TIỂU LUẬN ỨNG DỤNG đạo hàm

A- PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Ngày nay, khi Toán học trở thành một yếu tố hết sức gần gũi, quen thuộc và không
kém phần quan trọng trong các lĩnh vực nghiên cứu, lĩnh vực kinh tế - kỹ thuật, đời
sống chúng ta. Đặc biệt là Toán Giải tích có một ý nghĩa hết sức quan trọng, nó giúp ta
giải được các bài toán nhanh, gọn và chính xác. Và ứng dụng đạo hàm của hàm số
trong giải toán phổ thông luôn luôn là đề tài mới mẻ, hấp dẫn đối với giáo viên, sinh
viên và học sinh khi nghiên cứu vần đề này. Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm trong khảo
sát hàm số là phần cực kỳ quan trọng trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh
vào Đại học. Chính vì những lý do trên và mong muốn thực hiện đề tài nghiên cứu
khoa học tốt nghiệp ra trường nên tôi chọn đề tài : “Đạo hàm và một số ứng dụng trong
khảo sát hàm số”.
2.Mục đích nghiên cứu
Xuất phát từ việc nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số giúp tôi
có cái nhìn sâu sắc, toàn diện hơn và cũng cố lại kiến thức phổ thông của mình, rèn
luyện kỹ năng nghiên cứu tài liệu của mình. Đặc biệt, việc hoàn thành đề tài này giúp
tôi hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp – Toán học để tốt nghiệp ra trường.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu kỹ từng dạng toán của ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.
4.Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo các tài liệu ứng dụng của đạo hàm về khảo sát hàm số sau đó trình bày
lại một cách lôgic cho từng chủ đề nghiên cứu.
5.Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các dạng toán trong chương trình toán phổ thông và thi tuyển sinh vào
Đại học.
6.Cấu trúc nội dung
Nội dung bao gồm 2 chương : Chương 1 nêu lại kiến thức về đạo hàm và chương 2
gồm bốn chủ đề liên quan đến ứng dụng đạo hàm trong khảo sát hàm số. Mỗi chủ đề
bao gồm các kiến thức liên quan đến chủ đề và các dạng toán ứng dụng cho chủ đề đó.
Chương 2 có 4 chủ đề :
+Tính đơn điệu của hàm số

Trần Duy Tân - 1070037

trang 1


+ Cực trị của hàm số
+ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
+ Sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số và tiếp tuyến của đồ thị hàm số.


Trần Duy Tân - 1070037

trang 2


B - PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1 : ĐẠO
1.1
1.1.1

HÀM

Một số khái niệm và định nghĩa đạo hàm.
Đạo hàm tại một điểm.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0∈ (a; b). Khi đó đạo hàm tại điểm
x0 là: f '( x0 ) =

∆y

f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 )
= lim
lim
∆x
∆ x→ 0 ∆ x ∆ x→ 0
hay f '( x0 ) = lim
x→ x0

1.1.2

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

Đạo hàm một bên

Cho hàm số y=f(x) xác định trên nửa khoảng [x0; b) . Đạo hàm phải tại điềm x0 là :
f '( x0 ) =

lim
x→ x0+

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên nửa khoảng (a; x0] . Đạo hàm trái tại điềm x0 là :
f '( x0 ) =

lim

x → x0−

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

.

+
−
Vậy hàm số có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f '( x0 ) = f '( x0 ) = f '( x0 ) .

1.1.3

Đạo hàm hàm hợp

Cho hàm số y = f [ g ( x )] . Đặt u = g ( x ) , y = f ( u ) . Khi đó
y ' x = y 'u .u ' x
1.1.4

Đạo hàm trên khoảng.

Cho J là khoảng hoặc đoạn hoặc nữa khoảng. Khi đó ta nói:
 Hàm số y = f(x) gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc
J.
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên J thì hàm số f’(x) xác định bởi

f ': J → R

x a f '( x) gọi

là đạo hàm của hàm số f(x)
1.2
1.2.1

Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Trần Duy Tân - 1070037

trang 3


Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là ( C ) và điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C ) . Khi đó, nếu tồn
tại đạo hàm tại x0 thì f ' ( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M 0
* Phần này sẽ được trình bày kỹ ở chương sau.
1.2.2

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Vận tốc tức thời v ( t0 ) tại thời điểm t0 (hay vận tốc tại t0 ) của một chuyển động có
phương trình s = s ( t ) bằng đạo hàm của hàm số s = s ( t ) tại điểm t0 , tức là
v ( t0 ) = s ' ( t 0 )
1.3

Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Mệnh đề : Nếu hàm f có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0 .
Lưu ý: Điều khẳng định ngược lại của mệnh đề trên là không đúng. Ví dụ như hàm số
y = x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0 ( vì y ' ( 0+ ) = 1 ≠ − 1 = y ' ( 0− ) )
1.4

Quy tắc tính đạo hàm.

Cho các hàm số u = u ( x ) , v = v ( x ) , w = w( x ) có đạo hàm trên khoảng J. Khi đó :
 (u ± v ) ' = u '± v '
 (uv ) ' = u ' v + uv ' ,

( ku ) ' = k .u ' , k là hằng số.

(uvw) ' = u ' vw + uv ' w + uvw '

 u  u 'v − v 'u
,
'=
v2
 v

c
c.v '
( ) ' = − 2 , với c là hằng số.
v
v



1.5

Công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp và các hệ quả

Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm trên khoảng J

i

( x α )' = α . x α − 1 , α∈R

(u α ) ' = α .u α − 1.u ' , α∈R

'
1
 1
  = − 2,
x
 x

x≠0

'
u'
 1
  = − 2 , u≠0
u
 u

,x≠0

( u)' =

( x )' =

1
2 x

(C ) ' = 0 , C là hằng số
ii

u'
2 u

,u≠0

(s in x )'= cos x

( k .u ) ' = k .u ' , k là hằng số
(sin u ) ' = u '.cos u

(cos x) ' = -sin x

(cos u ) ' = -u 'sin u

Trần Duy Tân - 1070037

trang 4


(tan x ) ' =

1
π
, x ≠ + k π ,   k ∈ Z
2
2

cos x

(cot x)'=-

iii

1
2

,  x ≠ k π ,  k ∈ Z

u'
π
, u ≠ + kπ ,   k ∈ Z
2
2
cos u

u'

,  u ≠ k π ,  k ∈ Z
sin 2 u
u'
(ln u )' =
, u≠0
u
(cot u)'=-

sin x
1

(ln x )' = , x≠0
x

(log a x )' =

(tan u ) ' =

1
, x≠0, 0x.ln a

(log a u )' =

u'
, u≠0, 0u.ln a

( e x )' = e x

( eu )' = u ' eu

( a x )' = a x .ln a , 0
( a u )' = u '.a u .ln a , 0
iv

'
 ax + b 


 =
 cx + d 

'

a b

a
c

b
d

( cx + d )
.x 2 + 2

2

a c

.x +

b c

 ax + bx + c  a ' b '
a' c' b' c'
 2
 =
2
2

 a'x + b'x + c'
( a ' x + b ' x + c ')
2

1.6

Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f’(x). Nếu f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó
được gọi là đạo hàm cấp 2. Ta kí hiệu là :
f ''( x ) = [ f '( x )] '

 Như vậy ta cũng có thể quy nạp lên đạo hàm cấp n, kí hiệu là f(n)(x).
'
f ( n ) ( x ) =  f ( n − 1) ( x )  , với n∈N, n≥2
 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai : Cho một chuyển động có phương trình
chuyển động s = s ( t ) . Khi đó đạo hàm cấp một s ' ( t ) = v ( t ) là vận tốc tức thời của
chuyển động. Do đó v ' ( t ) = s " ( t ) là tốc độ biến thiên vận tốc hay chính là gia tốc
chuyển động a ( t ) = s " ( t ) .
1.7

Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán về tốc độ biến thiên

Trần Duy Tân - 1070037

trang 5


Bài toán có mô hình toán học chung là : “ Xác định tốc độ biến thiên của một hàm
theo biến thời gian nhờ vào tốc độ biến thiên của một hàm khác đã biết ”. Sau đây là

một số bước cơ bản khi giải dạng toán này .
Bước 1 : Đọc kỹ đề bài và đặt tên các đại lượng biến đổi có mặt trong bài toán
dưới dạng các hàm số theo biến thời gian : h ( t ) ,V ( t ) ,...
Bước 2 : Xác định mối liên hệ giữa những đại lượng trên (thường là một công thức
liên hệ theo bản chất các đại lượng đang xét và trong một số trường hợp, để thuận tiện
cần xét thêm một đại lượng trung gian).
Bước 3 : Lấy đạo hàm (theo t) công thức trên để nhận được một liên hệ về các tốc
độ biến thiên giữa các đại lượng đã nêu. Trong mối liên hệ này, tại thời điểm đang xét,
xác định các giá trị đã cho, giá trị nào cần tìm. Chú ý quy đổi về cùng một đơn vị tính
và dấu của các giá trị được cho dựa theo ý nghĩa của chúng.
Ví dụ 1 : Mực nhiên liệu trong một hồ chứa hình trụ đang thay đổi như thế nào khi
ta đang bơm nhiên liệu ra khỏi hồ với tốc độ 1500 lít/giờ. Cho biết bán kính của đáy hồ
là 50 dm .
Giải
Các đại lượng biến đổi có mặt trong bài toán là mực nhiên liệu và thể tích nhiên liệu
trong hồ, nên ta đặt :
h ( t ) là mực nhiên liệu trong hồ tại thời điểm t
V ( t ) là thể tích nhiên liệu trong hồ tại thời điểm t
Liên hệ giữa h ( t ) và V ( t ) được cho bởi công thức
V ( t ) = π ( 50 ) .h ( t )
2

Lấy đạo hàm công thức trên theo t ta được :
V ' ( t ) = π ( 50 ) .h ' ( t )
2

Tai thời điểm t0 đang xét ta có h ' ( t0 ) =

V ' ( t0 )

π ( 50 )

2

=

Vậy mực nhiên liệu trong hồ đang giảm với tốc độ

Trần Duy Tân - 1070037

− 1500 − 3
=
dm/giờ
2500π 5π
3
dm/giờ
5π

trang 6


Ví dụ 2 : Người ta nhúng vào một thanh thõi sắt hình trụ vào một dung dịch acid để
làm thí nghiệm. Giả sử quá trình thõi sắt tan trong dung dịch thì nó vẫn giữ nguyên
dạng hình trụ ban đầu. Hãy tính tốc độ biến thiên của thể tích thõi sắt tại thời điểm mà
chiều cao của nó là 50 cm và đang giảm với tốc độ 2 mm/phút; còn bán kính đáy là 15
cm và đang giảm với tốc độ 1 mm/phút. Nếu tốc độ biến thiên thể tích này không đổi và
thời gian cần làm thí nghiệm thêm 1 giờ thì thõi sắt có đủ dùng cho thí nghiệm không?.
Giải
Gọi h ( t ) là chiều cao của thõi sắt tại thời điểm t,
R ( t ) là bán kính đáy của thõi sắt tại thời điểm t,

V ( t ) là thể tích của thõi sắt tại thời điểm t.
Ta có công thức V ( t ) = π  R ( t )  .h ( t )
2

Lấy đạo hàm hai vế công thức trên theo t ta được

(

V ' ( t ) = π 2 R ( t ) R ' ( t ) h ( t ) +  R ( t )  .h ' ( t )
2

)

Tại thời điểm t0 đang xét ta có :

(

)

V ' ( t0 ) = π 2 × 15 × ( − 0,1) × 50 + ( 15 ) × ( − 0, 2 ) = − 195π cm3/phút
2

Theo giả thiết bổ sung, thời gian mà thõi sắt được dùng hết ( kể từ thời điểm t0 ) là:
V ( t0 )

T=

V ' ( t0 )

=

π × 152 × 50
= 57, 69 phút
195π

Vậy, theo kết quả trên thì thanh thõi sắt không đủ dùng cho thí nghiệm.
Ví dụ 3 : Diện tích của một hình chử nhật đang giảm ở tốc độ 5 m2/giây , trong khi
chiều dài đang tăng ở tốc độ 10 m/ giây . Nếu chiều dài đang là 20 m và chiều rộng là
16 m thì chiều rộng đang thay đổi như thế nào?
Giải
Gọi S ( t ) là diện tích tại thời điểm t,
d ( t ) là chiều dài tại thời điểm t,
r ( t ) là chiều rộng tại thời điểm t,
t0 là thời điểm đang xét.

Trần Duy Tân - 1070037

trang 7


Theo giả thuyết ta có :
S ' ( t0 ) = − 5 m2/giây, d ' ( t0 ) = 10 m/giây, d ( t0 ) = 20 m, r ( t0 ) = 16 m
Ta có :
S ( t ) = d ( t ) .r ( t )
Lấy đạo hàm hai vế công thức trên theo t ta được
S ' ( t ) = d ' ( t ) .r ( t ) + d ( t ) .r ' ( t )
Tại thời điểm t0 đang xét ta có :
S ' ( t0 ) = d ' ( t0 ) .r ( t0 ) + d ( t0 ) .r ' ( t0 )
Suy ra r ' ( t0 ) =

S ' ( t0 ) − d ' ( t0 ) .r ( t0 ) − 5 − 10.16
=
= − 8, 25 m/giây
d ( t0 )
20

Vậy chiều rộng của hình chử nhật đang giảm với tốc độ 7,75 m/giây
Ví dụ 4: Khi một bản phẳng kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với
tốc độ 0,01 cm/ phút . Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khi bán kính
của nó đang là 50 cm . Nếu tốc độ này không đổi thì cần thời gian bao lâu, bán kính của
bản sẽ là 52 cm.
Giải
Gọi r ( t ) là bán kính của bản phẳng kim loại theo thời gian t,
S ( t ) là diện tích của bản phẳng kim loại theo thời gian t.
t0 là thời điểm đang xét.
Theo giả thiết ta có :
r ' ( t0 ) = 0, 01 cm/ phút, r ( t0 ) = 50 cm.
Ta có : S ( t ) = π ( r (t ) )

2

Lấy đạo hàm hai vế công thức trên theo t ta được
S ' ( t ) = 2π .r '(t ).r (t )
Tại thời điểm t0 đang xét ta có :
S ' ( t0 ) = 2π .r '(t0 ).r (t0 ) = 2π .0, 01.50 = π cm2/ phút
Do đó diện tích bản kim loại đang tăng với tốc độ 3,14 cm2/ phút
Nếu tốc độ này không đổi để bán kính của bản sẽ là 52 cm thì cần thời gian là :

Trần Duy Tân - 1070037

trang 8


S ( T + t0 ) − S ( t0 )

T=

S ' ( t0 )

π .522 − π .502
=
= 204 phút.
π

Ví dụ 5 : Người ta bơm nước vào một hồ chứa hình trụ có bán kính đáy 5 m, độ sâu 2
m với tốc độ 5 m3/giờ. Vì hồ nước bị rò rỉ nên nước trong hồ bị chảy ra ngoài. Hãy tính
tốc độ rò rỉ ra ngoài tại thời điểm độ sâu của nước trong hồ là là 0,8 m, đang tăng ở tốc
độ 4 cm/ giờ. Nếu tốc độ rò rỉ này không đổi thì sau thời điểm đó bau lâu hồ sẽ đầy?
Giải
Gọi V ( t ) là thể tích nước bơm vào hồ ở thời điểm t .
h ( t ) là độ sâu nước ở thời điểm t .
V1 ( t ) là thể tích nước trong hồ ở thời điểm t.
V2 ( t ) là thể tích nước rò rỉ ở thời điểm t
t0 là thời điểm đang xét.
Theo giả thiết ta có h = 2 m, r = 5 m,
h ( t0 ) = 0,8 m, h ' ( t0 ) = 0, 04 m/ giờ. V ' ( t0 ) = 5 m3/giờ
2
Ta có : V1 ( t ) = π .5 .h ( t )

V2 ( t ) = V ( t ) − V1 ( t ) = V ( t ) − π .52.h ( t )

Lấy đạo hàm hai vế công thức trên theo t ta được
V1 ' ( t ) = π .52.h ' ( t )
V2 ' ( t ) = V ' ( t ) − π .52.h ' ( t )
Tại thời điểm t0 đang xét ta có :
V1 ' ( t0 ) = V ' ( t0 ) − π .52.h ' ( t0 ) = 5 − π .25.0, 04 = 5 − π ≈ 1,86 m3/giờ
Do đó tốc độ rò rỉ ra ngoài là 1,86 m3/giờ
Nếu tốc độ rò rỉ này không đổi thì thời gian hồ sẽ đầy là
T=

V − π .52.h ( t0 )
V1 ' ( t0 )

=

π .52.2 − π .52.08
= 30 giờ
π .25.0, 04

Ví dụ 6 : Những trái dưa được trồng có dạng hình cầu đang tăng trưởng. Tìm tốc độ
tăng thể tích của lứa dưa tại thời điểm chu vi đường tròn lớn của chúng đang là 20 cm
và đang tăng ở tốc độ 2cm/ giờ. Nếu tốc độ tăng thể tích này không đổi thì tiêu chuẩn

Trần Duy Tân - 1070037

trang 9


để thu hoạch dưa là thể tích phải đạt cở 100 dm3 thì sau đó bao lâu sẽ thu hoạch được
dưa?
Giải

Gọi V ( t ) , C ( t ) , R ( t ) lần lược là thể tích, chu vi, bán kính của quả dưa hình cầu tại
thời điểm t.
t0 là thời điểm đang xét.
Ta có C ( t ) = 2π R ( t ) ⇒ R ( t ) =

C ( t)
2π

C3 ( t )
4
4  C( t) 
3
V ( t) = π R ( t) = π 
 =
3
3  2π 
6π 2
3

Lấy đạo hàm hai vế công thức trên theo t ta được
C 2 ( t ) .C ' ( t )
2π 2

V '( t ) =

Tại thời điểm t0 đang xét ta có :

( )

V ' t0

C 2 ( t0 ) .C ' ( t0 ) 22.0, 2 0, 4
=
=
= 2 dm3/giờ
2
2
2π
2π
π

Thời gian để dưa đạt thể tích 100 dm3
T=

V ( t 0 + T ) − V ( t0 )
V ' ( t0 )

3
Với V2 ( t0 ) = 100dm , V1 ( t0 ) =

Vậy T =

23
8
=
dm3
2
2
6π
6π

8
6π 2 ≈ 2664,1 giờ.
0, 4
π2

100 −

Ví dụ 7: Giả sử nước đang được bơm ra khỏi một bình thủy tinh hình cầu có bán kính 1
m. Nếu tại thời điểm đang xét, độ sâu của nước trong bình là 0,5 m và đang giảm với
tốc độ 0,2 m/phút thì bán kính mặt nước đang giảm với tốc độ nào?
Giải
Gọi R ( t ) , h ( t ) lần lược là bán kính và độ sâu của nước trong bình ở thời điểm t .
t0 là thời điểm đang xét.

Trần Duy Tân - 1070037

trang 10


Ta có h ( t0 ) = 0,5m , h ' ( t0 ) = − 0, 2 m/phút

1
R(t)

h(t)

Khi đó :
R( t) =

12 − ( 1 − h ( t ) ) =
2

Suy ra R ' ( t ) =

2h ( t ) − h 2 ( t )

h '( t ) − h '( t ) h ( t )
2h ( t ) − h 2 ( t )

Tại thời điểm t0 đang xét ta có :
R ' ( t0 ) =

h ' ( t0 ) − h ' ( t0 ) h ( t

2h ( t0 ) − h 2 ( t0 )

) = ( − 0, 2 ) − 0,5. ( − 0, 2 )
2.0,5 − 0,52

≈ − 0,1154

Vậy bán kính mặt nước đang giảm với tốc độ 0,1154 .

Trần Duy Tân - 1070037

trang 11


CHƯƠNG 2 : ỨNG

DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO
SÁT HÀM SỐ

2. 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
2.1.1 Kiến thức cần nhớ
2.1.1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là khoảng hoặc đoạn hoặc nữa khoảng.
Ta nói :
 Hàm số y = f(x) đồng biến ( tăng ) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1f(x1) Hàm số y = f(x) nghịch biến ( giảm ) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1thì f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
2.1.1.2 Một số định lí
Định lí 1: Điều kiện cần của tính đơn điệu
Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
i. Nếu f(x) đồng biến trên K thì f '( x ) ≥ 0 , ∀ x∈K .
ii. Nếu f(x) nghịch biến trên K thì f '( x ) ≤ 0 , ∀ x∈K .
Định lí 2: Điều kiện đủ của tính đơn điệu
i. Nếu f '( x ) > 0 , ∀ x∈K thì f(x) đồng biến trên K.
ii. Nếu f '( x ) < 0 , ∀ x∈K thì f(x) nghịch biến trên K.
iii.Nếu f '( x ) = 0 , ∀ x∈K thì f(x) không đổi trên K.
Ta mở rộng định lí 2 như sau :
Định lí 3 : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
i. Nếu f '( x ) ≥ 0 , ∀ x∈K, đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x)
đồng biến trên khoảng K
ii. Nếu f '( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈K, đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x)
nghịch biến trên khoảng K.
Như vậy, ta có thể tóm tắt định lí trên trong các bảng biến thiên và chọn K=(a; b), với

f ( x ) liên tục và khả vi trên [ a; b ] .

Trần Duy Tân - 1070037

trang 12


x

−∞

a

b

+∞

b

+∞

+

y’
y

x

−∞

a

y’

-

y

2.1.2 Một số dạng toán về tính đơn điệu hàm số
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1Tìm tập xác định
Bước 2Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi (i=1,2…n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định.
Bước 3Tính các giới hạn.
Bước 4Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 5Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Các ví dụ :
Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x 4 − 2 x 2 .
Giải :
Tập xác định: D = R
Đạo hàm y ' = 4 x 3 − 4 x = 4 x ( x 2 − 1) . y ' = 0 ⇔ x = 0, x = ±1.
y = + ∞ , lim y = + ∞ .
Giới hạn : xlim
→ +∞
x→ − ∞
Lập bảng biến thiên :

Trần Duy Tân - 1070037

trang 13


x
y'
y

−∞
-

+∞

0
-1
0 + 0 0

+∞

1
0

+
+

-1

-1

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0), (1; + ∞ ) và nghịch biến trên khoảng (

− ∞ ; -1), (0; 1).
Ví dụ 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y =

x+ 1
.
x− 1

Giải
Tập xác định : D = R\{1}.
Đạo hàm : y ' =

−2

( x − 1)

2

< 0,   ∀ x ∈ D

y = lim = 1 , lim− y = − ∞ , lim+ y = + ∞
Giới hạn : xlim
→ −∞
x→ + ∞
x→ 1
x→ 1
Bảng biến thiên:
x

−∞

+∞

1
-

y'

-

y 1

−∞

+

1

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng ( − ∞ ;1) và ( 1; + ∞ ) .
Ví dụ 3: Xét tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số
y=

x2 − 2x − 3 .

Giải
Hàm số xác định khi:
x≥ 3
. Vậy tập xác định D = ( − ∞ ; − 1] ∪ [3;+∞ )
x2 − 2x − 3 ≥ 0 ⇔ 
x≤ −1
Đạo hàm y ' =

2x − 2
2 x2 − 2x − 3

=

x− 1
x2 − 2 x − 3

,

y ' = 0 ⇒ x - 1 = 0 ⇒ x = 1∉ D.

Trần Duy Tân - 1070037

trang 14


lim y = 0 , lim+ y = 0 .
x→ 3

y = lim y = + ∞
Giới hạn : xlim
→ −∞
x→ + ∞

x → − 1−

Bảng biến thiên

−∞

x

-1

-

y'

1

+∞

3
+

+∞

y

+
0

0

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (3; + ∞ ), nghịch biến trên khoảng (- ∞ ;-1).
Ví dụ 4: Xét tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số y =

x+

x2 − x + 1

Giải
Hàm số xác định khi:

x+

− x≤ 0
 2
  x − x + 1≥ 0
x2 − x + 1 ≥ − x ⇔ 
− x≥ 0

  x 2 − x + 1 ≥ x 2

x2 − x + 1 ≥ 0 ⇔

x≥ 0
⇔ 
⇔ ∀ x ∈ R . Vậy tập xác định D=R.
x
≤
0

Đạo hàm :
y' =

(

x+

x2 − x + 1

2 x+

)

'

x2 − x + 1

=

2 x2 − x + 1 + 2 x − 1
4 x+

x 2 − x + 1. x 2 − x + 1

Ta thấy:
2 x2 − x + 1 + 2x − 1 =

( 2 x − 1)

2

+ 3 + 2 x − 1 > 2 x − 1 + 2 x − 1 ≥ 0 

Do đó y ' > 0  ∀ x ∈ R .
Giới hạn :

lim y = lim

x→ − ∞

x→ − ∞

x+

x 2 − x + 1 = lim

x→ − ∞

x− 1
x−

x2 − x + 1

=

2
,
2

lim y = + ∞ .

x→ + ∞

Bảng biến thiên :

Trần Duy Tân - 1070037

trang 15


x

−∞

+∞
+

y'
y

+

2
2
Vậy hàm số đồng biến   ∀ x ∈ R .

Dạng 2 : Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng hàm số y =

x
đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch
x +1
2

biến trên các khoảng ( − ∞ ;-1) và (1;+ ∞ ).

Giải
Tập xác định : D = R.
Đạo hàm : y ' =

− x2 + 1

(x

2

+ 1)

2

, y’=0 ⇔ − x 2 + 1 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên :
x
y'

−∞
-

-1
0

+

+∞

1
0

-

y

Vậy hàm số y =

x
đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng
x +1
2

( − ∞ ;-1) và (1; + ∞ ).
Ví dụ 2 : Cho hàm số y =

mx − 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị m, hàm số luôn
2x + m

đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Giải
 m
Tập xác định : D = R \  −  .
 2

Trần Duy Tân - 1070037

trang 16

Đạo hàm y ' =

m2 + 2

( 2x + m)

2

> 0 , ∀ m ∈ R, ∀ x ∈ D

Vậy với mọi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Dạng 3 : Tìm điều kiện để hàm số khả vi đơn điệu trên một miền cho trước
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1:Tìm miền xác định của hàm số.
Bước 2:Tính đạo hàm f’(x).
Bước 3:Lập luận cho từng trường hợp
(*) Để giải các biểu thức điều kiện f ' ( x ) phương pháp được sử dụng phổ biến nhất
là phương pháp tam thức bậc hai, tuy nhiên trong những trường hợp riêng biệt có thể
sử dụng ngay phương pháp hàm số để giải, cụ thể là
f '( x ) ≥ 0 .
 f '( x ) ≥ 0 với ∀ x ∈ D ⇔ min
x∈ D
f '( x) ≤ 0 .
 f '( x ) ≤ 0 với ∀ x ∈ D ⇔ max
x∈ D
Các ví dụ :
Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y = ( m − 3) x − (2m + 1)cos x luôn nghịch biến trên R

Giải
Tập xác định: D = R
Ta có y ' = m − 3 + (2m + 1)sin x .
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi : y ' ≤ 0 , ∀ x ∈ R
⇔ m − 3 + (2m + 1)sin x ≤ 0 , ∀ x ∈ R
Đặt t = sin x ( − 1 ≤ t ≤ 1 ). Khi đó ta được :
f (t ) = m − 3 + (2m + 1).t ≤ 0 , ∀ t ∈ [ − 1;1]
Điều này tương đương với:
 f (− 1) ≤ 0
 − m− 4≤ 0
2
⇔ 
⇔ −4≤ m≤

3
 f (1) ≤ 0
 3m − 2 ≤ 0
Vậy hàm số nghịch biến trên R khi − 4 ≤ m ≤

Trần Duy Tân - 1070037

2
.
3

trang 17


mx 2 + 6 x − 2
Ví dụ 2 :Cho hàm số y =

. Tìm m để hàm số nghịch biến trên [1; + ∞ ).
x+ 2
Giải
Tập xác định : D = R\{-2}.
mx 2 + 4mx + 14

Đạo hàm y ' =

( x + 2)

2

.

Hàm số nghịch biến với mọi x ∈ [1; + ∞ ) khi và chỉ khi y ' ≤ 0 ∀ x ∈ [1; + ∞ )
⇔

mx 2 + 4mx + 14

( x + 2)

2

≤ 0  ,  ∀ x ∈ [1; + ∞ )

⇔ f ( x ) = mx 2 + 4mx + 14 ≤ 0 , ∀ x ∈ [1; + ∞ ) (*)
Giải (*)
Cách 1: Phương pháp dùng tam thức bậc 2 :
i. Nếu m=0 thì y ' =

14

( x + 2)

2

> 0, ∀ x ∈ D .Do đó hàm số luôn đồng biến với mọi

x∈D ( không thỏa yêu cầu bài toán)
ii. Nếu m≠0
Ta có : ∆ ' = 4m 2 − 14m
Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1 : ∆ ' ≤ 0

 4m 2 − 14m ≤ 0
∆ '≤ 0
0≤ m≤
⇔ 
⇔ 
Để thỏa điều kiện (*) thì 
m< 0
m< 0
m< 0


7
2 (hệ vô nghiệm).

Trường hợp 2 : ∆ ' > 0
Thì điều kiện (*) là m<0 và phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

x1∆ '> 0
m< 0

⇔  mf (1) ≥ 0 ⇔

S<1
 2

 4m 2 − 14m > 0

14
m< 0
⇔ m≤ −

5
 m(5m + 14) ≥ 0
 − 2 < 1

Trần Duy Tân - 1070037

trang 18


Vậy hàm số nghịch biến trên [1; + ∞ ) khi m ≤ −

14
.
5

Cách 2: Dùng phương pháp hàm số.
2
Từ (*) ⇔ m ( x + 4 x ) ≤ − 14 , ∀ x ∈ [1; + ∞ )

⇔ m≤ −

14
, ∀ x ∈ [1; + ∞ ) (1)
x + 4x
2

Xét g(x)= −

14
2
x + 4x

có g '( x) =

14(2 x + 4)

(x

2

+ 4x)

2

> 0 ∀ x ∈ [1; + ∞ )

⇒ hàm số luôn đồng biến với mọi x ∈ [1; + ∞ )
⇒ min g ( x ) = g (1) ⇒ min g ( x ) = −
x≥ 1

x≥ 1

14
5

Khi đó : từ (1) ⇔ m ≤ min g ( x ) ⇔ m ≤ −
x≥ 1

14
5

Vậy hàm số nghịch biến trên [1; + ∞ ) khi m ≤ −

14
.
5

Cách 3 : Từ điều kiện (*) ta xét
Điều kiện cần : Giả sử f(x)≤0 ∀ x ∈ [1; + ∞ ) .
⇒ f (1) = 5m + 14 ≤ 0 ,
⇒ m≤ −

14
5

Điều kiện đủ : Giả sử m ≤ −

14
5

Ta có f '( x ) = 2mx + 4m = 2m( x + 2) < 0 , ∀ x ∈ [1; + ∞ )
Vậy f(x) nghịch biến với mọi x ∈ [1; + ∞ )
⇒ f(x)≤f(1)= 5m+14, ∀ x ∈ [1; + ∞ )
Do m ≤ −

14
nên f(x)≤0 , ∀ x ∈ [1; + ∞ )
5

Vậy hàm số nghịch biến trên [1, + ∞ ) khi m ≤ −

14
.
5

Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số y = mx 3 − x 2 + 3 x + m − 2 đồng biến trong khoảng (-3; 0).
Giải
Tập xác định D = R

Trần Duy Tân - 1070037

trang 19


Đạo hàm y ' = 3mx 2 − 2 x + 3 .

Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi y ' ≥ 0, ∀ x ∈ ( − 3;0 )
Hay 3mx 2 − 2 x + 3 ≥ 0 , ∀ x ∈ ( − 3;0 )
⇔ m≥

2x − 3
, ∀ x ∈ ( − 3;0 ) .
3x 2

Xét hàm số g ( x ) =
g '( x) =

2x − 3
liên tục trên khoảng (-3; 0). Ta có
3x 2

− 6 x 2 + 18 x
< 0 , ∀ x ∈ ( − 3;0 ) ⇒ g ( x ) nghịch biến trên khoảng (-3; 0)
9x4

lim+ g ( x ) = −

x→ − 3

4
g ( x) = − ∞
và xlim
→ 0−
27

Bảng biến thiên

x
g'(x)
g(x)

0

-3
4
−
27

-

-∞
Dựa vào bảng biếng thiên ta suy ra m ≥ −

4
27

Ví dụ 4 : Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên một đoạn có độ dài
đúng bằng 1.
Giải
Tập xác định D = R.
Đạo hàm y ' = 3x 2 + 6 x + m
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1
⇔

y ' ≤ 0 trên một đoạn có độ dài bằng 1

⇔ y’=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : | x1 − x2 |= 1

∆ > 0
∆ > 0

⇔ 
⇔  ∆
⇔
=1
 | x1 − x2 |= 1 
 |3|

Trần Duy Tân - 1070037

 36 − 12m > 0
9

⇔ m=
 36 − 12m
4
=1

3


trang 20


Vậy hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 1 khi m =

9
.

4

Dạng 4 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm
số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng
thức. Cụ thể như sau :
Xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b] :
i. Nếu f’(x)≥0, với mọi x∈[a; b] ⇔ hàm số f(x) đồng biến trên [a; b]

⇒

f(x)≥f(a) hoặc f(x)≤ f(b).
ii. Nếu f’(x)≤0, với mọi x∈[a; b] ⇔ hàm số f(x) nghịch biến trên [a; b]
⇒ f(x) ≤ f(a) hoặc f(x)≥ f(b).
Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Chứng minh các đẳng thức sau :
a) sinx < x , ∀ x > 0
b) cos x > 1 −

x2
, ∀x> 0
2

Giải
a) Đặt f(x)=x-sin x , (x>0)
Ta có f’(x)=1-cosx ≥0, ∀ x ⇒ f(x) tăng .
Do đó x>0 ⇒ f(x) > f(0)=0 - sin0=0 ⇒ x-sinx >0 , ∀ x > 0
Hay sinx<x, ∀ x > 0 . ■
b) Đặt f(x)= cos x − 1 +

x2
, (x>0)
2

Ta có f’(x)= -sinx+x>0 ∀ x > 0
⇒ f(x) tăng ∀ x > 0
Do đó x>0 ⇒ f(x) > f(0)= cos 0 − 1 +
⇒ cos x − 1 +

02
=0
2

x 2 >0
∀x> 0
2

Trần Duy Tân - 1070037

trang 21


x2
Hay cos x > 1 −
, ∀ x > 0 ■.
2
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng nếu x + y = 1 thì x4 + y4 ≥

1

8

Giải
Từ x + y = 1 ⇒ y = 1 - x nên x4 + (1 - x)4.
Xét hàm số f(x)= x4 + (1 - x)4.
Đạo hàm f’(x)= 4x3 - 4(1- x)3, f’(x) = 0 ⇔ x =

1
.
2

Bảng biến thiên

x

−∞
-

f'(x)
f(x)

1/2
0

+∞

+∞
+
+

1/8

Từ đó suy ra f(x )≥

1
1
1
∀ x ⇔ x4 + ( 1 - x)4 ≥ ∀ x hay x4 + y4 ≥ với x + y = 1 ■.
8
8
8

Ví dụ 3 : Cho n là số nguyên dương lẻ n≥3. Chứng minh rằng với mọi số thực x≠0,
ta luôn có :

x2 x3
xn  
x2 x3
xn 
1
+
x
+
+
+
...
+
1
−
x

+
−
+
...
−


 < 1.
2!
3!
n
!
2!
3!
n
!



Giải
x 2 x3
xn
x2 x3
xn
Đặt f ( x ) = 1 + x +
, g ( x) = 1 − x +
.
+
+ ... +
−

+ ... −
2! 3!
n!
2! 3!
n!
F ( x ) = f ( x ). g ( x ) .
Ta sẽ chứng minh F(x)<1.
Thật vậy
x2 x3
xn − 1
xn
+
+ ... +
= f ( x) −
Ta có f '( x ) = 1 + x +
2! 3!
( n − 1)!
n!

Trần Duy Tân - 1070037

trang 22


x 2 x3
xn− 1
xn
g '( x ) = − 1 + x −
+
− ... +

= − g ( x) −
2! 3!
( n − 1)!
n!


xn 
xn 
. g ( x ) + f ( x ).  − g ( x ) −
Khi đó F '( x ) = f '( x ). g ( x ) + f ( x ). g '( x ) =  f ( x ) −
n ! 
n ! 


= −

xn
xn 
x2 x4
xn− 1 
[ f ( x ) + g ( x )] = − 2  1 + + + ... +
.
n!
n! 
2! 3!
( n − 1)! 

Cho F’(x)=0 ⇔ − 2
⇔

xn 
x2 x4
xn − 1 
1
+
+
+
...
+
=0
n ! 
2! 3!
( n − 1)! 

x2 x4
xn − 1
xn
=0 (do 1 +
+
+ ... +
> 0, ∀ x )
2! 3!
( n − 1)!
n!

 F '( x ) > 0    khi    x < 0
Do đó 
 F '( x ) < 0    khi    x > 0
Bảng biến thiên
x

F'(x)

−∞

+∞

0
+

F(x)

0

-

1

Vậy F(x)<1 ∀ x ≠ 0 ⇒ ■
Dạng 5 :Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình và
hệ phương trình
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Dùng đạo hàm để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một miền nào đó
và để giải phương trình, bất phương trình và hệ, ta sử dụng một số tính chất sau:
i. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x)=0 không
quá một nghiệm trong khoảng (a; b).
ii. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a; b) thì :
f(u)=f(v) ⇔ u=v với mọi u, v thuộc khoảng (a; b).
iii. Nếu hàm f tăng trong khoảng (a; b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một hàm
giảm trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong

Trần Duy Tân - 1070037

trang 23


khoảng (a; b). Do đó nếu ∃ x0 ∈ ( a; b) : f ( x0 ) = g ( x0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của
phương trình f(x)=g(x).
Ta cũng cần lưu ý rằng:
 Hàm f tăng trong khoảng (a; b) ⇔ ∀ u,v∈(a; b): u Hàm f giảm trong khoảng (a; b) ⇔ ∀ u,v∈(a; b): u<v ⇒ f(u)>f(v).
Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình x 5 + x 3 −

1 − 3x + 4 = 0 .

Giải
Điều kiện x ≤

1
.
3

Đặt f ( x ) = x 5 + x 3 −

1 − 3x + 4 .

4
2
Ta có f '( x ) = 5 x + 3x +

3
1
> 0, ∀ x <
2 1 − 3x
3

1
⇒ hàm số đồng biến trong ( − ∞ ; ) .
3
Mặt khác ta thấy f(-1)=0 nên phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất là x = -1.
Ví dụ 2 : Gải phương trình log 3

x2 + x + 3
= x 2 + 3x + 2 . (1)
2
2x + 4x + 5

Giải
Điều kiện : ∀ x ∈ R
2
 u = x + x + 3
⇒ v − u = x 2 + 3x + 2
Đặt 
2
 v = 2 x + 4 x + 5

Khi đó từ phương trình (1) ta viết lại log3

u
= v− u

v

⇔ log 3 u − log3 v = v − u ⇔ u + log 3 u = v + log 3 v (2)
Xét hàm f (t ) = t + log3 t , (t>0) có đạo hàm f '(t ) = 1 +

1
> 0, ∀ t > 0
t.ln 3

⇒ f(t) tăng trên (0; + ∞ ).
Từ (2) suy ra f(u)=f(v) và do f tăng nên u=v
x= −1
⇒ x 2 + x + 3 = 2 x 2 + 4 x + 5 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ 
x= −2

Trần Duy Tân - 1070037

trang 24


Vậy phương trình có nghiệm là x=-1, x=-2.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình

2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 > 2 3 +

4− x

(1)

Giải

Điều kiện: − 2 ≤ x ≤ 4
Khi đó bất phương trình (1) ⇔
Xét hàm số f ( x ) =
f '( x ) =

2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 −

3x 2 + 3x + 3
2 x + 3x + 6 x + 16
3

2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 −

2

+

4− x > 2 3

4 − x , (− 2 ≤ x ≤ 4)

1
> 0 , ∀ x ∈ [ − 2,4] (do 3x 2 + 3x + 3 >0, ∀ x )
4− x

⇒ f(x) đồng biến trong đoạn [-2; 4].
Mặc khác : f (1) = 2 3 nên f ( x ) > f (1) ⇒ 1 < x ≤ 4 là nghiệm của bất phương
trình (1).
 cot x − cot y = x − y
Ví dụ 3 : Tìm x, y ∈(0, π) thỏa mãn hệ phương trình 

(I)
 5x + 8 y = 2π
Giải
 y − cot y = x − cot x    (*)
Hệ (I) ⇔ 
 5x + 8 y = 2π  
Xét hàm số f(t)= t − cot t với t∈(0; π)
Ta có f '(t ) = 1 +

1
>0 ⇒ f(x) đồng biến trong khoảng (0; π). Do đó từ (*) ta
sin 2 t

được f(y)=f(x) ⇔ y = x .
 y = x 
2π
⇔ x= y=
Khi đó hệ (I) ⇔ 
13
 5x + 8 y = 2π  
 x+ 3= y+


Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình  y + 3 = z +

 z + 3 = x +

y2 + 1
z 2 + 1    ( II )
x2 + 1

Giải
Xét hàm f (t ) = t +
f '(t ) = 1 +

t
t2 + 1

Trần Duy Tân - 1070037

t 2 + 1 (t∈R)
=

t2 + 1 + t
t2 + 1

> 0, ∀ t ∈ R

trang 25