Tài liệu nguyên hàm tích phân

Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

BIÊN SOẠN : TRẦN ĐỨC MẠNH- BUÔN MA THUỘT

1


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F'(x)  f (x) , x  K
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
 f (x)dx  F(x)  C , C  R.
 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
  f '(x)dx  f (x)  C

 f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx
  kf (x)dx  k  f (x)dx (k  0)


3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)

 k.dx  k.x  C
1

x

3)
5)
7)
9)
11)

2

2)

1
dx    C
x

1

4)

1

 (ax  b) dx   a(n 1)(ax  b)  C ;
 sin x.dx   cos x  C
1
 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C
n 1

n

1

 cos

2

dx   (1 tg 2 x).dx  tgx  C

x
1
1
13) 
dx  tg(ax  b)  C
2
cos (ax  b)
a
15)  ex dx  ex  C
17)
19)
21)
23)
25)
27)

1 (ax  b)
(ax  b)
 e dx  a e  C
ax
x
 a dx  ln a  C
1
1 x 1

 x 2 1 dx  2 ln x  1  C
1
1
x a
 x 2  a 2 dx  2a ln x  a  C
1
x
 a 2  x 2 dx  arcsin a  C



1
x a
2

2

dx  ln x  x 2  a 2  C

6)
8)

x n 1
 x dx  n  1  C
1
 x dx  ln x  C
1
1
 (ax  b) dx  a ln ax  b  C
 cos x.dx  sin x  C

n

1

10)

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

12)

 sin

1
2

dx   1  cot g 2 x  dx   cot gx  C

x
1
1
14)  2
dx   cot g(ax  b)  C
sin (ax  b)
a
16)  e x dx  e x  C
18)
20)
22)
24)
26)

28)

1 (ax  b)n 1
n
(ax

b)
.dx

.
 C (n  1)

a
n 1
1
 x 2  1 dx  arctgx  C
1
1
x
 x 2  a 2 dx  a arctg a  C
1
 1  x 2 dx  arcsin x  C
1
2
 x 2  1 dx  ln x  x  1  C
x 2
a2
x
2
2

2
a

x
dx

a

x

arcsin  C

2
2
a

2


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

29)



x 2  a 2 dx 

x 2 2 a2
x  a  ln x  x 2  a 2  C
2

2

DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT CỦA NGUYÊN HÀM:
Câu 1:

Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.

 f   x  dx  f  x   C với mọi hàm f  x  có đạo hàm trên

B.

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx với mọi hàm f  x  , g  x  có đạo hàm trên

.

C.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên

.

D.
Câu 2:

.

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx với mọi hàm f  x  , g  x  có đạo hàm trên

Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  f  x   g  x dx   f  x dx   g  x dx .
B.   f  x  .g  x dx   f  x dx. g  x dx .
C.   f  x   g  x dx   f  x dx   g  x dx .
D.  kf  x dx  k  f  x dx  k  0;k   .
A.

Câu 3:

Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm
của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:

 I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .

 II  . k.F  x  là một nguyên hàm của
 III  . F  x  .G  x 

k. f  x  với k  \ 0 .

là một nguyên hàm của f  x  .g  x  .

Các mệnh đề đúng là
A.  II  và  III  .
Câu 4:

B. Cả 3 mệnh đề.

C.  I  và  III  .

D.  I  và  II  .

Mệnh đề nào sau đây sai?
A.  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g (x) dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên R
B.  f '( x)dx  f ( x)  C với mọi hàm số f x có đạo hàm trên R
C.  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g (x) dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên R

3


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
D. k  f ( x)dx   kf ( x) với mọi hằng số k và với mọi hàm số f x liên tục trên R
Câu 5:

Cho f  x  là hàm số liên tục trên  a; b (với a  b ) và F  x  là một nguyên hàm của

f  x  trên  a; b . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
b

A.

 f  2x  3 dx  F  2x  3

b
a

.

a

b

B.  k. f  x  dx  k  F b   F  a  .
a

a

C.

 f  x  dx  F b   F  a  .
b

D. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x  a, x  b , đồ thị hàm số

y  f  x  và trục hoành được tính theo công thức S  F b   F  a  .
Câu 6:

Câu 7:

Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A. f   x   F  x  , x  K .

B. F   x   f  x  , x  K .

C. F  x   f  x  , x  K .

D. F   x   f   x  , x  K

Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  xác định trên K . Mệnh đề nào
dưới đây sai?






A. x  f  x  dx  f   x  .
C.
Câu8:

  f  x  dx   F   x  .

B.

  f  x  dx   f  x  .

D.

 f  x  dx  F  x   C .

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu

 f  x  dx  F  x   C

thì

 f u  du  F u   C .

B.  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số và k  0 ).

C. Nếu F  x  và G  x  đều là nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x  .
D.
Câu 9:

  f  x   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
1

2

2

Cho biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Tìm I   3 f  x   1 dx .
A. I  3F  x   1  C .

