skkn vận DỤNG KIẾN THỨC hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC để GIẢI một số bài TOÁN có nội DUNG THỰC TIỄN

BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG KIẾN THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC
TIỄN

Người thực hiện: TẠ HỮU DŨNG
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: ………….. 
(Ghi rõ tên bộ môn)



- Lĩnh vực khác: .......................................................
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I.

THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1.

Họ và tên: TẠ HỮU DŨNG.

2.

Ngày tháng năm sinh: 02-8-1982.

3.

Nam, nữ: Nam.

4.

Địa chỉ: tổ 7, ấp 8, xã Xuân Tây, huyện Cẩm Mỹ, tỉnh Đồng Nai.

5.

Điện thoại:

(CQ)/

6.

Fax:

E-mail:

7.

Chức vụ: Giáo viên.

8.

Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy, chủ nhiệm.

9.

Đơn vị công tác: Trường THPT Sông Ray.

II.

(NR); ĐTDĐ: 01686084319.

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
-

Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân.

-

Năm nhận bằng: 2005.

-

Chuyên ngành đào tạo: Đại học toán.

III.

KINH NGHIỆM KHOA HỌC
-

Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Hình học.
Số năm có kinh nghiệm: 10 năm.

-

Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
Phương pháp tiếp cận các bài toán tính khoảng cách trong hình học
không gian lớp 12 (năm 2015)

2

2


VẬN DỤNG KIẾN THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC
TIỄN
I.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khi dạy tiết bài tập hệ thức lượng trong tam giác tôi nhận thấy các em chỉ
quan tâm đến việc áp dụng công thức nào, thay số để tính các yếu tố còn lại, các
em thực hiện dường như được lập trình sẵn, nhiều khi chẳng cần hình vẽ. Khi
đưa vào một vài vấn đề thực tiễn vào trong bài toán thì các em thấy khó định
hướng lời giải. Như vậy các em đang thụ động trong học tập và thiếu đi kĩ năng
vận dụng kiến đã học vào trong thực tiễn. Chính vì những lí do trên tôi nhận thấy
cần phải thay đổi cách dạy để các em thấy được toán học và thực tiễn gần gũi với
nhau, và chỉ có gần gũi với thực tiễn thì các em mới hiểu được ý nghĩa của toán
trong đời sống. Từ đó mới có thể tạo cho các em tính chủ động trong học tập và
hứng hứng thú học môn hình. Và đây là cơ hội để tôi viết sáng kiến kinh nghiệm
“ Vận dụng kiến thức hệ thức lượng trong tam giác để giải một số bài toán
có nội dung thực tiễn”.

II.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lí luận
Hiện nay chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình giáo dục phổ thông vừa
là căn cứ, vừa là mục tiêu của giảng dạy, học tập, kiểm tra đánh giá của các
trường trung học phổ thông.
Yêu cầu chung của dạy học bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng:
- Căn cứ vào chuẩn kiến thức, kĩ năng để xác định mục tiêu bài học. Chú trọng
dạy học nhằm đạt được các yêu cầu cơ bản và tối thiểu về chuẩn kiến thức, kĩ
năng, đảm bảo không quá tải và không quá lệ thuộc hoàn toàn vào SGK; mức độ
khai thác thức sâu kiến thức, kĩ năng trong SGK phải phù hợp với khả năng tiếp
thu của học sinh.
- Sáng tạo về phương pháp dạy học phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác
học tập của học sinh. Chú trọng rèn luyện phương pháp tư duy, năng lực tự học,
tự nghiên cứu; tạo niềm vui, hứng khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong

học tập của học sinh.
- Dạy học thể hiện mối quan hệ tích cực giữa giáo viên và học sinh, giữa học
sinh với học sinh; tiến hành thông qua việc tổ chức các hoạt động học tập của học
sinh, kết hợp giữa học tập cá thể với học tập hợp tác, làm việc theo nhóm.

3

3


- Dạy học chú trọng đến việc rèn luyện các kĩ năng, năng lực hành động, vận
dụng kiến thức, tăng cường thực hành và gắn với nội dung bài học với thực tiễn
cuộc sống.
Dạy học chú trọng đến sử dụng hiệu quả phương tiện thiết bị dạy học được
trang bị hoặc do giáo viên và học sinh tự làm; quan tâm ứng dụng công nghệ
thông tin trong dạy học.
Yêu cầu đối với giáo viên:
- Bám sát chuẩn kiến thức kĩ năng để thiết kế bài giảng với mục tiêu là đạt
được các yêu cầu cơ bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng, dạy không quá tải và
không quá lệ thuộc hoàn toàn vào SGK. Việc khai thác sâu kiến thức, kĩ năng
phải phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh.
- Thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động học tập với các
hình thức đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn phù hợp với đặc trưng bài học, với
đặc điểm và trình độ của học sinh, với điểu kiện cụ thể của lớp, trường, địa
phương.
- Động viên, khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh được tham gia
một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá, phát hiện, đề xuất
và lĩnh hội kiến thức; chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có
của học sinh; tạo niềm vui, hứng khởi, nhu cầu hành động và có thái độ tự tin
trong học tập cho học sinh, giúp học sinh phát triển năng lực, tiềm năng của bản

