CHỦ ĐỀ : TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

CHỦ ĐỀ : TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

I. NỘI DUNG CHỦ ĐỀ VÀ PHÂN PHỐI THỜI LƯỢNG
1. Tên chủ đề: ‘Tích vô hướng của hai vectơ’’
2. Tác giả:

…………………

Giáo viên …………………………..
3. Nội dung chi tiết của chủ đề
Căn cứ vào lượng kiến thức, phương pháp tổ chức dạy học theo chủ đề, trình độ nhận thức của
học sinh ở trường chúng tôi thiết kế thời lượng cho chủ đề như sau :
- Thời gian học ở nhà: một tuần nghiên cứu tài liệu về “ Tích vô hướng của hai véctơ’’
- Số tiết học trên lớp hai tiết nghiên cứu các nội dung 1, 2, 3, 4.

Tiết

Nội dung của chủ đề

1

Nội dung 1 : Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
Nội dung 2: Tính chất của tích vô hướng
Nội dung 3: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

2

Nội dung 4: Ứng dụng của tích vô hướng

II. MỤC TIÊU CHỦ ĐỀ
Sau khi học xong chủ đề này HS phải nắm được:

1. Kiến thức:
- HS hiểu được khái niệm góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ, ý nghĩa vật lý của tích vô
hướng và biểu thức toạ độ của tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng
2. Kỹ năng:
- HS biết tính tích vô hướng của hai vectơ theo định nghĩa; biết dùng định nghĩa, các tính chất và biểu
thức tọa độ của tích vô hướng để tính tích vô hướng của hai vectơ.
- Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay về độ dài, chứng minh hai vectơ vuông góc hay
thiết lập điều kiện vuông góc của hai vectơ (hai đường thẳng).

1


- Hình thành một số kĩ năng khác: Thu thập và xử lí thông tin; học tập cá nhân và làm việc nhóm;
thuyết trình trước đám đông; tìm kiếm thông tin và liên hệ với kiến thức thực tế.
3.Về tư duy: Cẩn thận, chính xác, biết quy lạ về quen.
4. Về thái độ:
- Tích cực tham gia xây dựng bài học, tham gia hoạt động nhóm.
- Cẩn thận trong tính toán.
- Nâng cao hứng thú học tập bộ môn
- Biết đựơc toán học có ứng dụng trong thực tiễn.
- Nghiêm túc, tích cực, chủ động, sáng tạo, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm.
- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn.
III. CÁC NĂNG LỰC CÓ THỂ HƯỚNG TỚI TRONG CHỦ ĐỀ
1. Năng lực nhận biết phát hiện và giải quyết vấn đề : dựa trên hiểu biết về định nghĩa tích vô hướng
và các ứng dụng. Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách
giải quyết các tình huống trong giờ học.
2. Thu nhận và xử lí thông tin: làm các bài tập liên quan đến tính tích vô hướng của hai vectơ, xác
định góc giữa hai vectơ,….Làm các báo cáo mà giáo viên giao cho làm trước tại nhà .Tìm kiếm thông
tin trên mạng internet.
3. Năng lực tư duy logic : thông qua việc tìm phương pháp giải các bài toán mà giáo viên yêu cầu.

4. Năng lực giải quyết tình huống có vấn đề : thông qua các toán thực tế.
5. Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải
quyêt bài tập và các tình huống.
6. Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.
7. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
8. Năng lực sử dụng công nghệ thông tin : thông qua các hoạt động tìm kiếm thông tin trên mạng
internet, thiết kế bài báo cáo power point.
9. Năng lực thuyết trình, báo cáo: Học sinh có điều kiện phát huy khả năng báo cáo, khả năng thuyết
trình trước tập thể.
10. Năng lực tính toán.
IV. BẢNG MÔ TẢ CÁC MỨC YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƯỢC

2


Nội dung
Nhận biết
Công thức tính
tích vô hướng
của hai vectơ

1. Định nghĩa
tích vô hướng
của hai vectơ
2. Tính chất của
tích vô hướng
3. Biểu thức tọa
độ của tích vô
hướng

