SKKN Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
PHẦN MỞ ĐẦU
Bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng
bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Bài toán này thường xuất hiện trong các
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và
quốc tế. Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 nâng cao và bồi
dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số kĩ thuật tìm
giới hạn của các bài toán dạng này.
Hiện nay, các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số cũng
còn rất hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng
học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học
sinh giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn
của dãy số, và những kĩ thuật để tính giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức
truy hồi, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy
cho bởi hệ thức truy hồi”.
Xin chân thành cảm ơn!

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
PHẦN NỘI DUNG
Trong sách giáo khoa ĐS và GT 11 nâng cao (NXBGD 2007 do Đoàn
Quỳnh chủ biên) trang 135, bài tập 7 nguyên văn như sau:
“Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:
1
1
10
1
3, 1
5
n n

u
u u n
+
=



= + ∀ ≥


a) Chứng minh rằng(CMR) dãy số (v
n
) xác định bởi
15
4
n n
v u= −
là một cấp số
nhân
b) Tính limu
n
”
Qua phân tích và giải quyết bài toán trên, tôi nhận thấy:
- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm limu
n
thì bài toán trở
nên rất khó và lạ đối với học sinh. Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy
cho bởi hệ thức truy hồi
- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định công thức tổng quát
(CTTQ) của dãy (u

n
) nhờ vào việc tìm CTTQ của một cấp số nhân, từ đó áp
dụng các định lí về giới hạn để tính limu
n
- Khai thác bài toán trên, tôi xây dựng thành một kĩ thuật để tính giới hạn của
dãy truy hồi đó là: “ Kĩ thuật tính giới hạn của dãy truy hồi bằng cách xác
định CTTQ của dãy”.
Ngoài ra, trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi đã tổng hợp và đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của
dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 3 kĩ
thuật cơ bản để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi sau đây:

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác
định CTTQ của dãy.
Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy.
I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách xác định CTTQ của dãy.
Phương pháp xác định CTTQ của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi bài viết này tôi chỉ trình bày kĩ
thuật tìm CTTQ của dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy
đã cho về cấp số cộng(CSC) hoặc cấp số nhân(CSN) hoặc tổng hiệu của các
cấp số cộng, và cấp số nhân. Quay lại bài tập 7 trang 135 sách giáo khoa ĐS
và GT 11 NC
Ví dụ 1: “Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:

1
1
10
1
3, 1
5
n n
u
u u n
+
=



= + ∀ ≥


a) CMR dãy số (v
n
) xác định bởi
15
4
n n
v u= −
là một cấp số nhân
b) Tính limu
n
”
Giải:
a) Ta có (v

n
) là CSN
1
. ( ), 0, 1
n n
v q v const q n
+
⇔ = = ≠ ∀ ≥
. Thật vậy, ta có
1 1
15 1 15 1 15 3 1
3 ( )
4 5 4 5 4 4 5
n n n n n
v u u v v
+ +
= − = + − = + − =
. Nên (v
n
) là một CSN có

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
công bội
1
5
q =
và v
1

25

4
=
. Do đó
1 3
1
1
25 1 1 1
. . .
4 5 4 5
n n
n
n
v v q
− −
−
   
= = =
 ÷  ÷
   
b) Từ câu a) suy ra
3
15 1 1 15
.
4 4 5 4
n
n n
u v
−
 
= + = +

 ÷
 
. Do đó
15
lim
4
n
u =
.
Nhận xét:
1/ Vì sao lại nghĩ ra được phép đổi biến
15
4
n n
v u= −
để dãy (v
n
) là một CSN?
Ta thấy
1
1
3
5
n n
u u
+
= +
, ta cần tìm số b sao cho
1
1

( )
5
n n
u b u b
+
− = −
1
1 1 1 15
3
5 5 5 4
n n n
u b b u u b
+
⇒ = − + = + ⇒ =
Do vậy, nếu đặt
15
4
n n
v u= −
thì
1
1
, 1
5
n n
v v n
+
= ∀ ≥
nên (v
n

) là một CSN
2/ Ngoài ra, có thể đặt
5 . , 1
n
n n
v u n= ∀ ≥
, khi đó ta có
1
1
3.5 , 1
n
n n
v v n
+
+
− = ∀ ≥
.
Suy ra
3
15 15 5 1 35 1 1 15
(5 1) 35 .
4 5 4 5 5 4 5 4
n
n
n
n
n n
n n n
v
v u

−
−
 
= − + ⇒ = = + = +
 ÷
 
Ví dụ 2: (Bài 4.37 trang 139 sách bài tập ĐS và GT11 NC NXBGD 2007)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
3
2 1, 1
n n
u
u u n
+
=


