Vận dụng mối quan hệ của các yếu tố trong tam giác để giải một số bài toán hình học nâng cao lớp 5

UBND QUẬN ĐỐNG ĐA
===**===

Mã SKKN:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Vận dụng mối quan hệ của các yếu tố trong tam giác
để giải một số bài toán hình học nâng cao lớp 5

NĂM HỌC: 2016 - 2017


MỤC LỤC
I. PHẦN MỞ ĐẦU....................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................1
2. Đối tượng nghiên cứu:........................................................................................2
3. Phạm vi nghiên cứu.............................................................................................2
4. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu:.........................................................................2
5. Giả thiết khoa học của đề tài...............................................................................2
6. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................2
7. Dự báo những đóng góp mới của đề tài..............................................................3
II. NỘI DUNG...........................................................................................................4
1. Cơ sở khoa học.................................................................................................4
2. Kết quả điều tra, khảo sát.................................................................................5
3. Một số giải pháp giúp học sinh vận dụng linh hoạt mối quan hệ của các yếu
tố trong hình tam giác để giải một số bài toán nâng cao về hình học..............7
4. Kết quả đạt được.............................................................................................20
III. KẾT LUẬN........................................................................................................22
VI. KIẾN NGHỊ.......................................................................................................24

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay chúng ta đang tập trung thực hiện nghiêm túc có hiệu quả Nghị
quyết Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam
khóa XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo đáp ứng yêu cầu công
nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng
xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục nhằm
mục tiêu cơ bản là giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy
tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân.
Để đạt được mục tiêu đó thì người giáo viên đóng vai trò hết sức quan
trọng. Trong dạy học đòi hỏi người giáo viên cần quan tâm đến tất cả các đối
tượng học sinh, phải có biện pháp và hình thức dạy học tích cực, làm sao tất cả
học sinh trong lớp phải chủ động nắm được các kiến thức cơ bản của bài học và
vận dụng các kiến thức cơ bản đó vào thực hành làm các bài tập trên lớp. Đặc
biệt các em vận dụng được kiến thức đã có vào cuộc sống hàng ngày một cách
linh hoạt.
Đặc biệt đối với môn toán là một môn học giúp các em phát triển nhiều kỹ
năng như: kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa,
khái quát hóa v .v.... Khi đã có những kỹ năng đó thì các em sẽ say mê, tìm tòi,
hứng thú trong học toán. Trong thực tế dạy học môn toán, tôi thấy đối với các
em việc nắm vững kiến thức để vận dụng làm các bài tập trong sách giáo khoa là
một việc làm không khó song đối với những bài toán đòi hỏi sự tư duy cao hơn
một chút thì không phải em nào cũng làm được. Còn đối với những em khá giỏi,
khi làm bài kiểm tra rất sợ những bài toán có nội dung hình học. Các em thường
gặp khó khăn khi giải vì không biết kẻ thêm đường phụ, không biết mối quan hệ
giữa các yếu tố trong các hình ra sao, nó có liên quan đến bài giải như thế nào?
Dẫn đến kết quả bài kiểm tra rất hạn chế. Chính vì lẽ đó mà bản thân tôi đã lựa
chọn đề tài: “Giúp học sinh lớp 5 vận dụng linh hoạt mối quan hệ của các yếu tố
trong tam giác để giải một số bài toán hình học nâng cao”

2. Đối tượng nghiên cứu:
1


Mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác để giải một số bài toán
3. Phạm vi nghiên cứu
- Chương trình và nội dung môn toán lớp 5: Các bài toán liên quan đến
các yếu tố trong hình tam giác.
- Về thời gian: Từ năm học 2015 - 2016 và áp dụng vào dạy học trong
năm học 2016 - 2017.
4. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu:
a. Mục tiêu:
- Giúp học sinh lớp 5 nhận biết một số mối quan hệ của các yếu tố trong
hình tam giác.
- Học sinh biết cách vận dụng linh hoạt một số kiến thức đã học về hình
tam giác để giải một số bài toán nâng cao về hình học.
- Rèn luyện các kỹ năng: kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích,
tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa... trong học toán.
b. Nhiệm vụ:
- Nghiên cứu các bài toán có nội dung về mối quan hệ của các yếu tố
trong tam giác để giúp học sinh giải một số bài toán hình học nâng cao.
- Tìm ra các giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán.
- Rút ra bài học kinh nghiệm cho bản thân và vận dụng kinh nghiệm vào
thực tiễn dạy học.
5. Giả thiết khoa học của đề tài
Nếu đề tài được áp dụng trong thực tiễn dạy học thì sẽ giúp học sinh khá
giỏi biết thêm một số kiến thức về mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam
giác và các em sẽ vận dụng các kiến thức đó dể giải được các bài toán nâng cao
về hình học một cách dễ dàng và hiệu quả hơn.
6. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra
- Phương pháp phân tích, tổng hợp, xử lý tình huống trong giảng dạy.
- Phương pháp quan sát.
- Phương pháp trao đổi
2


- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
7. Dự báo những đóng góp mới của đề tài
Nếu kinh nghiệm này được áp dụng một cách rộng rãi thì chắc chắn sẽ
góp phần không nhỏ vào việc giúp học sinh không chỉ giải được các bài toán
liên quan đến các yếu tố trong hình tam giác và còn có kỹ năng giải được tất cả
các bài toán liên quan đến hình tứ giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông ...
tạo cho các em có được sự say mê hứng thú trong học tập môn Toán.