Các tính chất của
tích vô hướng
Biểu thức tọa độ
của tích vô
hướng

4. Ứng dụng

Công thức tính
độ dài của vectơ,
khoảng cách
giữa hai điểm

MỨC ĐỘ NHẬN THỨC
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Tính tính tích vô
Chứng minh
hướng của hai
đẳng thức về tích
vectơ, góc giữa
vô hướng
hai vectơ

Vận dụng cao

Chứng minh hai
vectơ vuông góc

Chứng minh hai

vectơ vuông góc
Tính độ dài các
cạnh của tam
giác

Tìm tọa độ của
điểm thỏa mãn
điều kiên cho
trước

-Bài toán về cực
trị
-Các bài toán
liên quan thực tế

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

Tiết 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I. Hoạt động khởi động ( 7 phút)
1) Mục đích: Tạo sự tò mò, gây hứng thú cho học sinh về “Tích vô hướng hai vec tơ” . Hình thành
dự đoán ban đầu về tích vô hướng hai vectơ.
2)Nội dung: Chia nhóm:
Nhóm
Nội dung hoạt động
Nhóm 1
+)Nêu cách xác định góc giữa hai véctơ.
+)Góc của hai véctơ có phải là góc giữa hai giá của vectơ ko?
Nhóm 2

+)Giáo viên kiểm tra các phép toán của véctơ học sinh đã biết và đặt vấn đề

phép nhân hai véctơ cho kết có là một vectơ?

Nhóm 3

+)Một con ngựa kéo xe chuyển động đều với lực kéo là 600N trên quãng đường
100m. Hỏi công con ngựa đã thực hiện là bao nhiêu?
ur
F
α
+)Một vật chuyển động trên sàn nhờ lực
kéo F=600N, (hình vẽ). Tính công của lực tác dụng lên vật trên quãng đường
100m?

3


3) Cách thức: Các nhóm trình bày ra bảng phụ
4) Sản phẩm: Học sinh đặt ra câu hỏi:
+)Vậy tích của hai vectơ cho kết quả là số hay vectơ?
+)Còn cách nào xác định, tính góc giữa hai véc tơ nữa không?
Học sinh đưa ra dự đoán của mình về tích của hai vectơ, dự đoán về công thức.
II. Hoạt động hình thành kiến thức ( 10 phút )
1)Mục đích:
+ )Phát biểu được định nghĩa về tích vô hướng của hai vec tơ.
+ )Phát biểu các tính chất của tích vô hướng.
+) Phát biểu được biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
2) Nội dung:
+) Thực hiện các nhiệm vụ trong phiếu học tập, nghiên cứu SGK.
+ )Phát biểu các định nghĩa , làm các ví dụ GV yêu cầu.
3) Cách thức:

+) Từ cách tính công của lực giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa tích vô hướng. Giáo
viên giao việc cho các nhóm thực hiện, nhóm thảo luận và trình bày trên bảng từ đó đưa ra biểu thức
tọa độ tích vô hướng.
4)Sản phẩm.
+) Học sinh nhận biết được công thức tính tích vô hướng. Biết tích vô hướng phụ thuộc vào yếu tố
nào.Biết vận dụng linh hoạt các tính chất của tích vô hướng trong giải quyết các bài toán thực tế.

Nội dung hoạt động
1.

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động của GV
ur uuu
r
ur uuu
r
F . AB .cos F , AB
Diễn giải: Biểu thức

(

được gọi là tích vô hướng của hai vectơ

)

Hoạt động của HS
Lắng nghe.

ur

F

4


và

uuu
r
AB.

H1). Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai
r
r
r
a
b
0
vectơ
và (khác vectơ )?
Định nghĩa: Cho hai vectơ
đều
r
r khác vectơ
. Tíchr vô
r hướng của
hiệu

a.b

a

và

b

rr r r
r r
a.b = a . b .cos a, b

( )

r
0

- Ghi nhớ.

là một số ,kí

,được xác định bởi công thức sau:

r r
r r
r r = a . b .cos a, b
a.b

( )
r r
a=0

r r
b = 0.