Câu 10:

1

B. I  3F  x   x  C . C. I  3xF  x   1  C . D. I  3xF  x   x  C

Cho biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên

. Tìm I   2 f  x   1 dx

4


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
A. I  2F  x   1  C .

B. I  2F  x   x  C . C. I  2 xF  x   x  C . D. I  2 xF  x   1  C .

DẠNG 2 : GIẢI NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA :
Câu 1: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax 

F 1  4 ; f 1  0 .
A. F  x  

3x 2 3 7
  .
4 2x 4

B. F  x  

3x 2 3 7
C. F  x  
  .
2 4x 4
Câu 2:

b
x2

 x  0

biết rằng F  1  1 ;

3x 2 3 7
  .
4 2x 4

3x 2 3 1
D. F  x  
  .
2 2x 2

Cho hai hàm số F  x    x 2  ax  b  e x và f  x     x 2  3x  6  e x . Tìm a và b để

F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  .
A. a  1 , b  7 .
Câu 3:

B. a  1 , b  7 .

C. a  1 , b  7 .

D. a  1 , b  7 .

Tìm giá trị của m để hàm số F  x   m2 x3   3m  2 x2  4x  3 là một nguyên hàm của
hàm số f  x   3x2  10 x  4.
A. m  2 .

Câu 4:

B. m  1 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Xác định a, b để hàm số F  x    ax  b  e x là một nguyên hàm của hàm số

f  x    3x  2 e x .
a  3
A. 
.
b  5
Câu5:

a  3
B. 
.
b  1

a  3
C. 
.
b  1

a  3
D. 
b  5

Biết hàm số F  x   ax3   a  b  x2   2a  b  c  x  1 là một nguyên hàm của hàm số

f  x   3x2  6 x  2 . Tổng a  b  c là:
A. 3 .
Câu 6:

B. 2 .

C. 4 .

D. 5 .

Biết một nguyên hàm của hàm số y  f  x  là F  x   x 2  4 x  1 . Khi đó, giá trị của hàm
số y  f  x  tại x  3 là.
A. f  3  30 .

Câu 7:

B. f  3  22 .

C. f  3  10 .

D. f  3  6

Cho g ( x)  6 x  6 ; F ( x)  x3  3x2 là một nguyên hàm của f  x  , khi đó.
A. g ( x)  f ( x) .

B. g ( x)  f ( x) .

C. g ( x)  f ( x) .

D. g ( x)  f ( x) .

5


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

Câu 8:

Câu 9:



x2  a
1 3
1
Cho biết F  x   x  2 x  là một nguyên hàm của f  x  
3
x
x2
của g  x   x cos ax .



2

. Tìm nguyên hàm

A. x sin x  cos x  C .

B.

1
1
x sin 2 x  cos 2 x  C .
2

4

C. x sin x  cos x  C .

D.

1
1
x sin 2 x  cos 2 x  C .
2
4

Nếu

1
 f  x  dx  x  ln x  C thì f  x  là
B. f  x    x 

A. f  x   x  ln x  C .
C. f  x   
Câu 10: Biết

1
 ln x  C .
x2

x 1
x2

 f  x  dx  sin 3x  C . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. f  x   3cos3x .
Câu 11: Biết

D. f  x  

1
 ln x  C .
x

 f  x  dx  x

2

A. x 2  2 x  C  .

B. f  x   3cos3x .

 2 x  C . Tính

C. f  x   

cos 3x
.
3

D. f  x  

cos 3x
3

 f   x  dx .

B.  x 2  2 x  C  .

D. x 2  2 x  C  .

C.  x 2  2 x  C  .

DẠNG 3: DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN, MỞ RỘNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 1:

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 .

x2
 xC.
2

A.

  2x  1dx 

C.

  2x  1dx  2x

2

1 C .

B.

  2x  1dx  x

2

 xC.

D.

  2x  1dx  x

2

C.

C.

1 4
x C .
4

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f  x   2 x3  9 là:
A.
Câu 3:

1 4
x  9x  C .
2

B. 4 x 4  9 x  C .

Nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2 
A.

x3 x 2

C.
3
4

B. x3 

D. 4 x3  9 x  C .

x
là:
2

x2
C.
4

C. x3 

x2
C.
2

D. x3 

x2
C
2

6


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ?
5

A.

 3x  1
F ( x) 

C.

 3x  1
F ( x) 

8.

18

.

6

2.

18

6

6

.

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   6 x2  4 x  3 là
A. 6 x3  4 x 2  3x  C .

B. 12 x  4  C .

C. 2  x3  x2   3x  C .

D. 2 x3  2 x 2  3  C .

Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   2 x  3 ?
3

4

A.

 2 x  3
F ( x) 

4

C.

 2 x  3
F ( x) 

 8.

8

8

.

B.

 2 x  3
F ( x) 

D.

 2 x  3

F ( x) 

4

 3.

8

4

4

.

Nguyên hàm của hàm số f  x   x 2018 , ( x  ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
2018

 C , (C  ) .

C. F ( x)  x2019  C , (C  ) .

x2019
B. F ( x) 
 C , (C  ) .
2019
D. F ( x)  2018.x2017  C , (C  ) .

