SKKN một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi image marked

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

PHẦN MỞ ĐẦU
Bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng
bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Bài toán này thường xuất hiện trong các
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và
quốc tế. Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 nâng cao và bồi
dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số kĩ thuật tìm
giới hạn của các bài toán dạng này.
Hiện nay, các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số cũng
còn rất hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng
học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học
sinh giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn
của dãy số, và những kĩ thuật để tính giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức
truy hồi, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy
cho bởi hệ thức truy hồi”.

Xin chân thành cảm ơn!

Trang 1


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

PHẦN NỘI DUNG
Trong sách giáo khoa ĐS và GT 11 nâng cao (NXBGD 2007 do Đoàn
Quỳnh chủ biên) trang 135, bài tập 7 nguyên văn như sau:
u1  10

“Cho dãy số (un) xác định như sau: 
1

un1  5 un  3, n  1

a) Chứng minh rằng(CMR) dãy số (vn) xác định bởi vn  un 

15
là một cấp
4

số nhân
b) Tính limun”
Qua phân tích và giải quyết bài toán trên, tôi nhận thấy:
- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm limun thì bài toán trở
nên rất khó và lạ đối với học sinh. Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy
cho bởi hệ thức truy hồi
- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định công thức tổng quát
(CTTQ) của dãy (un) nhờ vào việc tìm CTTQ của một cấp số nhân, từ đó áp
dụng các định lí về giới hạn để tính limun
- Khai thác bài toán trên, tôi xây dựng thành một kĩ thuật để tính giới hạn của
dãy truy hồi đó là: “ Kĩ thuật tính giới hạn của dãy truy hồi bằng cách xác
định CTTQ của dãy”.
Ngoài ra, trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi đã tổng hợp và đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của
dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 3 kĩ
thuật cơ bản để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi sau đây:
Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác
định CTTQ của dãy.
Trang 2


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy.
I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách xác định CTTQ của dãy.
Phương pháp xác định CTTQ của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi bài viết này tôi chỉ trình bày kĩ
thuật tìm CTTQ của dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy
đã cho về cấp số cộng(CSC) hoặc cấp số nhân(CSN) hoặc tổng hiệu của các
cấp số cộng, và cấp số nhân. Quay lại bài tập 7 trang 135 sách giáo khoa ĐS
và GT 11 NC
u1  10

Ví dụ 1: “Cho dãy số (un) xác định như sau: 
1
un1  5 un  3, n  1

a) CMR dãy số (vn) xác định bởi vn  un 

15
là một cấp số nhân
4

b) Tính limun”
Giải:
a) Ta có (vn) là CSN  vn1  q.vn ( const ), q  0, n  1 . Thật vậy, ta có

vn1  un1 

15 1
15 1
15 3 1
 un  3   (vn  )   vn . Nên (vn) là một CSN có
4 5
4 5
4
4 5

25
1
25  1 
công bội q  và v1  . Do đó vn  v1.q n1  . 
4
5
4 5

15 1  1 
b) Từ câu a) suy ra un  vn   . 
4 4 5

n 3

Trang 3



n 1

1 1
 . 
4 5

n 3

15
15
. Do đó lim un  .
4
4


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Nhận xét:
1/ Vì sao lại nghĩ ra được phép đổi biến vn  un 

15
để dãy (vn) là một CSN?
4

1
1
Ta thấy un1  un  3 , ta cần tìm số b sao cho un1  b  (un  b)
5
5
1
1
1

15
 un1  b  b  un  un  3  b 
5
5
5
4
Do vậy, nếu đặt vn  un 

15
1
thì vn1  vn , n  1 nên (vn) là một CSN
4
5

2/ Ngoài ra, có thể đặt vn  5n.un , n  1 , khi đó ta có vn1  vn  3.5n1 , n  1 .

