CHUYÊN ĐỀ “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA VIỆC SÁNG TẠO BÀI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC”

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
ĐỔI MỚI SINH HOẠT CHUYÊN MÔN

GIÁO VIÊN: ………………..
CHỨC VỤ: TỔ PHÓ TỔ TOÁN – TIN
TRƯỜNG: THPT ………………..

CHUYÊN ĐỀ


“PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH
QUA VIỆC SÁNG TẠO BÀI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT LIÊN
QUAN ĐẾN ĐA GIÁC”

MÔN: TOÁN
PHẠM VI KIẾN THỨC: CHƯƠNG 2 – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG: HỌC SINH LỚP 11, 12
ÔN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THPT QUỐC GIA
SỐ TIẾT: 03

2


Mục lục

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA VIỆC SÁNG TẠO BÀI
TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC
PHẦN I: LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Có thể thấy rằng vấn đề rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong giảng dạy
bộ môn Toán đã thu hút đươc sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. Trong chương
trình Toán phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những nội dung quan trọng luôn xuất

hiện trong đề thi Trung học phổ thông quốc gia và đề thi học sinh giỏi. Tổ hợp và xác suất
được đánh giá là một trong những nội dung khó. Việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
qua viêc xây dựng các bài toán tổng quát giúp học sinh có cái nhìn rõ ràng hơn về dạng bài
toán này và các em cũng chủ động hơn trong việc tiếp cận bài toán, việc tự sáng tạo ra các bài
toán mới giúp các em rèn luyên được kĩ năng tư duy, tổng hợp kiến thức.

3


Với các lý do trên, tôi chọn chuyên đề: “Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh qua
việc xây dựng bài toán tổ hợp – xác suất” trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 ban
cơ bản nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở nhà trường phổ thông.

PHẦN II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
“PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA VIỆC SÁNG TẠO BÀI
TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC”
I. XÂY DỰNG BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TAM GIÁC, TỨ GIÁC TẠO RA TỪ CÁC ĐỈNH
CỦA MỘT ĐA GIÁC ĐỀU

a.
b.

Giải
a.

4

2n

ĐỈNH

( n ≥ 2.n ∈ ¥ )

O
Bài toán 1: Cho đa giác đều 6 cạnh nội tiếp đường tròn tâm . Hỏi:
O
Có bao nhiêu đường chéo qua tâm , bao nhiêu tứ giác, bao nhiêu hình vuông, bao
nhiêu hình chữ nhật, được tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều trên.
Có bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tam đều, bao nhiêu giác cân không đều, bao nhiêu
tam giác vuông được tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều trên.


•

•

•

•

O
6
3
Số đường chéo qua tâm : Do đa giác đều
đỉnh nên có cặp điểm đối xứng nhau
O
3
O
qua tâm do vậy có đường chéo đi qua tâm .
Số tứ giác: Để tạo thành 1 tứ giác từ các đỉnh của đa giác ta chọn 4 đỉnh bất kì của đa

C 64 = 15
giác đo. Do đó số tứ giác được tạo thành là
.
Số hình vuông: Để tạo thành hình vuông thì 4 đỉnh phải cách đều nhau. Như vậy 4 đỉnh
phải chia đường tròn ngoại tiếp đa giác thành 4 phần bằng nhau, bốn phần đường tròn
đó chứa số đỉnh còn lại bằng nhau, do đó số đỉnh còn lại phải chia hết cho 4. Như vậy
bài toán này không có hình vuông nào được tạo thành.
Số hình chữ nhật: Mỗi hình chữ nhật được tạo ra từ 4 đỉnh của đa giác đều sẽ có hai
O
đường chéo là hai đường chéo của đa giác đi qua tâm . Như vậy số hình chữ nhật

được tạo ra chính là số cách chọn 2 trong số
chữ nhật được tạo ra là

C 32 = 3

6
=3
2

đường chéo qua tâm

O

. Vậy số hình

.

b.
•

Số tam giác: Ta thấy cứ 3 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giac do đó số tam giác

C 63 = 20

•

được tạo thành là:
tam giác.
Số tam giác đều: Để tạo thành tam giác đều thì 3 đỉnh phải cách đều nhau. Chọn 3 đỉnh
6
=2
3

•

5

của tam giác đều chia đường tròn ngoại tiếp thành 3 phần bằng nhau, ta có
bộ 3
điểm như vậy nên có 2 tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều được tạo
thành.
Số tam giác cân không đều: Xét một đỉnh A bất kì của đa giác, ta có 2 cặp điểm đối
xứng với nhau qua đường thẳng OA, và mỗi cặp điểm này tạo với A một tam giác cân,
như vậy sẽ có 2 tam giác cân tại đỉnh A, 5 đỉnh còn lại tương tự sẽ có 2 tam giác cân tại
đỉnh đó tuy nhiên các tam giác cân này có cả các tam giác đều và tam giác đều thì cân
tại cả 3 đỉnh của nó nên các tam giác đều được tính 3 lần. Do đó số tam giác cân không
6.2 − 3.2 = 6
đều được tạo ra từ 6 đỉnh của đa giác đều là

•

Số tam giác vuông: Để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông khi và chỉ khi
O
có một cạnh là đường chéo qua tâm
của đường tròn ngoại tiếp đa giác, đỉnh còn lại

được chọn từ 4 đỉnh còn lại của đa giác. Đa giác có 6 đỉnh nên có

6
2

đường chéo qua

O

.