thân.
- Thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng câu hỏi, bài tập phát triển
tư duy và rèn luyện kĩ năng; hướng dẫn sử dụng thiết bị dạy học; tổ chức các giờ
thực hành; hướng dẫn học sinh thói quen vận dụng kiến thức đã học vào giải
quyết các vấn đề thực tiễn.
- Sử dụng các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học một cách hợp lí,
hiệu quả, linh hoạt, phù hợp với đặc trưng của cấp học, môn học.
( trích trong Chuẩn kiến thức, kĩ năng)
Trên cơ sở đó tôi quan tâm đến việc đưa những nội dung thực tiễn vào bài dạy
của mình nhằm cho học sinh vận dụng được kiến thức đã học vào những vấn đề
gần gũi với cuộc sống.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong tiết bài tập, khi làm các bài tập về giải tam giác tôi có cho các em làm
một bài tập đơn giản:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh AB bằng 5m và góc
µ = 600
B

. Hãy tính cạnh AC.

Khi đó tôi nhận được kết quả lời giải như sau:
4

4


AC
AB
AB sin B 5.sin 60 0
=

⇒ AC =
=
=5 3
sin B sin C
sin C
sin 300
Và hầu hết các học sinh trong lớp học đều làm đúng kết quả. Vậy điều gì làm tôi
băn khoăn? Khi tôi đưa một bài toán tương tự nhưng được cho ở dạng có nội
dung thực tiễn:
Một dây cáp nối từ đỉnh của cột điện xuống mặt đất phẳng hợp với mặt đất
một góc bằng 300. Giả sử em có một dụng cụ là thước dây dài. Hãy nghĩ cách
đo chiều dài của cây cột điện mà không được trèo lên cây cột điện, biết rằng
cột điện thẳng đứng.
Sau 5 phút để các em suy nghĩ, tôi kiểm tra kết quả của 35 học sinh trong lớp
học thì tôi nhận được 5 câu trả lời đúng, và phần còn lại thì không trả lời được
hoặc trả lời sai.
Nhận xét:
- Phần lớn học sinh không giải quyết được yêu cầu trên là do không hiểu được
yêu cầu của bài toán, một số học sinh chỉ quan tâm đến số liệu nhằm thay vào
công thức để tính toán, một số học sinh thì lười vẽ hình nên không biết bắt đầu
từ đâu.
- Yêu cầu của bài toán chỉ là nêu ra ý tưởng, không đặt nặng kĩ năng tính toán.
Câu trả lời đúng là:

B

Đặt tên điểm A là chân cây cột điện, điểm B là
đỉnh cây cột điện, gọi C là điểm tại vị trí mà bóng
của cây cột hợp với mặt đất bằng 300. Khi đó ta luôn
đo được độ dài đoạn AC (việc đo đạc luôn thực hiện

được trên mặt đất), ta được tam giác ABC có đầy đủ
điều kiện để áp dụng định lí sin để tính đoạn AB
(chiều cao cây cột)

C

30 0

A

AB
AC
AC sin C
=
⇒ AB =
sin C sin B
sin B

Bài toán 2: (Bài 6b, trang 69, SGK hình học 10 cơ bản)
Cho tam giác ABC có các cạnh

a = 8 cm, b = 10 cm, c = 13 cm

.

Tính độ dài đường trung tuyến MA của tam giác ABC đó.
Lời giải của hầu hết của học sinh là:

5

5


MA =
2

2 ( b2 + c2 ) − a 2

⇒ MA =

4
474
2

=

2 ( 102 + 132 ) − 82
4

=

237
2

cm.

Bài toán 3: Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác có AB = 13 km, AC = 10
km và BC = 8km. D là một điểm nằm trên đoạn CB. Biết rằng một ô tô đi từ
A đến B rồi đến D tổng cộng hết 17 km. Vậy nếu có con đường thẳng nối từ
A đến D thì đoạn đường AD dài bao nhiêu km?

Trong bài toán trên tôi nhận thấy:
- Khoảng một nửa số học sinh của lớp thấy được rằng giả thiết này giống với giả
thiết ở bài toán 2, tuy vậy các em còn phân vân không biết điểm D có phải là
trung điểm của đoạn BC không, nên chưa dám sử dụng công thức đường trung
tuyến vào tam giác ABC.
- Một số học sinh thì tính đoạn AD theo hướng: dựa vào tam giác ABC để tính
cos ·ABC
rồi sau đó áp dụng vào tam giác ABD để tính AD:
2

