Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chất lượng môn toán 9 ở trường THCS thiệu ngọc, huyện thiệu hoá

A. MỤC LỤC
Nội dung

1- Mở đầu
1.1.Lí do chọn đề tài
1.2.Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng
để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
2
2
2
2
2
3
4
18

19
19
20
21

1


1 / Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài:
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học
sinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học.
Giải Toán là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong
việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ
năng, kĩ xảo ứng dụng Toán vào thực tiễn. Đồng thời hình thành ở người học các
phẩm chất của người lao động như: Cẩn thận, chính xác, sáng tạo, độc lập, kiên
trì... [6]. Chính vì vậy, tổ chức một cách có hiệu quả việc hướng dẫn học sinh
làm bài tập Toán có một vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.
Trong các loại phương trình ở cấp THCS thì phương trình bậc hai một ẩn
giữ một vai trò quan trọng. Các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn mang
tính hệ thống, bao quát các khái niệm, các phép toán về các tập hợp số, về các
biểu thức đại số. Các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn mở rộng, khắc
sâu, hoàn thiện các dạng toán đã học ở chương trình số học và đại số . Đồng thời
phương trình bậc hai một ẩn là đơn vị kiến thức sau cùng và hầu như kết thúc
chương trình đại số cấp THCS . Vì vậy thông qua việc nắm bắt các kiến thức về
phương trình bậc hai một ẩn có thể đánh giá được khả năng và trình độ học bộ
môn số học và đại số của học sinh . Chính vì thế mà phương trình bậc hai một ẩn
luôn được dùng để kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh cấp THCS thông qua
các kỳ thi học sinh giỏi, thi học kì và thi tuyển vào THPT.
Thực tế, kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn trong sách giáo khoa

không nhiều ngoài công thức nghiệm và định lý Vi-ét. Tuy nhiên, các dạng bài
tập thì lại rất phong phú và đa dạng yêu cầu học sinh phải biết phân biệt các
dạng bài tập, biết cách giải từng dạng bài tập cụ thể. Song thực tế ở trường
THCS Thiệu Ngọc những năm trước đây, các em học sinh lớp 9 rất lúng túng
khi làm các dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn. Hầu hết các em chưa
phân biệt được các dạng bài tập và chưa tìm được cách giải cho từng dạng mà
chỉ mới đơn thuần làm dạng toán giải phương trình bằng cách áp dụng công thức
nghiệm. Thậm chí các em còn rất máy móc khi sử dụng công thức nghiệm đối
với những phương trình chỉ cần áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét hoặc cả với
những phương trình bậc hai khuyết... Chính vì thế, kết quả học tập của các em
về bộ môn toán không cao dẫn tới tỉ lệ tốt nghiệp THCS, tỉ lệ thi vào THPT của
nhà trường còn thấp.
Bên cạnh đó, trong văn kiện đại hội Đảng lần thứ XII khẳng định: Đổi
mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực, không chỉ là
quốc sách hàng đầu, là “chìa khoá” mở ra con đường đưa đất nước tiến lên phía
trước, mà còn là “mệnh lệnh” của cuộc sống là tiêu điểm của sự phát triển, mang
tính đột phá, khai mở con đường phát triển nguồn nhân lực Việt Nam trong thế
kỷ XXI, khẳng định triết lí nhân sinh mới của nền giáo dục nước nhà “dạy
người, dạy chữ, dạy nghề”.[5]
Đứng trước mục tiêu giáo dục xã hội và sự thay đổi lớn của ngành, bản
thân tôi luôn suy nghĩ và trăn trở về chất lượng giảng dạy và học tập trong nhà
2


trường nhất là tỷ lệ học sinh tốt nghiệp THCS và tỷ lệ học sinh vào THPT của
nhà trường. Chính vì thế trong quá trình công tác và giảng dạy tôi đã giành thời
gian tìm hiểu và nghiên cứu: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số
dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chất lượng
môn Toán 9 ở trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá”.
1.2. Mục đích nghiên cứu :

Trên cơ sở nghiên cứu đề tài: “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một
số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chất
lượng môn Toán 9 ở trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá”, cùng quá
trình ôn luyện cho học sinh tôi mong muốn giúp học sinh tìm được cách giải cho
từng dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn một cách tốt nhất. Đặc biệt,
các em hiểu được cơ sở lý luận của từng cách giải và nắm được những kiến thức
liên quan đến từng dạng toán. Từ đó, giúp các em đạt kết quả cao trong kiểm tra
học kỳ, thi vào THPT và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán trong nhà
trường.
1.3.Đối tượng nghiên cứu :
Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng toán cơ bản về phương trình
bậc hai một ẩn.
1.4. Các phương pháp nghiên cứu:
- Xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Điều tra, khảo sát thông qua thực tế: Thông qua quá trình công tác và giảng
dạy để nghiên cứu; Thông qua quá trình ôn tập cho học sinh lớp 9 nhất là qua
việc ôn thi học kì và ôn thi vào THPT.
- Thông qua việc nghiên cứu tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo.
- Thông qua học hỏi đồng nghiệp, thu thập thông tin qua tạp chí giáo dục, qua
mạng Internet.
- Bằng cách khảo sát chất lượng học sinh, nắm bắt, xử lý thông tin, số liệu.
2/ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
“Giải toán là bộ phận không thể tách rời của quá trình tri thức, nó đảm
bảo cho học sinh không những hiểu biết lí thuyết Toán một cách vững chắc mà
còn biết vận dụng các tri thức Toán học vào thực hành. Chỉ có trong quá trình áp
dụng lí thuyết tổng quát và trừu tượng vào những ví dụ cụ thể và những bài toán
nhiều loại mới có thể hiểu biết lí thuyết một cách đầy đủ” [3]. Chính vì vậy,
hướng dẫn học sinh giải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có vai trò
hết sức quan trọng. Thực tiễn dạy học về phương trình bậc hai một ẩn cho thấy,

mỗi bài tập toán đều có chức năng và dụng ý khác nhau. Để nắm bắt được điều
đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các khái niệm về tập hợp số và
các biểu thức đại số, các phép toán và tính chất của các phép toán đã học để xây
dựng công thức nghiệm, đây là một công cụ cơ bản để giải phương trình bậc hai
một ẩn. Việc thiết lập định lý Vi- ét kết hợp với công thức nghiệm và một số
dạng toán đã học ở lớp dưới sẽ giúp học sinh giải một số dạng toán khác về
phương trình bậc hai một ẩn. Thực tế nghiên cứu và giảng dạy cho thấy, các
3