Tìm nguyên hàm F  x     2dx .
A. F  x    2 x  C .

Câu 9:

D.

 3x  1
F ( x) 

6

18

A. F ( x)  2017.x

Câu 8:

B.

 3x  1
F ( x) 

6

B. F  x   2 x  C .

C. F  x  

3
3

C .

D. F  x  

 2 x2
2

C .

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x3  2018 là
A. x 4  2018 x  C .
C. 12x 2  C .

x4
 2018x  C .
3
D. x 4  C .
B.

3


Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số   x 2   2 x dx .
x



7


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

x3
4 3
 3ln x 
x C .
3
3
x3
4 3
D.
 3ln x 
x C .
3
3

x3
4 3
 3ln x 
x C .
3
3
x3
4 3
C.
 3ln x 
x C .
3
3
A.

Câu 11:

B.

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

33

A.

 f  x  dx  4

C.

 f  x  dx  4

16 x

x

C .

4

1

Câu 12: Tính nguyên hàm
A. log 1

1 x

B. ln 1

C.

Câu 14:

1

A.

 5x  2 dx  5 ln 5x  2  C .

C.

 5x  2 dx   2 ln 5x  2  C .

1

1

Cho hàm số f  x  

B.

 f  x  dx   8

D.

 f  x  dx  2

33

3
3

16 x 4

C .

4x2  C .

dx .

x

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

1

1
.
2x

4x2  C .

3
3

3

1

 3x  2 

3

1

 f  x  dx  63x  22  C .

C.

 f  x  dx  

6  3x  2 

2

C. ln 1

x

C.

1

D.

1

x

2

C

1
.
5x  2
1

B.

 5x  2 dx  5ln 5x  2  C .

D.

 5x  2 dx  ln 5x  2  C .

1

. Mệnh đề nào sau đây đúng

A.

1

C.

C .

1

B.

 f  x  dx   33x  22  C .

D.

 f  x  dx 

1
3 3x  2 

2

C.

2 x4  3
Câu 15: Cho hàm số f  x  
. Chọn phương án đúng:
x2
2 x3 3
2 x3 3
A.  f  x  dx 
B.  f  x  dx 
 C .
 C .
3 x

3 2x
2 x3 3
3
C.  f  x  dx  2 x3   C .
D.  f  x  dx 
 C .
x
3 x
Câu16:

F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 . Khi đó, F  x  là hàm số
A.  f  x  dx 

1
2x  1  C .
2

B.  f  x  dx  

1
2x 1  C .
3

8


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
C.  f ( x)dx 

1

 2 x  1 2 x  1  C .
3

Câu 17: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

Câu20:

2
 2 x  1 2 x  1  C
3

2
thỏa mãn F  5  7 .
2x 1

A. F  x   2 2 x  1 .

B. F  x   2 2 x  1  1 .

C. F  x   2 x  1  4 .

D. F  x   2 x  1  10 .

1
. Mệnh đề nào sau đây đúng
3  2x

Câu 18: Cho hàm số f  x  

Câu 19:

D.  f  x  dx 

A.

 f  x  dx 

C.

 f  x  dx   2

3  2x  C .
1

3  2x  C .

B.

 f  x  dx  

3  2x  C .

D.

 f  x  dx  2

1

3  2x  C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x .

2

A.

 f  x dx   2

1

x C .

B.

 f  x dx  3

C.

 f  x dx  2 x

x C .

D.

 f  x dx  3 x

3

Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

x C .

2

1
trên
2x 1

x C .

1 
\   . Phát biểu nào sau
2

đây sai?
A. F  x  

ln 6 x  3
C .
2

B. F  x  

ln  2 x 1
C. F  x  
C .
4
2

Câu 21:

ln 2 x  1
C.
2

D. F  x   ln 2 x 1  C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x  sin 2 x là
A.

x2
 cos 2 x  C .
2

B.

x2 1
1
 cos 2 x  C . C. x 2  cos 2 x  C .
2
2 2

D.

x2 1
 cos 2 x  C .
2 2

Câu 22: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x .
A.

C.

x2
 sin x  C .
2



f  x  dx 



f  x  dx  x sin x  cos x  C .

B.
D.

 f  x  dx  1  sin x  C .



f  x  dx 

x2
 sin x  C .
2

9

Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 23: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 24:

A. f  x   3x  5sin x  2 .

B. f  x   3x  5sin x  5 .

C. f  x   3x  5sin x  5 .

D. f  x   3x  5sin x  5 .

Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.  cos2 xdx  2sin 2 x  C

B.  cos2 xdx  2sin2 x  C

1
C.  cos2 xdx  sin2 x  C
2

1
D.  cos2 xdx   sin2 x  C
2

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x  cos x là
A.  cos 2 x  sin x  C .