= + ∀ ≥

Đặt S
n
= u
1
+ u
2
+… +u

n
,
1n ≥
.
a) CMR dãy số (v
n
) với v
n
= u
n
– 1 ,
1n ≥
là một CSN lùi vô hạn
b) Tính limS
n
Giải:
a) Ta có
1 1
1 1 1 1
1 1 ( 1) , 1
2 2 2 2
n n n n n
v u u u v n
+ +
= − = + − = − = ∀ ≥

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Suy ra dãy số (v
n
) là một CSN lùi vô hạn với công bội q =

1
2
. Nên
2
1
2
n
n
v
−
 
=
 ÷
 
b) Từ câu a) suy ra
2
1
1 1, 1
2
n
n n
u v n
−
 
= + = + ∀ ≥
 ÷
 
Suy ra
2
2

1 1
1 1
( ) 4
2 2
n
n n
k
n k
k k
S u n n
−
−
= =
 
= = + = + −
 ÷
 
∑ ∑
.
Vậy
2
n
1
limS =lim 4+n-
2
n−
 
 
= +∞
 

 ÷
 
 
 
Nhận xét: Có thể tìm CTTQ của dãy (u
n
) bằng phép đổi biến
2 . , 1
n
n n
v u n= ∀ ≥
Ta có
1 1
1 1 1
1 1
2 . 2 ( ) 2 , 1 2 , 1
2 2
n n n n
n n n n n n
v u u v n v v n
+ +
+ + +
= = + = + ∀ ≥ ⇒ − = ∀ ≥
Do đó
1 2
1 1 2 2 1 1
2 2 2 6
n n
n n n n n
v v v v v v v v

− −
− − −
= − + − + + − + = + + + +
Hay
2
1
1
2(2 1) 6 2 4 1
2
n
n n
n n
v u
−
−
 
= − + = + ⇒ = +
 ÷
 
Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách bài tập ĐS và GT 11NC, NXBGD 2007)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
1
4
, 1
6
n

n
n
u
u
u n
u
+
=


−

= ∀ ≥

+

a) CMR
4, 1
n
u n≠ − ∀ ≥
b) CMR dãy (v
n
) với
1
4
n
n
n
u
v

u
+
=
+
là một CSN. Tính limu
n
Giải:

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp
4, 1
n
u n≠ − ∀ ≥
.
Khi n = 1 ta có
1
1 4u = ≠ −
Giả sử
4, 1
k
u k≠ − ∀ ≥
, ta chứng minh
1
4
k
u
+
≠ −
. Thật vậy, giả sử ngược lại
1

4
k
u
+
= −
, khi đó
4
4 4 4 24 4
6
k
k k k
k
u
u u u
u
−
= − ⇒ − = − − ⇒ = −
+
, trái với giả
thiết quy nạp. Vậy
4, 1
n
u n≠ − ∀ ≥
b) Từ câu a) suy ra v
n
luôn xác định với mọi
1n∀ ≥
Ta có
1
1

1
4
1
1 6 2( 1) 2
,
4
4 5( 4) 5
4
6
n
n n n
n n
n
n n
n
u
u u u
v v n
u
u u
u
+
+
+
−
+
+ + +
= = = = ∀
−
+ +

+
+
. Vậy (v
n
) là 1 CSN lùi
vô hạn với công bội q =
2
5
. Suy ra
2
5
n
n
v
 
=
 ÷
 

Nên
2
4. 1
5
2
1
5
n
n
n
u

 
−
 ÷
 
=
 
−
 ÷
 
. Do đó
2
4. 1
5
lim lim 1
2
1
5
n
n
n
u
 
−
 ÷
 
= = −
 
−
 ÷
 

Ví dụ 4: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
1
1
, 1
( 1)
n n
u
u u n
n n
+
=



= + ∀ ≥

+

Tính limu
n
Giải:
Ta có
1 1 1 2 2 1 1
1 1 1

( 1) 1

+ − − −
− = = − ⇒ = − + − + + − +
+ +
n n n n n n n
u u u u u u u u u u
n n n n

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

1 1 1 1 1 1 1
1 2
1 2 1 1 2
n
u
n n n n n
⇒ = − + − + + − + = −
− − −
Do đó limu
n
= lim
1
(2 ) 2
n
− =
Ví dụ 5: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
1