dạng toán ở phương trình bậc hai một ẩn là một cách tổng quát và hoàn thiện các
dạng toán đã học ở lớp 6, lớp 7, lớp 8 và phần đầu của chương trình đại số lớp 9.
Về lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn rất ít, chỉ có công thức nghiệm và
định lý Vi- ét nhưng lại đòi hỏi nhiều việc khai thác kiến thức mới và vận dụng
kiến thức cũ. Đặc biệt chỉ khai thác định lý Vi- ét và áp dụng các dạng toán đã
học giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải được rất nhiều dạng toán về
phương trình bậc hai một ẩn. Từ đó để học sinh tìm được hướng giải quyết bài
toán một cách tốt nhất, góp phần phát triển ở học sinh năng lực tư duy, rèn luyện
những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học và
phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Đồng thời góp phần kiểm tra quá
trình dạy - học của giáo viên - học sinh từ đó kịp thời hoàn chỉnh, bổ sung để
việc dạy học có hiệu quả.
G.polya từng nói : “Tìm được cách giải cho một bài toán là một phát
minh” [3]. Vì vậy, để hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về
phương trình bậc hai một ẩn giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc các kiến
thức cơ bản. Đặc biệt, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán
bằng cách nắm vững quy trình của một bài làm :
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải.
Bước 3: Trình bày lời giải.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải [3].
Qua đó hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng giải toán cũng như
khả năng tư duy phẩm chất trí tuệ.
Như vậy, muốn giải các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn
học sinh phải nắm vững các kiến thức và các dạng toán đã học ở các lớp dưới
cũng như của lớp 9. Đặc biệt nắm vững công thức nghiệm, định lý Vi- ét, hệ quả
của định lý và biết cách khai thác tốt định lý. Học sinh phải nhận dạng nhanh
các dạng toán để tìm phương pháp giải cho từng dạng một cách linh hoạt, sáng
tạo. Chính vì thế mà phương trình bậc hai một ẩn giữ một vai trò quan trọng
trong chương trình đại số nói riêng và chương toán nói chung ở cấp THCS đồng
thời phương trình bậc hai một ẩn luôn được dùng để kiểm tra, đánh giá chất
lượng học sinh cấp THCS.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua tìm hiểu, khảo sát thực tế học sinh khối 9 trường THCS Thiệu Ngọc
cho thấy, học sinh rất lúng túng khi giải các dạng toán về phương trình bậc hai
một ẩn. Các em hầu như chưa biết phân loại các dạng toán cũng như chưa biết
cách giải của từng dạng toán. Hầu hết các em mới chỉ đơn thuần giải được dạng
toán giải phương trình bằng cách áp dụng công thức nghiệm. Nhiều em rất máy
móc khi sử dụng công thức nghiệm, có những phương trình không cần sử dụng
công thức nghiệm nhưng các em vẫn áp dụng công thức nghiệm. Đa số các em
chưa giải được các dạng toán yêu cầu phải sử dụng và khai thác định lý Vi- ét.
Đặc biệt các em chưa biết vận dụng các dạng toán đã học vào giải các dạng toán
4


về phương trình bậc hai một ẩn. Do đó kết quả làm bài kiểm tra và bài thi của
các em chưa cao đặc biệt là kết quả thi học kì, thi tuyển vào THPT.
Nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên là do các em chưa nắm vững công
thức nghiệm và chưa biết vận dụng công thức nghiệm một cách hợp lý. Chưa
biết sử dụng và chưa biết cách khai thác định lý Vi- ét. Các em không nhớ các

kiến thức và các dạng toán đã học do đó không biết vận dụng các dạng toán đó
vào giải các dạng toán ở phương trình bậc hai một ẩn. Trong khi đó bản thân
giáo viên lại chủ quan khi dạy phần kiến thức này. Có thể giáo viên cho rằng chỉ
cần truyền đạt cho học sinh nắm được công thức nghiệm và định lý Vi- ét là đã
đủ mà không nghĩ đến việc hướng dẫn học sinh ôn luyện kiến thức cũ cũng như
hướng dẫn học sinh khai thác định lý Vi- ét để giải các dạng toán cơ bản về
phương trình bậc hai một ẩn. Bên cạnh đó, các tổ nhóm chuyên môn cũng chưa
xác định được tầm quan trọng của các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn
do đó chưa chú trọng chỉ đạo để cho giáo viên có phương hướng và giải pháp
tích cực cho dạy phần này. Chính vì thế mà hiệu quả giảng dạy trong chương
phương trình bậc hai một ẩn của nhà trường trong những năm qua chưa cao.
Điều đó dẫn đến chất lượng của giờ dạy cũng như kết quả đạt được của học sinh
là chưa đạt yêu cầu đề ra, nhất là tỉ lệ học sinh khá, giỏi. Cụ thể, kết quả khảo
sát chất lượng học sinh lớp 9 môn Toán trước khi áp dụng đề tài như sau:
Năm học
2016-2017
2017-2018

Số
học
sinh
32
30

Giỏi
SL %
4
4

Khá

SL %

12,5 10 31,3
13,3 9
30

TB
SL

%

12
10

37,5
33,3

Yếu
SL
%
4
5

12,5
16,7

Kém
SL
%
2

2

6,2
6,7

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề:
Trước tình hình trên, để giúp học sinh sử dụng công thức nghiệm tổng
quát ( công thức nghiệm thu gọn) vào giải một số dạng toán cơ bản về phương
trình bậc hai một ẩn phù hợp với yêu cầu và trình độ của học sinh lớp 9 trường
THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá tôi đã tiến hành giải pháp sau:
2.3.1. Yêu cầu học sinh biết cách tổ chức học tập nội dung bài học:
Để giúp học sinh biết cách tổ chức học tập nội dung bài học một cách hiệu
quả có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xây dựng mục tiêu học tập: Cần giúp mỗi học sinh cách xây dựng kế
hoạch học tập, bởi ban đầu học sinh chưa biết cách thiết lập mục tiêu cho mình.
Tôi đã hướng dẫn và chỉ đạo thực hiện theo các mục tiêu sau:
Về kiến thức: Học sinh nhớ biệt thức ∆ = b 2 − 4ac (∆ ' = b '2 − ac) và nhớ kĩ các
điều kiện của ∆ ( ∆ ' ) để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm, có nghiệm kép,
có hai nghiệm phân biệt. Biết vận dụng hệ quả của định lý Vi –ét vào giải
phương trình bậc hai không có tham số và có tham số.
5


Về kĩ năng: Học sinh nhớ và vận dụng được công thức nghiệm tổng quát, công
thức nghiệm thu gọn vào giải phương trình một cách linh hoạt. Học sinh thấy
được lợi ích của việc sử dụng công thức nghiệm thu gọn, việc sử dụng định lý Vi
- ét vào giải toán.
Bước 2: Thực hiện mục tiêu: Là khâu quan trọng nhất, quyết định sự thành bại
việc học của mỗi học sinh. Do đó, tôi đã đặt trọng tâm vào khâu này để hướng

dẫn, giúp đỡ, kiểm tra việc thực hiện của học sinh.
Việc thực hiện tốt mục tiêu học tập sẽ tạo ra được phẩm chất, năng lực người
biết học, biết tự học.
Trong khi thực hiện mục tiêu, bản thân tôi đã quán triệt học sinh cần phải: Tập
trung tư tưởng khi học, khi tự học. Không thực hiện nhiều nhiệm vụ cùng lúc.
Không vừa học vừa xem vô tuyến, không nói chuyện lung tung,...Cần tạo hứng
thú khi học, khi tự học. Tin rằng mình sẽ học được điều mình cần học, hy vọng
rằng mình sẽ tìm được điều mới lạ khi học, có thể sẽ được thưởng sau khi đạt
kết quả cao. Cần sử dụng thời gian một cách tối ưu, có hiệu quả cao nhất. Tập
trung giải quyết dứt điểm từng nhiệm vụ, phương châm là đâu gọn đấy, học gì
xong nấy, bài hôm nay không để ngày mai. Những gì vượt quá khả năng thì
đánh dấu lại rồi có thể hỏi cô, nhờ bạn khi có điều kiện. Cần quyết tâm vượt
khó, khắc phục khó khăn do điều kiện, hoàn cảnh cá nhân, gia đình...
Bước 3: Tự đánh giá việc thực hiện mục tiêu: tức là biết cách kiểm điểm lại xem
các mục tiêu đặt ra có hoàn thành hết không? Mỗi mục tiêu có hoàn thành tốt
không? Có những tồn tại gì, nguyên nhân, dự kiến cách khắc phục.
2.3.2. Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức về phương trình bậc hai
một ẩn.
Để làm bất cứ một bài tập gì người học phải nắm vững lý thuyết. Không
nắm được lý thuyết thì khó có thể làm được bài tập hoặc nếu có làm được thì
cũng chỉ là làm mò, bài làm không có hiệu quả tốt.
Việc vận dụng công thức nghiệm vào giải toán cũng vậy. Trước hết giáo viên
phải làm cho học sinh phải nắm được các kiển thức về phương trình bậc hai một
ẩn. Cụ thể học sinh phải nắm vững được 4 vấn đề :
- Cơ sở lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn.
- Công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn, định lý Vi –ét và hệ
quả của định lí Vi –ét.
- Sự giống và khác nhau của công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm
thu gọn.
- Mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