B. cos 2 x  sin x  C .

C. sin 2 x  sin x  C .

D. cos 2 x  sin x  C .

Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3x .

cos 3x
C.
3

A.  sin 3xdx  

cos 3x
C .
3

B.  sin 3xdx 

C.  sin 3xdx  

sin 3x
C .
3

D.  sin 3xdx   cos3x  C .

Câu 27: Nguyên hàm của f  x   cos  5x  2 .
A. 5sin  5x  2  C .

B. 5sin  5x  2  C .

1
C.  sin  5 x  2   C .
5

D.

Câu 28: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   3 

1
sin  5 x  2   C .
5

1
là:
sin 2 x

A. F  x   3x  tan x  C .

B. F  x   3x  tan x  C .

C. F  x   3x  cot x  C .

D. F  x   3x  cot x  C .

Câu 29: Tìm họ của nguyên hàm f  x   tan 2 x .




1
C.  tan 2 x dx  1  tan 2 x   C .
2
A.  tan 2 x dx  2 1  tan 2 2 x  C .
2

B.  tan 2 x dx   ln cos 2 x  C .

1
D.  tan 2 x dx   ln cos 2 x  C .
2

10


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
sin
Câu 30: Nguyên hàm của f  x   sin 2 x.e

2

x

là

esin x 1
C .
B.
sin 2 x  1

esin x 1
C .
D.
sin 2 x  1
2

2

2

sin2 x 1

A. sin x.e

C .

sin 2 x

C. e

C .

Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   eex .
A.  f  x dx  eex2  C .
C.

 f  x dx  e

ex 1

C .

B.  f  x dx  eex1  C .
D.

 f  x dx  e

ex

C .

Câu 32 : Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x .
A.  3xdx 

3x
C .
ln 3

B.  3x dx  3x ln 3  C .

x
D.  3 dx 

C.  3x dx  3x1  C .

3x1
C.
x 1

Câu 33: Nguyên hàm của hàm số y  e3 x1 là

A.

1 3 x 1
e
C .
3

B. 3e3 x 1  C .

1
C.  e3 x 1  C .
3

D. 3e3 x 1  C .

Câu 34: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0  

F  x.
3
.
2
5
C. F  x   e x  x 2  .
2

Câu 35: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   5x là:
A. 5 .ln 5 .

Câu 36:

1
.
2
1
D. F  x   e x  x 2  .
2
B. F  x   2e x  x 2 

A. F  x   e x  x 2 

x

3
. Tính
2

5x
C.
B.
ln 5

5x1
C .
C.
x 1

D. 5x 1  C .


x

Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   22 x  3x  x  .

4 

A. F  x  

12 x 2 x x

C
ln12
3

B. F  x   12 x  x x  C

C. F  x  

22 x  3x x x 



ln 2  ln 3 4 x 

D. F  x  

22 x  3x x x ln 4 



ln 2  ln 3
4x 

11


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu37:

Cho f  x   3

x



ln 3
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f  x  ?
x







A. F  x   2 3 x  1  C .

B. F  x   2 3 x  1  C .

C. F  x   2.3 x  C .

D. F  x   3 x .

Câu 38: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

1

A.

 f  x  dx  2 ln

C.

 f  x  dx  e

x

2

ln x
.
x

xC .

C .

B.

 f  x  dx  ln x  C .

D.

 f  x  dx  ln

2

xC .

Câu 39: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   ex  cos x  2018 là:

Câu 40:

A. F  x   ex  sin x  2018x  C .

B. F  x   ex  sin x  2018x  C .

C. F  x   ex  sin x  2018x .

D. F  x   ex  sin x  2018  C .

Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x2  2 x  m  1 , f  2  1 và đồ thị của hàm số

y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là
A. x3  x 2  3x  5 .

B. x3  2 x 2  5 x  5 .

C. 2 x3  x 2  7 x  5 .

Câu 41: Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

F  3  7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng

D. x3  x 2  4 x  5 .

1
 m  1 thỏa mãn F  0  0 và
2 x 1

C. 3 .
D. 2 .
1
Câu 42: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
thỏa mãn F  5  2 và F  0  1
x 1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2 .

B. 3 .

A. F  1  2  ln 2 .

B. F  2  2  2ln 2 .

C. F  3  1  ln 2 .

Câu 43: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  .g  x  , biết F  2  5 ,

 g  x  dx 
A. F  x  

D. F  3  2 .

 f  x  dx  x  C và

x2
C .
4

x2
 4.
4

B. F  x  

x2
 5.
4

C. F  x  

x3
 5.
4

D. F  x  

x3
 3.
4

12


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 44: Cho hs y  f  x  thỏa mãn y  x2 y và f  1  1 thì giá trị f  2 là
A. e 2 .

C. e  1 .

B. 2e .

D. e3 .

CHUYÊN ĐỀ 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ CÁC
NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
+ Phương pháp
+ Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản
+ Cách giải:
+Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số  f  u(x).u ' (x)dx  F[u(x)]  C
( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ).
Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về
toàn bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan
giữa biểu thức và đạo hàm với nó ví dụ như:
1
t anx 

;s inx 
 cos x;....
cos 2 x

- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:



f (u(x)).u , (x).dx

+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức

a 2  x 2 . Đặt x = |a|sint (-



t )
2
2
|a|
 
x 2  a 2 . Đặt x =
( t  0;   \   )
cos t
2

a 2  x 2 hoặc a2 + x2 . Đặt x = |a|tgt ( 

1

Câu 1:

Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của


0

A.
Câu 2:

1
.
10

Tìm





t )
2
2

B.