1
, 1
2
n
n n
u
u u n
+
=



 
= + ∀ ≥

 ÷
 

. Tính limu
n

Giải: Ta có
1 1 1 2 2 1 1
1

2
n
n n n n n n n
u u u u u u u u u u
+ − − −

 
− = ⇒ = − + − + + − +
 ÷
 

1 2 1 1
1
1 ( )
1 1 1 1
2
1 2
1
2 2 2 2
1
2
n
n n n
n
u
− − −
−
       
⇒ = + + + + = = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
−

Do đó limu
n
= lim

1
1
2 2
2
n−
 
 
− =
 
 ÷
 
 
 
Như vậy, nếu xác định được CTTQ của dãy số thì bài toán trở nên quen
thuộc và ta có thể tính được giới hạn của dãy đó một cách dễ dàng dựa vào
các định lí về giới hạn đã được học trong chương trình của sách giáo khoa.
Sau đây là một số bài tập tương tự
* Bài tập tham khảo:
1/ Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
5
2
6, 1
3
n n
u
u u n

+
= −



= + ∀ ≥


.Tính limu
n
ĐS: limS
n
= -18
2/ Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
3
4 1, 1
n n
u
u u n
+
=


= − ∀ ≥

.Tính lim

2
2
n
n
u

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
ĐS: lim
2
2
2 3
n
n
u
=
3/ Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
= + + +
1 4 44 2 4 4 43
2 2 2
n
n dau can
u
.Tính lim
1 2
.
2
n
n

u u u
(Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)
HD: Tìm được CTTQ của dãy (u
n
) là
1
2cos ,
2
n
n
u n
π
+
= ∀
và lim
1 2
.
2
2
n
n
u u u
π
=
4/ Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
= − + +
1 4 442 4 4 43
2 . 2 2 2

n
n
n dau can
u
.Tính limu
n
HD: Từ bài 3 suy ra
1
1
2 . 2 cos 2 .sin
2 2
n n
n
n n
u
π π
+
+
= − =
. Do đó limu
n
=
π

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
II/ Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp
*Cơ sở lí thuyết:
Cho 3 dãy số (u
n

), (v
n
), (w
n
) thõa mãn các điều kiện
n
v w ,
n n
u n≤ ≤ ∀
và
n
limv =lmw
n
a=
, khi đó limu
n
= a. (Nguyên lí kẹp)
Kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử dụng nguyên lí
kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Sau đây là một số ví dụ
Ví dụ 1: (Bài 4.4 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 133 NXBGD2007)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
2
1
1
4
, 1

2
n
n n
u
u
u u n
+

=




= + ∀ ≥


a) CMR:
1
0 ,
4
≤ ≤ ∀
n
u n
b) CMR:
1
3
,
4
+
≤ ∀

n
n
u
n
u
. Tính limu
n
Giải:
a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được
0 ,≤ ∀
n
u n
. Ta CM
1
,
4
≤ ∀
n
u n
. Với
n = 1 thì u
1
=
1
4
đúng. Giả sử
1
, 1
4
≤ ∀ ≥

k
u k
, ta chứng minh
1
1
4
+
≤
k
u
. Thật vậy,
ta có
2
1 1
4 4
≤ ⇒ ≤
k k k
u u u
và
3 3 1 3
.
4 4 4 16
≤ =
k
u
. Do đó
1
1 1 3 3 1
4 2 4 16 4
+

≤ + = ≤ <
k k k k
u u u u
Vậy
1
0 ,
4
≤ ≤ ∀
n
u n

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
b) Từ câu a) suy ra
1
1 1 1 3
,
2 4 2 4
+
= + ≤ + = ∀
n
n
n
u
u n
u
Do đó ta có
1
1
2
1 1

1 2 1
3 3 3 1 3
0 . . . . . ,
4 4 4 4 4
−
−
− −
 
< = ≤ = ∀
 ÷
 
n
n n
n
n n
u u
u
u u u n
u u u
Mà lim
1
1 3
.
4 4
−
 
 ÷
 
n
=0, nên theo nguyên lí kẹp thì limu

n
= 0
Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ của dãy (u
n
) như trong kĩ thuật
1 đã trình bày gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh
giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được giải quyết rất đơn giản.
Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 134 NXBGD2007)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
1
2
, 1
1
+

=




= ∀ ≥

+

n
n

u
u
u n
n
a) CMR:
0>
n
u
và
1
1
,
2
+
≤ ∀
n
n
u
n
u
b) Tính limu
n
Giải:
Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (u
n
) rất khó khăn, nhưng từ hệ thức
truy hồi ta thấy có thể đánh giá tỉ số
1+n
n
u

u
dễ dàng.
a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được
0,> ∀
n
u n