15 n
vn 15 5n  1 35 1  1 
Suy ra vn  (5  1)  35  un  n  . n  n   
4
5
4 5
5
45

n 3



15

4

Ví dụ 2: (Bài 4.37 trang 139 sách bài tập ĐS và GT11 NC NXBGD 2007)
u1  3
Cho dãy số (un) xác định bởi 
2un1  un  1, n  1

Đặt Sn = u1 + u2 +… +un , n  1 .
a) CMR dãy số (vn) với vn = un – 1 , n  1 là một CSN lùi vô hạn
b) Tính limSn
Giải:
1
1
1
1
a) Ta có vn1  un1  1  un   1  (un  1)  vn , n  1
2
2
2
2
1
1
Suy ra dãy số (vn) là một CSN lùi vô hạn với công bội q = . Nên vn   
2
2

1
b) Từ câu a) suy ra un  vn  1   
2

n2

 1, n  1

1
1
Suy ra Sn   uk   ( ) k 2  n  4  n   
2
k 1
k 1 2
n

n

n 2

1 
Vậy limSn =lim  4+n-     
 2  


Trang 4

n2

.

n2

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Nhận xét: Có thể tìm CTTQ của dãy (un) bằng phép đổi biến vn  2n.un , n  1
1
1
Ta có vn1  2n1.un1  2n1 ( un  )  vn  2n , n  1  vn1  vn  2n , n  1
2
2

Do đó vn  vn  vn1  vn1  vn2  ....  v2  v1  v1  2n1  2n2  ...  2  6
Hay vn  2(2

n 1

1
 1)  6  2  4  un  1   
2

n2

n

Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách bài tập ĐS và GT 11NC, NXBGD 2007)
u1  1

Cho dãy số (un) xác định bởi 
un  4
u

 n1 u  6 , n  1

n


a) CMR un  4, n  1
b) CMR dãy (vn) với vn 

un  1
là một CSN. Tính limun
un  4

Giải:
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un  4, n  1 .
Khi n = 1 ta có u1  1  4
Giả sử uk  4, k  1 , ta chứng minh uk 1  4 . Thật vậy, giả sử ngược lại

uk 1  4 , khi đó

uk  4
 4  uk  4  4uk  24  uk  4 , trái với giả
uk  6

thiết quy nạp. Vậy un  4, n  1
b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi n  1
un  4
1
un1  1 un  6
2(un  1) 2


 vn , n . Vậy (vn) là 1 CSN lùi

Ta có vn1 
un1  4 un  4  4 5(un  4) 5
un  6

2
2
vô hạn với công bội q = . Suy ra vn   
5
5

Trang 5

n


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

n

n

2
2
4.   1
4.   1
5
5
Nên un    n . Do đó lim un  lim   n  1
2
2

1  
1  
5
5
u1  1

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
un1  un  n(n  1) , n  1


Tính limun
Giải:
Ta có un 1  un 

1
1
1
 
 un  un  un 1  un 1  un  2  .....  u2  u1  u1
n(n  1) n n  1

 un 

1
1
1
1
1 1
1

 

 ......    1  2 
n 1 n n  2 n 1
1 2
n

1
n

Do đó limun = lim (2  )  2

u1  1

n
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi 
. Tính limun
1
un1  un    , n  1
2

n

1
Giải: Ta có un 1  un     un  un  un 1  un 1  un 2  .....  u2  u1  u1
2
1
 un   
2

n 1

1
 
2

n2

1
1
n 1
1  ( )n
1
 
2  2 1 
 .....     1 
 
1
2
2
1
2

  1  n1 
Do đó limun = lim  2      2
  2  

Như vậy, nếu xác định được CTTQ của dãy số thì bài toán trở nên quen
thuộc và ta có thể tính được giới hạn của dãy đó một cách dễ dàng dựa vào
các định lí về giới hạn đã được học trong chương trình của sách giáo khoa.

Sau đây là một số bài tập tương tự
Trang 6


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

* Bài tập tham khảo:
u1  5

1/ Cho dãy số (un) xác định bởi 
.Tính limun
2
u

u

6,

n

1
 n1 3 n

ĐS: limSn = -18
u1  3
u
2/ Cho dãy số (un) xác định bởi 
.Tính lim 2nn
2
un1  4un  1, n  1

ĐS: lim

un 2

22 n 3

3/ Cho dãy số (un) xác định bởi un  2  2  ....  2 .Tính lim


n dau can

u1.u2 ....un
2n

(Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)
HD: Tìm được CTTQ của dãy (un) là un  2 cos


2

n 1

, n và lim

u1.u2 ....un 2

2n


4/ Cho dãy số (un) xác định bởi un  2 n. 2  2  ....  2 .Tính limun



n dau can

HD: Từ bài 3 suy ra un  2n. 2  cos


2

n

 2n 1.sin

Trang 7


2n 1

. Do đó limun = 


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

II/ Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp
*Cơ sở lí thuyết:
Cho 3 dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn các điều kiện v n  un  w n , n và
limv n =lmw n  a , khi đó limun = a. (Nguyên lí kẹp)

Kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử dụng nguyên lí
kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Sau đây là một số ví dụ
Ví dụ 1: (Bài 4.4 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 133 NXBGD2007)
1

u

1

4
Cho dãy số (un) xác định bởi 
u  u 2  un , n  1
n
 n1
2
1
4

a) CMR: 0  un  , n
b) CMR:

un 1 3
 , n . Tính limun
un
4

Giải:
1

4

a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được 0  un , n . Ta CM un  , n . Với
n = 1 thì u1 =

1
1
1
đúng. Giả sử uk  , k  1 , ta chứng minh uk 1  . Thật vậy,
4
4
4

1
4

1
4

ta có uk   uk 2  uk và

3
3 1 3
1
1
3
3 1
uk  . 
. Do đó uk 1  uk  uk  uk  
4

4 4 16
4
2
4
16 4

1
4

Vậy 0  un  , n
b) Từ câu a) suy ra

un 1
1 1 1 3
 un     , n
un
2 4 2 4

u u
u
3 3
3
1 3
Do đó ta có 0  un  n . n 1 ...... 2 .u1  . ..... .u1  .  
un 1 un  2
u1
4 4
4
4 4

Trang 8

n 1

, n


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

n 1

1 3
Mà lim .   =0, nên theo nguyên lí kẹp thì limun = 0
4 4
 

Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ của dãy (un) như trong kĩ thuật
1 đã trình bày gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh
giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được giải quyết rất đơn giản.
Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 134 NXBGD2007)
1

u1  2
Cho dãy số (un) xác định bởi 
u  un , n  1
 n1 n  1

a) CMR: un  0 và

un 1 1

 , n
un
2

b) Tính limun
Giải:
Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (un) rất khó khăn, nhưng từ hệ thức
truy hồi ta thấy có thể đánh giá tỉ số

un 1
dễ dàng.
un

a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un  0, n
Từ hệ thức truy hồi ta có

un 1
1
1

 , n  1
un
n 1 2
n

u u
u
1 1
1 1
1

b) Từ câu a) ta có 0  un  n . n 1 ....... 2 .u1  . ..... .    , n  1
un 1 un  2
u1
2 2
2 2 2
n

1
Mà lim   = 0. Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0
2

Ví dụ 3: (Bài 4.11 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 135 NXBGD2007)

u1  10
Cho dãy số (un) xác định bởi 
. Tính limun
un1  un , n  1
Giải:

Trang 9


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (un) thật không đơn giản, nhưng
ta thấy rằng un >1, với mọi n (kiểm tra bằng quy nạp). Hơn nữa theo bất đẳng
thức Cosi, ta có un1  un  1.un 

1  un
.

2

Dấu “=” không xảy ra vì un >1, n , do đó un1 
 un1  1 

1  un
, n
2

un  1
, n (*)
2

Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có
0  un  1 

un1  1 un2  1
u1  1
9


....


, n  1 ,
2
22
2n1 2n1

Hay 1  un  1 

Mà lim(1 

9
, n  1
2n1

9
) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1
2n1

Ví dụ 4: (Bài 4.74 trang 148 sách ĐS và GT 11 NC NXBGD 2007)
u1  a

u 1
Cho dãy số (un) xác định bởi 
. (với – 1 < a < 0)
un1  n
 1, n  1
2

un  1


a) CMR 0  un1  1 

1
a2  1

(un  1), n  1

b) Tính limun
Giải:
Nhận xét rằng – 1 < un < 0, với mọi n (kiểm tra bằng chứng minh quy
nap). Từ đó suy ra 0 < un + 1 < 1 và
Suy ra un1 

un  1
un 2  1

un 2  1 > 1

 1  (un  1)  1  un , n  1 , nên Dãy (un ) là dãy giảm

Do đó 1  un  un1  ....  u1  a  0, n  1

Trang 10


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

 un 2  a 2  un 2  1  a 2  1 
un  1

Nên 0  un1  1 

un 2  1



1

a2  1

1
un 2  1



1
a2  1

(un  1), n  1
2

 1 
 0  un  1 
(un1  1)  
 (un2  1)
2
2
a 1
 a 1 
1

 1 
 ....  