3


II. NỘI DUNG
1. Cơ sở khoa học
a. Cơ sở lí luận
Như chúng ta đã biết, ngay từ lớp Một, các em đã được làm quen với các
hình tam giác hình vuông, hình tròn ... ở dạng tổng thể. Nhưng lên đến lớp 5, các
em mới học các khái niệm và các yếu tố của hình tam giác như đỉnh, góc, đáy,
chiều cao, học cách tính diện tích tam giác và được củng cố về cách tính diện
tích của nó thông qua nội dung ôn tập hình học cuối cấp.
Từ công thức tính diện tich hình tam giác trong sách giáo khoa

Trong đó: S là diện tích hình tam giác, h là chiều cao, a là độ dài cạnh đáy

(a và h phải cùng đơn vị đo)
Ta có thể suy ra cách tính cạnh đáy hay tính chiều cao như sau:

Thế nhưng khi vận dụng vào làm một số bài tập các em không khỏi lúng
túng nhất là trường hợp đường cao nằm ngoài tam giác và một số bài toán không
tường minh có liên quan đến tỷ số hai đáy, tỷ số chiều cao hoặc tỷ số diện tích.
b. Cơ sở thực tiễn
Trong thực tế giảng dạy môn toán lớp 5, nhất là đối với những bài toán có
liên quan đến hình học kể cả việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi nhận thấy học
sinh rất sợ những bài toán liên quan đến hình học. Có thể là do các em chưa
được trang bị đầy đủ kiến thức về hình học, có thể do các em chưa quen với
những bài toán không tường minh. Có những bài toán yêu cầu phải vẽ đường
phụ mới giải được nhưng các em không quen. Đặc biệt là đối với những bài toán
chứng minh hình, tìm tỷ số diện tích, tỷ số cạnh, đường cao hay tính số đo các
cạnh .v.v.. Đối với bài toán về hình học thì rất đa dạng và phong phú, không thể
4


kể hết được các phương pháp giải. Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy có rất nhiều
bài toán về hình học có sử dụng đến kiến thức liên quan đến diện tích hình tam
giác. Mặc dầu không có phương pháp giải tổng quát nhưng bản thân tôi cũng đã
có một số kinh nghiệm hết sức khiêm tốn giúp học sinh vận dung linh hoạt một
số kiến thức cơ bản về diện tích hình tam giác để giải một số bài toán nâng cao
về hình học.
2. Kết quả điều tra, khảo sát
Tôi đã điều tra, khảo sát lớp do tôi phụ trách dạy bồi dưỡng học sinh giỏi,
Sau khi học sinh học xong phần diện tích hình tam giác, tôi đã cho các em (học
sinh khá, giỏi) vận dụng làm một số bài tập như sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 72cm 2, chiều cao hạ từ A
xuống BC bằng 8 cm. Tính cạnh đáy BC.

Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD có AB = 9 cm, DC = 18cm, AD =
13cm. Nối D với B được hai tam giác ABD và BDC.
a) Tính diện tích mỗi tam giác đó?
b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hình tam
giác BDC.
Bài 3: Cho hình tam giác ABC có diện tích 24cm 2. Nếu kéo dài đáy BC
thêm một đoạn dài 2cm thì diện tích tăng thêm là bao nhiêu? Biết đáy hình tam
giác ban đầu là 8cm
Bài 4: Cho tam giác ABC, trên AB lấy M và trên AC lấy điểm N sao cho
NA =

1
1
AC, MA = AB. Tính MN biết BC = 36cm; MNCB là hình thang.
3
3

* Qua chấm bài khảo sát, kết quả cho thấy:
- Ở bài 1 và bài 2, các em đều vận dụng công thức để tính được kết quả đúng.
Tuy nhiên ở bài 2, các em đều làm theo một cách đó là áp dụng công thức
để thay số và tính, không em nào biết cách dùng tỉ số hai đáy để tính như:
Diện tích tam giác ABD là: 18 x 13 : 2 = 117 ( cm2)
Diện tích tam giác ABD và BDC có chiều cao bằng nhau (bằng chiều cao
hình thang)
5


Tỷ số hai đáy AB và DC là: 9 : 18 =

1

2

Vậy tỷ số diện tích của hai tam giác ABD và BDC là

1
2

Diện tích tam giác BDC là 117 x 2 = 234 (cm2)
Tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và
diện tích tam giác BDC là:

1 : 2 = 0,5

0,5 = 50%
- Ở bài tập 4, phần lớn các em tìm ra đáp số nhưng nhiều em lý luận chưa
chặt chẽ. Cũng như ở bài 3 các em chưa biết tìm diện tích phần mở rộng bằng
cách dựa vào tỉ số độ dài hai đáy.
Ta thấy trong thực tiễn dạy toán, không phải bài toán nào cũng ở dạng
tường minh như bài tập 1, 2 chỉ cần dựa vào công thức là tính ngay được kết
quả. Đặc biệt là trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh có năng khiếu môn
Toán, để đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh, giáo viên phải sưu tầm,
thiết kế những bài toán nâng cao hơn, khái quát hơn thường những bài toán được
“ngụy trang” bởi những điều kiện chưa tường minh. Bởi vậy sẽ không tránh khỏi
những vướng mắc, khó khăn nếu giáo viên không có phương pháp giúp học sinh
nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác.
Trong quá trình nghiên cứu và qua thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi thấy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng Tính
diện tích tam giác khi chưa biết độ dài cạnh đáy và chiều cao của nó. Để tính
được diện tích hình này phải dựa vào diện tích và tỉ lệ giữa độ dài đáy và chiều
cao của tam giác khác. Với những kinh nghiệm khiêm tốn, bản thân tôi đưa ra

một số bài tập giúp học sinh khá giỏi vận dụng linh hoạt một số kiến thức đã học
để giải các bài toán dựa vào mối quan hệ các yếu tố trong trong tam giác.