Từ hệ thức truy hồi ta có
1
1 1
, 1
1 2
+
= ≤ ∀ ≥
+
n
n
u
n
u n
b) Từ câu a) ta có
1
2
1
1 2 1
1 1 1 1 1
0 . . . . , 1
2 2 2 2 2
−
− −

 
< = ≤ = ∀ ≥
 ÷
 
n
n n
n
n n
u u
u
u u n
u u u

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Mà lim
1
2
 
 ÷
 
n
= 0. Nên theo nguyên lí kẹp ta có limu
n
= 0
Ví dụ 3: (Bài 4.11 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 135 NXBGD2007)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1

10
, 1
+
=



= ∀ ≥


n n
u
u u n
. Tính limu
n
Giải:
Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (u
n
) thật không đơn giản, nhưng
ta thấy rằng u
n
>1, với mọi n (kiểm tra bằng quy nạp). Hơn nữa theo bất đẳng
thức Cosi, ta có
1
1
1.
2
+
+
= = ≤

n
n n n
u
u u u
.
Dấu “=” không xảy ra vì u
n
>1,
∀n
, do đó
1
1
,
2
+
+
< ∀
n
n
u
u n

1
1
1 ,
2
+
−
⇒ − < ∀
n

n
u
u n
(*)
Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có
1 2 1
2 1 1
1 1 1 9
0 1 , 1
2 2 2 2
− −
− −
− − −
< − < < < < = ∀ ≥
n n
n
n n
u u u
u n
,
Hay
1
9
1 1 , 1
2
−
< < + ∀ ≥
n
n
u n

Mà lim(
1
9
1
2
−
+
n
) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limu
n
= 1
Ví dụ 4: (Bài 4.74 trang 148 sách ĐS và GT 11 NC NXBGD 2007)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
2
1
1, 1
1
+
=


+

= − ∀ ≥

+


n
n
n
u a
u
u n
u
. (với – 1 < a < 0)

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
a) CMR
1
2
1
0 1 ( 1), 1
1
+
< + ≤ + ∀ ≥
+
n n
u u n
a
b) Tính limu
n
Giải:
Nhận xét rằng – 1 < u
n
< 0, với mọi n (kiểm tra bằng chứng minh quy
nap). Từ đó suy ra 0 < u

n
+ 1 < 1 và
2
1+
n
u
> 1
Suy ra
1
2
1
1 ( 1) 1 , 1
1
+
+
= − < + − = ∀ ≥
+
n
n n n
n
u
u u u n
u
, nên Dãy
( )
n
u
là dãy giảm
Do đó
1 1

1 0, 1
−
− < ≤ ≤ ≤ = < ∀ ≥
n n
u u u a n
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
⇒ ≥ ⇒ + ≥ + ⇒ ≤
+ +
n n
n
u a u a
u a
Nên
1
2 2
1 1
0 1 ( 1), 1
1 1
+
+
< + = ≤ + ∀ ≥
+ +
n
n n
n
u

u u n
u a
2
1 2
2 2
1
1
2
1 1
0 1 ( 1) ( 1)
1 1
1
( 1), 1
1
− −
−
 
⇒ < + ≤ + ≤ +
 ÷
+ +
 
 
≤ ≤ + ∀ ≥
 ÷
+
 
n n n
n
u u u
a a

u n
a
Hay
1
2
1
1 .( 1) 1, 1
1
−
 
− < ≤ + − ∀ ≥
 ÷
+
 
n
n
u a n
a
Vì
1
2 2
1 1
0 1 lim ( 1) 1 1
1 1
−
 
 
 
< < ⇒ + − = −
 ÷

 
+ +
 
 
n
a
a a
.
Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limu
n
= -1

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
* Bài tập tham khảo
Bài 1: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
1
1
, 1
2
+
=



= + ∀ ≥



n n
n
u
u u n
a) CMR
1
1
1
, 1
2
+
+
− < ∀ ≥
n n
n
u u n
b) Tính lim
n
u
(Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)
Bài 2: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
2
1
0
, 1
+
>



≤ − ∀ ≥

n
n n n
u
u u u n
a) CMR
1
, 1< ∀ ≥
n
u n
n
b) Tính lim
n
u
(Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)
Bài 3: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
0
2
1
1
2
1
, 0, 1
+