- Nêu trường hợp đặc biệt:
hoặc
H2) GV yêu cầu họcrsinh nhận
xét
tích vô
r
a
b
hướng khi góc giữa và bằng:
+)nhóm 1: 00
+)nhóm 2: 900
1800.

Các nhóm thảo luận rồi lên trình bày bảng
phụ.(kết quả mong đợi)
rr r r
r r
a.b = a . b .cos 0° = a . b

rr r r
a.b = a . b .cos 90° = 0

+)nhóm 3:
Gv nhận xét các kết quả, chốt phần hoạt động
nhóm.
Giáo viên
nêu các chú ý đặc biệt

 
    
a ≠ 0, b ≠ 0 : a.b = 0 ⇔ a ⊥ b

rr r r
r r
a.b = a . b .cos180° = − a . b

+)

2
a2 = a

Học sinh chú ý lắng nghe- ghi chép.

+)
r r
b= a

( bình phương vô hướng- khi

)
Chú ý: Bình phương vô hướng bằng bình
phương độ dài .
2. Các tính chất của tích vô hướng.

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

5


H3).Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của
rr
rr
a.b
b.a ?
hai vectơ, hãy so sánh
và

Nhóm nào lên làm đúng và nhanh nhất được
tính điểm :
rr r r
r r
a.b = a . b .cos a, b

( )

rr r r
r r
b.a = b . a .cos a, b

( )

Suy ra
H4)Yêu cầu học sinh phát biểu các tính chất
phép nhân hai số thực. Đặt vấn đề có sự
tương tự với tích vô hướng.

rr rr
a.b = b.a

.
r r r
a, b, c

Với
bất kì và mọi số k, ta có:
r r bar vectơ
r
ab
. = ba
.
(tính chất giao hoán)
r r r
rr r r
a. b ± c = ab ± ac
.

(

)

(Tính chất kết hợp)

r r
rr
(k.a).b = k a.b

( )

r2
r2
r r
a ≥ 0, a = 0 ⇔ a = 0

Gv- Giao việc: Chứng minh các hằng đẳng
thức

(

r r
a+b

)

2

r2
r r r2
= a + 2a.b + b

(

r r
a−b

)

2

r2
r r r2
= a − 2a.b + b

(

r r r r r2 r2
a +b . a −b = a −b

)(

)

.
.

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Hoạt động của GV
- Giáo viên đặt vấn đề : Nếu cho trước tọa độ
của hai vec tơ thì tích vô hướng của hai vectơ
tính như thế nào?
r
r
a = ( a1 ;a 2 ) , b = ( b1; b 2 )

rr
a.b

H5)Cho
. Tính
theo tọa độ của chúng.
GV yêu cầu cả 3 nhóm thảo luận
Gọi nhóm nào xong trước lên trình bày:
GV nêu biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Hoạt động của HS
Các nhóm suy luận để tìm câu trả lời.

Các nhóm cử đại diện lên trình bày

rr
r
r
r
r
a.b = a1.i + a2 . j . b1.i + b2 . j

(

)(

)

r2
rr
r2
= a1b1.i + ( a1b2 + a2b1 ) .i. j + a2b2 . j

6


rr
a.b = a1.b1 + a2 .b 2

= a1.b1 + a2 .b 2

III. Hoạt động luyện tập ( 15 phút)
1) Mục đích: + Tính được tích vô hướng của hai vectơ bằng định nghĩa và bằng biểu thức tọa độ.
+ Chứng minh được các đẳng thức liên quan tới tích vô hướng.
+ Vân dụng được các ứng dụng của tích vô hướng tính được độ dài vectơ, góc giữa hai
vec tơ, khoảng cách giữa hai điểm.
2) Nội dung: + Học sinh làm bài tập
3) Cách thức: + Giáo viên phát phiếu học tập học sinh làm việc nhóm
4) Sản phẩm: Giải được một số dạng toán cơ bản về tích vô hướng: Tính tích vô hướng của hai vectơ
bằng định nghĩa và bằng biểu thức tọa độ, chứng minh được các đẳng thức liên quan tới tích vô hướng,
chứng minh hai vectơ vuông góc.

