SKKN LỚP 6 TÌM UCLN VÀ BCNN

CHUYÊN ĐỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6: “ GIẢI TOÁN TÌM ƯCLN VÀ BCNN”
I - ĐẶT VẤN ĐỀ
Là giáo viên giảng dạy bộ môn Toán, ai cũng muốn có nhiều giờ giảng lôi cuốn, thu hút học
sinh. Đó là những giờ giảng mà học sinh tích cực, tự giác tham gia giải quyết các vấn đề mà
các em quan tâm,mong muốn được hiểu biết. Tuy nhiên để làm được những điều đó không
phải là chuyện dễ dàng, giáo viên cần có những phương pháp dạy học riêng, có tính sáng tạo
trong việc hướng dẫn, chỉ đạo học sinh cho phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh.
Đối với dạng bài toán “Tìm ƯCLN &BCNN”, sách giáo khoa đã trình bày theo 3 bước cơ
bản:
* Quy tắc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
B1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
B2: Chọn ra các thừa số chung .
B3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó, tích đó là
ƯCLN phải tìm.
* Quy tắc tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
B1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
B2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.
B3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó, tích đó là
BCNN phải tìm.
Trong quá trình giảng dạy chúng tôi thấy đa số các em học sinh làm tốt những dạng bài
có yêu cầu rõ ràng, cụ thể ( ví dụ : Tìm ƯCLN, BCNN của hai số). Tuy nhiên, học sinh lại
thường gặp khó khăn khi phải gặp những bài toán phức tạp, đòi hỏi người học phải biết suy
luận, vận dụng linh hoạt phương pháp giải cho bài toán liên quan ƯCLN và BCNN. Học sinh
lớp 6 thường lúng túng, chưa định hướng được cách giải dạng toán này. Bởi vì khái niệm
ƯCLN và BCNN chưa được học ở các lớp tiểu học, trong khi đó khái niệm này cũng chỉ được
dạy một vài tiết ở lớp 6. Nhưng những bài tập liên quan đến ƯCLN và BCNN lại rất phong
phú và đa dạng.
Vậy làm thế nào để nâng cao chất lượng học sinh, giúp các em vận dụng các kiến thức đã
học ở trường vào cuộc sống, gây kích thích sự hứng thú, ham học hỏi, ham hiểu biết của các
em? Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài này.
II- THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:

1- Thuận lợi
- Đa số học sinh nắm vững lý thuyết sau mỗi tiết học
- Một số học sinh thích khám phá, ham tìm tòi học hỏi trong học tập
- Cơ sở vật chất và đồ dùng dạy học được trang bị tương đối đầy đủ
2- Khó khăn:
-Không ít học sinh chưa có ý thức cao trong học tập cộng với điều kiện hoàn cảnh gia đình
còn khó khăn.
- Tài liệu tham khảo của học sinh còn hạn chế chủ yếu là sách giáo khoa, sách bài tập
- Đa số học sinh vận sụng lý thuyết vào bài tập còn hạn chế, lung túng. Có em còn vận dụng
nhầm kiến thức, không nắm vững phương pháp giải
3 -Số liệu thống kê:
1


Năm học 2012-2013. Trước khi áp dụng đề tài

Lớp Sĩ số
III-

Số HS làm bài dưới TB

6A1 36

19 ≈ 52,78

Số HS làm bài trên TB
17 ≈ 47,22

NỘI

DUNG
A- Cơ sở lí luận
Trong phân phối chương trình lớp 6, giải toán bằng cách tìm ƯCLN và BCNN được học
trong 2 tiết lý thuyết và 4 tiết luyện tập ( mỗi phần 3 tiết). Trong mỗi phần có 10 bài tập và 2
bài ở phần ôn tập chương. Trong các bài tập có 6 bài toán đố. Đây là một dạng toán không
dễ đối với học sinh. Nó đòi hỏi học sinh phải có khả năng “phiên dịch” các dữ kiện có trong
bài: từ ngôn ngữ thông thường thành ngôn ngữ toán học, thành các biểu thức, các dạng toán
mà học sinh đã biết cách giải. Học sinh lớp 6 thường gặp khó khăn khi định hướng cách giải
cho bài toán liên quan ước chung lớn nhất ( ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN). Vì vậy
người giáo viên nắm giữ một vai trò rất quan trọng. Đó phải là người thiết kế, tổ chức
hướng dẫn điều khiển học sinh học tập nắm giữ vai trò chủ đạo, giúp học sinh là chủ thể
nhận thức, giữ vai trò chủ động, biết cách tự học, tự rèn luyện, từ đó hình thành, phát triển
nhân cách năng lực cần thiết cho người lao động mới theo những mục tiêu mới đã đề ra.
B- Nội dung
Sau khi đọc một số tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu sách giáo khoa, sách hướng
dẫn và một số sách tham khảo khác cùng với kinh nghiệm trong giảng dạy, chúng tôi xin trình
bày một số kinh nghiệm nhỏ để giúp học sinh giải bài toán “Tìm ƯCLN & BCNN” như sau:
1-