=




= + ∀ = −


k k k
u
u u u k n
n
a) CMR
1
1 1− < <
n
u
n
b) Tính lim
n
u
(Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
* Cơ sở lí thuyết:
- Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có nêu
định lí 4 như sau:
“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”
- Nếu dãy số (
n
u
) thõa mãn điều kiện
,≤ ∀
n
u M n
và tồn tại giới hạn
lim
n
u
thì
lim ≤
n
u M
; nếu dãy số (
n
u
) thõa mãn điều kiện
,≥ ∀
n
u m n
và tồn
tại giới hạn
lim
n
u
thì
lim ≥

n
u m
- Giả sử dãy số (
n
u
) có giới hạn hữu hạn thì
1
lim lim
+
→+∞ →+∞
=
n n
n n
u u
Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho
bởi hệ thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp
tỉnh, các đề thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế.
Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài toán tìm giới hạn
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
1
1
2
2 , 1
+

=



= + ∀ ≥


n n
u
u u n
. Tính lim
n
u
Giải:
Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số (
n
u
) tăng và bị chặn trên.

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Chứng minh dãy (
n
u
) tăng bằng quy nạp, tức là
1+n
u
>
, 1∀ ≥
n
u n
Khi n = 1 ta có
2 1 1

2 2 2 2= + = + > =u u u
Giả sử
1+
>
k k
u u
, khi đó
2 1 1
2 2
+ + +
= + > + =
k k k k
u u u u
. Vậy
1+n
u
>
, 1∀ ≥
n
u n
Nên (
n
u
) bị chặn dưới bởi
2
. Ta sẽ chứng minh dãy (
n
u
) bị chặn trên bởi 2
bằng quy nạp, thật vậy

Khi n = 1 ta có
1
2 2= <u
Giả sử
2, 1< ∀ ≥
k
u k
, khi đó
1
2 2 2 2
+
= + < + =
k k
u u
.
Vậy dãy số (u
n
) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn, giả
sử limu
n
= a, thì
2≥a
.
Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có
1
lim lim 2
+
= +

n n
u u
Hay
2
1
2 2
2
= −

= + ⇔ = + ⇔

=

a
a a a a
a
Vì
2≥a
nên a = 2. Vậy
lim 2=
n
u
Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được CTTQ của dãy (u
n
) là
1
2cos , 1
2
π
+

= ∀ ≥
n
n
u n
, tuy nhiên việc xác định CTTQ của (u
n
) không phải là
đơn giản và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên,
bài toán được giải quyết gọn nhẹ.
Ví dụ 2: Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
1 2
1 1
1
, 2
+ −
= =



= + ∀ ≥


n n n
u u
u u u n
. Tính lim
n

u
Giải:
Nhận xét: Ta thấy
1 2
1= =u u
,
3 2 4 3 2 3
1 1 2 ; 2 1= + = > = + = + >u u u u u u
.

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Dự đoán dãy số (u
n
) là dãy dương và tăng.
Ta chứng minh bằng quy nạp, tức là
1
, 2
+
> ∀ ≥
n n
u u n
Rõ ràng
0, 1> ∀ ≥
n
u n
. Khi n = 2 ta có
3 2
2 1= > =u u
Giả sử
1

, 2
+
> ∀ ≥
k k
u u k
. Ta có
2 1 1 1
, 2
+ + − +
= + > + = ∀ ≥
k k k k k k
u u u u u u k
Nên dãy (u
n
) là dãy số dương tăng
1
1, 1⇒ ≥ = ∀ ≥
n
u u n
Hơn nữa, ta thấy
1 2
3, 2
− −
∀ ≥ = + < + =
n n n n n n
n u u u u u u
Hay
2
4 4( 0)< ⇒ < >
n n n n

u u u do u
. Nên (u
n
) bị chặn trên bởi 4
Do đó dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limu
n
= a, khi đó
1≥a
Từ hệ thức truy hồi suy ra
1 1
lim lim lim
+ −
= +
n n n
u u u
Hay
2
4= + ⇒ =a a a a a
. Do
1≥a
> 0 nên a = 4
Vậy
lim 4=
n
u
.
Ví dụ 3: Cho dãy số (
n

u
) xác định bởi
1
2
1
2010
2 . 2011 0 , 1
+
=


− + = ∀ ≥

n n n
u
u u u n
Chứng minh rằng dãy (u
n
) có giới hạn và tính giới hạn đó.
(Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)
Giải:
Trước hết ta nhận xét rằng
n
u
> 0, với mọi n,
Thật vậy, ta có u
1
= 2010 >0. Giả sử
0, 1> ∀ ≥
k

u k
, ta chứng minh
1
0
+
>
k
u
Từ hệ thức truy hồi suy ra
2
2
1 1
2011
2 . 2011 0 0
2
+ +
+
= + > ⇒ = >
k
k k k k
k
u
u u u u
u
Do đó ta có
2
1
2011 1 2011
( )
2 2