2
 a 1 
 1 
Hay 1  un  


2
 a 1 

n 1

(u1  1), n  1

n 1

.(a  1)  1, n  1

n 1


 1 
Vì 0 
 1  lim (a  1) 
  1  1 .
2


a2  1
 a 1 

1

Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = -1
* Bài tập tham khảo
u1  1


Bài 1: Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
un1  un  n , n  1
2


a) CMR un1  un 

1
, n  1
2n1

b) Tính lim un
(Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)
un  0
Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi  2
un  un  un1 , n  1

1
a) CMR un  , n  1
n
b) Tính lim un
(Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)
Trang 11


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

1


u

0

2
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi 
u  u  1 u 2 , k  0, n  1
k
k
 k 1
n

a) CMR 1 

1
 un  1
n

b) Tính lim un
(Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)

Trang 12


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
* Cơ sở lí thuyết:

- Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có nêu
định lí 4 như sau:
“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”
- Nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un  M , n và tồn tại giới hạn

lim un thì lim un  M ; nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un  m, n và tồn
tại giới hạn lim un thì lim un  m
- Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un  lim un1
n

n

Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho
bởi hệ thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp
tỉnh, các đề thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế.
Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài toán tìm giới hạn
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.

u1  2
Ví dụ 1: Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
. Tính lim un
u

2

u
,

n


1
 n1
n
Giải:
Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên.
Chứng minh dãy ( un ) tăng bằng quy nạp, tức là un1 > un , n  1
Khi n = 1 ta có u2  2  u1  2  2  2  u1
Trang 13


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Giả sử uk 1  uk , khi đó uk  2  2  uk 1  2  uk  uk 1 . Vậy un1 > un , n  1
Nên ( un ) bị chặn dưới bởi

2 . Ta sẽ chứng minh dãy ( un ) bị chặn trên bởi 2

bằng quy nạp, thật vậy
Khi n = 1 ta có u1  2  2
Giả sử uk  2, k  1 , khi đó uk 1  2  uk  2  2  2 .
Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả
sử limun = a, thì a  2 .
Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un1  lim 2  un
 a  1
Hay a  2  a  a 2  a  2  
a  2

Vì a  2 nên a = 2. Vậy lim un  2
Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được CTTQ của dãy (un) là

un  2cos


2n1

, n  1 , tuy nhiên việc xác định CTTQ của (un) không phải là

đơn giản và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên,
bài toán được giải quyết gọn nhẹ.

u1  u2  1
Ví dụ 2: Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
. Tính lim un
u

u

u
,

n

2
 n1
n
n 1
Giải:
Nhận xét: Ta thấy u1  u2  1 , u3  1  1  2  u2 ; u4  u3  u2  2  1  u3 .
Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng.
Ta chứng minh bằng quy nạp, tức là un1  un , n  2

Rõ ràng un  0, n  1. Khi n = 2 ta có u3  2  u2  1
Giả sử uk 1  uk , k  2 . Ta có uk  2  uk 1  uk  uk  uk 1  uk 1 , k  2

Trang 14


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Nên dãy (un) là dãy số dương tăng  un  u1  1, n  1
Hơn nữa, ta thấy n  3, un  un1  un2  un  un  2 un
Hay un 2  4un  un  4(do un  0) . Nên (un) bị chặn trên bởi 4
Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó a  1
Từ hệ thức truy hồi suy ra lim un1  lim un  lim un1
Hay a  a  a  a 2  4a . Do a  1 > 0 nên a = 4
Vậy lim un  4 .
u1  2010
Ví dụ 3: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  2
un  2un .un1  2011  0 , n  1

Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.
(Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)
Giải:
Trước hết ta nhận xét rằng un > 0, với mọi n,
Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0. Giả sử uk  0, k  1 , ta chứng minh uk 1  0
uk 2  2011
0
Từ hệ thức truy hồi suy ra 2uk .uk 1  uk  2011  0  uk 1 
2uk
2

Do đó ta có un1 

un 2  2011 1
2011
 (un 
) . Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
2un
2
un

un 2  2011
2011
un1 
 un .
 2011, n  1.
2un
un

Mặt khác ta có

un1 un 2  2011 1 2011 1 1

 
  1
un
2un 2
2 2un 2 2 2

(vì un  2011, n  1 

2011 2011 1

 )
2un 2 2.2011 2

Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi

2011 , do đó dãy (un) có giới

hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó 0  a  2010
Trang 15


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

un 2  2011
un 2  2011
a 2  2011
 lim un1  lim
a
Và ta có un1 
2un
2un
2a

 a 2  2011  a  2011 . Vậy lim un  2011

u1  30
Ví dụ 4: Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
2

un1  30un  3un  2011, n  1
Tính lim

un1
un

( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Giải:
Nhận xét rằng un  0, n ( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp)
Hơn nữa, ta có un1  30un 2  3un  2011  30un 2  un 2  un , n  1
Nên dãy số ( un ) là dãy tăng. Giả sử dãy ( un ) bị chặn trên, khi đó ( un ) có giới
hạn hữu hạn và ta đặt lim un = a ( a > 0)
Ta có lim un1  lim 30un 2  3un  2011  a  30a 2  3a  2011

 a 2  30a 2  3a  2011  29a 2  3a  2011  0 . Phương trình này vô
nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn. Vậy dãy (un) không bị chặn hay lim un  
un1
30un 2  3un  2011
3 2011
Mặt khác