6


3. Một số giải pháp giúp học sinh vận dụng linh hoạt mối quan hệ của
các yếu tố trong hình tam giác để giải một số bài toán nâng cao về
hình học.
Như chúng ta đã biết, muốn nâng cao một dạng nào đó chúng ta phải củng
cố kiến thức cơ bản thật chắc. Học sinh phải nắm được phương pháp giải, quy
trình giải, công thức tính. Để học sinh nắm sâu hơn ta phải dùng hệ thống câu
hỏi để kiểm tra xem thử các em đã nắm chắc chưa hay là chỉ là làm theo công
thức và làm theo bài mẫu chứ chưa hiểu rõ vấn đề cốt lõi của nó. Sau khi học
sinh đã nắm chắc kiến thức thì giáo viên dựa trên nền kiến thức cơ bản đó để mở
rộng và nâng cao theo từng mạch kiến thức để từ kiến thức này phát triển lên
kiến thức kia. Khi đã rút ra được một số kết luận mới giáo viên phải tổng quát
hóa bài toán để học sinh dễ nhớ và hiểu hơn. Từ những bài toán cơ bản, giáo
viên thiết kế, sáng tác thêm những bài toán có nội dung phong phú hơn, mở rộng
và nâng cao dần để các em giải. Đối với những em thật sự giỏi, giáo viên
khuyến khích học sinh tự ra đề rồi giải. Có như vậy mới phát huy hết năng lực
tiềm ẩn ở học sinh, khơi dậy sự tò mò ham thích học tập ở các em.
Trở lại với dạng toán diện tích hình tam giác ở trên. Để giúp các em vẽ
được, tính được diện tích tam giác trong các trường hợp trên, cũng như giúp học
sinh hiểu sâu và vận dụng làm tốt những bài toán trong các trường hợp tương tự
tôi đã sử dụng một số biện pháp sau:
- Thông qua một số hình vẽ hướng dẫn các em xác định đúng các yếu tố
của tam giác (cụ thể là đáy và chiều cao tương ứng với đáy).
+ Xác định đáy và chiều cao tương ứng của tam giác có ba góc nhọn.
+ Xác định đáy và chiều cao tương ứng của tam giác vuông.

+ Xác định đáy và chiều cao tương ứng của tam giác có một góc tù.
- Từ những ví dụ cụ thể giúp học sinh tìm ra mối quan hệ các yếu tố của
tam giác (đáy, chiều cao tương ứng với đáy và diện tích).
Đối với học sinh có năng khiếu, bằng những ví dụ cụ thể giáo viên giúp
học sinh nắm được các kiến thức nâng cao hơn như sau:
Trong hình tam giác:
7


- Nếu hai hình tam giác có đáy bằng nhau thì diện tích của chúng tỉ lệ
thuận với chiều cao tương ứng.
- Nếu hai hình tam giác có chiều cao bằng nhau thì diện tích tỉ lệ thuận
với đáy tương ứng.
- Nếu diện tích tam giác không thay đổi thì đáy của chúng tỉ lệ nghịch với
chiều cao tương ứng.
- Vận dụng hiểu biết mối quan hệ đó để giải một số bài toán liên quan.
Dạng 1: Hai tam giác có chung chiều cao hoặc chiều cao bằng nhau

Bài toán 1: Tam giác ABC có đáy BC bằng
30cm và chiều cao tương ứng với đáy là 12cm.
Kéo dài đáy BC thêm một đoạn CD 5cm nữa thì
diện tích sẽ tăng thêm là bao nhiêu?
Bài toán này học sinh khá dễ dàng giải được.
Cách 1: Diện tích tam giác ABC là : (30 x 12) :2 = 180 (cm2)
Khi mở rộng đáy thêm 5cm thì phần mở rộng có dạng là một hình tam
giác và chiều cao phần mở rộng bằng chính chiều cao tam giác ban đầu ( AH).
Độ dài đoạn BD là: 30 + 5 = 35 (cm)
Diện tích tam giác ABD là: 35 x 12 : 2 = 210 (cm2)
Diện tích tăng thêm là: 140 – 120 = 30 (cm2)
Đáp số : 30cm2

Cách 2: Chiều cao phần mở rộng chính bằng chiều cao tam giác ban đầu (AH).
Diện tích phần mở rộng là: 5 x 12 : 2 = 30 (cm2)
Đáp số: 30 cm2
Việc quan trọng ở đây là học sinh xác định được hai tam giác ABC và
ACD có chung chiều cao (chiều cao AH).
Từ bài toán trên, GV giúp học sinh hiểu được: Em hãy so sánh tỷ lệ đáy
phần mở rộng và đáy phần tam giác ban đầu ? : (5: 30 =

1
)
6

Tỷ lệ diện tích phần mở rộng so với diện tích hình tam giác ban đầu là thì
như thế nào?
8


(30 : 180 =

1
)
6

Vậy khi hai tam giác có cùng chiều cao (chiều cao bằng nhau) thì độ dài
đáy và diện tích có quan hệ như thế nào? (cùng tăng hoặc cùng giảm)
Rút ra kết luận 1: Hai tam giác A và B có chiều cao bằng nhau (chung
chiều cao) thì:

Từ bài toán 1 ta có thể khai thác thêm một số bài toán khác mà thực chất
cũng là bài toán này song hình thức biểu hiện thì lại khác.