C 31 = 3
Số cách chọn 1 đường chéo là
.

C 41 = 4
Số cách chọn 1 đỉnh còn lại từ 4 đỉnh của đa giác là
.
Vậy số tam giác vuông được tạo thành là


3.4 = 12

tam giác.

O
Bài toán 2: cho đa giác đều 8 cạnh nội tiếp đường tròn tâp . Từ các đỉnh của đa giác
đều tạo được
O
a. Bao nhiêu đường chéo qua tâm
, bao nhiêu tứ giác, bao nhiêu hình vuông, bao
nhiêu hình chữ nhật không là hình vuông.
b. Bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tam giác đều, bao nhiêu tam giác cân không đều, bao
nhiêu tam giác vuông.

Giải.
a.
•
•
•

Số đường chéo là:

8
=4
2

C 84 = 70

Số tứ giác được tạo thành là:
.
Số hình vuông được tạo thành: Để 4 đỉnh tạo thành 1 hình vuông thì 4 đỉnh này chia

8
=2
4

•

đường tròn ngoại tiếp đa giác đều thành 4 phần bằng nhau, có
bộ bốn điểm như
vậy. Vậy có 2 hình vuông được tạo thành.
Số hình chữ nhật không là hình vuông được tạo thành: Mỗi hình chữ nhật được tạo
ra từ 4 đỉnh của đa giác đều sẽ có hai đường chéo là hai đường chéo của đa giác đi qua

tâm

O

. Như vậy số hình chữ nhật được tạo ra chính là số cách chọn 2 trong số

đường chéo qua tâm
6

O

8
=4
2

C 42 = 6
. Do đó số hình chữ nhật được tạo ra là
. Nhưng trong các

hình chữ nhật đó có cả 2 hình vuông. Vậy số hình chữ nhật không là hình vuông được
6− 2 = 4
tạo ra là:
.
b.
•
•
•

C 83 = 56

Số tam giác được tạo thành là:
Số tam giác đều được tạo thành: để tạo thành tao giác đều thì số cạnh của đa giác đều
phải chia hết cho 3 vậy không có tam giác đều nào được tạo thành.
Số tam giác cân không đều được tạo thành: theo phân tích ở bài toán trên và do

(

)

4 8 − 2 = 24

•




a.

b.

không có tam giác đều nên số tam giác cân không đều là:
.
1
1
C 4.C 6 = 24
Số tam giác vuông được tạo thành là:
Từ lời giải bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau:
n ≥ 2, n ∈ Ν
2n
Bài toán tổng quát 1: Cho đa giác đều
đỉnh
nội tiếp đường tròn tâm
O
. Từ các đỉnh của đa giác tạo thành
O
Bao nhiêu đường chéo qua tâm , bao nhiêu tứ giác, bao nhiêu hình vuông, bao nhiêu
hình chữ nhật?
Bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tam giác đều, bao nhiêu tam giác cân không đều, bao
nhiêu tam giác vuông?

(

)

Giải:
a.
•
•

•
-

•
-

2n
=n
2

O
Số đường chéo qua tâm là:
.
4
C 2n
Số các tứ giác:
.
Số các hình vuông là:
Nếu n không chia hết cho 2 thì không có hình vuông
2n n
=
4
2
Nếu n chia hết cho 2 thì số hình vuông là:
.
Số các hình chữ nhật không là hình vuông:
C n2
Nếu n không chia hết cho 2 thì số hình chữ nhật là:
.
C n2 −

b.
7

Nếu n chia hết cho 2 thì số hình chữ nhật không là hình vuông là:

n
2

.


•
•
-

•
-

3
C 2n

Số các tam giác:
Số các tam giác đều:
Nếu n không chia hết cho 3 nên không có tam giác đều.
2n
3
Nếu n chia hết cho 3 thì số tam giác đều là
Số các tam giác cân không đều:
n 2n − 2

Nếu n không chia hết cho 3 thì số tam giác cân là:
.