 30   2
2
un
un
un
un

Do đó lim

un1
3
2011
 30  lim  lim 2  30
un
un
un

u1  1

Ví dụ 5:Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
un 2
 un , n  1
un1 
2010


Tính lim (

u1 u1
u
  .....  n )
u2 u2
un1

( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Trang 16


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Giải:

un 2
 0, n  1(*)
Từ hệ thức truy hồi ta có un1  un 
2010

 un1  un , n  1 ,

do đó dãy (un) là dãy số tăng  un  u1  1  0, n  1
un1  un
un 2
u
1
1

)
Từ (*) suy ra 2010.
hay n  2010( 
un1.un
un1.un
un1
un un1



u1 u1
u
1

1
1
  .....  n  2010( 
)  2010(1 
)
u2 u2
un1
u1 un1
un1

Do đó lim (

u1 u1
u
1
  .....  n )  lim 2010.(1 
)
u2 u2
un1
un1

Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a
(Vì un  1, n  1  a  1 ).

un 2
Từ hệ thức truy hồi suy ra lim un1  lim(
 un )
2010
a2
Hay a 

 a  a  0 (vô lý). Vậy (un) không bị chặn, tức là lim un  
2010

 lim un1   . Vây lim (

u1 u1
u
  .....  n )  2010
u2 u2
un1

0  un  1

Ví dụ 6: Cho dãy số ( un ) thõa mãn 
1
u
(1

u
)

, n  1
n

1
n

4

a) CMR dãy (un) là dãy số tăng

b) Tính limun
Giải:
a) Nhận xét rằng (un) là dãy bị chặn
Hơn nữa 0  un  1  1  un  0 và un1  0, n . Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
un1  (1  un )  2. un1.(1  un )  2.

1
 1, n  un1  un , n . Do đó (un) là
4

dãy số tăng

Trang 17


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử

lim un  a , thì a  0 . Do đó lim un1 (1  un )   lim un1.lim(1  un )  a (1  a ) .
Mặt khác từ giả thiết suy ra, lim un1 (1  un )  
 a2  a 

Vậy limun =

1
1
 a (1  a ) 
4
4

1
1
1
 0  (a  )2  0  a 
4
2
2

1
2

u1  0

Ví dụ 7: Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
(a > 0)
1
a
u

(
u

),

n

1
n


1
n

2
un


Tính limun
Giải:
Nhận xét rằng (un) bị chặn dưới bởi

a.

1
a
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có u2  (u1  )  a .
2
u1

Giả sử uk  a , k  2 , ta chứng minh uk 1  a
Theo bất đắng thức Cosi và giả thiết quy nạp ta có
1
a
a
uk 1  (uk  )  uk .  a . Do đó un  a , n  2 , nên (un) bị chặn
2
uk
uk

dưới bởi

a

Mặt khác, ta có
Do đó

un1 1
a
1
1
 
u

a
,

n

2


mà
n
un
2 2un 2
2un 2 2a

un1 1
a
1 a

 


 1  un1  un , n  1 nên ( un ) là dãy giảm.
un
2 2un 2 2 2a

Vậy dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim un =  , khi đó  > 0
Từ hệ thức truy hồi suy ra

Trang 18


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

1
a
1
a
lim un1  lim (un  )    (  )    a (Do  > 0)
2
un
2


Vậy limun =

a

u0  0


Ví dụ 8: Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
. Tính limun
un
u

,

n

0
 n1 1  u 2
n


Giải:
Nhận xét rằng un > 0 với mọi n. Thật vậy, u0 > 0 và u1 =
Giả sử uk  0, k  uk 1 

u0
0
1  u0 2

uk
un1
1

0

 1, n (vì un 2  0 )

.
Do
đó
2
2
1  uk
un 1  un

 un1  un , n  (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên ( un ) có giới
hạn hữu hạn. Đặt lim un = a, khi đó từ hệ thức truy hồi suy ra
lim un1  lim

un
a
a
 a 3  a  a  a  0 . Vậy lim un  0
2
2
1  un
1 a

u1  1
Ví dụ 9: Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
.
u

1

u
.

u
....
u
,

n

1
1 2
n
 n1
n

1
. Tính limSn
k 1 uk

Đặt Sn  

Giải:
Nhận xét: Dễ thấy un >1, n  1  u1.u2 .....uk 1  1
Ta có un1  un  1  u1.u2 .....un  un  1  un  un  1  0  un1  un , n  1, do
đó ( un ) là dãy số tăng. Giả sử ( un ) là dãy bị chặn trên, khi đó dãy ( un ) có giới
hạn hữu hạn, và ta đặt lim un = a
Ta có a  lim un1  lim(1  u1.u2 ......un1.un )  1  lim(u1.u2 ......un1 ).lim un
Trang 19


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Vì lim(u1.u2 ......un1 )  1  a  1  1.a . Điều này vô lí. Vậy ( un ) không bị chặn
trên tức là lim un  
Mặt khác ta có, uk 1  1  u1.u2 .....uk  uk (u1.u2 .....uk 1  1  1)  uk (uk  1)
1
1
1

 , k  2
uk 1  1 uk (uk  1) uk  1 uk
n
n
1 1
1 1
1
1
1
 Sn       

2
u1 k 2 uk u1 u2  1 un1  1
un1  1
k 1 uk


1



Do đó limSn = lim (2 

1

)2

un1  1

* Bài tập tham khảo
un  1

Bài 1: Cho dãy ( un ) thõa mãn các điều kiện 
.
1
u
(1

u
)

,

n

1
n
 n1
2

(ĐS: lim un 

Tính lim un

1
)
2

u1  0

Bài 2: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
( Với a > 0)
1
a
u

(2
u

),

n

1
n

1
n
2

3
un


(ĐS: lim un 

Tính lim un

3

a)

u1  3

Bài 3: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
1 2
u

un  un  2, n  1
n

1

2
n

1
n
k 1 uk

Tính lim 

(ĐS: 1)

(Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010)
u1  2
Bài 4: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
2
un1  un  un  1, n  1
n

1
n
k 1 uk

Tính lim 

(Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2004 - 2005)

Trang 20


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

1

u

1

2
Bài 5: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
2
u  un  4un  un , n  1

 n1
2
n

1
có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó
2
n
k 1 uk

Chứng minh rằng dãy yn  lim 
(VMO 2009)

(ĐS:limyn= 6)

u1  a  1
Bài 6: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
2
un1  un , n  1
n

uk
n
k 1 uk 1  1

Tính lim 

(Tạp chí THTT tháng 10/2010)

ĐS:

1
a

u1  a  1

Bài 7: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
un 2  un  1
, n  1
un1 
u
n

n

1
n
k 1 uk  1

Tính lim 

2

(Tạp chí THTT tháng 10/2010)

u1  2009
Bài 8: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
2
un1  un ( un  1) , n  1
n

Tính lim 
n

k 1

1
uk  1

(Tạp chí THTT tháng 10/2010)

n

(ĐS: lim 
n

k 1

1
uk  1



u1  2

Bài 9: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
1 2
un1  2 ( un  1), n  1
n

1
n
k 1 uk  1

Tính lim 

(Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Trang 21

1
)
2009


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

u1  8

Bài 10: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
1 2
un1  3 ( un  7un  25), n  1
n

1
n
k 1 uk  2

Tính lim 

(Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Trang 22


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

PHẦN KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tự tìm tòi, nghiên
cứu, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp
trường và cấp tỉnh ở cả hai khối 11 và khối 12 trong năm học 2010 – 2011.
Qua một năm triển khai thực hiện đề tài này, tôi thấy tính hiệu quả của đề tài
rất cao, có thể áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho
những năm tiếp theo. Trong năm học tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung
để đề tài này được hoàn thiện hơn, đáp ứng được nhu cầu bồi dưỡng cho học
sinh để dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết quả.
Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để
đề tài này hoàn thiện hơn, và có thể triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi cho những năm tiếp theo trong Nhà trường đạt hiệu quả cao.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành
của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề
tài của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!

Duyệt của Hội đồng chuyên môn nhà trường:

………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Trang 23


Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
…
Duyệt của Hội đồng chuyên môn cấp trên:

………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

Trang 24