Bởi vì: Khi hiểu được cơ sở lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn thì
học sinh sẽ tiếp thu các kiển thức về phương trình bậc hai một ẩn một cách
thoải mái, các em sẽ có niềm tin hơn, hào hứng hơn khi học về phương trình bậc
hai một ẩn. Khi đã nắm được công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu
gọn, sự giống nhau và khác nhau của chúng thì học sinh mới giải được các bài
toán có vận dụng phương trình bậc hai một ẩn một cách hợp lý. Mặt khác, khi
giải một bài toán về phương trình bậc hai một ẩn, người học không chỉ biết cách
6


giải mà còn phải tìm ra được nhiều cách giải, đặc biệt là tìm được cách giải hay
nhất cho mỗi bài toán thì mới mang lại hiệu quả cao trong học tập. Mà để tìm ra
được các cách giải hay chúng ta phải nắm vững mối quan hệ giữa các nghiệm
của phương trình bậc hai. Những mối quan hệ này giúp chúng ta nắm được cơ
sở lý thuyết của các phương pháp, các cách giải các bài toán liên quan đến
phương trình bậc hai một ẩn.
Tóm lại, để học sinh nắm được các kiến thức về phương trình bậc hai và vận
dụng các kiến thức vào giải toán việc đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm
vững các vấn đề trên. Có nghĩa là yêu cầu học sinh phải thuộc công thức
nghiệm, Định lý Vi –ét, hệ quả của định lý Vi –ét, nắm được sự giống và khác
nhau của các công thức và mối quan hệ của các nghiệm trong phương trình.
2.3.3. Xây dựng hệ thống bài tập và phương pháp giải của một số dạng
toán cơ bản về phương trình bậc hai một ấn.
Trong thực tế giải các bài toán, không phải lúc nào cũng làm theo 4 bước
như trên, không phải lúc nào cũng dùng công thức nghiệm để giải phương trình
bậc hai một ẩn mà chúng ta có thể giải bài toán một cách linh hoạt. Việc rèn
luyện cho học sinh thông qua hệ thống bài tập đã được phân loại sẽ đem lại hiệu
quả cao trong dạy học. Đồng thời, giúp học sinh có tư duy và vân dụng giải toán
một cách tốt nhất.
2.3.3.1. Dạng 1: Giải phương trình :

Đây là dạng toán đơn giản của phương trình bậc hai một ẩn. Nhưng nếu
chúng ta chủ quan trong giảng dạy thì học sinh rất dễ mắc sai lầm như : sử dụng
công thức nghiệm máy móc hoặc chưa biết sử dụng công thức nghiệm nào cho
phù hợp. Do đó cần hướng dẫn học sinh phân biệt hai trường hợp sau:
2.3.3.1.1.Trường hợp thứ nhất : Đối với phương trình bậc hai khuyết thì không
cần dùng công thức nghiệm mà nên biến đổi đưa phương trình về các dạng đã
gặp :
* Nếu khuyết hệ số c ta biến đổi phương trình về dạng phương trình tích đã học
x = 0
b
ở lớp 8 cụ thể như sau: ax + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔ 
x=−
a

2

[7]

* Nếu khuyết hệ số b ta đưa phương trình về dạng phương trình chứa căn bậc
hai đã học đầu chương trình lớp 9 cách giải cụ thể như sau:
Bước 1: Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
Bước 2: Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đưa về dạng : x2 = d
+) Nếu d > 0 phương trình có nghiệm x = ± d
+) Nếu d = 0 phương trình có nghiệm x = 0
+) Nếu d < 0 phương trình vô nghiệm [2].
Ví dụ 1: (Bài 12a, c, d, tr.42 SGK) : Giải các phương trình sau [1]:
a) x2 - 8 = 0 ;
c) 0,4x2 + 1 = 0;
d) 2x2 + 2 x = 0
Ở phương trình a) khuyết b nên ta biến đổi đưa về dạng trình chứa căn bậc

hai; Phương trình c) do hệ số a và c cùng dấu nên phương trình vô nghiệm;
Phương trình d) khuyết c nên ta đưa về dạng phương trình tích rồi giải như sau:
7


Giải:
a) x2 = 8 ⇔ x2 = 8 ⇔ x= ± 2 2

Vậy phương trình có tập nghiệm S= { 2 2; − 2 2 }
c) 0,4x2 +1 = 0 ⇔ 0,4x2 = - 1 (Vô lí vì 0,4x2 ≥ 0 với mọi x mà -1<0)
Vậy phương trình vô nghiệm
d)

x = 0
 2x = 0
⇔
2 x( 2 x + 1 ) = 0 ⇔ 
x = − 2
 2 x + 1 = 0

2


Vậy phương trình có tập nghiệm S= 0; −


2 

2 

Giáo viên nên lưu ý học sinh nếu hệ số a và hệ số c cùng dấu thì
phương trình đã cho vô nghiệm ( lúc đó biểu thức dưới dấu căn sẽ mang giá trị
âm), không cần giải nữa mà có thể kết luận luôn về nghiệm của phương trình.
2.3.3.1.2. Trường hợp thứ hai: Đối với phương trình bậc hai có dạng :
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) phải dùng công thức nghiệm ( bao gồm công thức
nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn ) và hệ quả định lý Vi- ét để
giải. Cần hướng dẫn học sinh xem xét chọn cách giải theo quy trình sau :
* Trước hết xét các hệ số a, b, c trong phương trình:
+ Nếu có dạng a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 =1; x2 =
+ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1= -1; x2= -

c
.
a

c
[1].
a

* Nếu các hệ số a, b, c không có dạng trên thì chú ý đến hệ số b:
- Nếu hệ số b chẵn thì nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn:
Đối với phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) và ∆ ' = b '2 − ac :
+ Nếu ∆’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

−b '+ ∆ '
;
a

x2 =

−b '− ∆ '
a

+ Nếu ∆’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

−b '
a

+ Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vô nghiệm [1].
- Nếu hệ số b lẻ thì nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát.
Đối với phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) và ∆ = b 2 − 4ac :
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

