Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong giải Toán Đại số và Giải tích

1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nghị quyết hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung Ương Đảng cộng sản
Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định: “... phải đổi mới phương pháp giáo dục Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo
cho người học...”.
Điều 24- Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm
1998) quy định: “... phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn...”
Chương trình môn Toán trường Trung học phổ thông (năm 2002) cũng đã
chỉ rõ: " ...Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí
tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc
sống;...; rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài
toán đơn giản của thực tiễn; phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong
những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một cách
chính xác...".
Theo Từ điển tiếng Việt: “Trí tuệ là khả năng nhận thức lí tính đạt đến một
trình độ nhất định" [68, tr. 999]. Khả năng nhận thức của mỗi con người đạt đến
trình độ nào, điều này phụ thuộc vào khả năng của mỗi người và môi trường giáo
dục. Vì vậy, phát triển trí tuệ là một vấn đề rất khó khăn và rất quan trọng.
Trong thư gửi các bạn trẻ yêu Toán ngày 10 tháng 10 năm 1967. Cố Thủ
tướng Phạm Văn Đồng đã viết "...Trong các môn khoa học và kỹ thuật, Toán học
giữ một vai trò nổi bật. Nó có tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác,
đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó còn là môn thể thao của trí tuệ,


2

giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp
suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng
ta rèn trí thông minh sáng tạo...". Ngoài ra, khá nhiều bài toán việc giải có thành
công hay không phụ thuộc chính ở chỗ: các hoạt động trí tuệ được tiến hành
trong quá trình giải bài toán đó có hiệu quả hay không.
Công trình nghiên cứu của G . Pôlia cũng đã khẳng định:
"Giải Toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con
người; vì vậy giải toán có thể xem như một trong những biểu hiện đặc trưng
nhất trong hoạt động của con người" [46, tr. 5], do đó: “Người giải toán phải
hiểu được trí tuệ của mình như người lực sĩ hiểu thân thể anh ta..." và "Khát
vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi
bài tập" [46, tr. 305].
Cũng nói về vấn đề này, nhóm tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc và
Trần Thúc Trình viết: “Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến
qúa trình tư duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức. Mỗi hành
động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật
tự xác định phù hợp với những quy tắc nhất định" [22, tr. 109].
Các công trình này đã bước đầu chỉ ra các hoạt động trí tuệ trong giải toán
và sự cần thiết phải quan tâm đến chúng. Tuy nhiên, việc đề cập này mới chỉ ở
mức độ sơ lược.
Phương pháp giảng dạy ở trường phổ thông còn nặng nề việc thông báo
kiến thức, mà ít tập luyện cho học sinh khám phá ra kiến thức bằng chính những
hoạt động trí tuệ tương thích với nó.
GS Hoàng Tụy phát biểu: “... Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy


3

để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa vời thực tế, mệt mỏi và chán

nản...” (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 2).
Cũng bàn về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông
nhóm tác giả Trần Kiều, Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang đưa ra quan điểm chung
như sau:
“ a) Đối với học sinh: Đạt tới mục đích xác định là học tập một cách tích cực,
chủ động, trong quá trình tự mình giải quyết vấn đề, từ đó phát triển tư duy linh
hoạt tiến tới sáng tạo, trên cơ sở đó hình thành và ổn định phương pháp tự học.
b) Đối với giáo viên: Làm thay đổi quan niệm dạy học truyền thụ một chiều
( Học sinh bị động tiếp thu, tái hiện...)
- Hướng tới dạy học sinh phát triển năng lực không chỉ đơn giản là tích luỹ
tri thức mà năng lực giải quyết vấn đề phải là then chốt;
- Làm phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học, không đơn điệu cứng
nhắc,...” (Tạp chí giáo dục, số 119, 2005).
Khi nói về việc rèn luyện phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Giáo sư Hoàng
Chúng viết: "Trong việc giảng dạy Toán, cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh
các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn đối với việc học tập, công tác và cuộc sống của
học sinh [4, tr. 27].
Đề cập về tình hình thực tế của việc rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh
ở nhà trường, tác giả Nguyễn Hữu Lương đưa ra nhận định: "Trong chương trình
giảng dạy ở nhà trường lâu nay, việc dạy phương pháp hoạt động trí óc không được
đặt ra một cách tường minh, mà chỉ được thực hiện một cách tiềm ẩn đàng sau việc
giảng dạy kiến thức. Nhiều trường hợp giáo viên chưa ý thức đầy đủ nên chưa thực
hiện được yêu cầu rèn phương pháp làm việc trí óc cho học sinh" [37, tr. 52].
Cho đến nay chưa có công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ về các hoạt
động trí tuệ trong giải Toán. Lý thuyết của P. Ia. Galpêrin về các bước hình thành