1
.
5

x
4  5x2
1
C. .
2

dx ?
D.

1
.
3

ln x
dx có kết quả là.
x

13


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

x2
A.
 ln x  1  C .
2
Câu 3:

Nguyên hàm

A.
Câu 4:



1 2
ln x  ln x  C
2

Câu 6:

B.

 u



3



3

 4 x  3  2ln  2 x  2   C .

C.

 4 x  3  2 ln  2 x  2   C .

2dx

1

C. ln 2 x  ln x  C

1
D. x  ln 2 x  C
2

x3
dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào?
x 1

A.

2

40
.
3

C.  2  u 2  4 du .

 4 du .

B. 11.

D.

 u

2

 3du

2
.
4x  3

Cho hàm số F  x    x x 2  2dx . Biết F

2dx

1

2dx

1

3

B.

 4 x  3  2 ln 2 x  2  C .

D.

 4 x  3  4 ln 4 x  3  C .

 2   23 , tính F  7  .

C.

23
.
6

D. 7 .

 
Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2x.cos3 2x thỏa F    0 là
4
1
1
1
A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15

1
1
1
B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15

1
1
1

C. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15

1
1
4
D. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15

Câu 8: Tính tích phân A  
A. A   dt .
Câu 9:



Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

A.
Câu 7:

B. x  ln 2 x  C

Khi tính nguyên hàm

2dx

C. ln ln x  C .

x2
D. ln  C .
2

1  ln x
dx  x  0  bằng
x

A.  2u  u 2  4 du .
Câu 5:

1
B. ln 2 x  C
2
.

1
dx bằng cách đặt t  ln x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x ln x
1
1
B. A   2 dt .
C. A   tdt .
D. A   dt .
t
t

Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x và F  0  

3
1
. Giá trị F   là
2
2

14


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

A.
Câu10:

Câu11:

1
1
e .
2
2

B.

1
e2.
2

dx

.
1  ex
A. I  x  ln 1  e x  C .

B. I  x  ln 1  e x  C .

C. I   x  ln 1  e x  C .

D. I  x  ln 1  e x  C .

 x  1

Nếu F  x   

x2  2 x  3

B. F  x   ln

1 2
x  2x  3  C .
2





Tìm nguyên hàm
A.

1 2

x
32

C.

1 2
x
2

Tính
A.

Câu14:

Câu15:

1
e 1 .
2

dx thì

1
C. F  x   ln x 2  2 x  3  C .
2

Câu13:

D.

Tìm nguyên hàm I  

A. F  x  

Câu12:

C. 2e  1 .



7

7

16

16

x x2

7

15

x 1
x2  2 x  3

C .

D. F  x   x2  2x  3  C .

dx .

C.

B.

C.

D.

1 2
x
32

1 2
x
16

7

7

16

16

C.

C

dx
, kết quả là
1 x

2
C .
1 x

Nguyên hàm

B. 2 1  x  C .

C.

C
.
1 x

D. 1  x  C .

1

 1

dx bằng.
x
A. 2 x  2ln | x  1 | C .

B. 2 x  C .

C. 2ln | x  1| C .

D. 2 x  2ln | x  1| C .

Nếu F  x   
A. F  x  

 x  1
x2  2 x  3

dx thì

1 2
x  2x  3  C .
2

B. F  x   ln

x 1
x2  2 x  3

C .

15


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng





D. F  x   x2  2x  3  C .

1
C. F  x   ln x 2  2 x  3  C .
2
Câu16:

Một nguyên hàm của hàm số y  x 1  x 2 là:
A.

x2
2





3

1  x2 .

B.

1
3



1  x2



6

.

C.

1
3



f  x 

Câu 17: Giả sử một nguyên hàm của hàm số

B
. Hãy tính A  B .
1 x
8
A. A  B  .
B. A  B  2 .
3

1  x2



3

x2
1  x3

.



D.





x2
2

1

x 1 x



1  x2



2

có dạng

2

A 1  x3 

Câu18:





5

B. I 

1
u 5 du .
12 

C. I 

1
u 5 du .
16 

D. I 

1 5
u du .
4

 x  210
  x  112 dx bằng.

Nguyên hàm

1  x2
A. 
 C .
33  x  1 

1  x2
B. 
 C .
11  x  1 

1 x2
C. 
 C .
3  x 1 

1  x2
D.  
 C .
11  x  1 

11

11

11

11

Câu 20 : Nguyên hàm của f  x  

Câu 21:

D. A  B  2

Xét I   x3 4 x 4  3 dx . Bằng cách đặt u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng.
A. I   u5du .

Câu19:

8
C. A  B   .
3

1  ln x
là:
x.ln x

A.



