

ố

−

−

ạ để

−

ỏ

−

−

ố

đạ

ạ để

ế

′
ộ

ậ
ậ

ể độ
ủ ậ ạ

ố

đạ

ạ để
ồ ạ

ả

ươ

Δ

ấ ả

≤

ủ

ố

ủ

Δ

ạ
ố
−

Δ
ố

Δ

ủ

ộ

ạ

Δ

Δ
Δ

−
Δ

Δ
−Δ

Δ

ủ

Δ

−

ươ

ố

ố

Δ

Δ

ậ ơ ự

ố

Δ
Δ

ố

Δ
−Δ

−

ậ

Δ

ằ

∀

Δ
Δ

ằ

ờ để

Δ
ố

′

đ

∀

ố

′

−

′

⎧⎪
⎨
⎪⎩

ố

−

Δ

đ

ể độ

ả

ờ

Δ

Δ

Δ
ố

≈
ừ

đế

ọ

ườ

Δ

Δ
≈

≈
ố
ậ

ố
ằ

ủ

≈

−
ộ

ậ

ấ để

ệ
ể độ

ủ
đượ

ấ
−∞
ể

ằ

≈
ươ
∪

ị ở
ố ủ

′
∞

∞

ứ
ấ để

ạ

đ
ậ ố

ờ để

ể độ
ộ
ằ

ấ để
ỏ ạ

ể độ
ờ để

ươ
ậ

ố

ủ

−
ậ đạ

ằ
ị

ỏ

ấ

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 3
Website:www.vted.vn

4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn

ộ
đượ
ằ
ớ ặ đấ đượ

đạ đượ ắ
ể ừ ờ để
ằ
ạ

ố
để

ớ

⎛
⎜⎝

⎤
⎥
⎦

ươ
đạ đượ ắ
ờ để
ậ ố ủ

−

−

ả
đạ

ậ

−

⎞
⎟⎠

⎡
⎢
⎣

′

⎛

⎜⎝

đạ

ấ ả

ị

−

−

⎞
⎟⎠

−

ự

−

′

⎡
⎢
⎣

′
′

ủ

ố

⎤
⎥
⎦
′

ố

′−
′−

−
ế

′−
ố
−

ế

≥

−
′

ố

−

−
ế

∀

′

−

≥

ệ

đề

ố

∀

ệ

đề
−

ỗ

′

đ
−

−

−

đ

≤
đ đ
≤

ả

đị

ệ

đề

đ

đ

ả

đị

ệ

đề

đ

đ

−
ế

ố

ỗ

′

−

−
ố

ố
ố
ố

⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

⎧⎪ −
⎨
⎩⎪
⎧⎪
⎨
⎪⎩

ố

đạ

ạ để

≤
≥−

để

−
−

đị

để

−

−

≤ ≤

°
ả

−
4

ủ

ằ

ợ

ờ
đạ
ặ đấ

ọ

ố

′−
′−

đ

−

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn

−

ố
để

ớ

ọ
∀ ∈°

đạ
ố

ạ để
đạ

−
ạ để

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 5

ứ
ế

ốđ
ố

ằ

ệ

′

ệ

ệ

đề

đ

đ
≥

≤

Đ

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 5
Website:www.vted.vn

6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Ờ

Ả

Ế

→

−

−
−

−

−

→

−

→

→

ậ
′
ọ đ
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
→

−
→

−

→

−

⎛ ⎞
′⎜ ⎟
⎝ ⎠

ậ
ọ đ

→

→

ố
ậ
ọ đ

đạ

−

ạ để

−
−
−
−
⇔

→

−

→

−
−

→

∀
Δ

→

−

→

−

→

Δ −

−
−

−

⇔

−

−

ọ đ
Δ

−

−

−Δ

−

−Δ

−

ọ đ

Δ −
Δ
ớ
ọ đ

Δ

Δ −
Δ

⇒
⇔

đ

⇔

′

ọ đ
−
ấ ằ
ọ đ
6

−

≥

đạ ạ

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Δ

Δ
−Δ

