Bài tập xác suất thống kê

CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
Bài tập Cơ bản
Bài 1. Trong hộp có 5 bi xanh và 9 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra ba viên bi. Tính xác suất để
1. lấy được ba viên bi cùng màu.
2. lấy được cả hai loại bi.
Bài 2. Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ; hộp 2 có 5 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai viên bi. Tính xác
suất để
1. lấy được bốn viên bi cùng màu.
2. lấy được 3 bi xanh và 1 bi đỏ.
3. lấy được 2 bi xanh và 2 bi đỏ.
Bài 3. Trong hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm. Tính xác suất để hai sản
phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
Bài 4. Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng mục tiêu tương
ứng là 0,6 và 0,7. Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom.
Bài 5. Trong một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 9 bi vàng.
1. Lấy ngẫu nhiên ra đồng thời 2 viên bi. Tính xác suất lấy được 2 bi khác màu.
2. Lấy ngẫu nhiên ra đồng thời 3 viên bi. Tính xác suất lấy được 3 bi cùng màu.
Bài 6. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc (cân đối, đồng chất). Tính xác suất:
1. được ít nhất một mặt 6.
2. được tổng số chấm lớn hơn 9.
3. được hiệu số chấm là 2.
4. xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt 4.
5. xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt chẵn.


Bài 7. Trong hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm (không hoàn lại). Tính
xác suất để
2
1. hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
2. lần thứ hai lấy được phế phẩm, biết rằng lần đầu được chính phẩm.
Bài 8. Một mặt hàng điện tử có xác suất bị hỏng trong thời gian bảo hành là 20%. Siêu thị đã bán ra

25 sản phẩm đó. Tính xác suất
1. có từ 5 đến 7 sản phẩm phải mang đi bảo hành.
2. có không quá 4 sản phẩm phải bảo hành.
Bài 9. Có 3 hộp giống nhau:
Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm.
Hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phẩm.
Hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm.
Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm.
1. Tính xác suất lấy được chính phẩm.
2. Giả sử lấy được chính phẩm. Tính xác suất để chính phẩm đó được lấy ra từ Hộp thứ nhất.
3. Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm thì xác suất lấy được phế phẩm đó từ hộp nào là lớn nhất?
Bài 10. Có hai hộp đựng bi:
Hộp 1 có 10 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp 2 có 8 bi xanh và 6 bi đỏ.
Từ hộp 1 lấy ngẫu nhiên một viên bi và bỏ vào hộp 2.
1. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp 2 được bi đỏ.
2. Biết rằng đã lấy được 2 bi đỏ. Tính xác suất bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là bi xanh.
3. Giả sử bi lấy ra được từ hộp 2 là bi xanh. Tính xác suất bi lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là bi đỏ.


Bài tập Nâng cao
Bài 11. Trong hộp có 10 sản phẩm, trong đó có đúng 4 sản phẩm tốt. Một người lấy lần lượt từng sản phẩm
(không hoàn lại) đến khi được ba sản phẩm tốt thì dừng lại. Tính xác suất để:
1. người đó dừng lại sau lần lấy thứ ba.
2. người đó dừng lại sau lần lấy thứ tư.
3. lần thứ hai lấy được sản phẩm xấu, biết rằng người đó dừng lại sau lần thứ tư.

3


Bài 12. Trong một cuộc hội thảo có 100 người tham dự. Có 18 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp; có 15 người

biết tiếng Pháp và tiếng Đức; có 12 người biết tiếng Đức và tiếng Anh; chỉ có 4 người biết cả 3 thứ tiếng Anh,
Pháp, Đức; có 2 người chỉ biết tiếng Anh; có 3 người chỉ biết tiếng Pháp; có 1 người chỉ biết tiếng Đức; số còn
lại chỉ biết tiếng Việt.
1. Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất người đó chỉ biết tiếng Việt.
2. Chọn ngẫu nhiên 2 người, tính xác suất trong đó có đúng 1 người biết tiếng Đức.
3. Chọn ngẫu nhiên 3 người, tính xác suất trong đó có đúng 2 người chỉ biết thêm một ngoại ngữ, người còn
lại không biết ngoại ngữ nào.
Bài 13. Có 3 người muốn đi xem bóng đá nhưng chỉ có 2 vé. Họ tổ chức bốc thăm lần lượt với hai thăm "có" và
một thăm "không". Hỏi cách làm vậy có công bằng hay không? Hãy giải thích?
Bài 14. Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn thể thao, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3
vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh, vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua vòng thứ nhất, vòng thứ ba lấy 45%
thí sinh đã qua vòng thứ hai.
1. Tính xác suất để một thí sinh bất kì được vào đội tuyển.
2. Biết một thí sinh đã bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại ở vòng thứ hai.
Bài 15. Một lô sản phẩm gồm 5 thùng loại một và 3 thùng loại hai. Mỗi thùng đều có 10 sản phẩm. Mỗi thùng
loại một có 2 phế phẩm, mỗi thùng loại hai có 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên một thùng trong lô sản phẩm đó
và từ đó lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm để kiểm tra.
1. Tính xác suất lấy được cả hai chính phẩm.
2. Giả sử đã lấy được hai chính phẩm. Khi đó khả năng hai chính phẩm này thuộc thùng loại hai là bao nhiêu
phần trăm?
Bài 16. Có hai thùng đựng sản phẩm. Thùng I có 12 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm; Thùng II có 15 sản
phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ Thùng II bỏ sang Thùng I. Sau đó lại lấy ngẫu
nhiên một sản phẩm từ Thùng I ra kiểm tra thì được phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm bỏ từ Thùng II
sang Thùng I là chính phẩm.