2

2

AD = BA + BD – 2BA.BC.cos

·ABC

- Một số thì nhận ra D là trung điểm của BC và áp dụng công thức đường trung
tuyến để tính AD.
• Nhận xét:
Nếu cho một bài toán với đầy đủ yếu tố thì học sinh giải rất nhanh, nhưng nếu
đưa một vài vấn đề có nội dung thực tiễn vào bài học thì chỉ có một số học sinh
hiểu vấn đề và giải quyết được vấn đề, một số học sinh thì hiểu vấn đề nhưng
chưa biết làm sao để áp dụng được kiến thức đã học vào giải quyết bài toán, một
số thì chậm chạp trong việc đọc và phân tích bài toán. Vì vậy tôi nhận thấy cần
đem những nội dung thực thực tiễn vào bài học để các em quen dần với lối tư duy
hiện đại. Chỉ có vậy các em mới thực sự hiểu được ý nghĩa của việc học toán
trong đời sống chứ không chỉ học toán để thi cử. Cần phải trang bị cho các em kĩ
năng đọc và phân tích khó khăn của tình huống hoặc bài toán, tìm ý tưởng giải

quyết vấn đề. Ở đây tôi chỉ muốn học sinh tìm được ý tưởng, không đặt nặng kĩ
năng tính toán.
TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Trong sáng kiến kinh nghiệm này có các giải pháp sau:
1. Giải pháp 1: Tóm tắt lí thuyết.
6

6


2. Giải pháp 2: Thiết kế các bài toán có nội dung thực tiễn.
3. Giải pháp 3: Tổ chức các hoạt động học tập của học sinh.
GIẢI PHÁP 1: TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Trước khi vào tiết bài tập việc tóm tắt lại các kiến thức trong chương là rất
cần thiết nhằm cho học sinh nhớ một cách hệ thống và nắm được trọng tâm của
chương.
Kí hiệu
ABC.

a, b, c

lần lượt là ba cạnh đối diện với góc A, B, C trong tam giác

ha , m a , r, R

Kí hiệu
lần lượt là chiều cao hạ xuống cạnh a, độ dài đường
trung tuyến hạ xuống cạnh a, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Kí hiệu

S ABC

Định lí cosin:

là diện tích tam giác ABC.

a 2 = b 2 + c 2 − 2b.c.cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2a.c.cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C

Định lí sin:

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

Công thức đường trung tuyến:

m =
2
a

m =
2
b

m =
2
c

2 ( b2 + c2 ) − a2
4
2 ( a 2 + c 2 ) − b2
4
2 ( a 2 + b2 ) − c2
4

Các công thức tính diện tích tam giác:

7

7


1
1
1
S ABC = a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
S ABC = a.b.sin C = a.c.sin B = b.c.sin A

2
2
2
S ABC = p.r

S ABC =
S ABC =

a.b.c
4R
p( p − a) ( p − b) ( p − c)

• Chú ý: Một tam giác hoàn toàn được xác định khi ta biết được ba yếu tố
trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh(yếu tố ở đây được hiểu là
cạnh hoặc góc). Như vậy khi thực hiện áp dụng hệ thức lượng vào
một tam giác thì phải xác định được các yếu tố nào đã được xác
định, còn trong các bài toán có nội dung thực tiễn thì phải các định
được yếu tố nào có thể đo được bằng một số dụng cụ có sẵn.
Khi thực hiện các bài toán về giải tam giác thì ta căn cứ vào số cạnh có sẵn
để xác định áp dụng định lí sin, định lí cosin:

Đl sin

Với sơ đồ trên học sinh dễ nhận biết được việc sử dụng định lí sin hay cosin vào
bài toán.

8

8

GIẢI PHÁP 2: THIẾT KẾ CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN
Quan điểm của tôi trong là: trong một tiết học không nhất thiết học sinh làm
được thật nhiều bài tập, đối với tôi học sinh phải lĩnh hội được gì sau giờ học, ý
nghĩa của hoạt động giải bài tập đối với thực tiễn. Vì vậy với tôi việc thiết kế
những những bài toán sẽ làm cho buổi học không khí vui vẻ, tích cực. Việc sử
dụng các phương tiện dạy học giúp học sinh có cái nhìn trực quan sinh động vào
các vấn đề có liên quan đến thực tiễn.
Thay vì cho học sinh làm bài tập 3 (SGK 10 Cơ bản, trang 59)
µA = 1200
b = 8 cm
a
Cho tam giác ABC có
, cạnh
và c = 5 cm. Tính cạnh .
Tôi đưa ra một bài toán tương tự như sau:
Bài toán 1
Một hồ nước khá rộng nằm ở góc tạo bởi hai con đường giao nhau tại điểm
A. Ông Bean dự định đi từ vị trí B đến vị trí C bằng cách bơi qua hồ nước.
Biết rằng AB = 3km, AC = 4km, góc A = 1200 và sức bơi tối đa của ông
Bean là 6km. Hãy đưa ra lời khuyên chân thành đến ông Bean, có nên bơi
hay không?
(ông Bean là một nghệ sĩ hài rất nổi tiếng người Anh)

9

9


Học sinh nhận thấy rằng ông Bean chỉ nên bơi khi mà đoạn đường từ B đến C

nhỏ hơn hoặc bằng 6. Vậy để khuyên ông Bean thì cần phải tính đoạn BC.
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A

= 32 + 42 − 2.3.4.cos1200 = 37

⇒ BC = 37 > 6
Vậy ông Bean không nên bơi mà hãy đi bộ từ B đến A rồi từ A đến C cho an
toàn.
• Nhận xét:
Với việc đưa một tình huống thực tiễn này vào trong bài toán sẽ tạo sự chú ý
của học sinh, kích thích trí tò mò muốn được giải đáp câu hỏi được nêu.
Bài toán 2:
Một ô tô đi từ A và C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải
chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này
tạo thành tam giác ABC có AB=13km, BC=km và góc B=1000 biết rằng cứ
1km đường ô tô phải tốn 0,1 lit xăng.
a) Tính số xăng phải tiêu thụ khi chạy từ A đến C qua B.
b) Giả sử không có ngọn núi và giả sử có con đường thẳng từ A đến C thì ô
tô chạy trên con đường này tốn bao nhiêu lit xăng.