Nắm vững kiến thức cơ bản và các kiến thức liên quan:


Để giải tốt dạng bài “Tìm ƯCLN & BCNN” trước hết học sinh phải nắm vững
cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố, quy tắc tìm ƯCLN, BCNN và vận dụng tốt 2
quy tắc trong giải toán

Nắm vững khái niệm ước và bội: “Nếu a chia hết cho b thì a là bội của b và b là ước
của a”
Khái niệm ước chung, bội chung, khái niệm hai số nguyện tố cùng nhau. Các khái niệm
này giúp học sinh xác định cách giải dạng toán mà mình xét

Ví dụ:
a)
Tìm số tự nhiên a biết: 16 chia hết cho a, 24 chia hết cho a
Theo khái niệm của ước và bội , ta xác định được a là ước chung của 16 và 24
a  ƯC(16,24)
b)
Tìm số tự nhiên b biết b chia hết cho 3, b chia hết cho 5, b < 50
2


Rõ ràng khi b chia hết cho 3, b chia hết cho 5 thì b vừa là bội của 3 vừa là bội của 5.
b  BC(3,5) và b < 50

Học sinh biết cách xác định ước của một số khi phân tích số đó ra thừa số nguyên tố
Ví dụ:
a) Cho số a = 5.13. Hãy viết tất cả các ước của a
Các ước của a là: 1, 5, 13, 65
b)Cho số b = 25. Hãy viết tất cả các ước của b
Các ước của b là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Biết cách tìm ƯC thông qua việc tìm ƯCLN, biết cách tìm BC thông qua BCNN
Trong quá trình giải toán “Tìm ƯCLN & BCNN”, tất cả những kiến thức trên đóng một
vai trò rất quan trọng. Nhờ các kiến thức đó mà học sinh có thể thực hiện giải toán dễ dàng
hơn. Vì vậy, việc nắm vững các kiến thức cơ bản là rất cần thiết.
2Phương pháp giải một số dạng toán có liên quan đến ƯCLN và BCNN
a)
Dạng phát hiện khái niệm ƯCLN & BCNN có ngay trong đề toán
Đối với dạng này, chỉ cần học sinh hiểu rõ khái niệm ƯC&BC và thực hiện tốt cách
tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số là ta có thể giải được ngay
Ví dụ 1 (bài 143 SGK trang 56)

Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết 420 a và 700a
Đối với bài toán này giáo viên phải định hướng cho học sinh hiểu
- Vì 420 a và 700 a nên a  ƯC(420,700)
- a là số lớn nhất nên a là ƯCLN(420,700)
- Tìm ƯCLN(420,700) theo 3 bước trong sách giáo khoa
- Kết luận
Ví dụ 2: (bài 153 SGK trang 59)
Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45
Ở đây, học sinh có thể giải theo cách liệt kê các phần tử của tập hợp B(30), B(45). Rồi sau
đó đi tìm BC(30,45), chọn ra các bội chung nhỏ hơn 500. Tuy nhiên cách này khá phức
tạp, không nhanh chóng . Giáo viên nên định hướng cho các em cách tìm BC thông qua
BCNN
- Tìm BCNN(30,45)
- Tìm BC(30,45) bằng cách tìm bội của BCNN(30,45)
- Chọn ra các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45
- Kết luận
Ví dụ 3: (Bài 146 SGK trang 57)
Tìm số tự nhiên x biết rằng 112 x, 140  x và 10< x <20
- Vì 112 x, 140  x nên x vừa là ước của 112, vừa là ước của 140. x  ƯC(112,140)
- Tìm ƯCLN(112,140)
- Tìm ƯC bằng cách tìm ước của ƯCLN(112,140)
- Chọn ra các ước chung lớn hơn 10 và nhỏ hơn 20
- Kết luận
Ví dụ 4: (bài 156 SGK trang 60)
Tìm số tự nhiên x biết rằng x 12, x  21, x  28 và 150< x <300
Tương tự như ví dụ 3, giáo viên cần cho học sinh xác định cách giải:
- Vì x 12, x  21, x  28 nên x  BC(12,21,28)
- Tìm BCNN(12,21,28)
- Tìm BC bằng cách tìm bội của BCNN(12,21,28)
3