(

)

(

)

n 2n − 2 − 3
•

Nếu n chia hết cho 3 thì số tam giác cân không đều là:
C n1.C 21n −2 = n 2n − 2
Số các tam giác vuông là:

(

2n
= 2n(n− 2)
3

)

Bài tập áp dụng:
Bài 1. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
đỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác.
n

1. Với điều kiện nào của thì có tam giác đều?
n
A. chia hết cho 3.
C.

n

là số lẻ

n

n

cạnh

B.
D.

n
n

( n ≥ 4,n ∈ Ν )

. Xét các tam giác có ba

là số chẵn
chia hết cho 4

2. Với điều kiện nào của thì có tam giác vuông?
n

n
A. là số tự nhiên chia hết cho 3.
B. là số tự nhiên chẵn
n
n
C. là số tự nhiên lẻ
D. là số tự nhiên tùy ý.
( n ≥ 4, n ∈ Ν )
n
Bài 2. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có cạnh
. Xét các tứ giác có bốn
đỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác.
n
1. Với điều kiện nào của thì trong các tứ giác đó có hình chữ nhật?
n
n
A. chia hết cho 3.
B. là số chẵn
n
n
C. là số lẻ
D. chia hết cho 4
n

2. Với điều kiện nào của thì trong các tứ giác đó có hình vuông?
n
n
A. là số tự nhiên chia hết cho 3.
B. là số tự nhiên chẵn
n

n
C. là số tự nhiên lẻ
D. là số chia hết cho 4.
8


Bài 3. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
từ các đỉnh của đa giác. Khi đó:
1. Có bao nhiêu tứ giác tất cả?
210
200
A.
B.
2. Có bao nhiêu tứ giác là hình vuông?
0
200
A.
B.
3. Có bao nhiêu tứ giác là hình chữ nhật?
10
0
A.
B.

10

cạnh. Xét các tứ giác có bốn đỉnh được lấy

C.
C.

C.

120
120
120

D.
D.
D.

10
10
10

12

Bài 4. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
đỉnh. Xét các tứ giác có bốn đỉnh được lấy
từ các đỉnh của đa giác. Khi đó:
1. Có bao nhiêu tứ giác tất cả?
495
200
120
10
A.
B.
C.
D.
2. Có bao nhiêu tứ giác là hình vuông?
3

5
6
4
A.
B.
C.
D.
3. Có bao nhiêu tứ giác là hình chữ nhật không là hình vuông?
15
3
10
12
A.
B.
C.
D.
Bài 5. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
từ các đỉnh của đa giác. Khi đó:
1. Có bao nhiêu tam giác đều?
48
52
A.
B.
2. Có bao nhiêu tam giác cân không đều?
48
52
A.
B.
3. Có bao nhiêu tam giác cân?
48

52
A.
B.
4. Có bao nhiêu tam giác vuông?
48
52
A.
B.

12

Bài 6. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
đỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác. Khi đó:
1. Có bao nhiêu tứ giác?
27405
12000
A.
B.
9

cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy

C.
C.
C.
C.

30

56

56
56
56

D.
D.
D.
D.

4
4
4
60

đỉnh. Xét các tứ giác, các tam giác có ba

C.

4060

D.

27000


2. Có bao nhiêu tứ giác là hình vuông?
0
5
4
A.

B.
C.
3. Có bao nhiêu tứ giác là hình chữ nhật không là hình vuông?
435
415
345
A.
B.
C.
4. Có bao nhiêu tam giác?
4860
4452
4604
A.
B.
C.
5. Có bao nhiêu tam giác đều?
48
52
56
A.
B.
C.
6. Có bao nhiêu tam giác cân không đều?
485
390
560
A.
B.
C.

7. Có bao nhiêu tam giác cân?
485
390
560
A.
B.
C.
8. Có bao nhiêu tam giác vuông?
480
452
420
A.
B.
C.

D.
D.
D.
D.
D.
D.
D.

6

543

4060

10

400

400
460

II. TƯ DUY SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN TỪ BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
Từ bài toán tổng quát xây dựng ở trên ta có thể đếm được số tam giác, tứ giác được tạo ra từ
các đỉnh của một hình đa giác và từ đó chúng ta có thể sáng tạo ra các bài toán mới về tổ hợp
và xác suất nhờ vào kết quả của bài toán cụ thể. Sau đây là một số ví dụ minh họa.

30

S

4
là tập hợp các tứ giác tạo thành có đỉnh lấy
S
từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của , tính xác suất để được một
hình chữ nhật.
Bài 1. Cho một đa giác đều có

Giải:
10

cạnh. Gọi


Số phần tử của không gian mẫu là số tứ giác được tạo ra từ các đỉnh của đa giác đều
4
W= C30

= 27405
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
.
''
''
A
Gọi
là biến cố tứ giác được chọn là hình chữ nhật .
1
WA = C105
= 105
A
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
W
105
1
P ( A) = A =
=
W 27405 261
Vậy xác suất cần tính
.
Từ bài toán trên chúng ta suy ra bài toán ngược của bài toán này như sau:

2n

( n ≥ 2,n ∈ Ν )

S
Bài 1.1. Cho một đa giác đều có

cạnh
. Gọi
là tập hợp các tứ giác tạo
S
4
thành có đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của , biết

rằng xác suất để chọn được một hình chữ nhật là

1
261

. Tìm

n

?