+
+
= = +
n
n n
n n
u
u u
u u
. Theo bất đẳng thức Cosi, ta có

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
2
1
2011 2011
. 2011, 1
2
+
+
= ≥ = ∀ ≥
n
n n
n n
u
u u n
u u
.
Mặt khác ta có
2
1

2 2
2011 1 2011 1 1
1
2 2 2 2 2
+
+
= = + ≤ + =
n n
n n n
u u
u u u
(vì
2
2011 2011 1
2011, 1
2 2.2011 2
≥ ∀ ≥ ⇒ ≤ =
n
n
u n
u
)
Nên (u
n
) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi
2011
, do đó dãy (u
n
) có giới
hạn hữu hạn. Giả sử limu

n
= a, khi đó
0 2010< ≤a
Và ta có
2 2 2
1 1
2011 2011 2011
lim lim
2 2 2
+ +
+ + +
= ⇒ = ⇒ =
n n
n n
n n
u u a
u u a
u u a
2
2011 2011⇒ = ⇒ =a a
. Vậy
lim 2011=
n
u
Ví dụ 4: Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
1
2

1
30
30 3 2011, 1
+

=


= + + ∀ ≥


n n n
u
u u u n

Tính lim
1+n
n
u
u

( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Giải:
Nhận xét rằng
0,> ∀
n
u n
( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp)
Hơn nữa, ta có
2 2 2

1
30 3 2011 30 , 1
+
= + + > > = ∀ ≥
n n n n n n
u u u u u u n
Nên dãy số (
n
u
) là dãy tăng. Giả sử dãy (
n
u
) bị chặn trên, khi đó (
n
u
) có giới
hạn hữu hạn và ta đặt lim
n
u
= a ( a > 0)
Ta có
2 2
1
lim lim 30 3 2011 30 3 2011
+
= + + ⇒ = + +
n n n
u u u a a a
2 2 2
30 3 2011 29 3 2011 0⇒ = + + ⇒ + + =a a a a a

. Phương trình này vô

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn. Vậy dãy (u
n
) không bị chặn hay
lim = +∞
n
u

Mặt khác
2
1
2 2
30 3 2011 3 2011
30
+
+ +
= = + +
n n n
n n n n
u u u
u u u u
Do đó
1
2
3 2011
lim 30 lim lim 30
+
= + + =

n
n n n
u
u u u
Ví dụ 5:Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
1
2
1
1
, 1
2010
+
=



= + ∀ ≥


n
n n
u
u
u u n

Tính lim
1 1

2 2 1
( )
+
+ + +
n
n
u u u
u u u
( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Giải:
Từ hệ thức truy hồi ta có
2
1 1
0, 1(*) , 1
2010
+ +
− = > ∀ ≥ ⇒ > ∀ ≥
n
n n n n
u
u u n u u n
,
do đó dãy (u
n
) là dãy số tăng
1
1 0, 1⇒ > = > ∀ ≥
n
u u n
Từ (*) suy ra

2
1
1 1
2010.
. .
+
+ +
−
=
n n n
n n n n
u u u
u u u u
hay
1 1
1 1
2010( )
+ +
= −
n
n n n
u
u u u

1 1
2 2 1 1 1 1
1 1 1
2010( ) 2010(1 )
+ + +
⇒ + + + = − = −

n
n n n
u u u
u u u u u u
Do đó lim
1 1
2 2 1 1
1
( ) lim2010.(1 )
+ +
+ + + = −
n
n n
u u u
u u u u
Giả sử (u
n
) bị chặn trên, khi đó dãy (u
n
) có giới hạn hữu hạn, giả sử limu
n
= a
(Vì
1, 1 1> ∀ ≥ ⇒ ≥
n
u n a
).

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Từ hệ thức truy hồi suy ra

2
1
lim lim( )
2010
+
= +
n
n n
u
u u

Hay
2
0
2010
= + ⇒ =
a
a a a
(vô lý). Vậy (u
n
) không bị chặn, tức là
lim = +∞
n
u
1
lim
+
⇒ = +∞
n
u

. Vây lim
1 1
2 2 1
( ) 2010
+
+ + + =
n
n
u u u
u u u
Ví dụ 6: Cho dãy số (
n
u
) thõa mãn
1
0 1
1
(1 ) , 1
4
+
< <



− > ∀ ≥


n
n n
u

u u n
a) CMR dãy (u
n
) là dãy số tăng
b) Tính limu
n
Giải:
a) Nhận xét rằng (u
n
) là dãy bị chặn
Hơn nữa
0 1 1 0< < ⇒ − >
n n
u u
và
1
0,
+
> ∀
n
u n
. Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
1 1 1
1
(1 ) 2. .(1 ) 2. 1, ,
4
+ + +
+ − ≥ − > = ∀ ⇒ > ∀
n n n n n n
u u u u n u u n