4

các hoạt động trí tuệ theo giai đoạn là một trong các cơ sở để nghiên cứu của đề tài,

và lời chỉ giáo của V. I. Lênin: “ Không có chân lý trừu tượng, chân lý bao giờ cũng
cụ thể” (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 2) là những tiền đề rất quan trọng để
chúng tôi đề xuất các quan điểm mang tính thực tiễn về việc rèn luyện kỹ năng tiến
hành các hoạt động trí tuệ trong giải Toán ở Chương 2.
Đồng thời Luận văn sẽ có những phân tích, nhận định về vấn đề nghiên cứu
mối quan hệ giữa dạy học kiến thức Toán học với sự phát triển trí tuệ của học sinh,
vấn đề này ngày càng được chú trọng và ứng dụng rộng rãi trên thế giới.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là:
“Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong
giải Toán Đại số và Giải tích”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của Luận văn là làm sáng tỏ những vấn đề cơ sở lý
luận và thực tiễn của các hoạt động trí tuệ, đồng thời đề xuất các quan điểm về việc
rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong giải
Toán nói chung và giải Toán Đại số và Giải tích nói riêng.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Dựa vào các cơ sở lý luận và thực tiễn, nếu quan tâm đúng mức đến việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng tiến hành hợp lý các hoạt động trí tuệ trong giải
Toán, thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán và góp phần thực
hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ đổi mới PPDH Toán ở trường phổ thông trong giai
đoạn hiện nay.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
4.1. Hoạt động, hành động, thao tác và mối quan hệ giữa chúng như thế nào?
4.2. Có những quan điểm như thế nào về hoạt động trí tuệ?


5

4.3. Những hoạt động trí tuệ nào cần quan tâm trong quá trình giải Toán?

4.4. Đề xuất một số quan điểm về việc rèn luyện kỹ năng tiến hành các
hoạt động trí tuệ trong việc giải Toán Đại số và Giải tích.
4.5. Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên
quan đến Luận văn.
5.2. Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, để xem xét ý nghĩa
thực tiễn của đề tài.
5.3. Thực nghiệm sư phạm: tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của các quan điểm đã đề xuất.
6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Góp phần làm rõ thêm ý nghĩa và vai trò của các hoạt động trí tuệ
trong giải Toán bằng việc tổng hợp, phân tích, so sánh các quan điểm của các nhà
khoa học.
6.2. Đề xuất những quan điểm đối với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng
tiến hành hợp lí các hoạt động trí tuệ trong giải Toán.
6.3. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT.
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Giả thuyết khoa học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu.
6. Đóng góp của Luận văn.


6

Chương 1

NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Hoạt động. Hành động. Thao tác.
1.2. Các quan điểm về những hoạt động trí tuệ.
1.2.1. Quan điểm về việc phân loại các hoạt động trí tuệ.
1.2.2. Một số cách phân loại về các hoạt động trí tuệ.
1.2.2.1. Quan điểm của Nguyễn Bá Kim.
1.2.2.2. Quan điểm của Phạm Văn Hoàn và đồng tác giả.
1.2.2.3. Quan điểm của G. Pôlia.
1.2.2.4. Một số nhận định.
1.3. Kết luận Chương 1.

Chương 2
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH THPT CÁC
HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ TRONG GIẢI TOÁN
2.1. Xác định các hoạt động trí tuệ.
2.1.1. Hoạt động dự đoán.
2.1.2. Hoạt động nhận dạng và thể hiện.
2.1.3. Hoạt động suy luận lôgic.
2.1.4. Hoạt động phân chia khái niệm.
2.1.5. Hoạt động tư duy hàm.
2.1.6. Hoạt động khái quát hoá và trừu tượng hoá.
2.1.7. Hoạt động liên tưởng và huy động kiến thức.
2.1.8. Hoạt động ngôn ngữ lôgic.
2.1.9. Hoạt động phát hiện và sửa chữa sai lầm.


7

2.1.10. Hoạt động toán học hoá tình huống thực tiễn.
2.2. Một số quan điểm rèn luyện cho học sinh các hoạt động trí tuệ trong giải Toán.

2.3. Kết luận Chương 2.

Chương 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm.
3.2.2. Nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.3.1. Đánh giá định tính.
3.3.2. Đánh giá định lượng.
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.


8

Chương 1
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Hoạt động. Hành động. Thao tác.
Mục này không đi sâu làm rõ sự phân biệt ba cấp độ hoạt động, hành động
và thao tác. Không đặt vấn đề phân biệt rạch ròi ba khái niệm ấy, bởi tưởng
chừng như hoạt động là lớn hơn hành động, hành động là lớn hơn thao tác,
nhưng thực ra thì cách xếp đặt ấy chỉ mang tính tương đối, và còn tuỳ thuộc vào
nội dung cụ thể, nói cách khác: Một hành động nào đó có khi lại mạnh hơn một
hoạt động khác. Quan điểm của chúng tôi trong Luận văn là không có sự phân
biệt rạch ròi ba mức độ. Trước hết chúng tôi xin dẫn ra quan điểm của A. N.
Leonchev, nhà tâm lý học Xô viết, Tiến sĩ Tâm lý học, Giáo sư, Viện sĩ viện Hàn
lâm KH Liên Xô.

Hoạt động: Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hoá lẫn nhau
giữa hai cực: chủ thể - khách thể. Theo nghĩa rộng, nó là đơn vị phân tử, chứ
không phải là đơn vị cộng thành của đời sống chủ thể. Đời sống của con người là
một hệ thống (một dòng) các hoạt động thay thế nhau.
Hoạt động theo nghĩa hẹp hơn, tức là ở cấp độ tâm lý học, là đơn vị của
đời sống, mà khâu trung gian là phản ánh tâm lý, các chức năng hướng dẫn chủ
thể trong thế giới đối tượng [41, tr. 579].
Hành động: Hành động được A. N. Lêônchev định nghĩa là quá trình bị
chi phối bởi biểu tượng về kết quả phải đạt được, nghĩa là quá trình nhằm một
đối tượng được ý thức cần phải chiếm lĩnh [41, tr. 592].
Thao tác: Thao tác là cơ cấu kỹ thuật của hành động, là phương thức triển
khai của hành động [41, tr. 579].