Ta có bài toán 2: Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 160m2. Người
ta mở rộng đáy thêm một đoạn bằng

1
4

đáy ban đầu thì diện tích tăng thêm là bao nhiêu?

Biết rằng sau khi mở rộng thì thửa ruộng vẫn là hình tam giác.

Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
- Tỉ số đáy tam giác phần mở rộng và
1
đáy ban đầu là bao nhiêu? ( )
4
- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác ban đầu là bao nhiêu? (
1
). Dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa đáy và diện tích tam giác nên các em dễ dàng
4
giải được.
Giải: Phần mở rộng là một hình tam giác có chiều cao bằng chiều cao tam
giác ban đầu.
Theo bài ra đáy của phần mở rộng bằng

nên diện tích phần mở rộng bằng

1
đáy của thửa ruộng ban đầu
4

1
diện tích của thửa ruộng ban đầu.
4

Diện tích phần mở rộng là: 160 x

1
=40 (m2)
4
9


Đáp số: 40m2
*Kết luận 2: Nếu biết tỷ số về cạnh đáy, chung chiều cao ta sẽ suy ra
được tỷ số về diện tích.
Vậy: Nếu biết đáy của thửa ruộng ban đầu và tỉ số diện tích của phần mở
rộng với diện tích tam giác ban đầu ta có tính được đáy của phần mở rộng
không?
Ta có bài toán 3: Một thửa ruộng hình tam giác có đáy dài 20m. Người ta mở
rộng đáy thêm một đoạn để có diện tích phần mở rộng bằng 25% diện tích ban
đầu. Tính độ dài đáy phần mở rộng, biết rằng sau khi mở rộng thửa ruộng vẫn
là hình tam giác.
Phân tích bài toán:
- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích thửa
ruộng ban đầu là bao nhiêu %? (25%)
- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác
1
ban đầu là bao nhiêu? ( ).
4
- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác ban đầu là bao

nhiêu?. Dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa đáy và diện tích, các em sẽ dễ dàng giải được
bài toán.
Giải bài toán 3:
25% =

1
4

Diện tích tam giác ACD =

1
diện tích tam giác ABC
4

Mà 2 tam giác này có chung đường cao hạ từ A xuống BC
=> cạnh đáy tương ứng CD =

1
1
BC = x 20 = 5 (cm)
4
4
Đs: 5 cm

*Kết luận 3: Nếu biết được độ dài đáy phần mở rộng và biết tỉ số diện tích
tam giác của phần mở rộng và diện tích tam giác ban đầu ta có thể tính độ
dài đáy ban đầu.
10

Ta có bài toán 4: Nhà bác Nam có một thửa
ruộng hình tam giác. Nay do làm đường nên bị
xén vào thửa ruộng đó một phần đất hình tam
giác (hình vẽ) có đỉnh là đỉnh của thửa đất, diện tích bị xén vào bằng

1
diện
5

tích ban đầu. Tính độ dài đáy của mảnh đất còn lại, biết rằng mảnh đất bị xén
đi có đáy là 5m.
Từ hiểu biết về mối quan hệ giữa độ dài đáy và diện tích, các em sẽ giải
được.Phần bị xén đi và phần đất còn lại có dạng là một hình tam giác. Ta xem
đáy tam giác đó là 5m thì chiều cao sẽ bằng chiều cao phần đất còn lại (bằng
chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BC).
Theo bài ra phần đất bị xén đi bằng

1
1
diện tích ban đầu hay bằng
diện
5
4

tích đất còn lại.
Do đó đáy của phần đất bị xén đi bằng

1
đáy của phần đất còn lại.
4

Độ dài đáy của phần đất còn lại là: 5 :

1
= 20 (m)
4
Đáp số: 20m

* Từ các bài toán trên ra rút ra tổng quát 1:
- Gọi diện tích hình 1 là S1; độ dài đáy hình 1 là a1
- Gọi diện tích hình 2 là S2; độ dài đáy hình 2 là a2
Khi tam giác 1 và tam giác 2 có chung chiều cao (chiều cao bằng nhau) thì:
Ta có:

a1 S1

a 2 S2

S2 S1x

a2
a1

 S1 S2 x

a1
a2

 a 1 a 2 x

S1
S2

a 2 a1x

S2
S1

Đối với dạng này, khi hai tam giác có chiều cao bằng nhau (chung chiều
cao) thì diện tích và độ dài đáy có quan hệ tỉ lệ cùng tăng hoặc cùng giảm.
Một số bài toán thuộc dạng 1:

11


1. Cho tam giác ABC.Lấy M,N trên BC sao cho BM = MN = NC.Tìm
trên hình bên những tam giác có diện tích bằng nhau.
2. Cho tam giác ABC. Lấy M,N trên BC và AC sao cho BM = MC, AN =
NC.AM và BN cắt nhau tại O.CO kéo dài cắt AB tại P.
a) So sánh OM và OA;ON và OB.
b) Chứng minh PA = PB.
3. Cho tam giác ABC có diện tích 420 cm2.N là điểm chính giữa cạnh
AC.P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP = 3 PB.Các đoạn thẳng
BN và CP cắt nhau tại K.Hãy tính diên tích tam giác BKC.
Dạng 2: Hai tam giác có đáy bằng nhau hoặc chung đáy

Bài toán 1: Cho tứ giác MNPQ vuông ở P và Q, có
MQ = 6cm, NP = 9cm, PQ = 8cm (xem hình vẽ)
Nối M với P, N với Q
Hãy so sánh diện tích tam giác MQP và NQP

Vận dụng công thức tính diện tích tam giác, học
sinh chắc chăn dẽ dàng giải được:
Giải: Diện tích tam giác MQP là: 6 x 8 : 2 = 24 (cm2)
Diện tích tam giác NQP là : 9 x 8: 2 = 36 (cm2)
Vì 36cm2 > 24cm2 nên diện tích tam giác NQP lớn hơn diện tích tam giác
MQP.
Từ bài toán trên, hướng dẫn học sinh phân tích:
- Nếu xem PQ là đáy tam giác MPQ thì chiều cao tương ứng là cạnh nào?
(MQ)
- Nếu xem QP là đáy tam giác NPQ thì chiều cao tương ứng là cạnh nào?
(NP)
- Chiều cao NP của tam giác NPQ gấp mấy lần chiều cao MQ của tam giác
MQP? (9:6 =

3
lần)
2

12


- Diện tích tam giác NPQ gấp mấy lần diện tích tam giác MQP? (36:24 =

3
lần).
2

*Vậy hai tam giác có chung đáy (đáy bằng nhau) thì diện tích và chiều cao
có quan hệ như thế nào? (quan hệ cùng tăng hoặc cùng giảm).
Rút ra kết luận 1.2: Hai tam giác A và B có chung đáy (đáy bằng nhau) thì:

Phân tích bài toán:
Nếu ta biết tỉ lệ chiều cao của hai tam giác và biết diện tích của một trong
hai tam giác đó ta có thể tính được diện tích của tam giác còn lại hay không?
Ta có bài toán 2: Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 9cm2, chiều
cao AH bằng 3cm . Trên AH lấy điểm I sao cho IH =

5
AH. Tính diện tích tam
6

giác BIC.
Phân tích bài toán :
5
- Tỉ số chiều cao IH so với chiều cao AH bằng bao nhiêu? ( ).
6
- Khi đáy BC của hai tam giác không đổi thì tỷ số diện tích tam giác BIC
5
so với diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu? ( ).
6
Từ đó có thể tính được diện tích tam giác BIC không?
Giải: Khi đáy của hai tam giác không đổi.
Nếu chiều cao của tam giác BIC bằng

diện tích tam giác BIC bằng

5
chiều cao của tam giác ABC thì
6

5
diện tích tam giác ABC .
6

Diện tích tam giác BIC là : 9 x

5
= 7,5 (cm2)
6

* Tương tự ta có thể thiết kế ra một số bài toán, từ đó rút ra công thức
tổng quát 2.2:
13


- Gọi diện tích hình tam giác 1 là S1, chiều cao tam giác 1 là h1.
- Gọi diện tích hình tam giác 2 là S2, chiều cao tam giác 2 là h2.
Nếu tam giác 1 và tam giác 2 có chung đáy (hoặc đáy bằng nhau) thì:

* Như vậy qua các kết luận:
+ Hai tam giác có chung chiều cao (chiều cao bằng nhau) thì diện tích
và độ dài đáy là quan hệ tỉ lệ cùng tăng hoặc cùng giảm.
+ Hai tam giác có đáy bằng nhau (chung đáy) thì diện tích và chiều
cao tương ứng với đáy cũng có quan hệ tỉ lệ cùng tăng hoặc cùng giảm.
Một số bài toán thuộc dạng 2:
1. Cho hình thang ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.So
sánh diện tích tam giác AOD và BOC.
2. Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB. Hai đường chéo
AC và BD cắt nhau tại O.
So sánh đoạn thẳng OB và OD; OA và OC.

3. Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp ba lần đáy AB. Các cạnh bên
AD và BC kéo dài cắt nhau tại P.
a. So sánh các đoạn thẳng PA và PD; PB và PC.
b. Tính diện tích hình thang nếu biết diện tích tam giác PAB là 4 cm2.
Dạng 3: Hai tam giác có tỉ số về diện tích
Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB
= 12cm, chiều rộng BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy điểm
3
E sao cho EB = AB; trên cạnh BC lấy điểm M sao
4
3
cho CM = MB. Nối E với M, M với D. So sánh diện
4
tích tam giác EBM và MCD
Phân tích bài toán: Muốn so sánh diện tích hai tam giác EBM và MCD ta
phải làm gì? (phải biết diện tích từng hình tam giác).
Hai tam giác này có đặc điểm gì? (đều là tam giác vuông)
14


Muốn tính được diện tích tam giác EBM ta phải biết gì? (độ dài đoạn EB
và BM).
Muốn tính được diện tích tam giác MCD ta phải biết gì? (độ dài đoạn MC
và DC).
Giải: Độ dài đoạn EB là: 12 x