Giải:
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi

A

4
W= C2n

''

.

''

là biến cố tứ giác được chọn là hình chữ nhật .
WA = Cn2
A
Suy ra số phần tử của biến cố
là
.
WA
Cn2
P ( A) =
= 4
W
C2n
A
Xác suất của biến cố là:
.
Cn2
1
=
Û n = 15
C24n 261
Theo giả thiết ta có
16
Bài 2. Từ kết quả của bài toán đa giác đều
đỉnh. Ta thấy số các tam giác là 560, số các hình
1
C 82 = 28
C 81.C 14
= 112

560 = 20.28
chữ nhật là
, số các tam giác vuông là
. Ta thấy
và

112 1
=
560 5

11

Do đó ta sáng tạo ra hai bài toán sau:


( n³

2n

2, n Î ¥ * )

( O)

Bài 2.1. Cho một đa giác đều
đỉnh
nội tiếp đường tròn
. Biết rằng số
3
2n
20

4
tam giác có các đỉnh là trong
đỉnh nhiều gấp
lần số hình chữ nhật có các đỉnh là
2n
n
trong
đỉnh. Tìm ?
Giải:
Số tam giác có các đỉnh là
Số hình chữ nhật tạo ra từ

3

trong

2n

2n

đỉnhr là:

đỉnh là
2
C2n

( 2n) !

C23n = 20Cn2 Û

3
C2n

.

= 20

n!
2!( n- 2) !

3!( 2n - 3) !
Theo giả thiết, ta có
2n( 2n - 1)( 2n- 2)
n( n- 1)
Û
= 20
Û 2n- 1= 15 Û n = 8
6
2
Vậy

n= 8

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 2.2. Cho một đa giác đều gồm

2n

.

2n

đỉnh

( n ³ 2, n Î ¥ )

. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số

đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là

Giải

2n
đỉnh trong
đỉnh của đa giác.
3
W= C2n
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
.
''
''
A
Gọi
là biến cố Ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông .
WA = n( 2n- 2)
A
Suy ra số phần tử của biến cố
là
.

W
n( 2n - 2)
P ( A) = A =
W
C23n
A
Do đó xác suất của biến cố
là
n( 2n - 2) 1
6n( 2n - 2)
1
= Û
= Û n=8
3
C2n
5 2n( 2n - 1)( 2n - 2) 5
Theo giả thiết, ta có
.
Không gian mẫu là số cách chọn

12

3

1
5

. Tìm

n

?


Vậy

n= 8

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3. Từ kết quả của bài toán đa giác đều 12 đỉnh ta có số tứ giác là

C = 15
2
6

. Ta thấy

495

số hình chữ nhật là

15
1
=
495 33

ta có thể sáng tạo ra hai bài toán sau:
( O)
( n ³ 2, n Î ¥ )

2n
Bài 3.1. Cho một đa giác đều
đỉnh
nội tiếp đường tròn
. Chọn ngẫu
4
n
4
nhiên đỉnh của đa giác đó. Tìm để xác suất đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ
1
33

nhật là

.

Bài 3.2. Cho một đa giác đều

2n

nội tiếp đường tròn

( O)

. Biết rằng số tứ
n
giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác đều gấp 33 lầ số hình chữ nhật tạo ra từ các đỉnh đó. Tìm


đỉnh

( n ³ 2, n Î ¥ )

Như vậy từ bài toán tổng quát đã nêu, ta có thể sáng tạo ra rất nhiều các bài toán tổ
hợp xác suất.

Bài tập áp dụng

2n

( n ≥ 2,n ∈ Ν )

Bài 1. Cho đa giác đều
cạnh
, biết rằng số tứ giác tạo ra từ các đỉnh của đa
giác đều gấp 17 lần tổng số hình chữ nhật và tam giác vuông có đỉnh là các đỉnh của đa giác
n
đều đó. Tìm ?

A.

n = 9

n = 7

B. 9

2n

C. 8

D. 7

( n ≥ 2,n ∈ Ν )

Bài 2. Cho đa giác đều
cạnh
, biết rằng số tam giác tạo ra từ các đỉnh của
đa giác đều gấp 140 lần số hình vuông có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều đó. Tính số tam
giác vuông được tạo ra từ các đỉnh của đa giác đều đó.
A.

13

8

B. 10

C. 12

D. 7


Bài

3.

Cho

đa giác

n

đỉnh

( n ≥ 5,n ∈ Ν )

,

biết

n

thỏa

mãn

đẳng

thức:

C n1 + 2C n2 + 3C n3 + .... + nC nn = 128n

. Hỏi số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác sao cho
không có cạnh nào là cạnh của đa giác là bao nhiêu?
A.