9

Như vậy qua cách định nghĩa trên, thoạt tiên ta có cảm giác như hoạt động
và hành động là hoàn toàn rạch ròi, nhưng trong thực tế có những "động tác"
tưởng chừng như là hoạt động lại là hành động, chẳng hạn: "Động tác vẽ tranh
của người hoạ sỹ là hoạt động hay hành động? Điều này phải căn cứ vào chức
năng của đối tượng (tranh vẽ). Nếu bức tranh đó được vẽ với tư cách là thoả mãn
nhu cầu sáng tạo nghệ thuật thì đó là hoạt động. Lúc đó nảy sinh hàng loạt các
hành động bộ phận như tìm phong cảnh mẫu, quan sát... Còn nếu việc vẽ tranh
nhằm mục đích trả bài thi tốt nghiệp hoặc nhằm phục vụ cho việc quảng cáo,
mua bán v.v..., thì nó là hành động, nhằm hướng tới động cơ không cùng mục
đích vẽ bức tranh (điểm thi, kiếm tiền)" [41, tr. 591].
Như vậy trong tình huống trên, có người cho việc vẽ tranh là thoả mãn nhu
cầu sáng tạo nghệ thuật, để rồi khẳng định là hoạt động. Nhưng có người lại cho
việc vẽ tranh là phục vụ cho việc quảng cáo mua bán v.v..., để khẳng định là
hành động thì cũng đều được.

Liên tưởng đến việc giải Toán cũng vậy, có người quan niệm giải Toán để
tập "thể thao" cho "trí não", và để thấy được “vẻ đẹp” của "nữ hoàng của các
khoa học", có người lại quan niệm giải Toán để giải quyết nhu cầu khách quan
nào đó. Tuy nhiên, cũng nên tìm hiểu về thuật ngữ bài toán trước khi đi sâu
nghiên cứu các hoạt động trí tuệ.
* Bài toán
Thuật ngữ "bài toán" được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số định
nghĩa sau:
G. Pôlia cho rằng: " Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách
có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không
thể đạt được ngay" [44, tr. 169].


10

Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa : "Khái niệm bài toán hiểu là
một công việc hoàn thành được nhờ những phương pháp đã biết trong những
điều kiện cho trước"
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ bài toán như sau: "Bài toán là
một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán)
Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)
Các điều kiện của hành động (mối quan hệ giữa cái đã có và cái phải tìm)
Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,
không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Bài toán
không tồn tại độc lập với mọi "hệ quy chiếu";
* Các bước thường làm khi giải các bài toán.
Trong tiểu mục này chúng tôi xin đưa ra quan điểm chung về việc hình
thành các bước giải một bài toán và không mang tính tuyệt đối, bởi vì còn tuỳ
thuộc vào hoàn cảnh, bài toán cụ thể.

Đọc kỹ đề toán: Xác định được đâu là những cái đã cho, đâu là cái phải
tìm ở đây cần lưu ý những điểm sau:
Mỗi bài toán đề gồm hai bộ phận: Bộ phận thứ nhất là những điều đã
cho, bộ phận thứ hai là cái phải tìm. Muốn giải được bất cứ bài toán nào học sinh
cũng phải xác định chính xác hai bộ phận đó. Hay nói cách khác học sinh cần
phải làm tường minh sự tách bạch đó. Tuy nhiên trong bài toán cụ thể sự tách
bạch không phải lúc nào cũng dễ dàng phát hiện.
Cần tập trung tư duy vào những từ quan trọng của đề toán, từ nào chưa
hiểu hết ý nghĩa thì phải tìm hiểu ý nghĩa của nó.


11

Học sinh cần phân biệt rõ những gì thuộc về bản chất của đề toán, những
gì không thuộc về bản chất của đề toán để hướng sự chú ý của mình vào những
chỗ cần thiết. Điều này theo G. Pôlia quan niệm là "Khu vực tìm tòi" [46, tr. 308].
Tóm tắt đề toán: Bằng sơ đồ, hình vẽ hoặc ngôn ngữ, kí hiệu ngắn gọn.
Phân tích bài toán để tìm cách giải: Ở đây, cần suy nghĩ xem: "Muốn trả lời
câu hỏi của bài toán thì cần phải biết những gì, cần phải làm những phép tính gì?.
Trong những điều ấy cái gì đã biết, cái gì chưa biết ?. Muốn tìm cái chưa biết ấy thì lại
phải biết những gì, phải làm tính gì?...Cứ như thế ta đi dần tới những điều đã cho trong
đề toán" [44, tr. 20]
Giải bài toán và thử lại kết quả
Dựa vào kết qủa phân tích bài toán ở bước 3, xuất phát từ những điều đã
cho trong đề toán, ta lần lượt thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số, cần chú ý
thử lại sau khi làm xong từng phép tính, cũng như thử lại đáp số xem có phù hợp
với đề toán không. Cũng cần soát lại các câu trả lời cho phép tính xem đã đủ ý và
gãy gọn chưa?
Khai thác bài toán (Bước dành cho học sinh khá, giỏi)
Sau khi giải xong bài toán, cần suy nghĩ xem:

Còn có thể giải bài toán bằng các cách khác không?
Từ bài toán này có thể rút ra nhận xét gì, kinh nghiệm gì?
Từ bài toán này có thể đặt ra các bài toán khác nh thế nào? Giải chúng ra sao?...
Các kỹ năng giải
Về bản chất kỹ năng là thuộc tính kỹ thuật của hành động, luôn có sự kiểm
soát của ý thức, phản ánh mức độ của phương tiện thực hiện một hành động nào
đó. Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích, do
đó chủ thể giải toán cần phải: Nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện
hành động theo các nhu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả


12

trong những điều kiện khác nhau. Trong giải Toán thì kỹ năng của học sinh chính
là khả năng vận dụng sáng tạo, có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có
vào giải các bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải
toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học. Hệ thống kỹ năng giải
toán của học sinh có thể chia thành ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và sáng tạo
trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải Toán, học sinh cần có nhóm kỹ năng chung sau:
+ Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán;
+ Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán;
+ Kỹ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch giải;
+ Kỹ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán;
+ Kỹ năng thu nhận hợp thức hoá bài toán thành kiến thức mới của ngời giải toán.
Ngoài ra cần chú ý rèn luyện các nhóm kỹ năng cụ thể sau:
Nhóm kỹ năng thực hành.
+ Kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải Toán.
+ Kỹ năng tính toán.
+ Kỹ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc,

vẽ hình,...chính xác, rõ ràng.
+ Kỹ năng ước lượng đo đạc.
+ Kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn.
Nhóm kỹ năng về tư duy.
+ Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải Toán.
+ Kỹ năng tổng hợp.
+ Kỹ năng phân tích.
+ Kỹ năng mô hình hoá.
+ Kỹ năng sử dụng thông tin.


13

Tiến trình giải một bài toán gồm 5 bước cơ bản sau:
Các bước sau đây không phải là tuyệt đối cho tất cả các bài toán, mà chỉ
mang tính chất tương đối.
Bước 1: Tiếp nhận Bài toán.
Tạo tâm lý hứng thú, thu hút tâm trí vào việc giải toán, khêu gợi trí tò mò,
lòng ham thích giải toán, khát vọng, quyết tâm giải bài toán.
Tiếp cận với kế hoạch giải bài toán. Hiểu và phân tích bài toán, làm rõ mối
quan hệ giữa ẩn số, điều kiện, giả thiết và kết luận. Phân tích gạt bỏ những yếu tố
không bản chất, chỉ giữ lại quan hệ toán học trong bài, từ đó chuyển sang ký hiệu
toán học, thực chất là giữ lại mô hình toán học.
Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải Bài toán.
Đây là giai đoạn bừng sáng của quá trình sáng tạo trong giải toán. Phát biểu
các mối quan hệ định tính và định lượng được thể hiện trong kế hoạch giải bài toán.
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải Bài toán.
Kế hoạch giải khi mới thiết lập vẫn còn ở dạng ý nghĩ tổng quát, do đó đòi
hỏi học sinh phải đưa vào thực hiện qua hệ thống hành động giải Toán và hoàn
thiện những chi tiết phù hợp với nó.

Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải Toán.
Bước này phải trở thành thói quen của học sinh, được tiến hành trong suốt
tiến trình giải Toán.
Kiểm tra kết qủa bằng định tính và định lượng, kiểm tra giá trị chân lý của
lời giải, kiểm tra cách suy luận và kỹ thuật tính toán .
Phát hiện và xử lý những sai lầm về hình thức, về lôgic hay khái niệm ...để tiến
trình giải toán mang tính tối ưu. Vấn đề này chúng tôi sẽ trình bày kỹ hơn ở Chương 2.
Bước 5: Thu nhận, hợp thức hoá Bài toán.


14

Nghiên cứu lời giải Bài toán, có thể tìm tòi bài toán bằng cách độc đáo,
mới lạ. Nhìn bài toán theo quan điểm toàn diện ở nhiều góc độ khác nhau để từ
đó chọn cách giải tốt nhất và sáng tạo cho Bài toán.
1.2. Các quan điểm về những hoạt động trí tuệ.
1.2.1. Quan điểm về việc phân loại các hoạt động trí tuệ.
Trong tiểu mục này, chúng tôi muốn đối chứng nhiều quan điểm của nhiều
tác giả. Tuy nhiên sẽ không có sự đối chứng tuyệt đối, nhưng cũng không phải là
sự dàn trải và có chú ý đến đặc điểm của toán học.
Qua phần này chúng ta thấy rằng:
- Hiện nay còn có nhiều cách hiểu khác nhau về khái niệm trí tuệ.
- Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các hoạt động trí tuệ là chưa có sự
thống nhất, một hoạt động trí tuệ nào đó theo cách hiểu của tác giả này có thể
không đồng nhất với một loại hoạt động trí tuệ theo cách hiểu của tác giả kia và
cũng không nhất thiết phân biệt hoàn toàn với một loại hoạt động trí tuệ có tên khác.
Về vấn đề thuật ngữ, nhóm tác giả: Phan Trọng Ngọ, Dương Diệu Hoa,
Nguyễn Lan Anh viết: "Ít có lĩnh vực nào trong khoa học và trong sinh hoạt lại
có nhiều tên gọi như lĩnh vực trí tuệ: trí tuệ, trí lực, trí thông minh, trí óc, trí làm,
trí nghĩ. Dĩ nhiên, mỗi thuật ngữ có sắc thái riêng và được dùng trong các văn

cảnh nhất định. Tuy vậy, để thuận lợi cho việc trao đổi nội dung khoa học của nó,
cần có sự thống nhất về thuật ngữ. Mặc dù, sự thống nhất này chỉ có tính tương
đối" [40, tr. 40].
Trong Luận văn này chúng tôi thống nhất dùng thuật ngữ "trí tuệ". Tuy
nhiên để hiểu rõ hơn ý nghĩa của nó, thì cũng cần điểm qua một số định nghĩa về nó.
Trong tiếng La tinh, trí tuệ có nghĩa là hiểu biết, thông tuệ [40, tr. 40]. Trong
khi đó Từ điển tiếng Việt giải thích: Trí tuệ là khả năng nhận thức lí tính đạt đến một