. Do đó (u
n
) là
dãy số tăng
b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy (u
n
) có giới hạn hữu hạn. Giả sử
lim =
n
u a
, thì
0≥a
. Do đó
[ ]
1 1
lim (1 ) lim .lim(1 ) (1 )
+ +
− = − = −
n n n n
u u u u a a
.
Mặt khác từ giả thiết suy ra,
[ ]
1
1
lim (1 )
4
+
− ≥
n n

u u
1
(1 )
4
⇒ − ≥a a

2 2
1 1 1
0 ( ) 0
4 2 2
⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ =a a a a
Vậy limu
n
=
1
2

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Ví dụ 7: Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
1
1
0
1
( ), 1
2
+
>




= + ∀ ≥


n n
n
u
a
u u n
u
(a > 0)
Tính limu
n
Giải:
Nhận xét rằng (u
n
) bị chặn dưới bởi
a
.
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có
2 1
1
1
( )
2
= + ≥
a
u u a

u
.
Giả sử
, 2≥ ∀ ≥
k
u a k
, ta chứng minh
1+
≥
k
u a
Theo bất đắng thức Cosi và giả thiết quy nạp ta có
1
1
( ) .
2
+
= + ≥ =
k k k
k k
a a
u u u a
u u
. Do đó
, 2≥ ∀ ≥
n
u a n
, nên (u
n
) bị chặn

dưới bởi
a

Mặt khác, ta có
1
2
1
2 2
+
= +
n
n n
u a
u u
mà
2
1 1
, 2
2 2
≥ ∀ ≥ ⇒ ≤
n
n
u a n
u a
Do đó
1
1
2
1 1
1 , 1

2 2 2 2
+
+
= + ≤ + = ⇒ ≤ ∀ ≥
n
n n
n n
u a a
u u n
u u a
nên (
n
u
) là dãy giảm.
Vậy dãy số (
n
u
) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim
n
u
=
α
, khi đó
α
> 0
Từ hệ thức truy hồi suy ra
1
1 1
lim lim ( ) ( )
2 2

α α α
α
+
= + ⇒ = + ⇒ =
n n
n
a a
u u a
u
(Do
α
> 0)
Vậy limu
n
=
a

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Ví dụ 8: Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
0
1
2
0
, 0
1
+
>




= ∀ ≥

+

n
n
n
u
u
u n
u
. Tính limu
n
Giải:
Nhận xét rằng
n
u
> 0 với mọi n. Thật vậy, u
0
> 0 và u
1
=
0
2
0
0
1

>
+
u
u
Giả sử
1
2
0, 0
1
+
> ∀ ⇒ = >
+
k
k k
k
u
u k u
u
. Do đó
1
2
1
1,
1
+
= < ∀
+
n
n n
u

n
u u
(vì
2
0>
n
u
)
1
, ( )
+
⇒ < ∀ ⇒
n n n
u u n u
là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên (
n
u
) có giới
hạn hữu hạn. Đặt lim
n
u
= a, khi đó từ hệ thức truy hồi suy ra
3
1
2 2
lim lim 0
1 1
+
= ⇒ = ⇒ + = ⇒ =
+ +

n
n
n
u a
u a a a a a
u a
. Vậy
lim 0=
n
u
Ví dụ 9: Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
1
1 1 2
1
1 . , 1
+
=


= + ∀ ≥

n n
u
u u u u n
.
Đặt
1

1
=
=
∑
n
n
k
k
S
u
. Tính limS
n
Giải:
Nhận xét: Dễ thấy
n
u
>1,
1∀ ≥n
1 2 1
. 1
−
⇒ >
k
u u u
Ta có
1 1 2 1
1 . 1 1 0 , 1
+ +
− = + − > + − = > ⇒ > ∀ ≥
n n n n n n n n

u u u u u u u u u u n
, do
đó (
n
u
) là dãy số tăng. Giả sử (
n
u
) là dãy bị chặn trên, khi đó dãy (
n
u
) có giới
hạn hữu hạn, và ta đặt lim
n
u
= a
Ta có
1 1 2 1 1 2 1
lim lim(1 . . ) 1 lim( . ).lim
+ − −
= = + = +
n n n n n
a u u u u u u u u u