1  ln x
dx  ln ln x  C .
x.ln x

B.



1  ln x
dx  ln x 2 .ln x  C .
x.ln x

C.



1  ln x
dx  ln x  ln x  C .
x.ln x

D.



1  ln x
dx  ln x.ln x  C .
x.ln x

Họ nguyên hàm của hàm số f  x  

A. 



1



2 2 x 1

 C.

B.



1



x 2 x 1

x
 C.
2 x 1

2

, x  0 là

C.

1
 C.
2 x 1

D. 

1
 C.
2 x 1

16


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 22: Cho  2x 3x  2 dx  A 3x  2  B 3x  2  C với A , B 
6

8

7

và C 

. Giá trị của

biểu thức 12 A  7 B bằng
A.

23
.
252

B.

Câu 23: Tìm nguyên hàm
A.

1 2
x
2

7

16

x( x 2

C.

241
.
252

C.

52
.
9

D.

7
.
9

7)15 dx
B.

1 2
x
32

7

16

C . C.

1 2
x
16

7

16

C . D.

1 2
x
32

7

16

C.

Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x2 4  x3 là
A.
Câu25:

4  x 

2
9

3 3

Cho f ( x) 

B. 2 4  x3  C .

C .

C.

1

9

4  x 

3 3

C.

D. 2

4  x 

3 3

C



2
x 1
x

x 2  1  5 , biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x 

2

3
thỏa F  0  6 . Tính F   .
4
123

125
A.
.
B.
.
16
16

C.

126
.
16

D.

127
.
16

 
Câu 26: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin3 x.cos x và F  0   . Tính F   .
2
1
 
  1
 
 
A. F     .
B. F     .

C. F       . D. F      .
4
2
2 4
2
2
Câu 27: Biết
A.



B.



C.



D.





Câu 28: Giả sử

1
x 1
sin x

2

cos x  1
sin x
2

cos x  1
sin x
2

cos x  1
sin x
2

cos x  1
2





dx  ln x  x 2  1  C . Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 





sin x
cos 2 x  1

dx  ln cos x  cos2 x  1  C .





dx   ln cos x  cos 2 x  1  C .





dx  ln x  cos2 x  1  C .





 2 x  3 dx

1

dx   ln x  cos2 x  1  C .

 x  x  1 x  2 x  3  1   g  x   C

( C là hằng số).

17

Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 .
A. 1

B. 1

D. 3

C. 3

Câu 29: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln 2 x  1.

1
ln x
và F 1  . Tính
x
3

 F  e  .
2

2
8
A.  F  e   .
3

2
8
B.  F  e   .

9

Câu 30: Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm trên

2
1
C.  F  e   .
3

2
1
D.  F  e   .
9

thỏa mãn f  x  . f   x   2 x

 f  x 

2

1

và f  0   0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn

1;3 lần lượt là
A. M  20 ; m  2 .

B. M  4 11 ; m  3 .

C. M  20 ; m  2 .

D. M  3 11 ; m  3 .

Câu 31: Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng  0;    \ e thỏa mãn f   x  

1
,
x  ln x  1

1
1
f  2   ln 6 và f  e2   3 . Giá trị của biểu thức f    f  e3  bằng
e
e 
A. 3ln 2  1.

B. 2ln 2.

C. 3  ln 2  1 .

D. ln 2  3.

DẠNG 2: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức
 u(x).v'(x)dx  u(x).v(x)   v(x).u '(x)dx (*)
+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng  f (x).g(x)dx trong các trường hợp
sau:
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức

-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit
-f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũ
Cách giải : - Dùng công thức (*)
- Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm)
Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

18


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

 P(x) cosx dx  P(x)sinx dx

 P(x)e dx
x

Câu 1:

Câu 2:

 P(x)lnx dx

U

P(x)

P(x)

P(x)

lnx

Dv

ex dx

cos xdx

sin xdx

P(x)

Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx

B.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx

C.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx

D.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y  ln x ?

1
x

A. y 

B. y  x  x ln x

C. y  ln x

D. y  x ln x  x

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x .
A.

C.
Câu 4:



1 3
f  x  dx  x 2  3ln x  2  C .
9

B.



2 3
f  x  dx  x 2  3ln x 1  C .
9

D.

Tìm



B.

x2
 ln x 1  C
2

Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  
trị của F  1  F  2 bằng
A.

Câu 6:



2 3
f  x  dx  x 2  3ln x  2  C .
9

ln x
dx có kết quả là:
x

A. ln ln x  C
Câu 5:



2 3
f  x  dx  x 2  3ln x  2  C .

3

10
5
ln 2  ln 5 .
3
6

Để tính

B. 0 .

C.

1 2
ln x  C
2

D. ln

x2
C .
2

ln  x  3
sao cho F  2  F 1  0 . Giá
x2

C.

7
ln 2 .
3

D.