15

trình độ nhất định. Trí óc: óc của con người, coi là biểu trưng của khả năng nhận
thức, tư duy [68, tr. 999].
Vấn đề này cũng được nhà sư phạm người Pháp Antoine de La Garandrie đề
cập đến trong công trình nghiên cứu của ông: "Mỗi người có cách học riêng do xuất
phát từ cách làm việc trí óc khác nhau" [37, tr. 13].
Theo J. Piaget có một số định nghĩa về trí tuệ như sau:
Trí tuệ là một hình thức của trạng thái cân bằng mà toàn bộ các sơ đồ nhận
thức hướng tới. Trí tuệ là một dạng thích nghi của cơ thể.
Sự cân bằng là một sự bù đắp của cơ thể đối với những xáo trộn ở bên ngoài.
Trí tuệ là sự thích nghi tiêu biểu nhất, sự cân đối giữa đồng hoá và liên tục
của các sự vật vào hoạt động riêng và sự điều ứng những sơ đồ đồng hoá ấy vào
bản thân những đồ vật.
Trí tuệ là một hình thái nhất định của sự cân bằng, mà mọi cấu trúc được
hình thành trên cơ sở của những tri giác, kỷ xảo và các cơ chế cảm giác vận động
đơn giản đều hướng vào hình thành thái độ [41, tr. 389].
"Theo Nguyễn Khắc Viện (1991): Trí tuệ là khả năng thích nghi nhưng
thiên về tư duy trừu tượng. Một số nhà nghiên cứu ở Việt Nam: Phạm Hoàng Gia
(1979), Nguyễn Kế Hào (1985)... coi trí thông minh là một phẩm chất cao của trí
tuệ, mà cốt lõi là tính chủ động, linh hoạt và sáng tạo của tư duy để giải quyết tối

ưu vấn đề nào đó trong những tình huống mới, phức tạp. Như vậy, qua các giải
thích trên có thể quy các thuật ngữ trí khôn, trí tuệ, trí thông minh vào khái niệm
trí tuệ và chúng thể hiện các mức độ khác nhau của khái niệm này" [40, tr. 41].
Cũng theo khẳng định của nhóm tác giả này: "Giống như nhiều lĩnh vực
khác trong Tâm lí học, có bao nhiêu nhà nghiên cứu trí tuệ thì có bấy nhiêu định
nghĩa về nó. Vì vậy, khó có thể áp đặt một định nghĩa chung cho mọi người. Tuy


16

nhiên, có thể khái quát một cách tương đối các quan niệm đã có về trí tuệ thành 3
nhóm chính:
a) Coi trí tuệ là khả năng hoạt động lao động và học tập của cá nhân;
b) Đồng nhất trí tuệ với năng lực tư duy trừu tượng của cá nhân;
c) Trí tuệ là năng lực thích ứng tích cực của cá nhân" [40, tr. 41].
Cùng với 3 nhóm trí tuệ này là lý thuyết của P. Ia. Galperin về các bước
hình thành các hoạt động trí tuệ theo giai đoạn và sự tích hợp một số mô hình
cấu trúc trí tuệ của: N. A. Menchinxcaia; L. L. Thurstone; J. P. Guilford; R. J.
Sternberg; D. N. Perkins; L. X. Vưgôtxki; H. Gardner [40, tr. 43 - 71], chúng tôi
sẽ thống nhất và đề xuất một số quan điểm để rèn luyện cho học sinh THPT các
hoạt động trí tuệ trong giải Toán Đại số và Giải tích ở Mục 2.2 của Chương 2.
1.2.2. Một số cách phân loại về các hoạt động trí tuệ.
Trong mục này chúng tôi xin nêu ra một số cách phân loại về các hoạt
động trí tuệ của một số tác giả, có thể nói là điển hình trong quá trình dạy học
Toán. Đây cũng là những quan điểm mang "màu sắc" riêng của từng tác giả. Dẫu
có khác nhau về quan điểm cũng như cách sử dụng thuật ngữ, nhưng tựu trung
lại, những quan điểm ấy đều cần thiết và tác động đến chất lượng học tập môn
Toán của học sinh.
1.2.2.1. Quan điểm của Nguyễn Bá Kim.
Trong cuốn sách Phương pháp giảng dạy môn Toán. Khi khẳng định về

tầm quan trọng của hoạt động trong quá trình dạy học, tác giả viết: "điều căn bản
của phương pháp dạy học là khai thác những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội
dung làm cơ sở cho việc tổ chức quá trình dạy học đạt được mục tiêu đề ra" và
"Quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động và giao lưu của học sinh
nhằm đạt được các mục tiêu dạy học. Đây là quá trình điều khiển con người chứ
không phải điều khiển máy móc, vì vậy cần quan tâm tới cả những yếu tố tâm lí,