Nội dung hoạt động
Hoạt động của GV
Phiếu học tập số 1
ur r
m, n
Câu 1 : Cho hai vectơ
. Biểu
thức nào sau đây là tích vô hướng
của hai vectơ đã cho?
ur r

ur r
m.n.cos m, n
A.
B.

C.
D.

( )

ur r
ur r
m.n .cos m, n

( )

ur r
r ur
m . n .cos n, m

( )

ur r
r ur
m . n .sin n, m

Hoạt động của HS
Học sinh thảo luận và các nhóm cử đại diện lên trình
bày
Câu trả lời mong đợi từ học sinh

Phiếu học tập số 1
Câu 1: C
Câu 2 : B
Câu 3:

AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2

⇔ ( AC 2 − BC 2 ) + ( BD 2 − AD 2 ) = 0

( )

Câu 2 : Cho tam giác ABC vuông
tại C có AC=9, CB=5 giá trị của

7


uuur uuuu
r
AB .AC

uuur 2 uuur2
uuur 2 uuur 2
⇔ ( AC − BC ) + ( BD − AD ) = 0
là
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
⇔
AC
−

BC
.
AC
+
BC
+
BD + AD . BD − AD = 0
A.45 B.81
C.0
D.25
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur
⇔ AB. AC + BC + BA. BD + AD = 0
3 :Cho 4 điểm A,B,C,D .CMR
Câu
uuu
r uuur uuur uuur uuur
2
2
2
2 AB. AC + BC − BD − AD = 0
⇔
AB ⊥ CD ⇔ AC + BD = AD + BC
uuuruuur
⇔ AB.DC = 0
⇔ AB ⊥ CD

(

)(

(
(

)

(

) (

)

)

)(

Câu trả lời mong đợi từ học sinh
Phiếu học tập số 2
Câu 1: Cho ∆ABC đều, cạnh a. Khi
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
Câu 1: B
T = AB.AC + BC.BA + CA.CB
đó
có Câu 2: C
giá trị bằng
−3a 2
3a 2

a2 3
A.
B.
C.
2
2
2
D. −

a2 3
2
r
r
a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) .

Câu 2:Cho
Mệnh đề nào sau đây đúng?
rr
a.b = a1a2 + b1b2
A.
rr
a.b = a1b1 − a2b2
B.
rr
a.b = a1b1 + a2b2
C.
rr
a.b = a1b2 + b1a2
D.
.

Câu 3:
Gọi M là trung điểm BC
a 3
Ta có AB=a,AC=BD=
Ta chứng minh

uuur uuur
BK . AC = 0

uuur uuu
r uuuu
r uuu
r 1 uuur
BK = BA + BM = BA + AD
2
uuur uuu
r uuur
AC = AB + AD

uuur uuur uuu
r 1 uuur uuu
r uuur
BK . AC = ( BA + AD).( AB + AD ) = 0
2
uuur uuur
⇒ BK ⊥ AC

Câu 3 : Cho hình chữ nhật ABCD có
a 2

AB=a và AD=
.Gọi
làuurtrung
uuur K u
điểm của AD. CMR
Phiếu học tập số 3

BK ⊥ AC

Học sinh thảo luận và cử đại diện lên trình bày

8

)


Oxy
Câu 1: Trong hệ tọa độ
, cho
r
r
rr
r r
v = ( 2; −1)
u = i +3j
u.v
và
.Tính
.
rr

rr
u.v = −1
u.v = 1
A.
.
B.
.
rr
rr
u.v = ( 2; −3)
u.v = 5 2
C.
.
D.
.
Câu 2 . Cho tam giác ABC có
A ( 1;2) , B ( - 2;6) , C ( 9;8)