−b + ∆
−b − ∆
; x2 =
2a
2a

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

−b
2a

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm [1].
Ví dụ 1: (Bài 16c, tr.45 SGK+ Bài 17c, tr.49 SGK ) : Giải các phương trình
sau [1] :
8

a ) 6 x 2 + x − 5 = 0;
b) 5 x 2 − 6 x + 1 = 0
* Ở phương trình a) vì a = 6; b = 1; c = -5 nên a − b + c = 0 nên áp dụng
hệ quả của định lý Vi-ét ta có thể nhẩm được nghiệm của phương trình. Ngoài
cách nhẩm nghiệm do hệ số b =1 lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát ta
cũng có thể tìm nghiệm của phương trình đã cho.
* Ở phương trình b) ta cũng có thể làm bằng hai cách như câu a: Vì a = 5;
b = - 6; c = 1 và a + b + c = 0 nên áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét ta có thể
nhẩm được nghiệm của phương trình đã cho. Ngoài ra, vì hệ số b = - 6 là số
chẵn nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn ta cũng có thể tìm nghiệm của
phương trình đã cho.
Giải:
a) Cách 1: Vì a - b + c = 6 -1 - 5 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x 1 = -1;

x2 =

5
.
6

Cách 2: ∆ = 12 - 4.6.(-5) = 1 + 120 = 121
Vì ∆ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
−1 + 121 5
=
12
6
 5
Vậy phương trình có tập nghiệm S= −1; 

 6

x1 =

−1 − 121
= −1 ;
12

x2 =

b) Cách 1:
Vì a + b + c = 5 - 6 +1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =

1
.
5

Cách 2: ∆ ’ = (-3)2 - 5.1 = 9 - 5 = 4
Vì ∆ ’ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

3+ 2
3− 2 1
= 1 ; x2 =
=
5
5
5
 1
Vậy phương trình có tập nghiệm S= 1; 
 5

x1 =

Đối với phương trình bậc hai đủ thì lưu ý học sinh : Nếu hệ số a và hệ số
c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Tóm lại : Đối với dạng toán giải phương trình bậc hai ta thấy dù phương trình
bậc hai dạng khuyết hay phương trình bậc hai dạng đầy đủ ta đều giải được bằng
công thức nghiệm tổng quát. Do đó, giáo viên cần lưu ý học sinh phải xem xét
đề bài để chọn cách giải ngắn gọn, phù hợp không máy móc dùng công thức
nghiệm. Muốn vậy, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh giải phương trình bậc
hai bằng nhiều cách, để học sinh so sánh được các cách giải, từ đó lựa chọn cách
giải ngắn gọn hợp lý.
2.3.3.2. Dạng 2: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm
kép, vô nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt.
Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c ( hoặc a, c, b') (nếu chưa thành thạo).
9


Bước 2: Tính ∆ hoặc ∆ '
Bước 3. Kiểm tra các điều kiện
+ Nếu ∆ <0 ( hoặc ∆ ' <0) thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu ∆ =0 ( hoặc ∆ ' = 0) thì phương trình có nghiệm kép
+ Nếu ∆ >0 ( hoặc ∆ ' > 0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
+ Nếu ∆ ≥ 0 ( hoặc ∆ ' ≥ 0 ) thì phương trình có nghiệm.
2.3.2.2.1: Trường hợp biểu thức của ∆ ( hoặc ∆ ’) có dạng bậc nhất.
Ví dụ 1: (Bài 24 b, tr.50 SGK): Cho phương trình (ẩn x): x 2 − 2(m − 1) x + m 2 = 0
Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt ? có nghiệm
kép? vô nghiệm [1].

* Ta có: a = 1; b ' = −(m − 1); c = m 2 nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn
ta tính được ∆ ' . Từ đó ta sẽ xác định được giá trị của m trong trường hợp
phương trình có hai nghiệm phân biệt ( ∆ ' >0); Phương trình có nghiệm kép ( ∆ '
=0); Phương trình vô nghiệm ( ∆ ' <0)
Giải: Ta có: ∆ ' = [ − ( m − 1)]2 − 1.m2 = 1 − 2m
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 1 - 2m > 0 ⇔ m <
+ Phương trình có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = 1 - 2m = 0 ⇔ m =
+ Phương trình vô nghiệm ⇔ ∆ ' = 49 - 12m < 0 ⇔ m >

1
2

1
2

1
2

Giáo viên lưu ý học sinh:
- Trường hợp hệ số b lẻ ta áp dụng công thức nghiệm tổng quát và giải tương tự
như ví dụ 1.
- Trong một số bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a
chứa tham số ta phải xét trường hợp a = 0. Sau đó xét trường hợp a ≠ 0 và làm
như các bước ở trên.
Ví dụ 2: Cho phương trình (m − 1) x 2 + 2(m + 2) x + m = 0 (1)(m là tham số).
a, Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt [4].
* Câu a): Phương trình (1) hệ số: a = m-1 có chứa tham số nên để tìm m
sao cho phương trình có nghiệm ta xét 2 trường hợp : a=0 (tức m-1=0) phương
trình (1) có dạng bậc nhất và a ≠ 0 (tức m-1 ≠ 0) ta tính được ∆ ' rồi tìm điều

kiện để phương trình có nghiệm ( ∆ ' ≥ 0)
*Câu b): Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ta xét điều kiện để
phương trình (1) là phương trình bậc 2 ( a ≠ 0 ) và điều kiện để phương trình có
hai nghiệm phân biệt ( ∆ ' >0)
Giải: a, + TH1: Khi m-1 = 0 ⇔ m =1 phương trình (1) trở thành:
−1
.
6
−1
Vậy với m=1 phương trình (1) có nghiệm x =
6
⇔
+TH2 : Khi m - 1 ≠ 0
m ≠ 1 . Ta có

6x + 1 = 0 ⇔ x =

10


∆ ' = (m + 2) 2 − m.(m − 1) = m 2 + 4m + 4 − m 2 + m = 5m + 4
−4
Để phương trình có nghiệm thì ∆ ' ≥ 0 hay 5m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥
5
−4
Kết hợp 2 trường hợp ta được khi m ≥
thì phương trình (1) có nghiệm.
5
a ≠ 0
b, Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì 

, tức là:
∆ ' > 0
m ≠ 1
m − 1 ≠ 0

⇔
−4

5m + 4 ≥ 0
 m ≥ 5

−4
thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt [4].
5
2.3.2.2.2: Trường hợp biểu thức của ∆ ( hoặc ∆ ’) là một đa thức bậc hai.

Vậy với m ≠ 1 và m ≥

Ví dụ 1 : Cho phương trình x 2 + (m + 1) x + 3 = 0 ( với m là tham số).
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô
nghiệm?
* Phương trình hệ số: a = 1; b = m + 1; c = 3 áp dụng công thức nghiệm
tổng quát ta tính được ∆ = m2 + 2m - 11 là một đa thức bậc hai. Để giải quyết
được yêu cầu của bài toán ta xem m2 + 2m – 11=0 là một phương trình bậc hai
với ẩn m, giải phương trình ẩn m được nghiệm m1 = -1+ 12 ; m2 = -1- 12
Lập bảng xét dấu ta giải quyết được yêu cầu của bài toán
Giải : Ta có : ∆ x = (m + 1)2 - 4.1.3 = m2 + 2m + 1 - 12 = m2 + 2m - 11
Xét phương trình : m2 + 2m - 11 =0 (1)
∆ ’m= 12 -1.(-11) = 1 + 11 = 12
Vì ∆ ’m> 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :

m1 = - 1+ 12 ;
m2 = - 1- 12
Ta có bảng xét dấu :
m
-1- 12
-1+ 12
∆

+

0

-

0

+

Dựa vào bảng xét dấu ta có :
- Phương trình đã cho có nghiệm kép ⇔ m = - 1+ 12 hoặc m = - 1- 12
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > -1+ 12 hoặc m < - 1- 12
- Phương trình vô nghiệm ⇔ -1- 12 Ví dụ 2 : Cho phương trình x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0 ( với m là tham số).
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? [4]
* Phương trình có hệ số: a = 1; b ' = −m; c = 2m − 1 áp dụng công thức
nghiệm thu gọn ta tính được ∆ ’= m2 - 2m +1 =(m - 1) 2 là một luỹ thừa bậc hai.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ' >0 mà (m - 1)2 ≥ 0.
Do đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì m-1 ≠ 0
Giải :
Ta có : ∆ ' = (- m )2 - 1.(2m-1) = m2 - 2m + 1 = (m-1)2

11


Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì :
a ≠ 0
1 ≠ 0
⇔
⇔ m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
 '
2
 ∆ > 0 (m − 1) > 0
Vậy với m ≠ 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt [4].

Như vậy, với công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn ta
có thể giải quyết được bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệm
kép , có hai nghiệm phân biệt, vô nghiệm. Khi đó, giáo viên đưa ra dạng toán 3 :
“ Giải và biện luận phương trình dạng ax2+ bx+c=0” như sau :
2.3.3.3. Dạng 3: Giải và biện luận phương trình phương trình dạng

ax 2 + bx + c = 0

Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo như sau:
* Với a=0 : phương trình trở thành bậc nhất bx+c=0
+ Nếu b ≠ 0 thì phương trình có nghiệm x=

−c
b

+ Nếu b=0 và c ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
+ nếu b=0 và c=0 thì phương trình có vô số nghiệm

* Với a ≠ 0 : phương trình trở thành bậc hai có biệt thức Δ = b2 – 4ac
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 =x2=

−b
2a

−b + ∆
−b − ∆
; x2 =
2a
2a

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm [2].
Ví dụ 1 : Giải và biện luận các phương trình:[2]
a) x 2 − (1 − m) x − m = 0 ;
b) (m − 2) x 2 − 2(m + 1) x + m = 0 (1)
* Ở câu a): Phương trình có hệ số: a=1 ≠ 0 nên ta chỉ xét trường hợp a ≠ 0.
Tính được ∆=(m+1)2 và xét các trường hợp để phương trình có nghiệm hay
không có nghiệm như các bước nêu ở trên.
*Câu b): Ta xét 2 trường hợp : a=0 (tức m-2=0) phương trình (1) có dạng
bậc nhất và trường hợp a ≠ 0 (tức m-2 ≠ 0) ta tính được ∆ ' rồi biện luận
nghiệm của phương trình như các bước đã nêu ở trên.
Giải : a) Ta có : ∆ = [-(1- m )]2 + 4.1.m = m2 + 2m + 1 = (m+1)2
+ ∆ > 0 ⇔ (m+1)2 >0 ⇔ m ≠ -1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=-1 ; x2=m
+ ∆ = 0 ⇔ (m+1)2 =0 ⇔ m=-1: phương trình có nghiệm kép: x1 =x2=-1
Đáp số : m ≠ 1 : S={-1 ; m}
m=-1 : S={-1}
b) * TH1 : Khi m- 2 = 0 ⇔ m =2, phương trình (1) trở thành:

1
3
*TH2 : Khi m - 2 ≠ 0 ⇔ m
∆ ' = (m + 1) 2 − m.(m − 2) = 4m + 1

-6x + 2 = 0 ⇔ x = . Vậy với m=2 phương trình (1) có nghiệm x =

1
3

≠ 2 thì ta được phương trình bậc hai có biệt thức

12


−1
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
4
m + 1 ± 4m + 1
x1;2 =
;
m−2
−1
−1
+ ∆ = 0 ⇔ 4m+1=0 ⇔ m= : Phương trình có nghiệm kép: x1 =x2=
4
3
−1
+ ∆ < 0 ⇔ 4m+1<0 ⇔ m< : Phương trình vô nghiệm
4

−1
Đáp số : m< : S=∅
4
−1
−1
m= :S={ }
4
3
−1
m + 1 ± 4m + 1
m> và m ≠ 2 : S={x1; x2} với x1;2 =
4
m−2
1
m=2: S={ }. [2]
3

+ ∆ > 0 ⇔ 4m+1>0 ⇔ m>

Từ dạng toán 2.3.2 ta cũng có dạng 4 : “ Chứng minh phương trình vô
nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép”.
2.3.3.4. Dạng 4: Chứng minh rằng phương trình luôn vô nghiệm, có nghiệm
kép, có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1: Tính ∆ hoặc ∆ '
Bước 2:+ Chứng minh ∆ ≥ 0 thì phương trình luôn có nghiệm với ∀m
+ Chứng minh ∆ > 0 thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀m [2].
Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 (1) ( m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Giải : Ta có ∆ = (− m)2 − 4(m − 1) = m 2 − 4m + 4 = (m − 2) 2
Nhận thấy ∆ = (m − 2)2 ≥ 0, ∀m
Suy ra, phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m [4].
Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x + m − 3 = 0 (1) ( m là tham số).
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3
2

9
4

7
4

3
2

Giải : Ta có ∆ ' = [−(m − 1)]2 − (m − 3) = m 2 − 3m + 4 = (m 2 − 2. m + ) + = ( m − ) 2 +
Vì (m-

7
4

3 2
3
7 7
) ≥ 0 với mọi m nên (m- )2+ ≥ >0 với mọi m ⇒ ∆ > 0, ∀m
2
2
4 4

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt [4].
Qua ví dụ 1 và ví dụ 2 ở trên GV lưu ý học sinh cách sử dụng hằng đẳng
thức ta tách các biểu thức thành bình phương của một biểu thức cộng với một số
thực dương ; Các biểu thức sau luôn không âm: A ; A2 , ...Đặc biệt, ta có thể
chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với ∀m bằng cách chứng minh
a.c < 0 ( a, c trái dấu).
13


2.3.3.5. Dạng 5: Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm
cùng dấu, trái dấu, hai nghiệm cùng dương, hai nghiệm cùng cùng âm :
Theo định lí Vi-ét : Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ∆ ≥ 0 thì
b
a

phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : x1 + x2 = − ; x1. x2 =

c
a

Từ đó ta sử dụng các điều kiện dưới đây để hoàn thành bài toán
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
∆ ≥ 0
P > 0

b) Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ 

∆ ≥ 0


c) Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔  P > 0
S > 0

∆ ≥ 0

d) Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔  P > 0
S < 0


[2].

Ví dụ 1 : Cho phương trình : x 2 + 2(m + 1) x + 2m − 5 = 0 ( m là tham số).
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, trái
dấu, cùng dương, cùng âm.
* Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ ’>0. Do đó để tìm m sao
cho phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng
âm ta chỉ cần xét trường hợp ∆ ’>0, các điều kiện còn lại giữ nguyên như các bài
toán tổng quát nêu trên.
Giải : Ta có: ∆ ’= (m+1)2 - 1.(2m-5) = m2 + 2m + 1 - 2m + 5 = m2 + 6
Vì m2 ≥ 0 với ∀ m nên m2+6 ≥ 6 > 0 với ∀ m. Do đó phương trình có hai nghiệm
phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo định lý Vi- ét ta có : S = 2(m+1); P = 2m-5.
5
.
2
5
+ Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi : 2m - 5 < 0 ⇒ m < .
2

+ Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi : 2m - 5 > 0 ⇒ m >

+ Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi :
5

 2m − 5 > 0
5
m >
⇔
2 ⇒m >

2
 2(m + 1) > 0
m > −1
5

 2m − 5 > 0
m >
⇔
2
+ Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi : 
 2(m + 1) < 0
m < −1
⇒ không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.

Bằng cách tương tự GV còn có thể hướng dẫn học sinh giải tiếp dạng
toán : Chứng minh phương trình có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm khác dấu,
hai nghiệm cùng dương, hai nghiệm cùng âm với mọi giá trị của tham số.
14

Ví dụ 2: Cho phương trình ẩn x : 2 x 2 − 2mx − m 2 − 1 = 0 . Chứng minh phương
trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó trái dấu với mọi giá trị của m.
Giải : Ta có: ∆ ’ = (- m)2 - 2.( - m2 -1 ) = m2 + 2m2 + 2 = 3m2 + 2 > 0 với ∀ m.
Vì 3m2 ≥ 0 với ∀ m nên 3m2+2 ≥ 2 > 0 với ∀ m. Do đó phương trình có hai
nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Mặt khác: P = -2.(m2 +1) < 0 với ∀ m . Do đó phương trình có hai nghiệm phân
biệt và hai nghiệm đó trái dấu với mọi giá trị của m.
2.3.3.6. Dạng 6: Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai
nghiệm thoã mãn điều kiện cho trước :
2.3.3.6.1. Bài toán 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2
nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: mx1 + nx2 = p (1). (m, n, p là các số cho
trước).
Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 ( ∆ ≥ 0 hoặc
∆ ' ≥ 0 ) (*)
b
a

c
(3)
a
 mx1 + nx2 = p

Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm ra x1, x2: 
−b
 x1 + x2 = a
Bước 4: Thay x1, x2 vào (3) ⇒ m cần tìm.

Bước 2: Lập hệ thức Vi - ét : x1 + x2 = − (2); x1. x2 =

Bước 5: Đối chiếu giá trị m vừa tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi kết luận.
Lưu ý: Cũng có thể kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình như ở bước 3. Tìm
được x1, x2 rồi thì tiếp tục làm bước 4 và bước 5. [2]
Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 − 8 x + m = 0 . Tìm giá trị của m để phương trình đã
cho có 2 nghiệm thoả mãn x1- x2 = 2 (1).
Giải:
Ta có: ∆ ' = (−4) 2 − m = 16 − m .
Để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thì ∆ ≥ 0 , tức là: 16 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 16 (*).
 x1 + x2 = 8
 x1.x2 = m

Theo hệ thức Vi - ét ta có: 

(2)
(3)
 x1 + x2 = 8
x = 5
⇔ 1
 x1 − x2 = 2
 x2 = 3

Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình : 

Thay x1 = 5, x2 = 3 vào (3) ta có: m=5.3=15 (thoả mãn đk *)
Vậy với m = 15 thì phương trình trên có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x1-x2=2.
GV lưu ý học sinh: Các bài toán tìm m để phương trình bậc 2 ( chứa tham số m)
có 2 nghiệm đối nhau ( x1 = -x2), có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia
( x1 = kx2),có nghiệm này lớn hơn nghiệm kia k đơn vị ( x 1 = x2 + k hay x1 - x2
=k),...ta có thể thực hiện các bước giống như trên.

2.3.3.6.2. Bài toán 2: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2
nghiệm thoả mãn một biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2.
15


Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2
( ∆ ≥ 0 hoặc ∆ ' ≥ 0 ) (*).
b
a

Bước 2: Lập hệ thức Vi - ét : x1 + x2 = − (1); x1. x2 =

c
(2)
a

Bước 3: Biến đổi các biểu thức ở đầu bài về dạng tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm,
sau đó thay kết quả ở bước 2 vào biểu thức rồi giải phương trình ẩn m thu được.
Bước 4: Đối chiếu kết quả vừa tìm được ở bước 3 với điều kiện ở bước 1 rồi kết
luận [2].
GV đưa ra một vài biểu thức thường gặp:
a, x12 + x2 2 = k ⇔ ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = k
b, x13 + x23 = k ⇔ ( x1 + x2 )3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = k
1

1

x +x

1
2
c, x + x = k ⇔ x .x = k
1
2
1 2

x1 x2
x12 + x2 2
( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
+
=
k
⇔
=
k
⇔
= k [2]
d,
x2 x1
x1.x2
x1 x2

GV lưu ý HS: Khái niệm về biểu thức đối xứng: “ Biểu thức giữa x1 , x2 gọi là
đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không đổi” [2].
Đối với các biểu thức khác chúng ta cũng làm tương tự, bằng cách sử dụng
phương pháp hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức, ... để đưa
về dạng tổng, tích các nghiệm.
Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 − 4 x + m − 1 = 0 (1). Tìm điều kiện của m để

phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12.
Giải:
Ta có ∆ ' = (−2) 2 − ( m − 1) = 4 − m + 1 = 5 − m
Để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thì ∆ ' ≥ 0 , tức là: 5 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5 (*)
 x1 + x2 = 4
 x1 x2 = m − 1

Theo hệ thức Vi - ét ta có: 

Ta có: x12 + x2 2 = 12 ⇔ ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = 12
⇔ 42 − 2.(m − 1) = 12 ⇔ 16 − 2m + 2 = 12 ⇔ m = 3

Nhận thấy m = 3 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22= 12.
GV lưu ý học sinh: Đối với bài toán tính giá trị của biểu thức đối xứng ta thực
hiện hoàn toàn tương tự ví dụ 1 nhưng không tìm m
Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 − 4 x + m − 1 = 0 (1). Gọi x1, x2 là nghiệm của
phương trình. Tính giá trị biểu thức: x12 + x22
Giải:
Ta có ∆ ' = (−2) 2 − ( m − 1) = 4 − m + 1 = 5 − m
Để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thì ∆ ' ≥ 0 , tức là: 5 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5 (*)
 x1 + x2 = 4
(I )
 x1 x2 = m − 1

Theo hệ thức Vi - ét ta có: 

Ta có: x12 + x2 2 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 (II)
16

Thay (I) vào (II) ta có: x12 + x22 = 42 − 2.(m − 1) = 16 − 2m + 2 = 18 − 2m
Ví dụ 3 : Cho phương trình: x 2 − mx + 3 = 0 (m tham số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: | x1 - x2 |=2
Bài toán này mới nhìn dạng như bài toán 2.3.3.6.1, nếu làm các bước như
bài toán 2.3.3.6.1 rất dài. Tuy nhiên, nếu bình phương hai vế | x1 - x2 |=2 thì ta sẽ
biến đổi được bài toán về dạng tổng và tích hai nghiệm để kết hợp với hệ thức
Vi- et và thực hiện các bước như ví dụ 1.
Giải : Ta có ∆ = m 2 − 12
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì ∆ = m 2 − 12 >0 ⇔ m2>12
m > 2 3
⇔ |m|> 2 3 ⇔ 
 m < −2 3

Theo định lý Vi - ét ta có : x1 + x2 =m; x1x2 = 3
Theo bài ra ta có : | x1 - x2 |=2 ⇔ (x1-x2)2=4 ⇔ (x1+ x2)2 – 4x1x2=4
⇔ m2-4.3=4 ⇔ m2=16 ⇔ m= ± 4(TM).
Vậy m= ± 4 là giá trị cần tìm.
2.3.3.6.3. Bài toán 3: Tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm thoả
mãn: x1 < α < x2 ( α là số cho trước).
Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2
( ∆ ≥ 0 hoặc ∆ ' ≥ 0 ) (*).
b
c
(2)
a
a
Bước 3: Từ giải thiết x1 < α < x2 ⇒ x1 − α < 0, x2 − α > 0

⇒ ( x1 − α )( x2 − α ) < 0 ⇒ x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 < 0 (3)

Bước 2: : Lập hệ thức Vi - ét : x1 + x2 = − (1); x1. x2 =

Bước 4: Thay (1), (2) vào (3) ta được bất phương trình ẩn m
Bước 5: Giải bất phương trình ẩn m vừa tìm được ⇒ đối chiếu kết quả với điều
kiện ở bước 1 ⇒ Kết luận.
Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 5 = 0 (1)
a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < 1 < x2.
Giải: a, HS tự chứng minh.
 x1 + x2 = 2(m − 1) (1)
(2)
 x1.x2 = 2m − 5

b, Theo hệ thức Vi - ét ta có: 

Từ giải thiết x1 < 1 < x2 ⇒ x1 − 1 < 0, x2 − 1 > 0
⇒ ( x1 − 1)( x2 − 1) < 0 ⇒ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 < 0 (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta có:
2m - 5 - (2m-2)+1 < 0 ⇒ 0m - 2 < 0 (đúng với mọi m)
Vậy với mọi m thì phương trình trên có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < 1 < x2.
Như vậy đối với dạng toán “ Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của
phương trình thoả mãn điều kiện nào đó ” chúng ta phải sử dụng định lý
17


Vi - ét, các hằng đẳng thức đáng nhớ và phải có kỹ năng biến đổi đại số tốt.
2.3.3.7. Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc
hai không phụ thuộc vào tham số.

Dạng toán này chúng ta thường gặp, cách giải không phức tạp nhưng nó
là dạng toán tổng hợp nhiều kiến thức cơ bản trong chương trình đại số lớp 9.
Để giải dạng toán này ta làm theo các bước sau :
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2
( ∆ ≥ 0 hoặc ∆ ' ≥ 0 ) (*).
b
a

Bước 2: Lập hệ thức Vi - ét: x1 + x2 = − (1); x1. x2 =

c
(2)
a

Bước 3: Rút m từ (1) thế vào (2) ( hoặc ngược lại) ta sẽ được hệ thức liên hệ.
GV lưu ý: Trong một số bài ta có thể cộng hoặc trừ (1) cho (2) ⇒ ta thu được hệ
thức cần tìm. Tuỳ bài toán vận dụng một cách linh hoạt để tìm được kết quả
nhanh nhất
Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 + 2mx + 2m − 1 = 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1, x2
độc lập với m
Giải: + Ta có: ∆ ' = m 2 − 2m + 1 = (m − 1) 2 ≥ 0, ∀m
⇒ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
 x1 + x2 = − 2m (1)
 x1.x2 = 2m − 1 (2)

+ Theo Vi - ét ta có: 

x1 + x2
x +x
. Thay vào (2), ta được: x1x2 = 2. 1 2 -1 ⇔ x1 x2 + x1 x2 = −1

−2
−2
x
x
+
x
x
=
−
1
Vậy hệ thức cần tìm là: 1 2 1 2

Từ (1) ⇒ m =

2.3.3.8. Dạng 8: Tìm giá trị của tham số để biểu thức chứa x 1, x2 có giá trị
nhỏ nhất, lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức
chứa x1, x2
Dạng toán này cũng là dạng toán học sinh đã được làm quen từ lớp 7, chỉ khác
là các em phải biết áp dụng định lý Vi - ét để lập ra biểu thức chứa x 1, x2. Vì vậy
để giải dạng toán này , trước hết phải tính tổng và tích các nghiệm dựa vào định
lý Vi - ét sau đó mới tìm điều kiện của tham số để biểu thức vừa lập được có giá
trị nhỏ nhất hay lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức đó
theo yêu cầu của bài toán cụ thể các bước như sau :
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2
( ∆ ≥ 0 hoặc ∆ ' ≥ 0 ) (*).
b
a

Bước 2: Lập hệ thức Vi – ét: x1 + x2 = − ; x1. x2 =

c
a

Bước 3: Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích 2 nghiệm để có thể áp dụng hệ
thức Vi - ét ⇒ ta thu được biểu thức bậc 2 của m.
Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
+ Nếu hệ số a của biểu thức m >0 ta có giá trị nhỏ nhất. Để tìm giá trị nhỏ nhất
ta biến đổi biểu thức chứa m về dạng A2 + a ≥ a, ∀m , khi đó giá trị nhỏ nhất là a
( phải chỉ rõ đạt được tại giá trị của m bằng bao nhiêu ⇒ so với điều kiện ở
bước 1 rồi kết luận).
18


+ Nếu hệ số a của biểu thức m < 0 ta có giá trị lớn nhất. Để tìm giá trị lớn nhất ta
biến đổi biểu thức chứa m về dạng a - A 2 ≤ a, ∀m , khi đó giá trị lớn nhất là a
(phải chỉ rõ đạt được tại giá trị của m bằng bao nhiêu ⇒ so với điều kiện ở bước
1 rồi kết luận).
Ví dụ 1 : Cho phương trình bậc hai ẩn x : x 2 − 2(m − 1) x + n + 1 = 0
Khi m - n = 4, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P = x12 + x22
Giải : Từ m - n = 4 ta suy ra ; n = m - 4 .
Theo định lý Vi - ét : x1 + x2 = 2( m - 1) ; x1x2 = n + 1
Do đó : P = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2
= [ 2( m - 1 ) ]2 - 2( n + 1 )= [ 4( m2 - 2m + 1 ) ] - 2 ( m - 3 )
= 4m2 - 8m + 2 - 2m + 6= 4m2 - 10m + 8 = ( 2m - 2,5 )2 + 1,75 ≥ 1,75
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1,75 khi m = 1,25
Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 + 2mx + 2m − 1 = 0 (1) có 2 nghiệm x1, x2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x12x2 + x1x22
Giải: + Ta có ∆ ' = m 2 − 2m + 1 = (m − 1) 2 ≥ 0, ∀m
⇒ ∆ ' ≥ 0, ∀m , phương trình luôn có nghiệm
+ Theo hệ thức Vi - ét ta có: x1 + x2 = -2m; x1x2 = 2m-1

+ Ta có: A = x1x2.(x1 + x2) =-2m.(2m-1)= -4m2 + 2m
1
2

1 1
1
1
1
1
1
− ] = - [(2m- )2 - ]= - (2m- )2 ≤ , ∀m
4 4
2
4
4
2
4
1
1
Dấu "=" xảy ra ⇔ 2m − = 0 ⇔ m =
2
4
1
1
KL:Vậy với m = thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là .
4
4

= - [ (2m)2 - 2. 2m. +

Trên đây là một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ấn mà bản
thân tôi tạm phân loại để hướng dẫn học sinh trong quá trình giảng dạy và nhất
là khi ôn thi học kì và bồi dưỡng học sinh giỏi , ôn thi vào THPT.
Trong thực tế, ngoài các dạng toán trên còn rất nhiều dạng toán khác về
phương trình bậc hai một ẩn mà chúng ta có thể phát triển thêm được từ các
dạng toán cơ bản trên . Tuy nhiên, trong phạm vi của đề tài tôi chỉ đưa ra những
dạng toán cơ bản, thiết thực, phù hợp với trình độ của học sinh lớp 9 giúp các
em học sinh giải thành thạo phương trình bậc hai một ẩn, phương trình bậc hai
có chứa tham số. Từ đó, các em tự tin bước vào các kì thi.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Sau một thời gian nghiên cứu và hoàn thiện, đề tài của tôi đã đưa vào áp
dụng . Trong quá trình thử nghiệm tôi đã thu được một số thành công bước đầu:
* Về phía giáo viên: Tôi thấy trình độ chuyên môn được nâng cao hơn,
đặc biệt là đổi mới phương pháp dạy học của ngành đề ra. Đồng thời, hình thành
ở giáo viên phương pháp làm việc khoa học. Hơn thế, đã phát huy được sự tích
cực chủ động của người học, hình thành ở học sinh những kĩ năng, kĩ xảo trong
giải Toán. Ngoài ra, đề tài còn là tài liệu dùng để tham khảo bồi dưỡng học sinh
giỏi, ôn thi học kì nhất là ôn thi vào THPT.
19


* Về phía học sinh: Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống các dạng
bài tập thường hay gặp về phương trình bậc hai một ẩn, tôi thấy đã phát huy
được tính tích cực , tư duy sáng tạo, sự say mê môn học của học sinh, giúp hình
thành ở học sinh phương pháp và cách làm việc với khoa học Toán học.
Đặc biệt, các em xác định được dạng và phương pháp để giải các bài toán
liên quan đến phương trình bậc hai một cách chủ động. Ngoài việc giải thành
thạo , linh hoạt các bài tập về phương trình bậc hai một ẩn, các em làm tốt các
dạng Toán có liên quan đến phương trình bậc hai, tự tin không còn hiện tượng

rập khuôn máy móc trong giải toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn.
Đặc biệt, nó được thể hiện ở kết quả học tập của các em cụ thể ở biểu đồ so sánh
trước và sau khi áp dụng đề tài năm học 2016-2017; 2017 -2018 như sau:

Kết quả thi vào THPT tăng lên rõ rệt, tỉ lệ học sinh đậu THPT cao nhất
trong cụm cụ thể: Năm 2016-2017; 2017-2018 tỉ lệ thi vào THPT đạt 100%.
Tiếp tục áp dụng trong năm học 2018-2019, qua kết quả khảo sát học kỳ 2 có
82% số bài đạt loại khá, giỏi; 18% số bài đạt điểm trung bình. Kết quả này cho
thấy việc áp dụng đề tài đã góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
Do đó hiệu quả giảng dạy trong nhà trường nói chung đã tiến bộ trong những
năm vừa qua.
3.Kết luận, kiến nghị:
3.1. Kết luận:
Mặc dù trong thời gian ngắn nhưng việc hướng dẫn học sinh giải các dạng
toán cơ bản về phương trình bậc hai góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn
20


Toán, khắc phục được sự mệt mỏi nhàm chán và lúng túng ở người học, tạo
hứng thú trong học tập của học sinh, tạo cho người học niềm tin và phẩm chất
đạo đức của người lao động mới, đặc biệt phát triển năng lực tư duy và rèn luyện
những thao tác trí tuệ , hình thành những phẩm chất tư duy khoa học.
Muốn hướng dẫn học sinh làm các dạng toán cơ bản về phương trình bậc
hai một ẩn có hiệu quả giáo viên cần chuẩn bị kĩ lưỡng tỉ mỉ, biết vận dụng linh
hoạt để có thể lựa chọn những câu hỏi gợi ý sâu sắc đúng lúc, đúng chỗ phù hợp
với trình độ nhận thức của học sinh nhằm khêu gợi trí tò mò, hứng thú của học
sinh giúp các em hiểu bài toán phải giải. Đồng thời, lưu ý học sinh phải tìm
hiểu bài toán một cách tổng thể, tránh vội vàng đi ngay vào chi tiết, đặc biệt
không được vận dụng các phương pháp một cách rập khuôn, máy móc.
Bên cạch đó, một điều không thể thiếu đó là giáo viên phải có lòng yêu

nghề, yêu trẻ, nhiệt tình có như vậy hiệu quả, chất lượng dạy và học mới ngày
được nâng cao. Do đó, góp phần không nhỏ trong việc nâng cao chất lượng giáo
dục của nhà trường trong những năm qua.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với tổ chuyên môn và nhà trường: Cần thường xuyên nắm bắt thông tin từ
người dạy khi áp dụng đề tài để có thể điều chỉnh hoặc bổ sung thêm cho đề tài
ngày càng hoàn thiện. Đó cũng là một hình thức sinh hoạt chuyên môn nâng cao
hiệu quả giảng dạy trong nhà trường
- Đối với giáo viên: Để đề tài có tính hiệu quả cao giáo viên cần chuẩn bị kĩ
lưỡng tỉ mỉ, biết vận dụng linh hoạt từng dạng toán cho phù hợp với từng đối
tượng học sinh. Không được vận dụng đề tài một cách rập khuôn máy móc mà
phải liên tục sáng tạo để giúp đề tài phong phú và có hiệu quả hơn. Phải vận
dụng linh hoạt, phải đặc biệt chú ý đến đối tượng học sinh để vận dụng các dạng
toán trong đề tài theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
- Đối với học sinh đặc biệt là học sinh yếu kém ngoài những giờ học trên lớp
nên có những buổi học phụ đạo riêng liên tục để nâng dần kỹ năng làm bài của
các em.
Đề tài vẫn tiếp tục áp dụng và mở rộng hơn nữa. Bước đầu đề tài đã thu
được một số thành công, song không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận
được sự góp ý chân thành của bạn bè, đồng nghiệp và bạn đọc. Tôi xin chân
thành cảm ơn.
Thanh Hoá, ngày 29 tháng 5 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
ĐƠN VỊ
mình viết, không sao chép
nội dung của người khác
(Ký và ghi rõ họ tên)
Trịnh Thị Tuyết

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và Sách giáo viên Toán 9 – Tập 2, Phan Đức Chính (Tổng
chủ biên) - Nhà xuất bản giáo dục.
2. Các dạng toán và phương pháp giải Toán 9-Tập 2, Tôn Thân (Chủ biên)Nhà xuất bản giáo dục.
3. Phương pháp dạy học môn Toán, Nguyễn Bá Kim –Nhà xuất bản đại học sư
phạm.
4. Nguồn Internet.
5.Văn kiện Đại hội Đảng lần thứ 12
6. Tạp chí giáo dục – Số 89/ 2004
7. Sách giáo khoa Toán 8- Tập 2, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) - Nhà xuất
bản giáo dục.

22


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Thị Tuyết
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện
Thiệu Hoá, Tỉnh Thanh Hoá

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh Kết quả
giá xếp
đánh giá
loại
xếp loại
(Phòng,
(A, B,
Sở, Tỉnh...) hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Hướng dẫn học sinh giải bài
1

toán bằng cách lập phương

Phòng

C

2006

Phòng

C

2007

Phòng

C

2009

Phòng

C

2013

Phòng

C

2014

Phòng

C

2017

Phòng

B

2018

trình- Đại số 8
Hướng dân học sinh làm bài tập
2
3

4

phân tích đa thúc thành nhân tử
Hướng dân học sinh lớp 6 làm
bài tập nhân số nguyên
Hướng dẫn học sinh vận dụng
“Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ”
vào giải bài tập- Đại số 8 ở
trường THCS
Một số biện pháp khắc phục tình

5

trạng học sinh yếu kém môn
Toán 6 ở trường THCS
Một số biện pháp hướng dẫn học

6

sinh làm bài tập: “Nghiệm đa
thức một biến”- Đại số 7 ở
trường THCS Thiệu Ngọc
Sử dụng sơ đồ tư duy nhằm nâng
cao chất lượng dạy học môn

7

Toán 6 ở trường THCS Thiệu
23


Ngọc
Kinh nghiệm hướng dẫn học
sinh giải một số dạng toán cơ
bản về phương trình bậc hai một
8

Phòng

A

2019

ẩn góp phần nâng cao chất lượng
môn Toán 9 ở trường THCS
Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá

24