10

10


C
1000

A

B

(hình minh họa)
a) Để biết số lit xăng phải tiêu tốn trong quãng đường từ A đến C thì ta phải
tính tổng độ dài quãng đường từ A đến C.
Ta có: Tổng chiều dài quãng đường từ A đến C là 23 km, suy ra số lit xăng
phải dùng trong quãng đường là 23.0,1 = 2,3 lit xăng.
b) Giả sử có con đường chạy thẳng từ A đến C, khi đó:

AC = BA2 + BC 2 − 2 BA.BC.cos B = 132 + 10 2 − 2.13.10.cos1000 ≈ 17,7 km
Vậy số lit xăng phải tiêu tốn là 1,77 lit xăng.
•Nhận xét:
-Bài toán trên chỉ là một bài toán đơn giản nhằm cho học sinh so sánh được
lợi ích kinh tế nếu có con đường nối thẳng từ A đến C.
Bài toán 3
Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác có AB = 400 m, AC = 460 m và
BC = 700 m. D là một điểm nằm trên đoạn CB. Người ta kéo một đường điện
từ A đến B rồi kéo từ B đến D hết 650 m dây điện. Nếu kéo đường dây điện
chạy thẳng từ A đến D(đoạn thẳng AD) thì khi đó sẽ tiết kiệm được bao
nhiêu m dây điện?
A

B

11

D

C

11


Bài toán quy về tính độ dài AD. Để tính chiều dài đoạn dây nối thẳng từ A đến D
BA = 400 m, BD = 250 m
thì ta áp dụng vào tam giác ABD có
và

cos ·ABD =

BA2 + BC 2 − AC 2 4002 + 7002 − 4602 137
=
=
2 BA.BC
2.400.700
175

Khi đó
137
AD = BA2 + BD 2 − 2 BA.BD.cos ·ABD = 4002 + 250 2 − 2.400.250.
≈ 257 m
175

.

Vậy so với đường dây cũ thì đường dây mới ngắn hơn đường dây cũ khoảng 393
m.
• Nhận xét:
Bài toán 2 và 3 là những bài toán có một số nội dung thực tiễn nhằm cho học
sinh biết vận dụng định lí cosin. Trong hai bài toán trên học sinh làm quen với

những vấn đề về lợi ích kinh tế.
Bài toán 4
Ông Bean đi du lịch đến nước Ý và đến thăm tháp nghiêng nổi tiếng
Pisa, ông tò mò muốn tự mình khám phá ra chiều dài của tháp. Trong tay
của ông Bean có hai dụng cụ là thước dây và dụng cụ ngắm đo góc. Tuy vậy
người ta không cho trèo lên tháp, vì thế ông Bean đang bối rối không biết
làm gì để thực hiện được khám phá này. Em hãy nghĩ cách giúp ông Bean.

12

12


Hướng giải quyết vấn đề
- Ngắm chọn điểm A nằm trên đỉnh của tháp, điểm B dưới chân tháp và một điểm
C trên mặt đất. Mục đích của việc chọn điểm này là tạo raAmột tam giác mà có
một cạnh là chiều dài của tháp.
·ABC , BCA
·
- Đo độ bài đoạn BC bằng thước dây, đo góc
bằng dụng cụ ngắm đo góc. Đây là những yếu tố hoàn
toàn
thực
hiện được trên mặt đất.
- Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta sẽ tính
AB là chiều dài của tháp:

được độ dài

AB

BC
BC.sin C
=
⇒ AB =
sin C sin A
sin A

(

µA = 1800 − B
µ +C
µ
(trong đó

)

B

C

)

•Nhận xét:
Đây là một bài toán tìm ý tưởng để giải quyết vấn đề. Học sinh cần xác định
được tam giác mà có một cạnh là chiều dài của tháp, đo được những yếu tố nào
bằng những dụng cụ đã cho.
•Ghi chú:
- Hiện giờ ở các của hàng bán đồ gia dụng hay các của hàng đồ chơi trẻ em có rất
nhiều các vật dụng có gắn đèn chiếu tia laze, đặc biệt là chiếc đèn pin nhỏ có
chiếu tia laze của trẻ nhỏ ta có thể sử dụng vật dụng này để làm dụng cụ ngắm

xác định điểm ở xa và xác định tia để đo góc. Chẳng hạn trong ví dụ trên ta có
thể hướng tia laze từ điểm C hướng lên đỉnh tháp và chọn được điểm A, rồi ta sẽ
đo được góc hợp bởi CA và CB chính là góc hợp bởi phương của đèn với CB.
Bài toán 5
Người ta dự định xây một cây cầu bắc qua một con sông tương đối rộng
và chảy xiết. Trong một đợt khảo sát người ta muốn đo khoảng cách giữa
hai điểm A và B ở hai bên bờ sông. Khó khăn là người ta không thể qua sông
bằng bất kì phương tiện gì. Em hãy đặt mình vào vị trí của người khảo sát
để giải quyết tình huống này. Biết rằng em có dụng cụ ngắm đo góc và
thước dây.