16

B. 17

Bài 4. Cho đa giác đều

2n

đỉnh

C. 18

( n ≥ 2,n ∈ Ν )

. Biết rằng số tam giác được tạo ra từ các đỉnh

của đa giác mà có 2 cạnh là cạnh của đa giác bằng
n
đỉnh của đa giác đều trên. Tìm ?.
A.

21

B. 22

Bài 5. Cho đa giác

n

đỉnh

D. 19

1
20

số tam giác vuông được tạo ra từ các

C. 23

( n ≥ 5,n ∈ Ν )

D. 24

. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác, biết xác suất

để chọn được 3 đỉnh tạo thành một tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác là
A.

14

B. 15

Bài 6. Cho đa giác đều
đa giác đều,

S2

một phần tử từ
S1

cạnh

( n ≥ 2,n ∈ Ν )

, gọi

6

. Tìm

n

?

D. 17
S1

là tập các tam giác ra từ các đỉnh của

là tập các tứ giác được tạo ra từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên

S1

và một phần tử từ

S2

, biết rằng xác suất để lấy được một tam giác vuông từ

gấp 45 lần xác suât để lấy được một hình vuông từ
A.

14

2n

C. 16

5
13

B. 7

C. 8

S2

. Tìm

n

?

D. 9


Bài 7. Cho đa giác đều

2n

đỉnh

( n ≥ 2,n ∈ Ν )

. Biết rằng xác suất để chọn được 3 đỉnh của

tam giác tạo thành một tam giác vuông không lớn hơn

5
12

của đa giác để tạo thành một hình chữ nhật không nhỏ hơn
A.

5

B. 6

C. 7

và xác suất để chọn được 4 đỉnh

1
24

. Tìm

n

.

D. 8

III. XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT SỐ TAM GIÁC TẠO RA TỪ CÁC ĐỈNH
CỦA ĐA GIÁC LỒI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI
1. Xây dựng bài toán đếm số tam giác trong đa giác lồi
7
 Xét bài toán: Cho đa giác lồi
đỉnh. Từ các đỉnh của đa giác có thể lâp được bao
nhiêu:
15


a.
b.
c.
d.

Tam giác, tam giác có 3 cạnh là cạnh của đa giác.
Tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác.
Tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác.
Tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

Giải:
a.

C 73 = 35

Số tam giác được tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi 7 đỉnh là:
Số tam giác có 3 cạnh là cạnh của đa giác lồi: không có
Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi mà có hai cạnh là cạnh của đa giác là việc
7

chọn 3 đỉnh liên tiếp từ các đỉnh của đa giác đo, nên số tam giác là: .
Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là tam



b.

c.

giác có 2 đỉnh liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kế tiếp 2 đỉnh kia.
Cứ 2 đỉnh liên tiếp là 1 cạnh của đa giác, nên chọn 1 cạnh từ
cách. Sau đó, đỉnh còn lại chọn từ

7- 4 =3

cạnh của đa giác có

7

đỉnh còn lại trừ đi 2 đỉnh đã cho và 2 đỉnh

kế tiếp nó.
Vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là
d.

7

7 ( 7 - 4) = 21

tam giác.

Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác
bằng số tam giác được tạo ra trừ đi tổng số tam giác có 1 cạnh và hai cạnh là cạnh của
đa giác. Nên kết quả là:

C 73 − 7 − 21 = 7

tam giác.

Từ các tư duy để giải bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau:


a.
b.
c.
d.

Bài toán tổng quát 2: Cho đa giác lồi
ra từ các đỉnh của đa giác sao cho:
Các đỉnh bất kì
Có hai cạnh là cạnh của đa giác
Có 1 cạnh là cạnh cả đa giác
Không có cạnh nào là cạnh của đa giác

n

đỉnh

( n ≥ 4,n ∈ ¥ )

Giải:
a.

16

Số tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác là

Cn3

. Xác định số tam giác tạo


Số tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên
n
tiếp của đa giác nên có tam giác như vậy.
c. Tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là tam giác có 2 đỉnh liên tiếp của đa giác
và đỉnh còn lại không kế tiếp 2 đỉnh kia.
n
n
Cứ 2 đỉnh liên tiếp là 1 cạnh của đa giác, nên chọn 1 cạnh từ cạnh của đa giác có
n- 4
cách. Sau đó, đỉnh còn lại chọn từ
đỉnh còn lại trừ đi 2 đỉnh đã cho và 2 đỉnh kế
tiếp nó.
n ( n - 4)
Vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là
tam giác.
3
Cn - n - n ( n - 4 )
d. Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là

Ví dụ:
b.

Cho đa giác

35

cạnh. Theo bài toán tổng quát 2 ta có các kết quả sau:

+ Số tam giác được tạo ra từ các đỉnh của đa giác là:

6545

.

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác là:
+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác là:

35
.

1085

.

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là:

5425
.