.
Tam giác ABC có đặc điểm gì ?
A. Không vuông
B. Vuông tại B
C. Vuông tại C
D. Vuông tại A
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, cho
r
r
r
a = ( 1;3) , b = ( 6;- 2) , c = ( x;1)

.
r r
a^c
a/ Tìm x để
.
r
r r
d
a^d
b/ Tìm tọa độ véctơ để
và

Câu trả lời mong đợi
Câu 1: A
Câu 2 : D
Câu 3:
a) Theo biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai
vevtơ, ta có
r r
a^c
Vậy để
=>
Vậy là giá trị cần tìm.
b) giả sử . yêu cầu bài toán tương đương với tìm
nghiệm của hệ phương trình sau :
Vậy .

rr
b.d = 20

IV. Ứng dụng, tìm tòi mở rộng (13 phút)
1) Mục đích: Vận dụng kiến thức đã học để giải phương trình, bất phương trình
- Hs biết ứng dụng của tích vô hướng trong thưc tế
2)Nội dung: Học sinh đọc và nghiên cứu bài đọc: “ Sử dụng tích vô hướng của hai véctơ trong giải
phương trình, bất phương trình ”
3) Cách thức: + GV cung cấp tài liệu cho học sinh.
+ Học sinh tự đọc bài : “ Sử dụng tích vô hướng của hai véctơ trong giải phương trình,
bất phương trình” thông qua tìm kiếm tài liệu trên internet.

9


+ Học sinh tìm hiểu thêm ứng dụng của tích vô hướng trong giải hệ phương trình, trong
chứng minh bất đẳng thức, trong bài toán tìm GTLN, GTNN.
4) Sản phẩm: Làm được bài tập giải phương trình, bất phương trình bằng cách sử dụng tích vô hướng
+) Ứng dụng tích vô hướng trong bài toán thực tế.
Bài toán.
1)Hai người cùng kéo một vật nặng trượt trên mặt phẳng ngang không ma sát bằng cách như sau: Mỗi
1200

người cầm vào một sợi dây cùng buộc vào vật nặng đó, và hai sợi dây đó hợp với nhau một góc
Người thứ nhất kéo một lực là 100N theo phương ngang, người thứ hai kéo một lực là 120N. Hỏi:

.

a) Hợp lực tạo ra là bao nhiêu?
b) Công hai người thực hiện khi kéo vật chuyển động được 100m?
20 31
(Đáp án: a)

N, b 4000N)

2) Giải thích hiện tượng sau:
Quan sát vị trí của càng xe so với mặt đường
Tại sao người ta lại thiết kế như vậy?

Đáp án:
+) Càng xe gần như song song với mặt đường
+) Trong vật lí ta giải thích được : Khi đó công sinh ra do lực con ngựa tác động vào xe là lớn nhất giúp
con ngựa thấy nhẹ nhất.

10


3) Một người tác động vào xe một lực F để kéo xe chuyển động trên một quãng đường S (Xem trên
hình vẽ và trả lời câu hỏi)

a) Tại sao tư thế người kéo xe phải đổ xuống ?
b) Nếu thay đổi tư thế kéo lực kéo sẽ thay đổi như thế nào
c) Có thể chọn tư thế kéo xe để tạo ra lực kéo lớn nhất không?
(Đáp án:
a) Để góc tạo giữa lực kéo và mặt đường giảm => công tăng.
b) Góc giảm lực kéo tăng và ngược lại.
c) Có: Khi người kéo dây song song mặt đường thì lực kéo lớn nhất)
+) Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ trong giải phương trình, bất phương trình
rr
r r
a.b ≤ a b

r r r r

a ≠ 0, b ≠ 0

Từ biểu thức của định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ ta có (
rr r r
a.b ≤ a b