13

13


Phân tích: Để tính được chiều dài đoạn AB ta sẽ tạo một tam giác mà có AB là
một cạnh. Ta chọn một điểm C nằm trên bờ (có thể cùng phía với A hoặc với B)
và ta xem trong tam giác này ba yếu tố nào ta đo được bằng các dụng cụ đã có.

Hướng giải quyết vấn đề:
-Ta chọn một bên bờ, giả sử bên bờ có chứa điểm
A, ta lấy một điểm C.
-Ta thực hiện việc đo độ dài AC bằng thước dây
·
·
BAC
, BCA
và các góc
bằng dụng cụ ngắm đo

góc.

B

A

C

-Áp dụng định lí sin để tìm AB.
AB
AC
AC.sin C
=
⇒ AB =
sin C sin B
sin B

Bài toán 6
Bạn Tèo chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài và bạn ấy muốn đo bán kính
của đường tròn lớn của tượng đài ở công viên Sông Ray(tâm của đường tròn
14

14


lớn này bị che khuất bởi tượng cây đuốc). Bạn Tèo đang loay hoay không
biết làm cách nào để đo được bán kính của đường tròn này.
a) Em hãy tìm cách giúp bạn Tèo hoàn thành công việc.
b) Hãy minh họa bằng một kết quả cụ thể với số đo tự cho.

Ý tưởng:
- Đo chiều dài của đường tròn, sau đó ta tính được bán kính bằng công thức
chu vi
r=
2π
. Nhưng vì bạn Tèo chỉ có thước dài nên không thể dùng thước dài để
đi đo chiều dài đường tròn được. Vì vậy ta đi tìm cách khác, ta nhận thấy các
công thức về hệ thức lượng trong tam giác có một số công thức có liên quan đến
bán kính đường tròn nên ta dùng các công thức này để tính bán kính đường tròn
như:
2R =

a
abc
,S=
, S = p.r
sin A
4R

- Dùng định lí sin thì phức tạp vì phải tính cosA rồi mới tính được sinA.
S = p.r
- Dùng công thức
thì việc xác định tam giác ngoại tiếp đường tròn cũng
là việc khó.

15

15

S=

abc
4R

- Dùng công thức
có vẻ hợp lí hơn bởi chỉ cần lấy ba điểm nằm trên
đường tròn ta dễ dàng được một tam giác và độ dài ba cạnh luôn đo được bằng
dụng cụ đã có.

Lời giải:
a)  Lấy ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn.
 Đo độ dài

AB = c, BC = a, CA = b

.
S=

 Tính diện tích ABC bằng công thức hê-rông
R=
 Suy ra bán kính
b) Giả sử đo được độ dài

abc
4S

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

.

.

AB = 35m, BC = 39m, AC = 26m.

Khi đó diện tích tam giác ABC là

R=
Bán kính đường tròn là

S = 50.15.11.24

35.39.26
4. 50.15.11.24 ≈ 19,4m

Bài toán 7:
Trong một buổi gặp nhau cuối tuần nghệ sĩ hài Xuân Bắc đặt ra một tình
huống đối với giáo sư Cù Trọng Xoay như sau: “Một người có chiều cao từ
chân đến mắt là 1,6m. Với hai dụng cụ đo là thước dây và giác kế, người đó
muốn đo chiều cao của một cái cây cao. Vậy làm thế nào để đo được chiều
cao của cây.”
Nếu được ở vị trí của giáo sư Cù Trọng Xoay em làm cách nào để đo
được chiều cao của cây? Hãy minh họa bằng một kết quả cụ thể.
Một người có chiều cao từ chân đến mắt
là 1,6m. Với hai dụng cụ đo là thước dây và
giác kế, người đó muốn đo chiều cao của
một cái cây cao. Vậy làm thế nào để đo
được chiều cao của cây?
16

16


Ý tưởng:
- Chọn một vị trí đứng là điểm H, gọi A là vị trí của mắt khi người đó đứng
tại H, B là vị trí tại gốc cây, C là đỉnh của cây.
- Áp dụng vào tam giác ABC để tính BC, các yếu tố có thể đo được:
·
CAB
, ·ABC
và độ dài AB.
- Dùng thước dây đo độ dài HB, áp dụng vào tam giác ABH để tính AB và
·
HAB
góc
.
·
·
·
CBA
= HAB
,
BAC
- Ta có
AB xác dịnh được, dùng giác kế để đo góc
. Từ
đó áp dụng định lí sin vào tam giác ABC để tính BC.