2. Sáng tạo bài toán mới
35
Bài 1: Cho đa giác lồi
cạnh. Theo bài toán tổng quát 2 ta có các kết quả sau:
+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác là:
+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác là:

35

1085

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là:

Ta thấy

17

5425
=5
1085

và

1085
= 31
35

do đó ta sáng tạo ra hai bài toán sau:

5425

Bài 1.1. Cho đa giác
đỉnh của
đỉnh của
Giải:

(H)
(H)

(H)

có

n

đỉnh

( n Î ¥ , n > 4)

và không có cạnh nào là cạnh của
và có đúng

Số tam giác tạo thành có

1

cạnh là cạnh của

3

(H)

. Tìm

(H)

n

gấp

, biết số các tam giác có

5

lần số các tam giác có

3
3

đỉnh là
đỉnh là

.
Cn3

3

đỉnh là đỉnh của đa giác là .
n

2
Số tam giác tạo thành có đúng cạnh là cạnh của đa giác là .
n( n- 4)
1
Số tam giác tạo thành có đúng cạnh là cạnh của đa giác là
.
Suy ra số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là
Cn3 - n- n( n- 4) = 5.n( n- 4)
Theo giả thiết, ta có
n!
Û Cn3 = 6.n( n - 4) + n Û
= 6.n( n- 4) + n
3!.( n - 3) !
Û

( n- 2)( n - 1)
6

Do

n> 4

Cn3 - n- n( n- 4)

.

én = 35
= 6( n- 4) +1Û n2 - 39n +140 = 0 Û ê
.
ê

ën = 4

n= 35

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(H)
( n Î ¥ , n > 4)
n
n
3
Bài 1.2. Cho đa giác lồi
có đỉnh
. Tìm , biết số các tam giác có đỉnh
là đỉnh của
của

(H)

nên ta chọn

(H)

và có

và có đúng

2

1

cạnh là cạnh của

cạnh là cạnh của

(H)

gấp

31

lần số các tam giác có

3

đỉnh là đỉnh

(H)

.
n = 35

Giải như bài toán trên ta cũng có kết quả
14
Bài 2. Cho đa giác lồi
đỉnh. Theo bài toán tổng quát ta có các kết quả sau
+ Số tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác lồi là:

3
C 14
= 364

.

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi có đúng một cạnh là cạnh của đa giác là:
+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi có hai cạnh là cạnh của
18

(H)

là: 14

140

.


Ta thấy

140 5
=
364 13

và

14
1
=
140 10

Bài 2.1. Cho đa giác lồi

của

(H)

cạnh của

(H)

do đó ta có thể sáng tạo ra hai bài toán sau:

có

n

( n Î ¥ , n ³ 4)

đỉnh

. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh từ các đỉnh

. Biết xác suất để ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác có đúng một cạnh là

(H)

là

5
13

. Tìm

n

?

Giải:
Ta có không gian mẫu

Ω

: “ chọn 3 đỉnh bất kì từ các đỉnh của đa giác

Xét biến cố

”

Ω = C n3

Số phần tử của không gian mẫu:

A

(H)

: “ ba đỉnh chọn được tạo thành tam giác có đúng một cạnh là cạnh của

(

)

(

)

(H)

”

A =n n−4
Số phần tử của biến cố:

( )

P A =
Theo giả thiết ta có:
Bài 2.2. Cho đa giác lồi
của

của

(H)
(H)

(H)

n n−4
C n3

có

n

.
=

.
đỉnh

( n Î ¥ , n ³ 4)

. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh từ các đỉnh

. Biết xác suất để ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác có đúng hai cạnh là cạnh

là

1
10

. Tìm

n

?

Cách là tương tự như bài trên ta cũng có
Bài tập tương tự

19

5
⇔ n = 14
13

n = 14
.


Bài

1:

Cho

đa

giác

n

đỉnh

( n ≥ 5,n ∈ Ν )

,

biết

n

thỏa

mãn

đẳng

thức:

C n1 + 2C n2 + 3C n3 + .... + nC nn = 128n

. Hỏi số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác sao cho
không có cạnh nào là cạnh của đa giác là bao nhiêu?

n

( n ≥ 5,n ∈ Ν )

n

( n ≥ 5,n ∈ Ν )

Bài 2: Cho đa giác cạnh
. Biết rằng số tam giác được tạo ra từ các đỉnh của
đa giác mà có một cạnh là cạnh của đa giác gấp 6 lần số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa
n
giác. Tìm ?
Bài 3: Cho đa giác

đỉnh

. chọn ngẫu nhiên

3

đỉnh của đa giác, biết rằng xác

3
suất để điểm được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là
n
Tìm ?

PHẦN III: KẾ HOẠCH VÀ GIÁO ÁN CHI TIẾT
A. Kế hoạch
TIẾT
20

NỘI DUNG

VỊ TRÍ NỘI DUNG

2
7

.