3
= 9 (cm)
4

Độ dài đoạn BM là: 7:(3+4)x4 = 4(cm)
Độ dài đoạn MC là: 7 – 4 = 3 (cm)
Diện tích tam giác BME là: 9 x 4 : 2 = 18 (cm2)
Diện tích tam giác MCD là: 3 x 12 : 2 = 18 (cm2)
Vì 18cm2 = 18cm2 nên diện tích tam giác BME bằng diện tích tam giác MCD.
* Chốt lại kiến thức để học sinh rút ra kết luận:
- Nếu coi EB là đáy tam giác EBM thì chiêu cao tương ứng là cạnh nào ? (BM)
- Nếu coi DC là đáy tam giác DMC thì chiêu cao tương ứng là cạnh nào (MC).
3
- Tỉ số chiều cao BM và MC là bao nhiêu? ( )
4
3
- Tỉ số đáy EB và DC là bao nhiêu ? ( )
4
- Vậy khi hai tam giác có diện tích bằng nhau thì độ dài đáy và chiều cao
tương ứng với đáy có quan hệ như thế nào? (chiều cao tăng bao nhiêu lần thì độ
dài đáy giảm đi bấy nhiêu lần và ngược lại chiều cao giảm đi bao nhiêu lần thì
đáy tăng bấy nhiêu lần).
Qua bài toán trên rút ra kết luận 3:

thì diện tích tam giác A bằng diện tích tam giác B
Từ bài toán trên giáo viên thiết kế thêm một số bài khác, từ đó rút ra công
thức tổng quát 3:
- Gọi đáy tam giác 1 là a1; chiều cao tương ứng đáy là h1
- Gọi đáy tam giác 2 là a2; chiều cao tương ứng đáy là h2
15


Nếu

a1 h 2
 thì S1 = S2
a 2 h1

 a 1 a 2 x

h2
;
h1

h 1 h 2 x

a2
;
a1

a 2 a 1 x

h1
;
h2

h 2 h 1 x

a1
a2

Sau khi học sinh nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam
giác thì giáo viên ra một số bài tập theo từng dạng để nâng cao dần kiến thức
cho học sinh, hệ thống bài tập đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Sau

đây là một số ví dụ:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy M sao cho BM =

1
BC ; nối A với
4

1
M trên AM lấy N sao cho NM = AM . Nối B với N. Tính diện tích hình tam
3
giác ABC biết diện tích hình tam giác BMN là 6cm2.
- Để giải được bài toán thì yêu cầu các em vẽ hình.
Từ hình vẽ giáo viên hướng dẫn các em khai thác dần
- Để tính được diện tích tam giác ABC ta phải dựa vào đâu? (dựa vào quan
hệ tỉ lệ diện tích tam giác AMB và ABC)
- Hai tam giác này có quan hệ như thế nào?
(chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy BM =

1
BC
4

1
nên SABM  SABC )
4
- Diện tích tam giác ABM đã biết chưa? (Chưa)
- Dựa vào đâu để tính được diện tích tam giác ABM? (quan hệ giữa tam
giác BMN và ABM).
- Tam giác BMN và ABM có quan hệ như thế nào? (có chung chiều cao
hạ từ đỉnh B, đáy MN =

1
1
AM nên SBMN  SABM ).
3
3

Từ hướng suy nghĩ trên học sinh sẽ giải được:

16


Giải: Tam giác BMN và ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B đáy MN=
1
1
AM nên diện tích tam giác BMN = diện tích tam giác ABM.
3
3
Diện tích tam giác ABM là: 6 x 3 = 18 (cm2)
Tam giác ABM và ABC có đáy BM =

đỉnh A nên diện tích tam giác ABM =

1
BC , có chung chiều cao hạ từ
4

1
diện tích tam giác ABC.
4

Diện tích tam giác ABC là : 18 x 4 = 72 (cm2)
Đáp số: 72 cm2
* Ở bài toán trên có em phát hiện ra cách giải khác.
Nối N với C, sau đó dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa các tam giác rồi tính.
Cách 2: Nối N với C
SBMN =

1
1
1
SMNC vì có đáy BM = MC (do BM = BC , có chung chiều cao
4
3
3

hạ từ đỉnh N)
Diện tích tam giác MNC là: 6 x 3 = 18 (cm2)
SMNC =

1
1
SAMC (đáy MN = AM, chung chiều
3
3

cao hạ từ đỉnh C)
Diện tích tam giác AMC là: 18 x 3 = 54
(cm2)SBMN =

=

1
1
SMNC vì có đáy BM = MC (do BM
3
3

1
BC), có chung chiều cao hạ từ đỉnh N.
4
Diện tích tam giác MNC là: 6 x 3 = 18 (cm2)
SMNC =

1
1
SAMC (đáy MN = AM; chung chiều cao hạ từ đỉnh C)
3
3

Diện tích tam giác AMC là : 18 x 3 = 54 (cm2)

17


SBMN =

1
1
SABM (đáy MN = AM, chung chiều cao hạ từ đỉnh B).

3
3

Diện tích tam giác ABM là: 6 x 3 = 18 (cm2)
Diện tích tam giác ABC là : 54 + 18 = 72 (cm2)
Đáp số: 72cm2
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích 780cm2. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho
EB =

1
1
AB. Trên cạnh AC lấy điển D sao cho AD = AC. Nối BD và CE cắt nhau tại
4
4

I.Tính diện tích tam giác BEI .