):

r r
a, b

(1) dấu “=” xảy ra khi và chi khi
r r
rr
− a b ≤ a.b

cùng hướng
r r
a, b

(2) dấu “=” xảy ra khi và chi khi
Hoạt động của GV
Bài toán 1. Giải phương trình

x x +1 + 3 − x = 2 x +1

ngược hướng
Hoạt động của HS

Lời giải:

−1 ≤ x ≤ 3

2

Điều kiện xác định:
r
r
a = ( x;1) , b = x + 1; 3 − x
Đặt
Khi đó

(

)

rr
r r
a.b = x x + 1 + 3 − x , | a | . | b |= 2 x 2 + 1
rr r r
r r
x x + 1 + 3 − x = 2 x 2 + 1 ⇔ a.b = a . b ⇔ a, b

Ta có

cùng hướng

11

x
x +1
 2 x +1
2
 =
x =
 x ( 3 − x ) = x + 1
⇔ 1
3− x ⇔ 
3− x ⇔ 
0 < x < 3
0 < x < 3
0 < x < 3

 x3 − 3x 2 + x + 1 = 0
⇔
0 < x < 3
( x − 1)( x 2 − 2 x − 1) = 0
⇔
0 < x < 3
 x = 1

x = 1
 x = 1+ 2
⇔  
⇔
x = 1+ 2
 x = 1 − 2
0 < x < 3


Vậy phương tình có nghiệm là
Lời giải
x ≥1
2
Điều
kiện
xác
định
:
x − 1 + x − 3 ≥ 2( x − 3) + 2 x − 2
r
r
a = x − 1; x − 3 , b = ( 1;1)

x = 1

x = 1+ 2

Bài toán 2. Giải bất phương
trình

Đặt

(

)

rr
r r

a.b = x − 1 + x − 3, | a | . | b |= 2( x − 3) 2 + 2 x − 2

Khi đó
x − 1 + x − 3 ≤ 2( x − 3) 2 + 2 x − 2

Theo (1) ta được:
,
Suy ra bất phương trình đã cho chỉ có thể lấy dấu đẳng thức và ta
 x − 1 = x − 3
⇔ x =5

 x ≥ 3
được
x=5
Vậy bất phương trình có nghiệm là

Yêu cầu về nhà:
Bài 1: Giải bất phương trình sau
x + 1 + 49 − x ≤ 10

12


Hd: Xét

y = x −1 + 2 3 − x
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số :

r
a = ( x − 1; 3 − x )

Hd: Xét

r
b = (1;2)
,

max y = 10
Đ/s
Bài 3. CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức :

ab + cd ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )

Hd: 

; 
.
u = ( a , c ) v = ( b, d )

Bài 4. Giả sử hệ

Hd: Xét

 x + xy + y = 3
 2
 y + yz + z 2 = 16
2


x 3
u = (y + ;

x)
2 2

2

,

có nghiệm . CMR: xy + yz + zx


3
z
v =(
z; y + )
2
2

13

≤8


Tiết 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ( Tiếp)
4.Ứng dụng tích vô hướng của hai véc tơ.
I. Hoạt động khởi động ( 7 phút)
1) Mục đích: Tạo sự tò mò, gây hứng thú cho học sinh về “Ứng dụng của tích vô hướng hai vectơ” .
Hình thành dự đoán ban đầu về các công thức tính.
2) Nội dung: Chia nhóm và giao việc cho các nhóm.
Nhóm
Nhóm 1

r
a = (a1 ; a2 )

r
a

Giao việc

. Tính | |2, từ đó suy ra công thức tính độ dài của vectơ

Với
r vectơ
a
.

r
a = (a1 ; a2 )

Nhóm 2
Từ định
r r nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
cos(a, b)
Nhóm 3

A( x A ; y A )
Cho hai điểm

r
b = (b1 ; b 2 )

và

B( xB ; y B )
và

. Tính độ dài của vectơ

hãy tính

uuu
r
AB

.

