Bài giảng Giải tích 12 chương 1 bài 3: Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài giảng lớp12

08/11/19


XÐt c¸c hµm sè:
1) f(x) =cosx trªn tËp c¸c sè thùc ¡
ThÊy: ∀x ∈ ¡ th×
*) -1≤ cosx ≤ 1
*) cosx =1 ⇔ x=2kπ , k ∈ ¢
*) cosx =-1 ⇔ x=(2k+1)π , k ∈ ¢
Ta nói hàm số y = cosx đạt giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ
y
¡
nhất là (-1) trên
5

4

3

2) g(x) =x2 trªn D = [ -1; 2]

g(x) = x2

2

1

ThÊy ∀x ∈ [ -1; 2] th×
0 ≤ x2 ≤ 4.

vµ g(x) =0 ví i x=0∈ [ -1; 2] ; g(x) =4 ví i x=2∈ [ -1; 2]
2
Ta nói hàm số g(x) = x đạt giá trị lớn nhất là 4 trên tập D và đạt
giá trị nhỏ nhất là 1 trên tập D
-4

-3

-2

-1

o
-1

08/11/19

1

2

3

4

5

x

1. nh ngha
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợ p D,(D Ă ).
a) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho
f(x) f(x0 ) vớ i mọi x D
thìsố M =f(x0 ) đợ c gọi là giá trịlớ n nhất của hàm số f trên D
Kíhiệu: M = max f (x).
xD

b) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho
f(x) f(x0 ) vớ i mọi x D
thìsố m =f(x0 ) đợ c gọi là giá trịnhỏ nhất của hàm số f trên D
Kíhiệu: m = minf (x).
xD

* Mun chng minh s M (hoc m) l giỏ tr ln nht (hoc giỏ tr nh nht)
ca hm s f trờn tp hp D , ta cn chng minh 2bc:
b1) f(x) M (hoặ
c f(x) m) vớ i mọi x D.
b2) x0 D: f(x0 ) =M (hoặ
c f(x0 ) =m ).
Quy c: Khi núi giỏ tr ln nht hay nh nht ca hm s m khụng núi rừ
trờn tp no thỡ ta hiu ú l giỏ tr ln nht hay nh nht trờn tp xỏc nh ca
hm s
08/11/19


2. Ví dụ
Ví dụ1.
T×
m gi¸ trÞlí n nhÊt vµ gi¸ trÞnhá nhÊt cña hµm sè:

f(x) = 2x3 + 3x2 +1 trªn ®o¹n [ -2; 1] .

Nhận xét:
Người ta chứng minh được các hàm số liên tục trên 1đoạn thì đạt được giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

08/11/19


Quy tc tỡm o hm ca hm s liờn tc trờn 1on
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), có
thểtrừ một số hữu hạn điểm. Nếu f'(x) =0 chỉtại một số hữu hạn điểm thuộc
(a; b) thìta có quy tắ
c tì
m giá trịlớ n nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm f trên
đoạn [ a; b] nh sau:
b1) Tì
m các điểm x1,x2,....,xm thuộc (a; b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0
hoặ
c không có đạo hàm.
b2) Tính
f(x1tc:
), f(x2 ),..., f(xm) , f(a) và f(b).
Quy
b3) So sánh các giá trịtì
m đợ c
- Số lớ n nhất trong các giá trịđó là giá trịlớ n nhất của f trên đoạn [ a;b] .
- Số nhỏ nhất trong các giá trịđó là giá trịnhỏ nhất của f trên đoạn [ a;b] .