-

Chọn ra các bội chung thỏa mãn điều kiện 150< x <300
Kết luận
b)
Dạng toán có nội dung gần gũi với cuộc sống
Đối với dạng này, giáo viên cần phải định hướng cho học sinh cách giải , suy nghĩ, tóm tắt
đề toán dễ hiểu đối với mình, đưa về dạng quen thuộc đã biết cách giải
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh tuân theo 3 bước:

Tìm hiểu đề toán: Nghiên cứu kĩ đề bài. Đề bài cho biết cái gì, yêu cầu làm gì để
hiểu rõ nội dung của các sự kiện chính và thiết lập mối quan hệ của chúng, nắm mục đích
cần giải quyết

Tìm lời giải

Nghiên cứu, kiểm tra lại nghiệm của bài toán
Ví dụ 1: (Bài 148 SGK trang 57)
Đội văn nghệ của một trường có 48 nam và 72 nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục
vụ đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ nam và nữ, số nam được
chia đều vào các tổ, số nữ cũng vậy
Có thể chia thành nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao
nhiêu nữ?

Tìm hiểu đề:
Đối với bài toán này giáo viên nên nhắc lại khái niệm về chia hết
Số nam chia đều cho các tổ tức là 48 chia hết cho số tổ ( số tổ là ước của 48)
Số nữ chia đều cho các tổ tức là 72 chia hết cho số tổ ( số tổ là ước của 72)

Như vậy số tổ là ước chung của 48 và 72
Số tổ nhiều nhất chính là ƯCLN(48,72)
Khi tính được số tổ nhiều nhất ta có thể dễ dàng tính được số lượng nam, nữ trong mỗi tổ

Lời giải:
Gọi số tổ nhiều nhất là a
48
= 24 . 3
72 = 23 . 32
Ta có: ƯCLN(48,72) = 23. 3 =24
số nam trong mỗi tổ là :
48 : 24 =2 ( nam )
số nữ trong mỗi tổ là :
72 : 24 =3 ( nữ )
* Kết luận: Vậy số tổ nhiều nhất là 24
Ví dụ 2: ( Bài 154 SGK trang 59)
Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều đủ hàng. Biết học sinh lớp đó
trong khoảng từ 35 đến 60. Tính số học sinh lớp 6C

Tìm hiểu đề: Bài toán cho biết cái gì? Yêu cầu làm gì?
Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều đủ hàng tức là số học sinh
chia hết cho 2, cho 3, cho 4, cho 8. Hay số học sinh là bội chung của 2, 3, 4, 8.

Trình bày lời giải:
- Gọi ẩn:
Gọi số học sinh lớp 6C là a
- Dựa vào những điều cho biết nêu mối quan hệ của ẩn
Theo bài ra:
a  2, a  3, a 4, a8 => a  BC(2,3,4,8)
4

35 < a < 60
- Muốn tìm BC(2,3,4,8) ta nên tìm BCNN(2,3,4,8)
- Tìm bội của BCNN(2,3,4,8)
- Chọn ra các các bội chung thỏa mãn điều kiện 35< x <60
-Trả lời
Ví dụ 3: (Bài 196 SBT trang 25)
Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người,
nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học sinh chưa đến 300. Tính số học sinh?

Tìm hiểu đề:
So với ở ví dụ 2 thì ví dụ này có sự khác biệt chủ yếu ở cụm từ “ thiếu 1 người”. Giáo
viên cần giải thích cho học sinh hiểu rằng “ thiếu 1 người” nghĩa là nếu ta thêm vào khối
đó một học sinh thì tổng số học sinh là BC ( 2,3,4,5,6)
Giáo viên hướng dẫn học sinh bằng các câu hỏi:
Số học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người vậy nếu ta
thêm vào số học sinh đó một người thì khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 sẽ
như thế nào?
Gọi số học sinh là a. a phải có điều kiện gì?
Số nào sẽ chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6?
Điều kiện của a + 1 là gì?
Số học sinh xếp hàng 7 thì vừa đủ có nghĩa là gì?

Trình bày lời giải:
- Gọi ẩn, điều kiện của ẩn
Gọi số học sinh là a (0- Dựa vào những điều cho biết nêu mối quan hệ của ẩn
Do a chia cho 2, 3, 4, 5, 6 thiếu 1 nên a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6
a + 1  BC(2,3,4,5, 6), 1< a + 1< 301

- Muốn tìm BC(2,3,4,5,6) ta nên tìm BCNN(2,3,4,5,6)
- Tìm bội của BCNN(2,3,4,8)
- Chọn ra các các bội chung thỏa mãn điều kiện 1< a+1 <301, a 7
-Trả lời
Học sinh thường nhầm lẫn việc xét a + 1 với a - 1, để chữa nhược điểm này giáo viên có
thể đưa ra bài tập sau:
Ví dụ 4: Người ta đếm trứng trong rổ, nếu đếm theo từng chục ( 10 quả) cũng như theo
từng tá( 12 quả) hoặc đếm từng 15 quả thì lần nào cũng thừa lại một quả. Tính số trứng
trong rổ biết rằng số trứng chưa đến 100.
Ở ví dụ 4 này khác so với ví dụ 3 chủ yếu ở cụm từ “ còn thừa lại 1 quả”. Vậy do đó nếu
gọi a là số trứng cần tìm thì ta phải xét số a- 1. Vì ở đây a- 1 là BC( 10,12,15) = 60. Do số
trứng chưa đến 100 nên kết quả tìm được là 61 quả. Giáo viên định hướng cho học sinh
tương tự như ví dụ 3
c) Dạng toán tìm số khi biết ƯCLN, BCNN
Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10, BCNN của chúng bằng
900.
Để giải bài toán này học sinh cần vận dụng kiếnthức:
“Tích của hai số bằng tích của BCNN và ƯCLN của chúng”
a.b = ƯCLN ( a,b) . BCNN (a,b)

Hướng dẫn:
5


Nếu gọi hai số phải tìm là a và b Ta có:
a.b = ƯCLN ( a,b) . BCNN (a,b) = 10.900
Hãy biểu diễn a và b dựa vào ƯCLN(a,b) =10?
Vì ƯCLN bằng 10 nên ta có thể đặt a = 10p , b = 10q (p, q là hai số nguyên tố cùng nhau)
Muốn tìm a, b ta cần tìm p, q.
a = 10p , b = 10q Khi đó a.b = ?

Tích p.q = ?
a.b = 100 p. q = 9000 => p.q = 90
p, q là gì của 90?
Nếu giả sử p ≤ q, dựa vào các ước của 90, p và q là hai số nguyên tố cùng nhau ta lập đựoc
bảng
p
1
2
5
9
q
90
45
18
10
Suy ra
a
b

10
900

20
450

50
180

90
100

Học sinh có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách thử
Bài toán trên cũng có thể được thay đổi để có bài toán sau
Tìm 2 số tự nhiên có tích là 4320 và BCNN là 360.
Đối với bài toán này học sinh cần tìm ƯCLN của hai số.ƯCLN ( a, b) = a.b : BCNN
( a,b) thay số vào ta được 4320 : 360 = 12 đến đây thì bài toán lại trở về dạng ví dụ 1
Ví dụ 2: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN của chúng bằng 6.
Hướng dẫn cho học sinh giải :
Gọi 2 số cần tìm là a, b ( a ≤ b)
Hãy biểu diễn a và b dựa vào ƯCLN(a,b) =6?
Vì ƯCLN ( a, b) = 6 do đó có thể đặt a = 6p , b = 6q, trong đó p,q là hai số nguyên tố cùng
nhau ( a, b, p, q  N )
a + b = 84 suy ra được điều gì?
6 ( p + q) = 84 suy ra p + q =14.
Học sinh cần chọn các cặp số p, q nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 và p < q .Lập bảng
tìm được như sau
p
1
3
5
q
13
11
9
Do đó
a
b

6
78

18
68

30
54

Từ ví dụ trên giáo viên có thể thay đổi để được ví dụ mới như sau:
Tìm 2 số tự nhiên có tích bằng 300 và ƯCLN của chúng bằng 5.
6


Cách giải tương tự như giải ví dụ 2 chỉ cần thay tính a . b cho việc tính a + b
d) Một số dạng có liên quan khác:
ở đây ta xét một số bài toán có liên quan đến phép chia có dư. Đối với dạng này ta phải có sự
lựa chọn các dữ kiện và thay đổi cách phát biểu bài toán, đưa về dạng đơn giản, dễ hiểu đối
với học sinh.
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 18, 30, 45 có số dư
lần lượt 8, 20, 35
Hướng dẫn:
Gọi số phải tìm là a
Nếu ta biểu diễn dưới dạng phép chia có dư
a = 18p + 8
a = 30q + 20
a = 45l + 35
Việc tìm a trở nên phức tạp. Do đó giáo viên nên định hướng theo cách khác:
Do số a chia cho 18, 30, 45 có số dư lần lượt 8, 20, 35 nên dễ nhận thấy a + 10 chia hết cho
18, 20, 45. vậy a + 10  BC(18,30,45)
Ta đi tìm BC thông qua BCNN
BCNN(18,30,45) = 2.32.5 = 90

a + 10 = 90 k ( k  N*) => a = 90k – 10
lần lượt thay k = 1, 2, 3, 4…. Vào a = 90k – 10.
Chọn kết quả với a là số tự nhiên có ba chữ số nhỏ nhất và trả lời
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên a biết chia 326 cho a thì dư 11, chia 553 cho a thì dư 13

Hướng dẫn
Số 326 chia cho a thì dư 11, số 553 chia cho a thì dư 13. Học sinh có thể biểu diễn a dưới
dạng phép chia có dư. Tuy nhiên bài toán sẽ trở nên phức tạp, giáo viên nên định hướng
theo cách khác. Nếu bớt 326 đi 11 đơn vị thì được một số chia hết cho a, bớt 553 đi 13 đơn
vị được một số chia hết cho a
Thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng:
Số 326 chia cho a thì dư 11 => 326 – 11 = 315  a (a >11)
Số 553 chia cho a thì dư 13 => 553 – 13 = 540  a (a >13)
Khi đó a là gì của 315, 540?
a  ƯC(315,540)
Muốn tìm a ta đi tìm ƯCLN(315, 540)
Vì a> 13, a  ƯC(315,540) => a = 5, a = 45
IV- KẾT QUẢ
Qua việc áp dụng kinh nghiệm vào dạy “ giải toán tìm ƯCLN & BCNN” chúng tôi nhận
thấy:
- Học sinh hiểu kiến thức nhanh, chắc, dễ hình dung ra bước làm.
- Trong quá trình học tập, lớp hăng say phát biểu, xây dựng bài.
- Lý luận khoa học, hệ thống vững chắc hơn.
- Rèn luyện tích chủ động. tích cực học tập, có ý thức tự giác ngày càng cao và có
hứng thú khi học Toán
Số liệu như sau:
Lớp Sĩ số
Số HS làm bài dưới TB
Số HS làm bài trên TB
7

6A1 36

4 ≈ 11,11

32 ≈ 88,89

V- BÀI HỌC KINH NGHIỆM
-Giáo viên cần phải đầu tư, nghiên cứu sao cho mỗi tiết dạy học học sinh nắm vững được
lý thuyết vá cách giải bài tập có liên quan. Học sinh có thể tự phát hiện vấn đề và hướng
giải quyết các bài toán có tính tư duy, suy luận
- Giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh lòng ham thích, hứng thú say mê với học tập. biểu
dương những học sinh chịu khó, đọc nhiều sách tham khảo, có kết quả tốt trong học tập
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ. Đề tài còn hạn chế, nhiều thiếu sót. Kính mong quý
thầy cô góp ý thêm để chuyên đề toán 6 hoàn thiện hơn nhằm nâng cao chất lượng dạy
học.
VI- TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- SGK, sách thiết kế, sách tham khảo của giáo viên
- Sách đổi mới phương pháp học toán
Phú Tân, ngày 29 tháng 10 năm học 2013
Người thực hiện

8