1
2
3

Xây dựng bài toán đếm số tam giác, tứ giác từ các
đỉnh của đa giác đều
Tư duy sáng tạo bài toán mới từ bài toán đa giác đều
Tư duy sáng tạo bài toán tìm số tam giác từ các đỉnh
của một đa giác lồi bất kì

TRONG CHUYÊN ĐỀ
Phần II. Mục I
Phần II. Mục II
Phần II. Mục III

B. Giáo án chi tiết
CHUYÊN ĐỀ: “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA BÀI TOÁN
TỔ HỢP”
I. Mục tiêu
1. Kiến thức:
- Học sinh nắm vững các kiến thức về: Hai quy tắc đếm, Hoán vị, chỉnh hợp chập k của n
phần tử và tổ hợp chập k của n phần tử .
- Nắm vững các công thức tính số phần tử của hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp và các tính chất
của chúng.
2. Kĩ năng:
- Giải quyết thành tạo các bài toán tổ hợp và xác suất.
- Tính được số các hoán vị, chỉnh hợp chập k của n phần tử và tổ hợp chập k của n phần tử .
- Kĩ năng tính toán và giải phương trình đại số.
- Kỹ năng tư duy logic
3.Thái độ:
- Phát huy thái độ nghiêm túc, tích cực trong học tập.
- Sẵn sàng hợp tác nhóm.
4. Định hướng phát triển năng lực:
- Năng lực tự học; Năng lực giao tiếp, hợp tác. Năng lực tư duy sáng tạo; năng lực tính toán.

- Năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng các công cụ toán học.
II. Phương pháp - Kĩ thuật dạy học
- Phương pháp: Nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm giải quyết vấn đề.
21


- Kĩ thuật: Động não công khai, Động não không công khai.
III. Chuẩn bị của GV và HS
Giáo viên: Thiết kế bài học, chọn lọc bài tập.
Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức trong chương tổ hợp và xác suất
IV. Tiến trình bài học:
1. Tổ chức:
Lớp

Ngày dạy

Sĩ số

Tên HS vắng

2. Kiểm tra: Lồng trong bài học (Phần khởi động)
3. Bài mới:
TIẾT 1: XÂY DỰNG BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TAM GIÁC, SỐ TỨ GIÁC TẠO RA TỪ
CÁC ĐỈNH CỦA MỘT ĐA GIÁC ĐỀU
1. Hoạt động khởi động (5 phút)
Chia lớp thành 4 nhóm giao nhiệm vụ cho từng nhóm
Bài toán 1: Cho đa giác đều 6 cạnh nội tiếp đường tròn tâm
a.

b.

b.

22

. Hỏi:

O
Có bao nhiêu đường chéo qua tâm , bao nhiêu tứ giác, bao nhiêu hình vuông, bao
nhiêu hình chữ nhật không là hình vuông tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều. (Nhóm
1)
Có bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tam giác đều, bao nhiêu tam giác cân không đều, bao
nhiêu tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều. (Nhóm 2)

Bài toán 2: Cho đa giác đều 8 cạnh nội tiếp đường tròn tâp
a.

O

O

. Hỏi:

O
Có bao nhiêu đường chéo qua tâm , bao nhiêu tứ giác, bao nhiêu hình vuông, bao
nhiêu hình chữ nhật không là hình vuông tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều. (Nhóm
3)
Có bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tam giác đều, bao nhiêu tam giác cận không đều, bao
nhiêu tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều. (Nhóm 4)

2. Hoạt động hình thành kiến thức (15 phút)
Hoạt động học

Nội dung kiến thức

Nội dung 1: Hình thành bài toán tổng 1. Hình thành bài toán tổng quát về tìm số
quát tìm số tứ giác
đường chéo qua tâm đường tròn ngoại tiếp
và số tứ giác.
- GV: Yêu câu đại diện nhóm 1 và 3
2n
lên trình bày lời giải của nhóm
Bài toán tổng quát: cho đa giác đều
mình.
- HS: Đại diện lên trình bày lời giải,
n ≥ 2, n ∈ Ν
đỉnh, nội tiếp đường tròn tâm
các nhóm khác theo dõi và nhận xét.
- GV: Yêu cầu học sinh tìm sự giống O
và khác nhau của hai lời giải của hai
nhóm. Từ đó hình thành cho học Khi đó:
sinh bài toán tổng quát.
n
O
- HS: Trả lời câu hỏi
 Số đường chéo qua tâm
là:
 Giống nhau: Cách tìm số

 Số tứ giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác
đường chéo, cách tìm số tứ
4
C 2n
giác.
là:
 Khác nhau: Ở bài 1a không có
 Số hình vuông tạo ra từ các đỉnh của đa
hình vuông do số đỉnh không
giác đều: Nếu số đỉnh của đa giác đều
chia hết cho 4, ở bài 2a có
2n n
hình vuông được tạo ra từ đó
=
4
2
dẫn đến sự khác nhau về cách
chia hết cho 4 thì có
hình
tìm số hình chữ nhật không là
vuông. Nếu số đỉnh của đa giác đều
hình vuông.
không chia hết cho 4 thì không có hình

(

)

vuông nào được tạo ra.