08/11/19

Vớ d 2:

Nhúm 1
Nhúm 2
Nhúm 3

Tì
m giá trịlớ n nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm số:
a) f(x) = x2 + 2x 5 trên đoạn [ -2; 3] .
x3
b) f(x) = + 2x2 + 3x 4 trên đoạn [ -4; 0]
3 1
c) f(x) =x +
trên khoảng (1; +).
x-1

Quy tc tỡm giỏ tr ln nht, nh nht trờn on [a; b]
b1) Tì
m các điểm x1,x2,....,xm thuộc (a; b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0
hoặ
c không có đạo hàm.
b2) Tính f(x1), f(x2 ),..., f(xm) , f(a) và f(b).
b3) So sánh các giá trịtì
m đợ c
* Số lớ n nhất trong các giá trịđó là giá trịlớ n nhất của f trên đoạn [ a;b] .
* Số nhỏ nhất trong các giá trịđó là giá trịnhỏ nhất của f trên đoạn [ a;b] .

08/11/19

Vớ d 3: Tỡm sai lm trong li gii cỏc bi toỏn:

Bi 1
Tì
m giá trịlớ n nhất của hàm số: f(x) =sin4x + cos4 x
Li gii
x Ă :sin4 x 0 và cos4x 0 nên f(x) 0.
Do đó minf(x)=0.
xĂ

Vìsin4x 1 và cos4x 1 vớ i mọi x Ă nên f(x) 1+1=2.
Do đó maxf(x) = 2
xĂ

Kt lun: giỏ tr nh nht ca hm s l 0, giỏ tr ln nht ca hm s l 2.
Nguyờn nhõn sai lm: du bng khụng xy ra, tc l khụng
tn ti x f(x) = 0 hoc f(x) = 2
Gi ý li gii:

1
Biến đổi: f(x) =(sin2x+cos2x)2 2sin2 x.cos2 x = 1 sin2 2x
2
1
Từ đó dễdàng thấy kết quả: maxf(x) = 1;minf(x) =
xĂ
xĂ
2
08/11/19

Bi 2 Tìm giá trịlớ n nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm số:
Li gii

x2
y=
trên đoạn
x1

1 3
2 ; 2



2x(x-1)-x2 x2 2x
Có: y' =
=
.
2
2
(x 1)
(x 1)

1 3
Xét g(x) =x2 2x, dễthấy g(x) <0 vớ i mọi x ; .
2 2
1 3
Do đó: y' <0 , x ; .
2 2

1 3
Hàm số đơn điệu giảm trên ; .
2 2
1 1
3 9
max f(x) = f( ) = ; min f(x) = f( ) =
1 3
2
2 x 1; 3
2 2
x ;
2 2

2 2

Nguyên nhân sai lầm:
1 3
Hàmsố không liên tục tại điểmx = 1 ; nên không thể
2 2
áp dụng quy tắc tì
mGTLN, GTNN trên một đoạn
08/11/19


Ghi nh:
1) nh ngha giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợ p D,(D Ă ).
a) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho
f(x)
f(x

i mọi m)
x lDgiỏ tr ln nht (hoc giỏ tr nh nht)
2) Mun chng
minh
s0 )Mvớ(hoc
thìsố M =f(x0ca
) đhm
ợ c gọi
giá trị
n nhất
của
hàm
số f trên
slà
f trờn
tplớhp
D , ta
cn
chng
minhD2bc:
Kí
u: M
f (x).
b1)hiệ
f(x)
=
M max
(hoặ
xD c f(x) m) vớ i mọi x D.
u

x0tồn
D:
=iể
M
(hoặ
c f(x0 )cho
=m ).
bb2)
) Nế
tạif(x
một
mx
0)đ
0 D sao
f(x) f(x0 ) vớ i mọi x D
thìsố m =f(x0 ) đợ c gọi là giá trịnhỏ nhất của hàm số f trên D
hiệ
u: m
= minf
(x).toỏn tỡm GTLN, GTNN :
3) S Kí
dng
o
hm
vo bi
xD

* Lp bng bin thiờn.
* Dựng quy tc tỡm GTLN, GTNN ca hm s liờn tc trờn mt on

08/11/19


BÀI TẬP VỀ NHÀ
Về nhà: làm bài tập 17d), e); 21,22.
Xem lại bài vừa học
Chuẩn bị bài kết tiếp

08/11/19