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7

−

′

ọ đ

đị
′

−

ĩ đạ
−
−

→

ọ đ

đị
′−

⎡⎧
⎢⎨
⎩−
⇔ ⎢⎢
⎧−
⎢⎨
⎢⎣ ⎩⎪ Δ

−

−

−

∀
−

⇔ ≤
−

−

→

−

→

ĩ đạ
−

−

−

−

−

→−

→−

→−

ọ đ
′
ả

ế

ệ

⎡
⇔⎢

⎣
−
⇔

⇔

′

ệ

⇔

−

ọ đ
ý

ứ
′

ộ ố
ồ ấ đạ
ụ

′

⎞⎟′
⎟⎟
⎟⎠

⎛
⎜⎜
⎜⎝

đạ

ủ

ủ

′

′ − ′

ố

ủ

ạ

ươ

đơ

ử ụ

ả

ươ

đư

ề ạ

ằ

ớ
⇒
ấ

ộ ố đạ

′

ủ

ố

ộ

−
ố

ố ơ ả
⎛
⎜⎜
⎜⎝

ố
ố

Đặ

ươ

⎛
⎜⎜
⎜⎝

π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠

α

α−

α α−

α−

−

ệ
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 7
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

−

−

ứ

ứ

−

⎡
⎣

ố

⎤
⎦

∑

ằ

ạ

−

−

−

ố
−
−

ố

ệ

−

đề

đ

đ

−

−

ố

ệ

đề

đ

′′

′′

′′

′′

ố
−

ệ

đề

đ

đ

đ

−
−

ố

ệ

−

đ

đ
−

−

ố

ệ

−

đề

đ

đ

−

ố

8

đề

ệ

−

đề

đ

đ

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

−

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 9
−

−

−

ố
′′
′

′′
′

′′
′

′′
′

−

đ

−

′′
′
−

−

−

ớ

−

′′
′

ố

−

−

ệ
′′
′

′′
′

′′
′

′′
′

′′
′

ớ

−

′

′′

−

′

′′

−

′

′′

−

′

′′

′

′′ −

′

ệ

đề

đ

đ

−

ỏ

∉

đ
′′

ố

đ

′′
′

ớ

−

đề

ệ

đề

≠

đ

−

′′

′

′′ −

′

−

ố
⎛
⎜⎜
⎜⎝
−

π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎛
⎜⎜
⎜⎝

⎛
⎜⎜
⎜⎝

π ⎞⎟
⎟⎟

⎟⎠

π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎛
⎜⎜
⎜⎝

−

π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠

ố
⎛
⎜⎜
⎜⎝

−

π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠

⎛

⎜⎜
⎜⎝

⎛
⎜⎜
⎜⎝

−
⎛
⎜⎜
⎜⎝

ố

π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
π ⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠

−
−

−

−

⎡
⎢

⎢
⎣
⎡
⎢
⎢
⎣

−
−

−

−

−

⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦

⎡
⎢−
⎢
⎣
⎡

⎢−
⎢
⎣

−

−

−

−
−

−

−

⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦

ố
−
−

−

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 9
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

10 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
ố
−
−
−

đ

ứ

ậ ớ

ơ
′′

−

ặ

ằ

ả

đẳ

ứ

′

−

∀

−

−

−

−

ố

ệ

đề

đ

đ

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

ố
′

′′

′

′′

ệ

−

đề

đ

′
′

−

ố
′′
′′

ệ

−

−

−

đề

đ

′′
′′
đ

−

đ

′

′′

′

′′

′
′

−

ố
−

−

ố

⎛ π ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎝ ⎟⎟⎠

⎛ π ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎝ ⎟⎟⎠

⎛ π ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎝ ⎟⎟⎠

⎛ π ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎝ ⎟⎟⎠

⎛ π ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎝ ⎟⎟⎠

−

ố

−

−

−

−

ớ

ệ

đề

đ
−

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

ố
10

−
−

−
−

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

đ

⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎢
⎣

−

−

′
′
′
′

′′
′′
′′

′′

′
′
′
′

′′
′′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

−

−

ố

ệ

đề

ướ đ

đ

ố

ệ

đề

ướ đ

đ

ố

ệ

đề

ướ đ

đ

ố

ệ

đề

ướ đ

đ

ố

ệ

đề

ướ đ

đ

−

−

−

′

′′

⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦

−

−

′′
′′

′

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1

1
⎡
⎤
⎢−
⎥
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦

′′ −
′

′′ −
′

ố
′′ −

′

ệ

−

đề

ướ đ

′′ −
′

′′ −
′

đ

′′

′′

−
′

−

′

− ′′

′

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 11
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

12 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
ố
− ′ −

′′

− ′

′′

− ′

′′

− ′ −

′′

ố
′−

đề

ướ đ

đ

ệ

đề

ướ đ

đ

′′

−

′−

′′

′−

′′

′−

ệ

′′

−

ố

−

′

−

′

−

′

′

ố
−

−

′

−

′

Ọ

Ậ

Ệ

12

′

′
−

′

−

′

Ạ
Ụ

Ố

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
3
Ệ ĐỀ

Ố

Ộ ĐỀ
ƯỜ
ỞĐ

Ề

Ề

Ử

Ố
Ạ

Ả

Ữ

ƯƠ

Ọ

Ả

Ữ

Ắ

Ỏ

Ắ

ĐỘ

Ũ

Ỗ

Ợ

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 13
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

14 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

ờ

ả

ế ạ

ọ

Đ

ặ

Đ

14

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
5
Ờ

Ả

Ế
−
⇒

ọ đ
′
′′

đ

−

−

−

−
−

′′
′

−

−

−
−

−
−

′′
′

−

−

−

−
′′
′

′′
′

−
−
′′
′

′′
′

− −

−

−
−

−
−

−
−

−
−

−
−

−

−

−

−

ọ đ
⎡
⎢
⎢⎣ −

′

đ

−

′
−

⎡ ′
⎢
⎢
⎣
ọ đ

⎤

⎥
− ⎥⎦

⎤′
⎥
⎥
⎦

−

−
′′

−

−
−

−

′

−

−
−

−

−

⇒

⎡
⎢
⎢
⎣

−

−

ọ đ
−
−

⎤
⎥
⎥
⎦

−
−

−

−
−

−

⇒

−

⇒

−

−

ọ đ
′

−

−
−

−

′
−

−

−

′
′

′′

⇔

′

− ⇒
′

− ′

− ′⇔

′′

′

ọ đ
−

⇒

−

⎛
⎜⎜
⎜⎝

π ⎞⎟

⎟⎟ ⇒
⎟⎠

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 15
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

16 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
ọ đ
⎡
⎣

đ

−

⎤⇒
⎦

′

′

⎡
⎢
⎢
⎣

⎛

⎜⎜
⎜⎝

π ⎞⎟
⎟⎟ −
⎟⎠

π ⎞⎟⎤⎥
⎟⎟
⎟⎠⎥
⎦

⎛
⎜⎜
⎜⎝

⎛ π ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎝ ⎟⎟⎠

ọ đ

′

−

−

−

− − − −
−
−

−

−

−

− −
−

ọ đ
−

đ

−

ọ đ

−
− −

−

−

⎡

⎢
⎢
⎣

′

′

′′

−

⎤
⎥
⎥
⎦

−

⇒
⇒ ′

−

−

′

⇒

−

−

⇔

⇒ ′

′

−
′

′′

⇒
′′

−

ọ đ
′

⇒

′′

−

−

ọ đ

′

⇒
⇒

′

′′

ọ đ

⇒
⇒

′

′′

⇒

′

′′

′

−

ọ đ

16

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

−

−

−

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
7
⇒ ′
− ′

⇒ ′′
⇔

′

−
− ′

−