17

chẳng hạn học sinh có sẵn sàng, có hứng thú thực hiện hoạt động này, hoạt động
khác hay không" [35, tr. 123].
Tác giả cho rằng: Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động
nhất định và những hoạt động như vậy gọi là tương thích với nội dung cho trước.
Điều quan trọng là tìm ra căn cứ để phát hiện ra những hoạt động tương thích với
nội dung cần dạy để đạt hiệu quả cao. Tuy nhiên tác giả cũng nhấn mạnh rằng
trong những hoạt động đã tìm ra có thể chỉ một số hoạt động là phù hợp nhất với
đối tượng học sinh cụ thể, điều này có nghĩa là tác giả rất quan tâm đến mức độ
"vừa sức" của học sinh, đồng thời tránh được tình trạng dàn trải mành mành các
hoạt động chỉ đơn thuần mang tính lí thuyết mà thiếu tính thực tiễn.
Các Tư tưởng chủ đạo trong quan điểm hoạt động của tác giả là:
* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học;
* Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;
* Dẫn dắt cho học sinh kiến tạo tri thức, đặc bịêt là tri thức phương pháp
như phương tiện và kết quả của hoạt động;
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học [35, tr. 124].
Những tư tưởng chủ đạo này sẽ giúp thầy giáo điều khiển quá trình học tập
của học sinh, quan tâm đến: "mục tiêu, động cơ, đến tri thức phương pháp, đến
trải nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo được tính tự giác, tích cực, chủ động,

sáng tạo của hoạt động, một yếu tố không thể thiếu của sự phát triển nói chung
và của hoạt động nói riêng" [35, tr. 125].
Từ những tư tưởng chủ đạo trên chúng ta thấy quan điểm của tác giả là sự
phân chia một hoạt động thành những hoạt động nhỏ hơn, mà thao tác giả là
"hướng vào việc tập luyện cho học sinh những hoạt động và hoạt động thành


18

phần", mà không đề cập đến hành động hay thao tác và sự phân chia đó gọi là
thành tố cơ sở của phương pháp dạy học bao gồm:
* Hoạt động và hoạt động thành phần
- Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung;
Cơ sở của vấn đề là: "mỗi nội dung học đều liên hệ với những hoạt động
nhất định...
Từ đó, một hoạt động của người học gọi là tương thích với nội dung dạy
học nếu nó có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng những tri thức
được bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện kĩ năng, hình thành thái độ liên
quan. Mặc dù "ứng dụng" một tri thức cũng có thể diễn ra như một hình thức "củng
cố", nhưng nó còn có tác động tới toàn bộ việc học tri thức đó" [35, tr. 128].
Ví dụ 1: Đối với khái niệm cần hình thành theo con đường quy nạp như
khái niệm hàm số thì những hoạt động phân tích, so sánh những đối tượng riêng
lẻ thích hợp, trừu tượng hoá tách ra các đặc điểm đặc trưng của một lớp đối
tượng là tương thích với khái niệm đó và chúng góp phần tác động để người học
kiến tạo khái niệm này. Tương thích với khái niệm này còn có những hoạt động
khác nữa như nhận dạng, thể hiện, xét mối liên hệ giữa khái niệm đó với những
khái niệm khác,...bởi vì những hoạt động đó góp phần củng cố và ứng dụng khái
niệm hàm số" [35, tr. 128].
Ở mỗi "con đường" dạy học đó, dù đi theo con đường nào thì tác giả đều
lưu ý cần phải xem xét những dạng hoạt động khác nhau như:

+ Nhận dạng và thể hiện; Chúng tôi sẽ trình bày kỹ tromg Mục 2.1.1 của
Chương 2.
+ Những hoạt động toán học phức hợp;
+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học;
+ Những hoạt động trí tuệ chung;


19

+ Những hoạt động ngôn ngữ; [35, tr. 129].
- Phân tích hoạt động thành những thành phần
"... Phân tích được một hoạt động thành những hoạt động thành phần là
biết được cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn
luyện cho học sinh hoạt động toàn bộ vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng
những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết" [35, tr. 129].
- Lựa chọn hoạt động dựa vào mục tiêu
Mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động. Tuy nhiên để tránh tình
trạng dàn trải và đạt được hiệu quả cao nhất của các hoạt động, thì tác giả nhấn
mạnh "cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số
mục tiêu nhất định" [35, tr. 130].
- Tập trung vào những hoạt động toán học
"Trong môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện để
đạt những yêu cầu toán học: kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng toán học. Trong
những hoạt động như thế có những hoạt động mà việc thực hiện thành thạo những
hoạt động đó trở thành một trong những mục tiêu dạy học... Chẳng hạn, ta cần tập
luyện cho học sinh các hoạt động trừu tượng hoá, khái quát hoá không phải chỉ để
trừu tượng hoá và khái quát hoá như những mục tiêu tự thân, mà là nhằm để họ lĩnh
hội một khái niệm, chứng minh một định lí, phát triển một kĩ năng toán học nào
đó..." [35, tr. 131].
Tác giả lưu ý là cần hướng vào những hoạt động: Nhận dạng và thể hiện

những khái niệm, định lí và phương pháp toán học , những hoạt động toán học
phức hợp như định nghĩa chứng minh. Tuy nhiên các hoạt động còn lại không bị
xem nhẹ.
* Động cơ hoạt động


20

Tác giả khẳng định: "Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo
đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo được động lực
ben trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục tiêu đó" [35, tr. 131].
Điều này thực hiện được nhờ vào việc gợi động cơ.
"Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt
động và của đối tượng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu sư
phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ là sự
vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức" [35, tr. 131]. Tác giả nhấn mạnh
rằng:"Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri
thức nào đó (thường là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì
vậy có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ
kết thúc" [35, tr. 132].
- Gợi động cơ mở đầu: Có thể gợi động mở đầu xuất phát từ thực tế hoặc
từ nội bộ Toán học. Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên:
+ Thực tế gần gũi xung quanh học sinh;
+ Thực tế xã hội rộng lớn (kinh tế, kĩ thuật, quốc phòng,...)
+ Thực tế ở những môn học và khoa học khác.
Trong việc gợi động cơ xuất phát từ thực tế, ta cần chú ý những điều kiện sau:
+ Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực, đương nhiên có thể đơn giản
hoá vì lí do sư phạm trong trường hợp cần thiết.
+ Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung.
+ Con đường từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng tốt

[35, tr. 133].
Ví dụ 2: Tập hợp số tự nhiên � =  0,1,2,3,...
Trong thực tế cuộc sống: Chưa phản ánh được các hiện tượng thực tế của
thế giới khách quan như: Trong sự buôn bán, có hiện tượng lỗ, lãi...dẫn đến xuất


21

hiện số âm, điều này buộc mở rộng tập hợp số tự nhiên � lên tập hợp các số
nguyên �. Tuy nhiên khi xét trên tập � vẫn chưa phản ánh được các hiện tượng
thực tế như: Phân chia ruộng đất...dẫn đến phải mở rộng tập �.
Toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng, do đó không
phải bất cứ nội dung nào, hoạt động nào cũng có thể được gợi động cơ xuất phát
từ thực tế.
Gợi động cơ từ nội bộ Toán học là nêu một vấn đề toán học xuất phát từ
nhu cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán học, từ những phương thức tư
duy và hoạt động toán học. Gợi động cơ thao cách này là cần thiết vì hai lẽ:
Thứ nhất: Việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũng thực hiện được.
Thứ hai: Nhờ gợi động cơ từ nội bộ Toán học, học sinh hình dung được đúng
sự hình thành và phát triển của Toán học cùng với đặc điểm của nó và có thể dần
dần tiến tới hoạt động toán học một cách độc lập [35, tr. 134].
Những cách thông thường gợi động cơ từ nội bộ Toán học:
i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một hạn chế.
Ví dụ 3: Tập hợp số tự nhiên � =  1; 2; 3;...
Trong nội bộ toán học: Phép trừ không luân thực hiện được: 2- 1 = 1; 1 - 2 = ?.
Từ đó phải mở rộng từ tập hợp số tự nhiên � lên tập hợp các số nguyên � =

 ...;  3;  2; 1; 0;1; 2; 3;... nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập hợp số tự
nhiên .
Tuy nhiên trong nội bộ tập hợp các số nguyên � lại xuất hiện những hạn

chế mới, đó là: Phép chia không luôn thực hiện được 9 : 3 = 3; 5 : 3 = ?. Điều
này thể hiện rằng mâu thuẫn này mất đi, thì mâu thuẫn khác lại hình thành. Để
xoá bỏ mâu thuẫn này buộc phải mở rộng tập � thành tập � các số hữu tỷ � =
�a
�
� : a, b ��, b  0 �. Lúc này trong nội bộ tập � lại xuất hiện hạn chế mới đó là:
�b


22

Phép khai căn không phải lúc nào cũng thực hiện trong tập � :
nhưng

9 3
 ��,
4 2

2 ��. Để giải quyết mâu thuẫn này buộc phải mở rộng tập � lên tập

� các số thực. Như vậy trong tập các số thực � đã thoả mãn tất cả các nhu cầu
Toán học chưa? điều này chắc chắn là chưa, vì

1  ? .

ii) Hướng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc.
Ví dụ: Mô tả tỉ mỉ, chi tiết quá trình giải phương trình bậc 2 thành một thuật giải
là tiến tới chuyển giao công việc này cho máy tính.
iii) Chính xác hoá một khái niệm.
Có những khái niệm mà học sinh đã biết nhưng trước kia chưa thể có định

nghĩa chính xác; tới một thời điểm nào đó có đủ điều kiện thì thầy giáo gợi lại
vấn đề và giúp học sinh chính xác hoá khái niệm đó.
iv) Hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống.
v) Lật ngược vấn đề.
Sau khi đã chứng minh được một định lí, một câu hỏi rất tự nhiên thường
được đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lí đó có đúng hay không.
vi) Xét tương tự;
vii) Khái quát hoá;
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a, b, c dương thì ab  cd � (a  c)(b  d)
Thông qua giải Bài toán này, từ đó cho học sinh giải bài toán tương tự và
yêu cầu học sinh khái quát hoá thành bài toán tổng quát.
Ta có:
ab
cd

�1
(a  c)(b  d)
(a  c)(b  d)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:


23

ab
cd
1� a
b � 1� c
d �

� �


 �

�
(a  c)(b  d)
(a  c)(b  d) 2 �a  c b  a � 2 �a  c b  d �
�
�

ab
cd
1 �a  c b  d �

� �

1
(a  c)(b  d)
(a  c)(b  d) 2 �a  c b  d �
�

Dấu " = " xảy ra khi

a
b

a c bd

Để đi đến bài toán tổng quát có thể cho học sinh áp dụng bài toán trên để
giải Bài toán tương tự sau:
Ví dụ 5: Chứng minh rằng a, b, c �0 thì 3 abc  1 �3 (1  a)(1  b)(1  c)

Rõ ràng học sinh không thể vận dụng đơn thuần lời giải của bài toán trên
để giải bài toán này. Tuy nhiên nếu để ý một chút học sinh có thể đưa Bài toán về
Bài toán sau: 3 abc  3 1.1.1 �3 (1  a)(1  b)(1  c)
�3

abc
1.1.1
3
�1
(1  a)(1  b)(1  c)
(1  a)(1  b)(1  c)

Từ giả thiết, học sinh dễ dàng chứng minh được Bài toán. Bằng sự phân
tích, so sánh, tổng hợp học sinh có thể đưa ra Bài toán tổng quát như sau:
Bài toán tổng quát: a i , bi  0 (i  1,...n) . Chứng minh rằng:
n

a1a 2 ...a n  n b1b2 ...bn �n (a1  b1)(a 2  b2 )...(a n  b n )

viii) Tìm sự liên hệ và phụ thuộc;
- Gợi động cơ trung gian
Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặc
cho những hoạt động tiến hành trong những bước đó để đạt được mục tiêu, gợi
động cơ trung gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lập giải
quyết vấn đề [35, tr. 138].
Các cách thường dùng để gợi động cơ trung gian:
i) Hướng đích;


24

Tác giả cho rằng: Hướng đích cho học sinh là hướng vào những mục tiêu
đặt ra. Do đó để đặt mục tiêu một cách chính xác, cụ thể, người thầy giáo cần
xuất phát từ chương trình và văn bản giải thích chương trình, sách giáo khoa và
sách tham khảo sách giáo viên. Mục tiêu đưa ra phải dễ hiểu, tuy nhiên đặt mục
tiêu nhưng không đồng nhất với hướng đích. Đặt mục tiêu thường là một pha
ngắn ngủi lúc ban đầu của một quá trình dạy học, còn hướng đích là một nguyên
tắc chỉ đạo toàn bộ quá trình.
ii) Quy lại về quen;
Ví dụ 6: Giải phương trình: x 2  5  3 2 x 2  4 x  5  2 x
Đối với phương trình này học sinh dễ dàng chuyển về dạng: f (x)  g(x) .
Tức là: 3 2 x 2  4 x  5  x 2  2 x  5
Dễ thấy x2- 2x +5 > 0 x . Tuy nhiên nếu bình phương hai vế thì Bài toán
trở nên phức tạp. Như vậy về hình thức thì Bài toán này là dạng quen thuộc,
nhưng lại trở thành lạ đối với học sinh chưa được tiếp cận nhiều với dạng toán
này. Như vậy phải tìm cách đưa Bài toán về dạng quen thuộc hơn.
Cách 1: Đặt t  2x 2  4x  5
� x 2  2x 

(t > 0)

t 1
�
t2  5
2
. Khi đó ta được phương trình: t  6t  5  0 � �
.
t 5
2
�

Việc tìm nghiệm trở nên đơn giản.
�
u  x 2  2x  5
�
Cách 2: Đặt �
2
�v  2x  4x  5

u �1
�
điều kiện �
�v  0

u  3v  0
�
Khi đó ta có hệ phương trình sau: �
việc giải hệ phương trình
2u  v 2  5
�
này là đơn giản.
iii) Xét tương tự;


25

Ví dụ 7: Giả sử học sinh giải được Bài toán:
Chứng minh rằng:

x 2  xy  y2  x 2  xz  z 2 � y2  yz  z 2

Bằng cách sử dụng phương pháp toạ độ:
VT= �
�x 
�

2

y� 3 2
� z� 3 2

y

�
�x  � z
2� 4
� 2� 4

r � y 3 �r �
z 3 �
u
y�
x  ;
z�
Xét vectơ  �x  ;
, v�
.
2
2
2

2
�
�
�
�
r r �y  z 3
�
;
(y  z) �
Khi đó: u  v  �
2
�2
�
r r
�
�uv �
x
�

2
2
r r
y� 3 2
� z � 3 2 �u  v = 2
x  � z
y  yz  z 2
� y  �
2� 4
� 2� 4

Khi học sinh giải Bài toán tương tự: "Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều
có:

4cos 2 xcos 2 y  sin 2 (x  y)  4sin 2 x sin 2 y  sin 2 (x  y) �2 ". Có thể đặt

vấn đề để học sinh biến đổi như Bài toán đã giải.
iv) Khái quát hoá;
Trong hoạt động gợi động cơ mở đầu tác giả củng đã đề cập đến cách này.
Điều này thể hiện quan điểm của tác giả là rất quan tâm đến việc tập luyện cho
học sinh khả năng mở rộng nhãn quan toán học trên cơ sở tư duy cao độ.
v) Xét sự biến thiên và phụ thuộc;
Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 x  3  x
Rõ ràng học sinh không thể giải bài toán này theo cách thông thường, mà
y

phải giải theo cách sau:
Dễ thấy x= 1 là một nghiệm của
phương trình. Vấn đề đặt ra là ngoài

y=3x

y=2x

3
2
O

1

3

x