Phân tích: Tam giác BEI có cạnh BI
chung với cạnh của tam giác nào? (BIC)
Dựa vào mối quan hệ giữa các yếu
tố trong tam giác học sinh sẽ giải được:
- Từ kết quả bài 2 ta có:
Diện tích tam giác BDC gấp diện
tích tam giác EBD số lần là:
58: 48,75 = 12 (lần).
Tam giác BDC và EBD có chung đáy BD mà diện tích tam giác BDC gấp
12 lần diện tích tam giác EBD nên chiều cao CH gấp 12 lần EK.
- Xét tam giác EBI và BIC có chung đáy BI và chiều cao CH gấp 12 lần
EK nên diện tích tam giác BIC gấp 12 lần diện tích EBI hay
SEBI =

1
1
SBIC  SBEC
12
13

Mà SBEC =

1
1
SABC (vì EB = AB; chung chiều cao hạ từ đỉnh C)
4
4

Diện tích tam giác BEC là: 780 x
Diện tích tam giác EBI là: 195 x

1
= 195 (cm2)
4
1
=15 (cm2)
13

Đáp số: 15cm2

18

Bài 3: Cho tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại E. Biết diện tích tam
giác EAB, ECD, ECB lần lượt là 15cm 2, 10cm2 và 5cm2. Tính diện tích hình tam
giác EAD.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
- Muốn tính diện tích tam giác AED ta dựa vào đâu? (ta xem tam giác đó
có chung cạnh với tam giác nào? sau đó ta xem cạnh đó là đáy, xét tỉ số chiều
cao của hai tam giác đó).
- Dựa vào đâu để tính tỉ số chiều cao? (dựa vào
diện tích của tam giác có chung chiều cao với
các chiều cao đó).
- Em hãy cho biết tam giác ADE có chung cạnh
với tam giác nào? (chung cạnh AE với tam giác
AEB; chung cạnh DE vứi tam giác DEC).
Từ những hướng suy nghĩ đó các em sẽ giải được
Cách 1: Tam giác BEC và DEC có chung đáy EC và tỉ số diện tích của
tam giác BEC và DEC là: 5 : 10 =

1
1
. Do đó chiều cao BH = DK
2
2

Tam giác AED và AEB có chung đáy AE và chiều
cao BH =

1
DK
2

1
Nên diện tích tam giác ABE = diện tích tam giác AED
2
Diện tích tam giác AED là: 15 x 2 = 30 (cm2)
Đáp số: 30cm2
Cách 2: Tam giác EDA và EDC có chung
cạnh DE, AK là chiều cao của tam giác ADE và
cũng là chiều cao của tam giác ABE, CH là chiều
cao của tam giác EBC và cũng là chiều cao của
tam giác ECD.
Tam giác EBC và ABE có chung đáy EB nên tỉ
số diện tích bằng tỉ số chiều cao.
Tỉ số diện tích của tam giác EBC và ABE là:
19


5 : 15 =

1
3

Do đó chiều cao CH =

chiều cao CH =

1
AKTam giác ECD và EAD có chung đáy ED và
3

1

1
AK nên diện tích tam giác ECD = diện tích tam giác EAD.
3
3

Diện tích tam giác AED là: 10 x 3 = 30 (cm2)
Đáp số: 30cm2
*Lưu ý: Đối với bài toán yêu cầu tính diện tích một tam giác nào đó
(ta chưa biết cụ thể số đo độ dài đáy và chiều cao tương ứng với nó) thì phải
xét mối quan hệ giữa tam giác đó với một số tam giác khác (theo tỉ lệ độ dài
đáy và chiều cao).
Ngoài ra, ta còn có thể vận dụng mối quan hệ giữa các yếu tố trong
tam giác để giải các bài toán về mở rộng hay thu hẹp diện tích tam giác, tứ
giác.
4. Kết quả đạt được
Sau khi áp dụng đề tài này tôi cũng cho các em làm bài kiểm tra với một
số bài tập như sau:
Bài 1:. Một hình tam giác có diện tích 120cm². Nếu kéo dài đáy thêm
3cm thì diện tích sẽ tăng thêm 30cm². Tính cạnh đáy hình tam giác.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các canh
BC và CA, các đoạn AM và BN cất nhau tại G. Nối CG kéo dài cắt AB tại P.
Chứng minh:
a/ AP = PB
b/ Sáu tam giác AGP; PGB; BGM; MGC; CGN và MGA có diện tích bằng
nhau.
Bài 2: Cho diện tích tam giác ABC có diện tích bằng 780cm 2 . Trên cạnh
1
1
AB lấy điểm E sao cho BE= AB. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD =
4

4
AC. Nối BD và CE cắt nhau tại I. Tính diện tích tam giác CBD và EBD.
20


Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho
1
1
BD  DC. Nối A với D. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho DM  AD.
2
3
Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác BMD = 4cm2.
Qua chấm bài khảo sát, kết quả cho thấy:
Các em biết tính chiều cao của tam giác phần diện tích tăng thêm và đó
cũng chính là diện tích của hình tam giác ban đầu, từ đó các em tính được đáy
được đáy của giác ban đầu. Đa số các em đã biết cách vẽ đường phụ, biết vận
dụng mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác để giải các bài toán một
cách chặt chẽ, hợp lý
Sau nhiều năm bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán, áp dụng một số kinh
nghiệm trên, tôi nhận thấy chất lượng của học sinh được nâng cao rõ rệt. Gặp
những bài toán tương đối phức tạp, các em đã biết áp dụng những kết luận về
mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác để giải. Bài làm của các em lý luận
chặt chẽ, chính xác. Từ một bài toán cụ thể, các em có những hướng suy nghĩ
khác nhau. Từ những hướng suy nghĩ đó các em tìm ra được nhiều cách giải cho
một bài toán. Đặc biệt, trong những tiết học có các bài toán liên quan đến diện
tích tam giác các em học rất hào hứng. Đó là động lực thúc đẩy tôi trong quá
trình dạy học.

21

III. KẾT LUẬN
Qua các bài toán cụ thể đã nêu trên, bản thân tôi đã hướng dẫn học sinh
nắm được các kiến thức cơ bản về mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam
giác. Các em đã vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản đó để giải được rất
nhiều bài toán nâng cao về hình học có liên quan đến diện tích hình tam giác.
Đây là một dạng toán khá phổ biến và khó đối với học sinh lớp 5. Khó có
thể kể hết được các bài toán vận dụng mối quan hệ các yếu tố trong hình học để
giải và càng khó có thể đưa ra được phương pháp giải tổng quát cho dạng toán
này. Song qua các bài toán trên, tôi đã đưa ra một số kinh nghiệm nhỏ giúp học
sinh giải được dạng toán này như sau:
1. Giúp học sinh nắm kiến thức cơ bản về hình tam giác một cách vững
chắc. Ngay từ những bài đầu tiên về hình tam giác, giáo viên hướng dẫn học sinh
nắm vững các yếu tố trong tam giác, biết kẻ đường cao ở trong cả ba trường hợp
của tam giác (đặc biệt tam giác có một góc tù) để từ đó học sinh xác định được đáy
và chiều cao tương ứng. Điều này giúp các em rất nhiều trong việc xác định các
trường hợp chung đáy hoặc chung đường cao.
2. Cách phổ biến nhất là tìm ra được mối quan hệ của các yếu tố trong các
hình tam giác có liên quan (Hai tam giác có chung đáy, chung chiều cao hay
chung diện tích...) để đặt tỷ số tương ứng; tỷ số 2 đáy, tỷ số chiều cao hay tỷ số
diện tích.v.v...)
3. Đối với bài toán yêu cầu tính diện tích một tam giác nào đó (ta chưa
biết cụ thể số đo độ dài đáy và chiều cao tương ứng với nó) thì phải xét mối
quan hệ giữa tam giác đó với một số tam giác khác (theo tỉ lệ độ dài đáy và
chiều cao).
4. Tránh lối dạy áp đặt một chiều, phải đi từ những ví dụ cụ thể, giáo viên
dùng hệ thống câu hỏi bổ sung (ít hay nhiều tùy thuộc trình độ nhận thức của
học sinh) để hướng dẫn các em rút ra những kết luận mới. Từ những kết luận
mới giáo viên phải biết tổng quát hóa bài toán để giúp học sinh dễ nhớ.
5. Phải chú ý khai thác và phát triển các đề toán khác nhau trên cơ sở một

bài toán cơ bản đã có, tạo cơ hội phát triển tư duy ở các em. Khi thiết kế bài toán
22


nên liên hệ gần gũi với cuộc sống, phải thường xuyên đổi mới nội dung cho phù
hợp với những vấn đề của thời đại.
6. Phải kiên trì không nóng vội, khi học sinh chưa hiểu hoặc nắm chưa
vững kiến thức giáo viên cần phải có hệ thống câu hỏi gợi mở nhằm giúp các em
nắm trắc kiến thức, tránh làm thay cho học sinh.
7. Đặc biệt giáo viên nên khuyến khích học sinh nên tự ra đề rồi tự giải,
có như vậy các em mới nhớ lâu, khắc sâu được kiến thức.
8. Dạy các em biết cách phân tích đề để tìm ra cách làm, hướng đi, làm
tăng hướng thú đam mê với môn học. Khi đã nắm chắc thường các em không
chỉ tìm ra một cách giải mà còn tìm ra nhiều cách giải khác.
Với cách làm ấy tôi thấy chất lượng học tập của học sinh ngày càng được
nâng lên, hạn chế tình trạng học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động. Số lượng
học sinh yêu thích môn học ngày càng tăng.
Một điều rất thú vị ở phần diện tích hình tam giác trong chương trình Tiểu
học đó là: học sinh chỉ được sử dụng duy nhất một công thức tính diện tích tam
giác, không được sử dụng tính chất đường trung bình, trung trực, trung tuyến,…
để chứng minh. Tuy vậy dựa vào mối quan hệ giữa ba đại lượng: đáy, chiều cao,
diện tích các em có thể giải quyết những bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Đây
chính là điều hết sức hấp dẫn thú vị.
Với ý tưởng nâng cao chất lượng học sinh giỏi, đồng thời mở rộng cách
nhìn bài toán về diện tích hình tam giác. Bằng kinh nghiệm ít ỏi của mình, tôi đã
cố gắng trình bày một số bài toán điển hình và phương pháp giải chúng. Hy
vọng nhận được ở đồng nghiệp và những người quan tâm những ý kiến bổ ích
để những vấn đề nêu trên ngày càng thiết thực hơn.

23