1,6

17

17


•Giả sử đo được độ dài

HB = 20cm.

Khi đó

AB = HA2 + HB 2 =

2

+ 202 ≈ 20,06m

.

·
sin HAB
=

HB
20
·
=
⇒ HAB
≈ 860
AB 20,06

·
BAC

·
BAC
= 450

Dùng giác kế đo góc

Ta có:

( 1,6 )

, giả sử đo được

, ta suy ra:

·ACB = 490

CB
AB
20,06.sin 450
=
⇒ BC =
≈ 18,79m
sin A sin C
sin 490

Vậy chiều cao trong trường hợp này là 18,79m.

Bài toán 8 (*)
Bạn Lan xin mẹ một thửa đất trong khu vườn nhà để trồng hoa. Mẹ vui
vẻ đồng ý nhưng với một điều kiện thửa đất đó phải là một tam giác vuông.
Bạn Lan được mẹ hướng dẫn lấy một sợi dây có độ dài 14m rồi tạo thành
đoạn gấp khúc BAC sao cho tam giác ABC vuông tại A. Bạn Lan rất thích
hoa nên muốn diện tích trồng hoa lớn nhất, vậy tam giác ABC có đặc điểm
gì để có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn:
Tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên
1
AB. AC
2
diện tích tam giác ABC bằng
AB + AC = 14
Ta lại có
.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai
số AB và AC ta được

18

A

B

A

C

18


( AB + AC )
AB. AC ≤
4

2

142
=
= 49
4

.

Dấu “ = ” xảy ra khi AB = AC =7
Vậy tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.
Bài tập rèn luyện
1. Một cây cột điện cao 20 m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp
với phương nằm ngang một góc 170. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện
đến cuối dốc. Tìm chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cọc đến
cuối dốc bằng 72m.
C

Hướng dẫn:

20m

·ABC

- Tính góc
- Áp dụng vào tam giác ABC để
tính AC.
AC ≈ 80,16m
- Đáp số
.

B
A

17 0

D

2. Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A
của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới
·
·
BQA
= 480
BPA
= 350
góc
và
. Tính chiều cao của tháp.
(sgk 10 cơ bản-trang 60)
B

Hướng dẫn:

p

·
PBQ
, BQ
-Tính
- Đáp số:

19

h

.

AB ≈ 568,457 m

.

35 0
P

300m
b

48 0
Q

A

19

3. Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy
AB = 12m
hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách
, cùng thẳng hàng với
chân C của tháp để đặt giác kế . Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D
A1 , B1
C1
là đỉnh tháp và hai điểm
cùng thẳng hàng với
thuộc chiều cao CD của
0
·
DAC
= 49
1 1
D
tháp. Người ta đo được
và
· C = 350
DB
1 1
. Tính chiều cao CD của tháp
đó. (sgk hình 10-cơ bản, trang 60)
C1

Hướng dẫn:
- Tính

·A DB , A D, C D
1
1
1
1

- Đáp số

49 0

C

A1

35 0

12m

1,3m
A

12m

B

.
CD = C1D + C1C ≈ 22,772m

4. Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên
người ta làm như sau: xác định một điểm B có khoảng cách AB = 3,2 km và đo

·ACB = 37 0
được góc
. Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 1,3km.
B

C

Đáp số:

A

AC ≈ 4,1km

.

5. Một hồ nước có hình tròn nằm giữa ba con đường( hình vẽ), ba con đường
thẳng cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho ba con đường này đều là
tiếp tuyến của hình tròn. Làm cách nào để đo được bán kính của hồ nước mà
không được lội xuống nước. Hãy lấy một ví dụ cụ thể để minh họa cho cách
thực hiện đó.
20

B1

20


• Hướng dẫn:

B

- Đo độ dài ba đoạn AB, BC, CA.
- Tính diện tích tam giác ABC.
- Sử dụng công thức diện tích tam
giác có liên quan đến bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác để
tính bán kính.
A

C

GIẢI PHÁP 3: TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA
HỌC SINH
Phương pháp thảo luận nhóm đang được phần lớn giáo viên sử dụng trong
tiết dạy của mình nhằm mang đến cho học sinh tính chủ động trong học tập. Tuy
vậy không phải tiết học nào cũng thành công, đối với bộ môn toán thì lại càng
khó áp dụng hơn bởi đa số học sinh trong lớp đều là học sinh có học lực từ trung
bình trở xuống, lôi kéo được số học sinh này tham gia tích cực vào thảo luận một
cách tích cực là không hề đơn giản. Để kích thích các em tham gia vào hoạt động
nhóm thì phải tạo cho các em một sự thích thú, vậy làm sao để các em có sự thích
thú!
Khi dạy bài tập hệ thức lượng trong tam giác tôi nhận thấy rằng đây là phần
có liên quan đến nhiều hình ảnh trong thực tiễn nên tôi thiết kế ra những tình
huống nhằm kích thích sự tò mò của các em. Theo tôi nên chú trọng nhiều đến
việc học sinh đưa ra ý tưởng giải quyết vấn đề hơn là việc tính toán, qua đó giáo
dục các em tập đưa ra ý tưởng để giải quyết vấn đề. Khi các em ở vị trí người giải
quyết tình huống thì các em có quyền chủ động cho các số liệu (các yếu tố có thể
đo được trong thực tiễn) và thực hiện tính toán kết quả theo các số liệu tự cho đó.
Qua quá trình quan sát các hoạt động nhóm tôi nhận thấy rằng các em tranh
luận sôi nổi để đưa ra ý tưởng giải quyết tình huống. Các em đã tự phát hiện ra

những sai lầm của nhau hoặc phát hiện ra những điểm chưa hợp lí. Chẳng hạn:
Người ta dự định xây một cây cầu bắc qua một con sông tương đối rộng và
chảy xiết. Trong một đợt khảo sát người ta muốn đo khoảng cách giữa hai
điểm A và B ở hai bên bờ sông. Khó khăn là người ta không thể qua sông
bằng bất kì phương tiện gì. Em hãy đặt mình vào vị trí của người khảo sát
để giải quyết tình huống này. Biết rằng em có dụng cụ ngắm đo góc và
thước dây. Hãy minh họa bằng một kết quả cụ thể (tự cho số liệu)
Khi đó tôi nhận được kết quả là các nhóm đều
tìm ra được cách giải quyết vấn đề :
-Ta chọn một bên bờ, giả sử bên bờ có chứa điểm
A, ta lấy một điểm C.

B

A

21

21
C


-Ta thực hiện việc đo độ dài AC bằng thước dây và các góc
dụng cụ ngắm đo góc.

·
·
BAC
, BCA

bằng

-Áp dụng định lí sin để tìm AB.
Trong phần tự cho số liệu và tính toán:
µ = 110 0
AC = 50 m, µA = 450 , C
◘ Nhóm 1: Đo được
. Khi đó
AC.sin C 50.sin1100
AB =
=
≈ 137,37 m
sin B
sin 200

◘ Nhóm 2: Đo được

µ = 1000
AC = 4m, µA = 500 , C

. Khi đó

AC.sin C 4.sin1000
AB =
=
≈ 7,88m
sin B
sin 300

◘ Nhóm 3: Đo được

µ = 700
AC = 3km, µA = 600 , C

. Khi đó

AC.sin C 3.sin 700
AB =
=
≈ 3,68km
sin B
sin 500

◘ Nhóm 4: Đo được

µ = 880
AC = 62m, µA = 550 , C

. Khi đó

AC.sin C 62.sin880
AB =
=
≈ 102,96m
sin B
sin 37 0

Tôi thấy các em nhận xét kết quả của nhau như sau:
- Nhận xét kết quả của nhóm 2: lấy giá trị AC quá nhỏ nên dẫn đến AB quá
nhỏ so với bề rộng của sông.

- Nhận xét kết quả của nhóm 3: lấy giá trị AC quá lớn để có thể đo bằng
thước dây.
- Nhận xét kết quả của nhóm 1 và 4: có kết quả hợp lí.
•Nhận xét:
Những kết quả trên đều đúng theo những số liệu đã cho, các em đã tự trao đổi
và nhận xét các kết quả của nhau, điều đó mang đến cho buổi học không khí sôi
nổi tích cực.
Bạn Tèo chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài và bạn ấy muốn đo bán kính
của đường tròn lớn của tượng đài ở công viên Sông Ray(tâm của đường tròn
22

22


lớn này bị che khuất bởi tượng cây đuốc). Bạn Tèo đang loay hoay không
biết làm cách nào để đo được bán kính của đường tròn này.
a) Em hãy tìm cách giúp bạn Tèo hoàn thành công việc.
b) Hãy cho một kết quả cụ thể với số đo tự cho.
Khi thực hiện tính toán ở câu b, tôi nhận được các kết quả như sau:
◘ Nhóm 1: Đo được độ dài

AB = 30m, BC = 40m, AC = 50m.

Khi đó diện tích tam giác ABC là
R=
Bán kính đường tròn là
◘ Nhóm 2: Đo được độ dài

30.40.50
= 25m

4.600

.

AB = 35m, BC = 39m, AC = 26m.

Khi đó diện tích tam giác ABC là

R=
Bán kính đường tròn là
◘ Nhóm 3: Đo được độ dài

S = 60.30.20.10 = 600

S = 50.15.11.24

35.39.26
≈ 19,94
4. 50.15.11.24

.

AB = 15m, BC = 39m, AC = 20m.

Khi đó diện tích tam giác ABC là

S = 37.( 37 − 15 ) .( 37 − 39 ) .( 37 − 20 )
Không tính được bán kính.
◘ Nhóm 4: Đo được độ dài

AB = 18m, BC = 30m, AC = 26m.