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Vì
1 2 1
lim( . ) 1 1 1.
−
≥ ⇒ ≥ +

n
u u u a a
. Điều này vô lí. Vậy (
n
u
) không bị chặn
trên tức là lim
= +∞
n
u
Mặt khác ta có,
1 1 2 1 2 1
1 . ( . 1 1) ( 1)
+ −
− = = + − = −
k k k k k k
u u u u u u u u u u
1
1 1 1 1
, 2
1 ( 1) 1
+
⇒ = = − ∀ ≥
− − −
k k k k k
k
u u u u u
1 2
1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1

2
1 1 1
= =
+ +
⇒ = = + = + − = −
− − −
∑ ∑
n n
n
k k
k k n n
S
u u u u u u u
Do đó limS
n
= lim
1
1
(2 ) 2
1
+
− =
−
n
u
* Bài tập tham khảo
Bài 1: Cho dãy (
n
u
) thõa mãn các điều kiện

1
1
1
(1 ) , 1
2
+
<



− > ∀ ≥


n
n n
u
u u n
.
Tính lim
n
u
(ĐS: lim
1
2
=
n
u
)
Bài 2: Cho dãy (
n

u
) xác định bởi
1
1
2
0
1
(2 ), 1
3
+
>



= + ∀ ≥


n n
n
u
a
u u n
u
( Với a > 0)
Tính lim
n
u
(ĐS: lim
3
=

n
u a
)
Bài 3: Cho dãy (
n
u
) xác định bởi
1
2
1
3
1
2, 1
2
+
=



= − + ∀ ≥


n n n
u
u u u n

Tính
1
1
lim

→+∞
=
∑
n
n
k
k
u
(ĐS: 1)

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
(Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010)
Bài 4: Cho dãy (
n
u
) xác định bởi
1
2
1
2
1, 1
+
=


= − + ∀ ≥

n n n
u
u u u n

Tính
1
1
lim
→+∞
=
∑
n
n
k
k
u
(Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2004 - 2005)
Bài 5: Cho dãy (
n
u
) xác định bởi
1
2
1
1
2
4
, 1
2
+

=




+ +

= ∀ ≥


n n n
n
u
u u u
u n

Chứng minh rằng dãy
2
1
1
lim
→+∞
=
=
∑
n
n
n
k
k
y
u
có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

(VMO 2009) (ĐS:limy
n
= 6)
Bài 6: Cho dãy (
n
u
) xác định bởi
1
2
1
1
, 1
+
= >


= ∀ ≥

n n
u a
u u n

Tính
1
1
lim
1
→+∞
=
+

−
∑
n
k
n
k
k
u
u
(Tạp chí THTT tháng 10/2010) ĐS:
1
a
Bài 7: Cho dãy (
n
u
) xác định bởi
1
2
1
1
1
, 1
+
= >


+ −

= ∀ ≥



n n
n
n
u a
u u
u n
u

Tính
2
1
1
lim
1
→+∞
=
−
∑
n
n
k
k
u
(Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Bài 8: Cho dãy (
n
u

) xác định bởi
1
2
1
2009
( 1) , 1
+
=



= + ∀ ≥


n n n
u
u u u n

Tính
1
1
lim
1
→+∞
=
+
∑
n
n
k

k
u

(Tạp chí THTT tháng 10/2010) (ĐS:
1
1 1
lim
1 2009
→+∞
=
=
+
∑
n
n
k
k
u
)
Bài 9: Cho dãy (
n
u
) xác định bởi
1
2
1
2
1
( 1), 1
2

+
=



= + ∀ ≥


n n
u
u u n

Tính
1
1
lim
1
→+∞
=
+
∑
n
n
k
k
u
(Tạp chí THTT tháng 10/2010)
Bài 10: Cho dãy (
n
u

) xác định bởi
1
2
1
8
1
( 7 25), 1
3
+
=



= − + ∀ ≥


n n n
u
u u u n

Tính
1
1
lim
2
→+∞
=
−
∑
n

n
k
k
u
(Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
PHẦN KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tự tìm tòi, nghiên
cứu, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp
trường và cấp tỉnh ở cả hai khối 11 và khối 12 trong năm học 2010 – 2011.
Qua một năm triển khai thực hiện đề tài này, tôi thấy tính hiệu quả của đề tài
rất cao, có thể áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho
những năm tiếp theo. Trong năm học tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung
để đề tài này được hoàn thiện hơn, đáp ứng được nhu cầu bồi dưỡng cho học
sinh để dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết quả.
Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để
đề tài này hoàn thiện hơn, và có thể triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi cho những năm tiếp theo trong Nhà trường đạt hiệu quả cao.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành
của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề
tài của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011.