Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN
BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CẤP
BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN
HỌC


HàNội - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN
BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CẤP
BỐN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mãsố: 9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN
HỌC

NGƯỜI
HƯỚNG DẪN
KHOA HỌC


1. GS.
TS. Đặng
Quang Á
2. TS.
Vũ
Vinh
Quan
g

HàNội – 2019

LI CAM

OAN

Tổi xin cam oan Ơy l cổng trnh nghiản cứu ca tổi vợi sỹ hữợng dÔn
khoa hồc ca GS. TS. ng Quang v TS. Vụ Vinh Quang. Nhng kt quÊ trnh
b y trong Lun Ăn l mợi, trung thỹc v chữa tng ữổc cổng b trong bĐt ký cổng

trnh ca ai khĂc. CĂc kt quÊ thỹc nghiằm  ữổc kim tra bng cĂc chữỡng tr
nh do chnh tổi thit k v thò nghiằm trản mổi trữớng MATLAB, s liằu l ho n
to n trung thỹc. CĂc kt quÊ ữổc cổng b chung  ữổc cĂn b hữợng dÔn v ỗng
tĂc giÊ cho php sò dửng trong Lun Ăn.
Nghiản cứu sinh
Nguyn Thanh Hữớng

i


LIC MèN

Trữợc ht, em xin b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc nhĐt tợi cĂc Thy
hữợng dÔn, GS. TS. ng Quang v TS. Vụ Vinh Quang. Trong sut quĂ trnh
hồc tp, nghiản cứu v thỹc hiằn Lun Ăn, cĂc Thy luổn kiản nhÔn, tn tnh ch
bÊo, du dt v giúp ù em. Chnh nim say mả khoa hồc, sỹ nghiảm khc trong
khoa hồc cũng vợi õ l sỹ quan tƠm, ng viản v khch lằ ca cĂc Thy l ng lỹc
khin em khổng ngng nỉ lỹc, c gng vữổt qua mồi khõ khôn, vĐt vÊ ho n th
nh Lun Ăn.
Em xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc Thy Cổ v cĂc th nh viản trong nhõm

Seminar khoa hồc ca Phặng cĂc Phữỡng phĂp ToĂn hồc trong Cổng nghằ
thổng tin, Viằn Cổng nghằ Thổng tin cũng cĂc cĂn b nghiản cứu. Nhng ỵ
kin nhn xt v õng gõp vổ cũng quỵ bĂu trong cĂc bui bĂo cĂo v thÊo lun Â
giúp em ho n th nh tt nhĐt Lun Ăn ca mnh.
Em xin chƠn th nh cÊm ỡn cỡ s o to - Viằn Cổng nghằ Thổng tin v Hồc
viằn Khoa hồc v Cổng nghằ. Quỵ Viằn v Hồc viằn  luổn to mồi iu kiằn thun
lổi em ho n th nh tt quĂ trnh hồc tp v nghiản cứu ca mnh ti Ơy.
Em cụng xin b y tọ lặng bit ỡn n lÂnh o Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi
nguyản, Ban ch nhiằm Khoa ToĂn - Tin, cĂc bn b ỗng nghiằp, gia nh v ngữới
thƠn  luổn ỗng h nh, hỉ trổ, ng viản, giúp ù em trong sut quĂ trnh hồc tp,
nghiản cứu v ho n th nh Lun Ăn.
Xin chƠn th nh cÊm ỡn!

ii


Danh möc c¡c chœ vi‚t t›t v c¡c kþ hi»u
R
R+
C

RK
k
C [a; b]

C([0; 1))
C(R)
C([0; 1] R)
C([a; b]; K)
4

C([a; b] R ; R)

C( )
C( R)
1

C (

R; R)

2

C ()
1

C (
1
C ( R R)
2
, ,r
q
L ()
1
L ()
kxk
kxk2
2
H ()
1

H0 ( )
O(h)

iii


Danh s¡ch h…nh v‡
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22

ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
ç thà cıa r(K) trong V‰ dö 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ç thà cıa r(K) trong V‰ dö 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . 49
ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ç thà cıa r(K) trong V‰ dö 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.10.
. . . . . . . . . . . . . . . 66
ç thà nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.11.
. . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ç thà cıa c¡c nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.15. . . . . . . . . . . . . . 75
ç thà cıa c¡c nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.16. . . . . . . . . . . . . . 76
ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.20.
. . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1 ç thà cıa sai sŁ e(m)

ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (ph£i) trong V‰ dö 3.1 vîi k
3.2 ç thà cıa sai sŁ e(m)

ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (ph£i) trong V‰ dö 3.1 vîi k
3.3 ç thà cıa sai sŁ e(m)
ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (ph£i) trong V‰ dö 3.2 vîi k
3.4 ç thà cıa sai sŁ e(m)
ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (ph£i) trong V‰ dö 3.2 vîi k
3.5 ç thà cıa sai sŁ e(m) v
iv

3.6

ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.3 . . . . . . .


3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15

ç thà cıa sai sŁ e(m) v t¿ sŁ r(m) trong V‰ dö 3.4 .
ç thà nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.4 . . . . . . . . . . .
ç thà cıa e(m) trong V‰ dö 3.5. . . . . . . . . . . . . . . .
ç thà cıa e(m) trong V‰ dö 3.6. . . . . . . . . . . . . . . .
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.6. . . . . . . .
ç thà cıa e(m) trong V‰ dö 3.7. . . . . . . . . . . . . . . .
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.7. . . . . . . .

ç thà cıa e(m) trong V‰ dö 3.8. . . . . . . . . . . . . . . .
ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.8. . . . . . . .

v


Danh s¡ch b£ng
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

Sü hºi tö trong V‰ dö 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.13 vîi x§p x¿ ƒu v0 = 0 . .

Sü hºi tö trong V‰ dö 2.13 vîi x§p x¿ ƒu v0
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.14 vîi x§p x¿ ƒu v0
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.15 vîi x§p x¿ ƒu v0
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.16 vîi x§p x¿ ƒu v0
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.21 vîi x§p x¿ ƒu u0
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.22
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.23
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.24
Sü hºi tö trong V‰ dö 2.25
Sü hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p l°p trong V‰ dö 3.1 tr¶n l÷îi •u 65 65 nót110
Sü hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p l°p trong V‰ dö 3.2 . . . . . . . . . . . . . 112
Sü hºi tö trong V‰ dö 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Sü hºi tö trong V‰ dö 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Sü hºi tö trong V‰ dö 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Sü hºi tö trong V‰ dö 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

vi


Mửc lửc
Lới cam

oan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

...........................

ii

Lới cÊm ỡn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Danh mửc cĂc ch vit tt v cĂc kỵ hiằu . . . . . . . . . . . . . . . .
M

iii

u . . . . . . . . . . . . . .
....................................
1

Chữỡng 1. Kin thức b trổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1. Mt s

nh lỵ

im bĐt ng

........................................

11

1.1.1. Giợi thiằu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2. nh lỵ im bĐt

11

ng Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.3. nh lỵ im bĐt

ng Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2. H m Green i vợi mt s b i toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.3.
ch phƠn s vợi sai s cĐp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1.
....................................................

o h m s, t
21
o h m s
21

1.3.2. Tch phƠn s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

1.4. Lữổc ỗ sai phƠn vợi

chnh xĂc cĐp bn cho phữỡng trnh Poisson .

24

1.5. Phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trnh lữợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.5.1. Phữỡng phĂp truy

ui giÊi hằ phữỡng trnh ba
im . . . . . . . . . . .

26

1.5.2. Phữỡng phĂp rút gồn ho n to n giÊi hằ phữỡng trnh vc tỡ ba im
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Chữỡng 2. Sỹ tỗn ti duy nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp lp giÊi b i toĂn
biản cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng phi tuyn cĐp bn

34

2.1. B i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng
phi tuyn cĐp bn a phữỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35


2.1.1. Tr÷íng hæp i•u ki»n bi¶n tŒ hæp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

2.1.2. Tr÷íng hæp i•u ki»n bi¶n Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.1.3. Tr÷íng hæp i•u ki»n bi¶n phi tuy‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.2. B i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng phi tuy‚n c§p bŁn khæng àa ph÷ìng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.1. Tr÷íng hæp i•u ki»n bi¶n d⁄ng gŁi - tüa ìn gi£n . . . . . . . . . . . . . . 76

2.2.2. Tr÷íng hæp i•u ki»n bi¶n phi tuy‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

vii


Chữỡng 3. Sỹ tỗn ti duy nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp lp giÊi b i toĂn biản phi tuyn
cho phữỡng trnh o h m riảng cĐp bn 100
3.1. B i toĂn biản phi tuyn cho phữỡng trnh song

iu hặa . . . . . . . . . . . . .
100

3.1.1. Sỹ tỗn ti v duy nhĐt nghiằm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102

3.1.2. Phữỡng phĂp giÊi v v dử s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

3.2. B i toĂn biản phi tuyn cho phữỡng trnh song iu hặa loi Kirchhoff 115
3.2.1. Sỹ tỗn ti v duy nhĐt nghiằm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117

3.2.2. Phữỡng phĂp giÊi v v dử s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120

Kt lun chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Danh mửc cĂc cổng trnh

 cổng b ca Lun Ăn . . . . . .

129

T i liằu tham khÊo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


viii


M U

1. Tnh cĐp thit ca Lun Ăn
Nhiu hiằn tữổng trong Vt lỵ, Cỡ hồc v mt s lắnh vỹc khĂc ữổc mổ hnh
hõa bi cĂc b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng hoc phữỡng trnh o
h m riảng vợi cĂc loi iu kiằn biản khĂc nhau. Viằc nghiản cứu nh tnh cụng

nhữ phữỡng phĂp giÊi cĂc b i toĂn n y luổn l nhng ch thu hút ữổc nhiu sỹ
quan tƠm ca cĂc nh khoa hồc trong v ngo i nữợc nhữ R.P. Agawarl, E. Alves, P.
Amster, Z. Bai, Y. Li, T.F. Ma, H. Feng, F. Minhõs, Y.M. Wang, ng Quang
, Phm Ký Anh, Nguyn ổng Anh, Nguyn Hu Cổng, Nguyn Vôn o, Lả
Lữỡng T i, ... Sỹ tỗn ti nghiằm, tnh duy nhĐt nghiằm, tnh dữỡng ca nghiằm,
phữỡng phĂp lp tm nghiằm ca mt s b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn

thữớng, phữỡng trnh o h m riảng cĐp bn  ữổc xt n trong cĂc cổng trnh
ca tĂc giÊ ng Quang v cĂc cng sỹ trong [17]-[24]. TĂc giÊ Phm Ký Anh cụng
cõ mt s cổng trnh nghiản cứu v tnh giÊi ữổc, cĐu trúc tp nghiằm, cĂc
phữỡng phĂp xĐp x nghiằm, ... ca b i toĂn biản tun ho n (xem [10], [11]). Sỹ
tỗn ti nghiằm, tỗn ti nghiằm dữỡng ca cĂc b i toĂn v dm ữổc xt n trong cĂc
cổng trnh ca tĂc giÊ T.F. Ma (xem [45]-[50]). Lỵ thuyt v vĐn giÊi s cĂc b i
toĂn biản tng quĂt  ữổc cp n trong cĂc t i liằu [5], [12], [37], [60], ...
Trong s cĂc b i toĂn biản, b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng v
phữỡng trnh vi phƠn o h m riảng phi tuyn cĐp bn nhn ữổc sỹ quan tƠm lợn
ca cĂc nh nghiản cứu bi chúng l mổ hnh toĂn hồc ca nhiu hiằn tữổng trong
thỹc tin nhữ sỹ un cong ca dm v ca bÊn, ... Cõ th chia phữỡng trnh vi
phƠn cĐp bn th nh hai loi: Phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn a phữỡng v phữỡng
trnh vi phƠn cĐp bn khổng
a phữỡng. Phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn cõ
chứa
th nh phn tch phƠn ữổc gồi l phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn khổng a phữỡng
hoc phữỡng trnh loi Kirchhoff. Ngữổc li, phữỡng trnh ữổc gồi l phữỡng trnh
vi phƠn cĐp bn a phữỡng. Dữợi Ơy, ta s im qua mt s phữỡng phĂp tiảu biu

v mt s cổng trnh sò dửng cĂc phữỡng phĂp n y khi nghiản cứu cĂc b i toĂn
biản cho phữỡng trnh vi phƠn phi tuyn cĐp bn.
Phữỡng phĂp ữổc k n u tiản l phữỡng phĂp bin phƠn - phữỡng phĂp ph
bin nghiản cứu sỹ tỗn ti nghiằm ca cĂc b i toĂn biản phi tuyn. ị tững
1


ca phữỡng phĂp l

ữa b i toĂn ban

u v b i toĂn tm cỹc tr ca mt phim

h m. CĂc nh lỵ v im tợi hn ữổc sò dửng trong nghiản cứu sỹ tỗn ti cỹc tr

ca phim h m. Xt b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn loi Kirchhoff
trong [45] nôm 2000
1
Z

(4)

u (x) M

c
0

0

u (0) = u (1) = 0;
trong õ M 2 C([0; 1)); f 2 C([0; 1] R); g 2 C(R) v

c

0; 8s 6= 0: Bng phữỡng phĂp bin phƠn, T.F. Ma chứng
nghiằm ca b i toĂn vợi giÊ thit F (x; t) ! +1 khi jtj ! 1; trong

õ F (x; t) =

Rt

0 f(x; s)ds. Sau õ, trong [46] nôm 2003, cụng bng phữỡng phĂp bin phƠn, tĂc
giÊ thit lp sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn

vợi cĂc giÊ thit

2

4

3

m0L + 0L + 0L < 1.
Nôm 2016, trong [35], S. Heidarkhani v cĂc cng sỹ sò dửng phữỡng phĂp bin
phƠn  ch ra sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn phi
tuyn cĐp bn a phữỡng vợi cĂc iu kiằn biản phi tuyn
v

(4)

u (x) = f(x; u(x)) + g(x; u(x)) + p(u(x));
0

u(0) = u (0) = 0;

0 < x < 1;

00

u (1) = 0; u000(1) = h(u(1));

2

trong õ > 0; 0; f; g thuc lợp L cĂc h m Carathodory, p; h l cĂc h m liản tửc
Lipschitz, p(0) = h(0) = 0: Trong cổng trnh n y, cĂc tĂc giÊ t ra rĐt nhiu giÊ
thit phức tp v iu kiằn tông trững ti vổ cũng ca cĂc h m f; g; p; h.
Phữỡng phĂp bin phƠn khổng ch Ăp dửng i vợi cĂc b i toĂn biản cho phữỡng
trnh vi phƠn thữớng m cặn Ăp dửng vợi b i toĂn biản cho phữỡng trnh o h m
riảng. Trong [57] nôm 2010, R. Pei xt b i toĂn biản Navier cho phữỡng trnh
song iu hặa
2

u(x) = f(x; u);

x2

;


2


u = u = 0; x 2

;

K

Ơy l min trỡn, b chn trong R ; K > 4: Sò dửng phữỡng phĂp bin phƠn, tĂc
giÊ Â chứng minh ữổc rng b i toĂn trản cõ t nhĐt ba nghiằm khổng tm
thữớng nu h m f thọa mÂn cĂc iu kiằn sau:

1

f2C (
(B1)
limjtj!0(f(x; t)=t) = f0 < 1; limjtj!1(f
(B2)
2
riảng thứ nhĐt, k l giĂ tr riảng thứ k (vợi k 2) ca ( ; Ht
(B3) limjtj!1[f(x; t)t 2F (x; t)] =
Nôm 2012, trong [66], F. Wang v
song iu hặa loi Kirchhoff
Z


2

u = Mc
u = 0;

2

jruj dx

u + f(x; u);

u = 0; x 2

x2

;

:

chứng minh sỹ tỗn ti nghiằm khổng Ơm ca b i toĂn trản, bng phữỡng phĂp
bin phƠn, cĂc tĂc giÊ t ra nhiu giÊ thit v sỹ tông trững ti vổ cũng ca h m
f:
(B1) f(x; t) 2 C( R); f(x; t) 0; 8x 2
p
(B2) jf(x; t)j a(x) + bjtj ; 8t 2 R, x
1(B3) f(x; t) = O(jtj) khi t ! 0, x 2 ;
(B4) Tỗn ti hng s
> 2; R > 2 sao cho
Rs
Ơy F (x; s) = 0 f(x; t)dt:

K+4

K 4

F (x; s)

sf(x; s); 8jsj

R;

Ngo i cĂc cổng trnh nảu trản, cõ th k thảm nhiu cổng trnh khĂc cụng
Ăp dửng phữỡng phĂp bin phƠn nghiản cứu cĂc b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi
phƠn phi tuyn cĐp bn nhữ [25], [33], [47], ... Mc dũ phữỡng phĂp bin phƠn l
mt cổng cử ph bin v hu hiằu khi nghiản cứu sỹ tỗn ti nghiằm ca cĂc b i

toĂn biản tuy nhiản cụng phÊi ỵ rng, khi sò dửng phữỡng phĂp bin phƠn, vợi
cĂc giÊ thit v iu kiằn tông trững t lản h m v phÊi, cĂc tĂc giÊ phn lợn l xt sỹ
tỗn ti nghiằm, sỹ tỗn ti nhiu nghiằm ca b i toĂn (cõ th xt sỹ tỗn ti duy nhĐt
ca nghiằm trong trữớng hổp phim h m lỗi) những li khổng cõ v dử n o v
nghiằm tỗn ti, ỗng thới phữỡng phĂp giÊi b i toĂn cụng khổng ữổc xt n.
Phữỡng phĂp tip theo ữổc sò dửng rng rÂi l phữỡng phĂp nghiằm trản v
nghiằm dữợi. Kt quÊ chnh ca phữỡng phĂp n y khi Ăp dửng cho cĂc b i toĂn
biản phi tuyn nhữ sau: Nu b i toĂn cõ nghiằm trản v nghiằm dữợi th vợi mt s
giÊ thit, b i toĂn cõ t nhĐt mt nghiằm v nghiằm n y nm trong khoÊng nghiằm
trản v nghiằm dữợi. ỗng thới ta cõ th xƠy dỹng ữổc hai dÂy ỡn iằu vợi cĂc
xĐp x u l nghiằm trản v nghiằm dữợi hi tử tợi nghiằm cỹc i v nghiằm cỹc
3


tiu ca b i toĂn. Trong trữớng hổp hai nghiằm cỹc i v cỹc tiu trũng nhau th b
i toĂn cõ nghiằm duy nhĐt.
Sau Ơy ta im qua mt s cổng trnh sò dửng phữỡng phĂp nghiằm trản v
nghiằm dữợi khi nghiản cứu cĂc b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn phi tuyn
cĐp bn.
u tiản, xt b i toĂn trong cổng trnh [14] nôm 2007
(4)

0

00

u (x) = f(x; u(x); u (x); u (x); u
Hm v

3

000

(x));

4

2 C [0; 1] \ C (0; 1) tữỡng ứng ữổc gồi l
(4)

(4)

(x)

(x)

Trong cổng trnh n y, Z. Bai  chứng minh sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn vợi giÊ
thit b i toĂn cõ nghiằm trản v nghiằm dữợi ; thọa mÂn iu kiằn
thit thảm h m f thọa mÂn iu kiằn Nagumo tữỡng ứng theo
dữỡng h(z) trản [0; 1) sao cho
jf(x; u; y; v; z)j h(jzj)
vợi mồi (x; u; y; v; z) 2 [0; 1] [ M ; M]

2

[

00

00

;

00 00

00 00

;

ỗng thới giÊ

, tức l tỗn ti h m

] Rv
1
Z

trong õ
= maxfj

00

00

(1)

(0)j; j

00

(0)

00

(1)jg:

Tip theo, xt cổng trnh [31] ca H. Feng v cĂc cng sỹ nôm 2009 khi
nghiản cứu b i toĂn
(4)

0

00

000

u (x) = f(x; u(x); u (x); u (x); u
0

00

u(0) = 0; u (1) = 0; au (0) bu
3

000

(x));
00

(0) = 0; cu (1) + du

000

(1) = 0:

4

H m v 2 C [0; 1] \ C (0; 1) tữỡng ứng ữổc gồi l
dữợi ca b i toĂn nu
(4)

(x) f(x; (x);
0

0

00

(x);

00

(x);

000

000

(x));
00

(0) = 0; (1) = 0; a (0) b
(0) 0; c (1) + d
(4)
0
00
000
(x) f(x; (x); (x); (x);
(x));
0

(0) = 0; (1) = 0; a

00

(0) b

000

(0)
4

000

(1) 0;

h(s)

ds

00 00

Cụng vợi giÊ thit b i toĂn cõ nghiằm trản v nghiằm dữợi ; thọa mÂn
,hmf
00 00
thọa mÂn iu kiằn Nagumo tữỡng ứng theo ; , ỗng thới giÊ thit h m f(x; u; y;
v; z) giÊm theo u; y, tông cht theo z, cĂc tĂc giÊ thit lp ữổc sỹ tỗn ti duy nhĐt
nghiằm ca b i toĂn.
Nôm 2006, trong cổng trnh [68], Y.M. Wang xt b i toĂn

K

l min b chn trong R vợi biản trỡn

Ơy
2

1

1

C ( ); k(x) k0 > 0, f 2 C ( R R); gi 2 C ( v
tnh xĂc nh bi
B[w] = w
Cp h m u; u

e b 2

nu u u; 4 u 4u v

\

b

e

(k (x) u)

e
4

4 e
B [u ]

e
TĂc giÊ Â chứng minh ữổc sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn v xƠy dỹng ữổc hai dÂy
xĐp x hi tử ỡn iằu tợi nghiằm vợi giÊ thit b i toĂn cõ nghiằm trản, nghiằm dữợi v
h m f(x; u; v) l ỡn iằu theo u.
Ngo i cĂc cổng trnh trản, ta cõ th k n nhiu cổng trnh sò dửng phữỡng
phĂp nghiằm trản v nghiằm dữợi nghiản cứu cĂc b i toĂn biản phi tuyn (xem [13],
[29], [52], [67], [69], [70], ...). T cĂc cổng trnh trản ta thĐy rng, phữỡng phĂp
nghiằm trản v nghiằm dữợi cõ th thit lp ữổc sỹ tỗn ti nghiằm, tnh duy nhĐt
nghiằm, xƠy dỹng ữổc dÂy lp hi tử tợi nghiằm những mt giÊ thit khổng th
thiu ữổc l b i toĂn phÊi cõ nghiằm trản v nghiằm dữợi, trong khi õ tm ữổc cĂc
nghiằm n y khổng phÊi l viằc d d ng. Ngo i ra ta cặn cn cĂc giÊ thit khĂc t
lản h m v phÊi nhữ iu kiằn tông trững ti vổ cũng hoc iu kiằn phức tp nhữ
iu kiằn Nagumo ...
Ngo i phữỡng phĂp bin phƠn, phữỡng phĂp nghiằm trản nghiằm dữợi, cĂc nh
khoa hồc cặn dũng phữỡng phĂp sò dửng cĂc nh lỵ im bĐt ng trong nghiản

cứu cĂc b i toĂn biản phi tuyn. p dửng phữỡng phĂp n y, ngữới ta ữa b i toĂn  cho
v b i toĂn tm im bĐt ng ca mt toĂn tò, sau õ Ăp dửng cĂc nh lỵ im bĐt ng
i vợi toĂn tò n y. Ta cõ th liằt kả rĐt nhiu cổng trnh sò dửng phữỡng phĂp
trản (xem [4], [7], [50], [64], [65], ...). Cử th, cổng trnh [4] nôm 1984 ca R.P.
Agarwal v Y.M. Chow xt b i toĂn vợi iu kiằn biản Dirichlet
(4)

0

00

000

u (x) = f(x; u; u ; u ; u
5

);

a < x < b;


0

0

u(a) = A1; u (a) = A2; u(b) = B1; u (b) = B2:
Trong cổng trnh n y, cĂc tĂc giÊ ch ra nghiằm ca b i toĂn  cho l im bĐt ng
ca toĂn tò T
Z b
0

T u = P3(x) +

00

G(x; s)f(s; u; u ; u ; u

000

)ds;

a

(4)

0

Ơy G(x; s) l h m Green ca b i toĂn u (x) = 0 vợi cĂc iu kiằn biản u(a) = u (a)
0
= u(b) = u (b) = 0; P3(x) l a thức bc ba thọa mÂn cĂc iu kiằn P 3(a) = A1;
0
0
P3 (a) = A2; P3(b) = B1; P3 (b) = B2: Vợi mt s giÊ thit t lản h m f, bng cĂch
sò dửng Nguyản lỵ im bĐt ng Schauder cĂc tĂc giÊ Â chứng minh ữổc
sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn, Ăp dửng nh lỵ im bĐt ng Banach cho Ănh x co,
cĂc tĂc giÊ chứng minh ữổc sỹ tỗn ti v duy nhĐt nghiằm ca b i toĂn, ỗng thới
xƠy dỹng dÂy lp Picard vợi xĐp x u l mt nghiằm xĐp x ca b i toĂn hi tử tợi
nghiằm duy nhĐt n y.
Xt b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn loi Kirchhoff

Z

u(4)(x) M

c
00

00

0

u(0) = u (0) = 0; u(L) = 0; u (L) = g(u (L))
trong cổng trnh [50] ca T.F. Ma v A.L.M. Martinez nôm 2010. CĂc tĂc giÊ Â
ữa b i toĂn  cho v phữỡng trnh toĂn tò i vợi 'n h m

trong õ

Z

z(t) = 0

c
Sau õ Ăp dửng nh lỵ im bĐt ng Krasnoselskii trản nõn, cĂc tĂc giÊ chứng
minh ữổc sỹ tỗn ti nghiằm dữỡng ca b i toĂn. Ngo i nh lỵ im bĐt ng
Schauder, nh lỵ im bĐt ng Krassnoselskii, nh lỵ im bĐt ng Banach, trong
b i bĂo nôm 2008 ca P. Amster [7] sau khi ữa b i toĂn ban u v phữỡng trnh
toĂn tò i vợi 'n h m, tĂc giÊ sò dửng nh lỵ im bĐt ng Leray-Schauder kt hổp
vợi lỵ thuyt bc Brouwer thit lp sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn
(4)

00

u (x)Au (x) + g(x; u(x)) = 0; 0 < x < L;
00

00

u (0) = u (L) = 0;

u

000

(0) =

f(u(0));

trong õ A l hng s khổng Ơm, f; g l cĂc h m liản tửc.

u

000

(L) = f(u(L));


6


Chú ỵ rng, trong cĂc cổng trnh Ăp dửng phữỡng phĂp im bĐt ng nghiản

cứu cĂc b i toĂn biản phi tuyn, phn lợn cĂc tĂc giÊ sò dửng cĂch tip cn ữa
b i toĂn  cho v phữỡng trnh toĂn tò i vợi h m cn tm. Sò dửng cĂc nh lỵ

v tỗn ti im bĐt ng nhữ nh lỵ im bĐt ng Schauder, Leray-Schauder,
Krassnoselskii, ... i vợi toĂn tò n y ta ch thit lp ữổc sỹ tỗn ti nghiằm ca
b i toĂn. Sò dửng nh lỵ im bĐt ng Bannach, ta khổng nhng thit lp ữổc sỹ

tỗn ti duy nhĐt nghiằm m cặn ữa ra ữổc phữỡng phĂp lp hi tử cĐp s nhƠn
tm nghiằm. Tuy nhiản cụng phÊi ỵ rng, viằc lỹa chồn toĂn tò v xt toĂn tò n
y trản mt khổng gian phũ hổp sao cho cĂc giÊ thit t lản cĂc h m r ng buc l ỡn
giÊn m vÔn Êm bÊo cĂc iu kiằn Ăp dửng ữổc cĂc nh lỵ im bĐt ng trong
nghiản cứu nh tnh cụng nhữ phữỡng phĂp giÊi cĂc b i toĂn biản phi tuyn õng
vai trặ vổ cũng quan trồng.
Mt trong nhng phữỡng phĂp s ph bin ữổc sò dửng rng rÂi trong xĐp
x nghiằm ca cĂc b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng v phữỡng trnh

o h m riảng phi tuyn cĐp bn l phữỡng phĂp sai phƠn hu hn (xem [46], [53],
[63], [70], ...). Bng cĂch thay th cĂc o h m bi cĂc cổng thức sai phƠn, b i toĂn
 cho ữổc rới rc th nh cĂc hằ phữỡng trnh i s. GiÊi hằ n y ta thu ữổc nghiằm
xĐp x ca b i toĂn ti cĂc nút lữợi. Chú ỵ rng khi sò dửng phữỡng phĂp sai phƠn
hu hn nghiản cứu cĂc b i toĂn biản phi tuyn, nhiu cổng trnh tip cn theo
hữợng cổng nhn sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn (khổng xt v mt nh tnh), rới
rc hõa b i toĂn ngay t ban u. CĂch l m n y cõ nhữổc im l khõ Ănh giĂ ữổc sỹ
n nh, hi tử ca lữổc ỗ sai phƠn v khõ cõ th Ănh giĂ sai s gia nghiằm úng
v nghiằm xĐp x.
Khi nghiản cứu cĂc b i toĂn biản phi tuyn, ngo i cĂc phữỡng phĂp ph bin
ữổc trnh b y trản cặn cõ th k n mt s phữỡng phĂp khĂc nhữ phữỡng
phĂp phn tò hu hn, phữỡng phĂp chuỉi Taylor, phữỡng phĂp chuỉi Fourier,
phữỡng phĂp sò dửng lỵ thuyt bc Brouwer, bc Leray-Schauder, ... Cõ th kt
hổp cĂc phữỡng phĂp nảu trản nghiản cứu y cÊ v mt nh tnh lÔn nh

lữổng ca b i toĂn.
Vợi sỹ phĂt trin khổng ngng ca khoa hồc, k thut, vt lỵ, cỡ hồc, ... xuĐt
phĂt t nhng b i toĂn thỹc t, cĂc b i toĂn biản mợi ữổc t ra ng y c ng nhiu
phức tp trong cÊ phữỡng trnh lÔn iu kiằn biản. Mỉi tĂc giÊ s cõ phữỡng
phĂp, cĂch tip cn, k thut khĂc nhau vợi tng b i toĂn. Mỉi phữỡng phĂp ra s
cõ nhng ữu im v hn ch riảng v khõ cõ th khflng nh phữỡng phĂp n o thỹc
sỹ tt hỡn phữỡng phĂp n o t lỵ thuyt cho n thỹc nghiằm. Tuy nhiản, chúng tổi
s hữợng tợi phữỡng phĂp nghiản cứu ữổc to n diằn cÊ v mt nh tnh lÔn nh
lữổng ca cĂc b i toĂn sao cho cĂc iu kiằn ữổc t ra l ỡn giÊn
v

d kim tra, ữa ra nhng v dử minh hồa cho tnh ứng dửng ca kt quÊ lỵ
thuyt, so sĂnh ữổc kt quÊ chúng tổi t ữổc so vợi kt quÊ Â cõ ca mt s
v

7


tĂc giÊ khĂc v mt mt n o

õ.

Ơy chnh l mửc ch v l do chúng tổi lỹa chồn t i Lun Ăn "GiÊi gn
úng mt s b i toĂn biản phi tuyn cho phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn".

2. Mửc tiảu v phm vi nghiản cứu ca Lun Ăn
i vợi mt s b i toĂn biản phi tuyn cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng v
phữỡng trnh o h m riảng cĐp bn l mổ hnh cĂc b i toĂn trong lỵ thuyt un
ca dm v ca bÊn:
- Nghiản cứu nh tnh (sỹ tỗn ti nghiằm, tnh duy nhĐt nghiằm, tnh

dữỡng ca nghiằm) bng cĂch sò dửng cĂc nh lỵ im bĐt ng v nguyản lỵ cỹc i
khổng cn n iu kiằn tông trững ti vổ cũng, iu kiằn Nagumo, ... ca h m
v phÊi.
- XƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp lp giÊi b i toĂn.
ữa ra cĂc v dử minh hồa cho cĂc kt quÊ lỵ thuyt, trong õ cõ nhng v
dử th hiằn ữu th ca phữỡng phĂp xuĐt so vợi phữỡng phĂp ca mt s tĂc giÊ
khĂc.
-

3.

Phữỡng phĂp v ni dung nghiản cứu
- Sò dửng cĂch tip cn ỡn giÊn những hiằu quÊ ữa cĂc b i toĂn biản phi tuyn v

phữỡng trnh toĂn tò i vợi h m cn tm hoc mt h m trung gian, sò dửng cĂc
cổng cử ca toĂn giÊi tch, giÊi tch h m, lỵ thuyt phữỡng trnh vi phƠn, nghiản
cứu sỹ tỗn ti nghiằm, tnh duy nhĐt nghiằm v mt s tnh chĐt khĂc ca nghiằm
ca mt s b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng v phữỡng trnh
o h m riảng cĐp bn
a phữỡng v khổng a phữỡng.

xuĐt phữỡng phĂp lp tm nghiằm ca cĂc b i toĂn v chứng minh sỹ hi
tử ca phữỡng phĂp.
-

ữa ra mt s v dử trong cÊ hai trữớng hổp  bit trữợc nghiằm úng v
chữa bit trữợc nghiằm úng minh hồa cho tnh úng n ca cĂc kt quÊ lỵ thuyt
v kim tra sỹ hi tử ca cĂc phữỡng phĂp lp tm nghiằm.
-

4.

Kt quÊ t ữổc ca Lun Ăn

Lun Ăn xuĐt mt phữỡng phĂp ỡn giÊn những rĐt hiằu quÊ nghiản cứu sỹ tỗn
ti duy nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp lp giÊi nôm b i toĂn biản cho phữỡng trnh
vi phƠn thữớng phi tuyn cĐp bn a phữỡng, khổng a phữỡng vợi cĂc loi iu
kiằn biản khĂc nhau v hai b i toĂn biản cho phữỡng trnh song iu hặa v
phữỡng trnh song iu hặa loi Kirchhoff nhớ sò dửng cĂch tip cn ữa b i toĂn

8