Khi đó diện tích tam giác ABC là

R=
Bán kính đường tròn là

S = 37.19.7.11

18.30.26
≈ 15,09m
4. 37.19.7.11

Tôi nhận thấy các em nhận xét các kết quả của nhau khá thú vị:
- Nhận xét kết quả của nhóm 1: Tam giác ABC vuông tại B nên AC đi qua
tâm( bị che khuất bởi tượng cây đuốc) vì thế không thể đo được AC.
- Nhận xét kết quả của nhóm 3: Lấy độ dài sai vì tổng hai cạnh của một tam
giác phải lớn hơn cạnh còn lại.
23
23


- Nhận xét kết quả của nhóm 2 và 4: số liệu và kết quả hợp lí.
Quan sát các nhóm học sinh nhận xét phần trình bày của nhau tôi thấy rằng
một số học sinh quên các tính chất của tam giác (nhóm 3), một số thì không
lường trước được khó khăn trong thực tế (nhóm 1). Những học sinh quên kiến
thức cũ được ôn lại thông qua phần nhận xét của những học khá trong lớp học.
Để tăng sự hứng thú của học sinh trong giờ học thì cần tác động nhiều đến trực
quan của học sinh bằng những hình ảnh chân thực, quen thuộc và gần gũi với
cuộc sống. Muốn vậy giáo viên nên dạy bài này bằng công nghệ thông tin, những

hình ảnh được sàng lọc cẩn thận phù hợp với nội dung bài toán. Đặc biệt những
hình ảnh có tính hài hước hoặc những tình huống được lồng ghép với những nhân
vật hài được yêu quý chắc chắn sẽ mang lại cho buổi học không khí vui vẻ thoải
mái. Chẳng hạn:

Trong các hoạt động giải bài tập trên tôi mạnh dạn hướng cho các em cùng xây
dựng giả thiết của bài toán bằng việc tự cho các số liệu
III.

HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Trong giải pháp 1: Tóm tắt lí thuyết để học sinh nhớ các công thức quan
trọng của định lí sin và cosin. Trang bị cho học sinh một vài kĩ năng nhận dạng
những bài toán có sử dụng định lí sin hoặc cosin.
Trong giải pháp 2: Thiết kế các các tình huống gần gũi với thực tiễn để học
sinh tập đưa ra ý tưởng giải quyết vấn đề, đồng thời tập đóng vai trò là người trực
tiếp giải quyết các vấn đề đó. Các em tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã
học với những vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, sử dụng các kiến thức đã học để
24

24


giải quyết những tình huống nảy sinh đó. Qua quá trình thực hiện chuyên đề này
tôi nhận thấy được rằng các em có tính chủ động thể hiện ý tưởng của mình.
Trong giải pháp 3: Tổ chức các hoạt động của học sinh. Cho học sinh được
tham gia xây dựng giả thiết của bài toán nhằm tăng tính chủ động của học sinh.
Tạo thói quen hợp tác làm việc đồng thời mạnh dạn thể hiện quan điểm của mình
khi nhận xét đánh giá kết quả của nhau, từ đó học sinh củng cố lại kiến thức.
Qua đó giáo dục học sinh làm việc tập thể, mạnh dạn thể hiện ý tưởng của mình
khi cần giải quyết một vấn đề nào đó.

Trong năm học 2013-2014, tôi được phân công dạy lớp 10B5 và 10B6. Khi
dạy tiết bài tập và tiết ôn tập chương II hình 10. Tôi nhận thấy rằng phần lớn các
em học rất thụ động, các em chỉ quan tâm đến cạnh nào đóng vai trò như cạnh a,
b, c…rồi thế vào công thức để tính toán; các em ít vẽ hình, khả năng tư duy trên
hình yếu. Các em chậm trong nhận biết khi nào sử dụng định lí sin và định lí
cosin. Đặc biệt khi gặp các bài toán mà có các nội dung thực tiễn thì các em hơi
lúng túng, nhiều học sinh trung bình và yếu thì coi đó là bài toán khó và dường
như không tham gia vào việc tìm lời giải cho bài toán. Trong năm học đó khi làm
bài tập 10 và 11 (trang 60 hình 10-cơ bản) tôi đã kịp ghi lại những số liệu như
sau:
Bài tập 10 (trang 60-hình 10-CB)
Lớp

Số học sinh không
tham gia tìm lời giải
cho bài toán.

Số học sinh tham gia giải
nhưng chưa đi đến kết
quả hoặc kết quả sai.

Số học sinh tham gia
giải và đi đến kết quả
đúng.

10B5

16 (44%)

14 (39%)

6 (17%)

10B6

15 (39%)

16 (42%)

7 (18%)

Bài tập 11 (Trang 60- hình 10-CB)
Lớp

Số học sinh không
tham gia tìm lời giải
cho bài toán.

Số học sinh tham gia giải
nhưng chưa đi đến kết
quả hoặc kết quả sai.

Số học sinh tham gia
giải và đi đến kết quả
đúng.

10B5

20 (56%)

12 (33%)

4 (11%)

10B6

18 (47%)

17 (45%)

3 (8%)

Trong hai bảng trên:
- Số học sinh không tham gia giải chủ yếu là học sinh trung bình và yếu, số học
sinh này không hình dung được theo mô tả của đề bài toán, do đó không vẽ được
hình (bài tập 10). Một số thì chây ì, coi đây là bài toán nâng cao dành cho các bạn
khá.

25

25