C n2

Số các hình chữ nhật là:
. Nếu số
đỉnh chia hết cho 4 thì số hình chữ nhật
C n2 −

không là hình vuông là:

n
2

.

Nội dung 2: Hình thành bài toán tổng 2. Hình thành bài toán tổng quát về tìm số
quát tìm số tam giác
tam giác tạo ra từ các đỉnh của một đa giác
đều.
GV: Yêu cầu đại diện nhóm 2 và 4 lên trình
2n
bày bài làm của nhóm.
Bài toán tổng quát: Cho đa giác đều
đỉnh
HS: Đại diện lên trình bày bài làm của
23


nhóm mình. Các nhóm khác theo dõi và
nhận xét.

( n ≥ 2,n ∈ ¥ )

nội tiếp đường tròn tâm

O

.

GV: Yêu cầu học sinh tìm sự giống và Khi đó từ các đỉnh của đa giác đều có:
khác nhau trong hai lời giải về cách tìm các
3
C 2n
loại tam giác.
 Số tam giác được tạo ra là:
Học sinh: trả lời câu hỏi:
 Số tam giác đều: Nếu số đỉnh của đa




Giống nhau: giống nhau trong cách
tìm ra số tam giác và số tam giác
vuông
Khác nhau: trong bài toán 1b có tam
giác đều được tạo ra do số đỉnh của
đa giác chia hết cho 3, ở bài toán 2b
không có tam giác đều do số đỉnh
của đa giác đều không chia hết cho
3. Do đó dẫn đến sự khác nhau về

cách tìm số tam giác cân không đều.

2n
3



giác đều chia hết cho 3 thì có
tam
giác đều. Nếu số đỉnh của đa giác đều
không chia hết cho 3 thì không có tam
giác đều.
Số tam giác cân không đều: Nếu số đỉnh
của đa giác chia hết cho 3 thì có

(

)

2n n − 1 −

2n
.3 = 2n n − 2
3

(

)

tam giác

cân không đều. Nếu số đỉnh của đa giác

(

)

2n n − 1



không chia hết cho 3 thì có
tam giác cân không đều.
Số
tam
giác

(

vuông:

)

C n1.C 21n −2 = n 2n − 2

3. Hoạt động luyện tập (10 phút)
Dựa vào bài toán tổng quát vừa xây dựng, yêu cầu học sinh hoạt động cá nhân giải các bài
toán sau:
Bài 1. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
đỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác.
n

1. Với điều kiện nào của thì có tam giác đều?
n
A. chia hết cho 3.
C.
24

n

là số lẻ

n

cạnh

B.
D.

n
n

( n ≥ 4, n ∈ ¥ )

. Xét các tam giác có ba

là số chẵn
chia hết cho 4


n
2. Với điều kiện nào của thì có tam giác vuông?

n
n
A. là số tự nhiên chia hết cho 3.
B. là số tự nhiên chẵn
n
n
C.
là số tự nhiên lẻ
D. là số tự nhiên tùy ý.
( n ≥ 4, n ∈ ¥ )
n
Bài 2. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có cạnh
. Xét các tứ giác có bốn
đỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác.
n
1. Với điều kiện nào của thì trong các tứ giác đó có hình chữ nhật?
n
n
A. chia hết cho 3.
B. là số chẵn
n
n
C.
là số lẻ
D. chia hết cho 4
n
2. Với điều kiện nào của thì trong các tứ giác đó có hình vuông?
n
n
A. là số tự nhiên chia hết cho 3.

B. là số tự nhiên chẵn
n
n
C.
là số tự nhiên lẻ
D. là số chia hết cho 4.
10
Bài 3. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
cạnh. Xét các tứ giác có bốn đỉnh được lấy
từ các đỉnh của đa giác. Khi đó:
1. Có bao nhiêu tứ giác tất cả?
210
200
120
10
A.
B.
C.
D.
2. Có bao nhiêu tứ giác là hình vuông?
0
200
120
10
A.
B.
C.
D.
3. Có bao nhiêu tứ giác là hình chữ nhật?
10

0
120
10
A.
B.
C.
D.

12

Bài 4. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
đỉnh. Xét các tứ giác có bốn đỉnh được lấy
từ các đỉnh của đa giác. Khi đó:
1. Có bao nhiêu tứ giác tất cả?
495
200
120
10
A.
B.
C.
D.
2. Có bao nhiêu tứ giác là hình vuông?
3
5
6
4
A.
B.
C.

D.
3. Có bao nhiêu tứ giác là hình chữ nhật không là hình vuông?
15
3
10
12
A.
B.
C.
D.
Bài 5. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có
từ các đỉnh của đa giác. Khi đó:
25

12

cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy