Bài giảng Đại số 11 chương 2 bài 5: Xác suất của biến cố

BÀI 5
TOÁN ĐẠI SỐ 11
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ


KIỂM TRA BÀI CŨ
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.
a.Mô tả không gian mẫu
b. Xác định các biến cố sau
A: “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm”
B: “Số chấm hai lần gieo hơn kém nhau 2”
C: “Số chấm hai lần gieo bằng nhau”
Giải
a. Không gian mẫu dạng là

Ω = { ( i; j) | i; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

b. Các biến cố là:
A= {(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)}
B= {(1;3);(3;1);(2;4),(4;2),(3;5),(5;3),(4;6),(6;4)}
C= {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)}
n ( Ω ) = 36

n ( A ) = 6,

n ( B ) = 8,

n ( C) = 6


XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

VD. Từ một hộp chứa 4 quả cầu ghi chữ a, hai quả cầu ghi chữ b và 2
quả cầu ghi chữ c. lấy ngẫu nhiên một quả. kí hiệu
A: “Lấy được quả ghi chữ a”
B: “Lấy được quả ghi chữ b”
C: “Lấy được quả ghi chữ c”
Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố A,B,C? so sánh
chúng với nhau.

a

a

a

a

b

b

c

Chọn ngẫu nhiên một quả cầu có 8 cách
Chọn được quả cầu ghi chữ a có 4 cách
Chọn được quả cầu ghi chữ b, c lần lượt có 2 cách
Nhận xét - Khả năng xảy ra của biến cố B và C là bằng nhau
- Khả năng xảy ra của biến cố A gấp đôi biến cố B, C
Các tỉ số
TaiLieu.VN

4 2 2
, , lần lượt được gọi là xác suất của biến cố A,B,C
8 8 8

c


XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I. Định nghĩa cổ điển của xác suất
1. Định nghĩa
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số
n ( A)
hữu hạn kết qua đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
n( Ω)
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)
P ( A) =

n ( A)

n( Ω)

n(A) là số phần tử của A hay là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A
n ( Ω ) là số phần tử của không gian mẫu hay là số kết quả có thể xảy ra
của phép thử
Các bước tính xác suất một biến cố
B1. Xác định số phần tử của không gian mẫu
B2. Xác định số phần tử của biến cố n(A)
n ( A)
P ( A) =
B3. Tính xác suất của biến cố

n( Ω)

n( Ω)


XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Các bước tính xác suất một biến cố
n( Ω)
B1. Xác định số phần tử của không gian mẫu
B2. Xác định số phần tử của biến cố n(A)
n ( A)
P ( A) =
B3. Tính xác suất của biến cố
n( Ω)
2. Ví dụ
VD1. Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần.
Tính xác suất của các biến cố sau
a. A: “Hai lần gieo kết quả giống nhau”
b. B: “ Lần sau xuất hiện mặt sấp”
c. C: “ Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần”
Không gian Ω = { SS,SN,NS, NN} n ( Ω ) = 4
mẫu
n( A) 2 1
n
A
=
2
P
A
=

= =
( )
Xác suất biến cố A là
( )
a. A = { SS,NN}
n( Ω) 4 2
n ( B)
1
P
B
=
=
Xác
suất
biến
cố
B
là
n
B
=
2
(
)
B
=
SS,NS
(
)
b.

{
}
n( Ω) 2
n ( C)
3
c. C = { SN,NS,NN} n ( C ) = 3 Xác suất biến cố C là
P ( C) =
=
n( Ω)
4

Giải


XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Xét phép thử có không gian mẫu
phép thử

n( ∅) = 0

⇒ P ( ∅) =

P ( Ω) =

0 ≤ n ( A) ≤ n ( Ω)

A∩B=∅
⇔

⇔

và các biến cố A,B liên quan đến
Ω

n ( ∅)
=0
n( Ω)

n( Ω)
n( Ω)

=1

n ( A) n ( Ω)
0
≤
≤
n( Ω) n ( Ω) n ( Ω)

a.

P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1

b.

0 ≤ P ( A) ≤ 1

c. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )

⇔ 0 ≤ P ( A) ≤ 1

Ω

n ( A ∪ B) = n ( A) + n ( B)

n ( A ∪ B) n ( A) n ( B)
=
+
n( Ω)
n( Ω) n( Ω)

A

B

⇔ P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B)

A ∪ A = Ω ⇔ P ( A ∪ A) = P ( A) + P ( A) = P ( Ω) = 1

( )

⇔ P A = 1 − P ( A)

A

A

Ω

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
II. Tính chất của xác suất
1. Định lí
Giả sử A, B là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử có hữu hạn các
kết quả đồng khả năng xuất hiện, ta có

a. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1

b. 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

Với mọi biến cố A
c. Nếu A, B xung khắc thì
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) (Công thức cộng xác suất)

Hệ quả
Với mọi biến cố A ta có:
2. Ví dụ

( )

P A = 1 − P ( A)


XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
VD1. Một hộp đựng7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên
3 quả cầu, Tính xác suất các biến cố sau.
a. A: “ ba quả cầu cùng màu”
b. B: “ba quả cầu khác màu”
Giải a. Chọn 3 quả cầu từ 12 quả cầu có số cách là
Chọn 3 quả cầu cùng màu có hai phương án

- Chọn 3 quả màu đỏ từ 7 quả màu đỏ có
- Chọn 3 quả màu xanh từ 5 quả màu xanh có
Chọn 3 quả cùng màu có 10 + 35 =45 cách
Xác suất của biến cố A là
b. Ta có

B=A

P(A) =

45
9
=
220 44

Xác suất của biến cố B là

P(B) = P(A) = 1 − P(A) =

35
44

3
C12
= 220

C73 = 35
C53 = 10

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
VD2. Bạn thứ nhất có một đồng
xu, bạn thứ hai có một con súc
sắc( đều cân đối và đồng chất)
Xét phép thử “bạn thứ nhất
gieo đồng xu sau đó bạn thứ
hai gieo súc sắc’’
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Tính xác suất của các biến
cố sau
A: “đồng xu xuất hiện mặt sấp”
B: “Con súc sắc xuất hiện mặt
6 chấm”
C: “Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ”
c. Chứng tỏ P(A.B) =P(A).P(B);
P(A.C) = P(A).P(C)

a. Không gian mẫu có dạng

Ω = { S1,S2,S3,S4,S5,S6, N1, N2, N3, N4, N5, N6}

n ( Ω ) = 12
b. Ta có

n ( A) = 6
B = { S6, N6}

A = { S1, S2, S3, S4, S5, S6}
n ( A)

6
1
=
n( Ω)
12 2
1
n ( B ) = 2 P ( B) = n ( B) = 2 = 1
2
n ( Ω ) 12 6
P ( A) =

=

3
4
S
n ( C) 5 6 1
=
=
n ( C) = 6 P ( C) =
n ( Ω ) 6 12 2
1
c. Ta có A.B = {S6} n(A.B)
=1
2
1 1
1
n(A.B) 1
P
A

.P
B
=
.
=
= P ( A.B )
(
)
(
)
P(A.B) =
=
3
2 6 12
n ( Ω ) N12
4
n ( A.C ) = 3
A.C = { S1,S3,S5}
5
n ( A.C )
3 16 1 1
= . = P A .P C
P A.C =
=
=
C = { S1, S3,S5, N1, N3, N5}

(

)

n( Ω)

12

4

2 2

( ) ( )


XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
III. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi
P(A.B) = P(A).P(B)
(công thức nhân xác suất)


XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Củng cố
Các bước tính xác suất một biến cố
B1. Xác định số phần tử của không gian mẫu
B2. Xác định số phần tử của biến cố n(A)
n ( A)
P
A
=
(
)

B3. Tính xác suất của biến cố
n( Ω)

n( Ω)

a. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1

b. 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

Với mọi biến cố A
c. Nếu A, B xung khắc thì
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) (Công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A ta có:

( )

P A = 1 − P ( A)

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi
P(A.B) = P(A).P(B)
(công thức nhân xác suất)