2
3
ln 2  ln 5 .
3
6

 x ln  2  x  dx theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt:


u  x
A. 
.

dv  ln  2  x  dx


u  x ln  2  x 
B. 
.

dv  dx


u  ln  2  x 

C. 
.

dv  dx


u  ln  2  x 
D. 
.

dv  xdx

19


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 7:

Biết

 xe

2x

dx  axe2 x  be2 x  C  a, b  Q  . Tính tích ab .

1
A. ab   .
4

Câu 8:

B. ab 

1
.
4

1
C. ab   .
8

1
D. ab  .
8

Kết quả của I   xe x dx là
B. I  e x  xe x  C .

A. I  xe x  e x  C .

x2 x
e C .
2

C. I 

D. I 

x2 x x

e e C .
2

Câu 9: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 .
A. F 1  11e  3 .

B. F 1  e  3 .

D. F 1  e  2 .

C. F 1  e  7

Câu 10: Tính F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng?

1
A. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

1
B. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

1
C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

1
D. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

1  ln x
a
(ln x  b) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 
, trong đó a , b 
x2
x
. Tính S  a  b .
A. S  2 .
B. S  1 .
C. S  2 .
D. S  0 .

Câu 11: Cho F ( x) 

Câu 12: Biết

  x  3 .e

2 x

dx  

1 2 x
e  2 x  n   C , với m, n 
m

. Khi đó tổng S  m2  n2 có

giá trị bằng
A. 10 .

C. 65 .

B. 5 .
2

D. 41 .

x

Câu 13: Biết I    3x  1 e 2 dx  a  be với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b.
0

A. S  12 .

B. S  16 .

D. S  10 .

C. S  8 .

Câu 14: Họ các nguyên hàm của f  x   x ln x là:
A.

x2
1
ln x  x2  C.
2
4

1
B. x 2 ln x  x 2  C.
2

C.

x2
1
ln x  x2  C.
2
4

Câu 15: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e
A. 6 

15
.
e

B. 4 

10
.
e

C.

3

x

1
D. x ln x  x  C.
2

và F  0  2 . Hãy tính F  1 .

15
4.
e

D.

10
.
e

20


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 16: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn hệ thức  f  x  sin xdx   f  x  cos x    x cos xdx . Hỏi
y  f  x
là hàm số nào trong các hàm số sau?

Câu 17:

x
A. f  x   
.

ln 

x
B. f  x  
.
ln 

x
C. f  x    .ln  .

x
D. f  x    .ln  .





Xác định a , b , c để hàm số F  x   ax 2  bx  c e x là một nguyên hàm của

f  x    x 2  3x  2  e  x .

Câu 18:

A. a  1; b  1; c  1.

B. a  1; b  5; c  7.

C. a  1; b  3; c  2.

D. a  1; b  1; c  1.

Cho F ( x)  
f ( x) ln x .

f ( x)
1
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
3
x
3x

ln x 1

C .
x3 3x3
ln x 1
f ( x) ln xdx  3  3  C .
x
3x

ln x 1

C .
x3 5 x5
ln x 1
f ( x) ln xdx  3  5  C
x
5x

A.

 f ( x) ln xdx  

B.

 f ( x) ln xdx 

C.



D.



1

Câu 19: Cho a là số thực dương. Biết rằng F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  ln  ax   
x

1
thỏa mãn F    0 và F  2018  e2018 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
a
1 

 1

A. a  
B. a   0;

.
C. a 1;2018 .
D. a  2018;   .
;1 .
 2018 
 2018 

 x.e x với mọi x 
Câu 20: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x  .  f  x 
1
phương trình f  x    có bao nhiêu nghiệm?
e
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
2018

và f 1  1 . Hỏi

D. 2 .

BÀI TẬP KHÓ VỀ NGUYÊN HÀM:
Câu 1:

1
x. f   x    f  x  , x  1 và f  e    . Tính f  e2  .
2
1
1
1

B. f  e2    .
C. f  e2   .
D. f  e2   
4
4
3

Cho hàm số f  x  thỏa mãn

1
A. f  e2   .
3

21


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 2:

Cho hàm số f  x  xác định trên đoạn  2;2 thỏa mãn f  0   1 và f  x  . f   x   e2 x .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số h  x   xf  x  trên đoạn  2;2 .
A. min h  x   1;max h  x   2e2 .

B. min h  x   e1 ; max h  x   1 .

C. min h  x   e1;max h  x   2e2 .

D. min h  x   2e2 ;max h  x   2e2 .

[ 2;2]

[ 2;2]

Câu 3:

[ 2;2]

[ 2;2]

[ 2;2]

[ 2;2]

[ 2;2]

Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm trên

[ 2;2]

thỏa mãn f  x  . f   x   2 x

 f  x 

2

1

và f  0   0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn

1;3 lần lượt là

Câu 4:

A. M  20 ; m  2 .

B. M  4 11 ; m  3 .

C. M  20 ; m  2 .

D. M  3 11 ; m  3 .

Cho

hàm

số

f  x  0 ;

f 1  f  2   f  3  ...  f  2017  
A.
Câu 5:

a
 1 .
b

f   x    2 x  1 . f 2  x 

f 1  0,5 .Tính

và

tổng

a
a
;  a  Z ; b  N  với tối giản. Chọn khẳng định đúng
b
b

B. a   2017;2017  .

C. b  a  4035 .

Cho hàm số f  x  xác định trên R \ 0;2 và thỏa mãn f   x  

D. a  b  1 .

1
. Biết rằng
x  2x
2

1
3
f  2  f  4  0 và f    f    2018 . Tính T  f  1  f 1  f  5
2
2
1

1 9
A. T  ln 5  1009 .
B. T  ln  1009
2
2 5
1 9
1 9
C. T  ln  2018 . D. T  ln .
2 5
2 5
Câu 6:

Cho hàm số f  x  liên tục trên

và f  x   0 với mọi x 

. f   x    2x  1 f 2  x 

và f 1  0,5 . Tổng f 1  f  2  ...  f  27  bằng
A. 

26
.
27

B.

27
.
28

C.

26
.
27

D. 

27
.
28

22


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 7:

và thỏa mãn f  x   0 , x 

Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên

f  0   1 và

. Biết

f ' x
 2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình
f  x

f  x   m có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m  e .

D. 1  m  e .

C. 0  m  e .

B. 0  m  1 .

CHUYÊN ĐỀ 3:TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
1. Khái niệm tích phân
 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là  f (x)dx .
a

b

 f (x)dx  F(b)  F(a)
a

 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

 f (x)dx   f (t)dt   f (u)du  ...  F(b)  F(a)
 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
b

S   f (x)dx
a

2. Tính chất của tích phân
0

  f (x)dx  0

a

a

b

  f (x)dx   f (x)dx

0



b

b

b

b

a

a

a

b

b

  kf (x)dx  k  f (x)dx (k: const)
a

 f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx

a

b

c

b

a

a

c

  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx

b

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì  f (x)dx  0
a

b

b

a

a

 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì  f (x)dx   g(x)dx
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

u(b)

a

u(a)

 f u(x).u '(x)dx 



f (u)du

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b  K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:

23


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng

b

b

 udv  uv a   vdu
b

a

a

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

b

b

a

a

 vdu dễ tính hơn  udv .

DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT CỦA TÍCH PHÂN:
Câu 1:

Câu 2:

Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b và F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Tìm khẳng
định sai.
b
A.  f  x  dx  F  a   F  b  .
a

a
B.  f  x  dx  0 .
a

b
a

C.  f  x  dx    f  x  dx .
a
b

b
D.  f  x  dx  F  b   F  a  .
a

Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K .
Khẳng định nào sau đây sai?

a
A.  f  x  dx  1
a

b
a
B.  f  x  dx    f  x  dx
a
b

c
b
b
b
b
C.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, c   a; b  D.  f  x  dx   f  t  dt
a
a
c

a
a
Câu 3:

Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b và c   a; b . Tìm mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau.

c
b
a
A.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
a
c
b
b
c
c
C.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
a
a
c
Câu 4:

b
c
b
B.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
a
a
c

b
a
b
D.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
a
c
c

Cho hàm số f  t  liên tục trên K và a, b  K , F  t  là một nguyên hàm của f  t  trên

K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
b
b
b
A. F (a)  F (b)   f (t )dt .
B.  f (t )dt  F (t ) a .
a
a
b
b


C.  f (t )dt    f (t )dt  .
a

a

b
b
D.  f ( x)dx   f (t )dt .

a
a

24


Tài liệu chuyên đề ôn thi nguyên hàm- tích phân và ứng dụng
Câu 5:

Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Khi đó hiệu số F  0  F 1 bằng
1

A.



f  x  dx .

0

0

Câu 6:

1

B.   F  x  dx .

1

C.   F  x  dx .
0

1

D.   f  x  dx
0

Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên K , a, b  K . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
b
b
b
b
b
A.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . B.  kf  x  dx  k  f  x  dx .
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
C.  f  x  g  x  dx   f  x  dx.  g  x  dx .
D.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
a

a
a
a
a
a

Câu 7:

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai?

b
b
A.  f  x  dx   f  t  dt .
a
a
b
a
B.  f  x  dx    f  x  dx .
a
b

b
C.  kdx  k  a  b  , k 
a

.

b
c
b

D.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c   a; b 
a
a
c
Câu 8:

Giả sử f  x  là hàm liên tục trên

và các số thực a  b  c . Mệnh đề nào sau đây sai ?

b
a
c
A.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx. .
a
a
b
b
c
c
C.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx. .
a
a
b
Câu 9:

c
b
c
B.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx. .

a
a
b
b
b
D.  cf  x  dx  c  f  x  dx .
a
a

Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  trên  a; b . Phát biểu nào sau đây sai?

b
b
A.  f  x  dx   f  t  dt .
a
a

b
a
B.  f  x  dx    f  x  dx .
a
b

b
C.  f  x  dx  F  b   F  a  .
a

a
D.  f  x  dx  0 .
a

2

Câu 10:

Tính I   2 xdx . Chọn kết quả đúng:
1

25