3) Cách thức: Các nhóm trình bày ra bảng phụ
4) Sản phẩm: học sinh biết được các ứng dụng của tích vô hướng
Học sinh đưa ra dự đoán của về các công thức liên quan.
II. Hoạt động hình thành kiến thức ( 10 phút)
1) Mục đích:
+ )Chứng minh được các ứng dụng của tích vô hướng.
2) Nội dung:
+) Thực hiện các nhiệm vụ trong phiếu học tập, nghiên cứu SGK.
+ ) Làm các ví dụ GV yêu cầu.
3) Cách thức:
+) Từ các kết quả các nhóm trình bày, yêu cầu học sinh đưa ra các công thức tính: độ dài của véc
tơ, góc giữa hai véc tơ, công thức khoảng cách giữa hai điểm.

14

Nhóm 1
Giao
việc

Kết
quả

r
a = (a1 ; a2 )
Với vectơ
.
r
a
Tính | |2, từ đó suy ra
công thức tính độ dài của
r
a
vectơ .
uu
r2 r 2 r r
| a | = a = a.a
= a1a1 + a2 a2 = a12 + a2 2
r
a = a12 + a2 2

GV
chốt

Độ dài của vectơ

r
a = (a1 ; a2 )

được tính theo
r
a = a12 + a2 2

Nhóm 2

Nhóm 3

Từ định nghĩa tích vô hướng

r
a = (a1 ; a2 )

của hai vectơ

Cho hai điểm
và

B( xB ; y B )

)

uuu
r
AB

r
r ur r ur
b = (b1; b 2 ) a ≠ 0, b ≠ 0,
(

r r
cos(a, b)

A( xA ; y A )

vectơ

và

. Tính độ dài của
.

hãy tính

urr
r r
a.b
cos(a, b) = r r
a.b
=

a1b1 + a2b2

|=

AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2

a12 + a2 2 . b12 + b2 2

urr
r r
a.b
cos(a, b) = r r
a.b
=

|

uuu
r
AB

a1b1 + a2b2
a12 + a2 2 . b12 + b2 2

Khoảng cách giữa hai điểm
A( x A ; y A )

B( xB ; y B )

và
tính theo công thức:

được

AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2

công thức:

4) Sản phẩm: Học sinh nhận biết được cách tính độ dài của vectơ, tính được góc giữa hai vectơ, tính
được khoảng cách giữa hai điểm.Vận dung linh hoạt các công thức trong tính toán các bài tập GV giao.
III) Luyện tập ( 13 phút )
1) Mục đích: + Vân dụng được các ứng dụng của tích vô hướng tính được độ dài vec tơ, góc giữa hai
vec tơ, khoảng cách giữa hai điểm.
2) Nội dung: + Học sinh làm bài tập.
3) Cách thức: + Giáo viên giao bài tập.
4) Sản phẩm: Giải được một số dạng toán cơ và tính được độ dài vec tơ, góc giữa hai vec tơ, khoảng
cách giữa hai điểm.
Nội dung hoạt động
Hoạt động GV
Câu 1: Cho tam giác ABC có A(1,3); B(5;-4);

Hoạt động của HS(hoạt động cá nhân)
Đáp án: B

15


C(-3,-2). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của
tam giác ABC. Tọa độ I là:

Câu 2:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Tìm tất cả các
điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ điểm

Đáp án :B

2 5
đó đến điểm N(-1;4) bằng
A. M(1;0)
B. M(1;0),M(-3;0)
C. M(3;0)
D. M(1;0) , M(3;0)
4. Ứng dụng, tìm tòi mở rộng ( 15 phút )
1) Mục đích: Vận dụng kiến thức đã học để giải thích một số hiện tượng vật lý và các bài toán liên
quan
2)Nội dung: Yêu cầu HS tìm các dạng bài tập có ứng dụng tích vô hướng; các nghiên cứu mở rộng
tích vô hướng.

3) Cách thức: + GV cung cấp tài liệu cho học sinh;
+ Học sinh tự tìm tài liệu trên internet.
+) Học sinh hoạt động nhóm.
4)Sản phẩm: Làm bài tập trong phần cuối tài liệu.
Nội dung hoạt động
Hoạt động của GV
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình
vuông ABCD có A(1;-1) và B(3;0). Tìm tọa độ
điểm D, biết D có tung độ âm
A. D(0;-1)
B. D(2;-3)
C. D(3;-3)
D. D(-2;-3)

Hoạt động của HS
Học sinh thảo luận cử đại diện lên trình bày

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ

Câu 2. D

r
u (4;1)

r
v(1; 4)

và

tạo với

r r r . Tìm m để vec tơ
b=i+ j
450
một góc

−
A. m=4

r
r r
a = mu + v

Câu 1. B

B. m=

1
2

16


1
2

−

1
4

C. m=
D. m=
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm

A(1; −1)

Câu 3 . C

B(3;2)

và
. Tìm M thuộc trục tung sao
cho MA2+MB2 nhỏ nhất.

A.M(0;1)

B.M(0; −1)

1
C.M(0; )
2

1
D.M(0; − )
2

Bài tập củng cố
A ( 1;1)

Oxy
Câu 1 : Trên mặt phẳng tọa độ
M
điểm
là
( 0;1)
A.
.
( 1; −1)
C.
.
Câu 2: Cho tam giác
ABC
.
H ( −3; 2 )
A.
.

H ( 3; 2 )
C.
.

ABC

, cho

B ( 2; −2 )
,

M ∈ Oy
,

MA = MB

và

. Khi đó tọa độ

( −1;1)
B.

.

( 0; −1)
D.

.

A ( 5;3)
có

B ( 2; − 1)
,

C ( −1;5 )
,

. Tìm tọa độ trực tâm

H

của tam giác

H ( −3; − 2 )
B.

.

H ( 3; − 2 )
D.

.

Oxy,

ABC

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ

cho tam giác
H ( a; b )
a + 6b.
là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính
a + 6b = 5
a + 6b = 6
A.
.
B.
.
a + 6b = 7
a + 6b = 8
C.
.
D.
.

17

A ( −3;0 )
có

B ( 3;0 )
,

C ( 2;6 ) .
và

Gọi

A ( 2; −1)

Oxy

B ( −2;1)

Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ
, cho hai điểm
ABM
M
sao cho tam giác
vuông tại
.
M

A.
C.

(

5;0

và

)

M

.

M − 5; 0

(

)

B.

. Tìm điểm

(

3; 0

(

)

D.

A ( 2;3)

Oxy

Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ
ABC
C
vuông tại
có tọa độ là
C ( 3;0 )

A.
.
C ( −1; 0 )
C.
.

, cho

B ( −2;1)
,

. Điểm

C

(

M − 3;0

và

M − 5; 0

.

M

)

M

và

(

thuộc tia

5; 0

Ox

)

)

thuộc tia

Ox

.
.

sao cho tam giác

C ( −3;0 )
B.

.

C ( 2;0 )

D.

.

BTVN
ABC

Câu 1: Cho tam giác

a) Chứng minh tam giác

A ( 1; 2) , B ( - 2; 6) , C ( 9; 8)
có

ABC

b) Tính góc B của tam giác

.
vuông tại A.

cosB =

ABC .

1
5

Đ/s

æ1 32ö
Hç
; ÷
÷
ç
÷
è5 5 ø
c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC.

Câu 2: Cho hình thoi

ABCD

Đ/s

I ( 1;1)
có tâm

A ( 3;2)
, đỉnh

và đỉnh B nằm trên trục hoành. Tìm tọa độ

B ( 0;3) , C ( - 1;0) , D ( 2;- 1)

các đỉnh còn lại của hình thoi.

(Đ/s

A(3;4), B(2;1)

Câu 3: Cho ba điểm

·
AMB
= 450

)

C (- 1;- 2)

và

. Tìm điểm M trên đường thẳng BC để góc

M ( 5; 4)
(Đ/s

)

18