Bài tập Củng cố
Bài 17. Một người bắn liên tiếp 6 viên đạn vào bia, xác suất trúng bia của mỗi viên đạn là 0,8. Tính xác suất để
1. bia bị trúng đúng 3 phát.
2. bia bị trúng đạn.
4

Bài 18. Có 8 người, mỗi người đều gieo 2 đồng xu cùng 1 lúc. Nếu một người gieo được 1 đồng sấp, 1 đồng
ngửa thì gọi là “người may mắn”. Tính xác suất
1. có đúng 3 người may mắn
2. có ít nhất 1 người may mắn.
Bài 19. Một người gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc (cân đối, đồng chất) bốn lần liên tiếp.
1. Tính xác suất được ít nhất một lần xuất hiện mặt 1 chấm.
2. Giả sử người đó gieo 8 đợt, mỗi đợt 4 lần như trên. Tính xác suất có đúng ba đợt không ra mặt 1 chấm
nào.
Bài 20. Một cuộc điều tra trong thành phố X đối với các hộ gia đình sử dụng dịch vụ truyền hình cáp và
internet, có 30% hộ sử dụng truyền hình cáp, 20% hộ sử dụng internet và 15% hộ sử dụng cả hai dịch vụ trên.
Điều tra ngẫu nhiên một hộ gia đình, tính xác suất để hộ này:
1. Không sử dụng dịch vụ nào.
2. Không dùng internet, biết người này đã dùng truyền hình cáp.
Bài21. Có 2 máy cùng sản suất một loại sản phẩm. Máy thứ nhất cung cấp được 70% sản lượng, máy thứ hai
cung cấp được 30% sản lượng. Khoảng 80% sản phẩm sản suất bởi máy 1 và 90% sản phẩm sản suất bởi máy 2
là đạt yêu cầu.
1. Hỏi trung bình cả hai máy sản suất được bao nhiêu phần trăm sản phẩm đạt yêu cầu?
2. Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thấy nó đạt yêu cầu. Tính xác suất để sản phẩm đó là do máy 1 sản
suất.
3. Giả sử lấy được 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. Theo anh/chị thì sản phẩm này do máy nào sản suất ra?
Bài 22. Một trường THPT có tỉ lệ học sinh học ở các khối như sau: Khối 10 là 30%, Khối 11 là 25%, Khối 12 là
45%.
Biết rằng tỉ lệ học sinh giỏi của Khối 10 là 5%, Khối 11 là 6%, Khối 12 là 4%.
1. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường. Tính xác suất để đó là một học sinh giỏi.
2. Giả sử đã chọn ngẫu nhiên được một học sinh giỏi. Tính xác suất để học sinh đó học lớp 11.
3. Nếu chọn ngẫu nhiên được một em học sinh không phải là học sinh giỏi thì khả năng em này học lớp
mấy là cao nhất?

CHƯƠNG2.BIẾNNGẪUNHIÊNVÀCÁCQUILUẬTPHÂNPHỐIXÁC SUẤT
5


Bài tập Cơ bản
Bài 23. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
x
=

P[X

x]

−2

−1

1

2

0,2

0,3

0,4

0,1

1. Tính P[X > 0].

2. Tính P[|X −1|≤ 2].
3. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = 3−X.
4. Tính kỳ vọng và phương sai của X.
5. Lập hàm phân phối xác suất của X.
Bài 24. Cho biến ngẫu nhiên X với bảng phân phối xác suất:
x
=

P[X

x]

2

4

6

0,2

0,6

0,2

1. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
2. Đặt Y = 3X +4. Tìm kỳ vọng và phương sai của Y . 3. Đặt Z =|X −4|. Tìm kỳ vọng và
phương sai của Z.
Bài 25. Một thùng chứa 10 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi X là số chính phẩm
lấy được.
1. Lập bảng phân phối xác suất của X.

2. Lập hàm phân phối xác suất của X.
3. Tính P[X2 < 3].
4. Tính kỳ vọng, phương sai của X.
5. Tìm mod(X) và med(X).
©

ª

6. Đặt Y = max X,X2 . Tính kỳ vọng của Y .

6


=
cx2+x 

Bài 26. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x)

nếu 0 ≤ x ≤ 1
nếu x 6∈[0,1].

0

1. Tìm c.
2. Tính kỳ vọng, phương sai của X.
3. Lập hàm phân phối F(x) của X.
4. Tìm med(X).


 = x2+kx

Bài 27. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x)
0

nếu 0 < x < 1
nếu x 6∈(0,1).

1. Tìm k.
2. Tính kỳ vọng, phương sai của X.
3. Lập hàm phân phối F(x) của X.
4. Tìm med(X).
k
) 

Bài 28. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x =

x2

nếu 1 x 3
≤ ≤  0

6∈[1,3].

1. Tìm k.
2. Tìm E[X], E[5X −2], E[X2+3X].
= 3+ 1
3. Tính E[Y ] biết rằng Y X X

.

4. Tìm med(X).
Bài 29. Cho hàm phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:

 0
F(x) =

nếu x ≤ 0 nếu
0 < x ≤ 1. nếu

ax2

x>1

 1

7

nếu x


Bài 31. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn và X ∼N (300,502).
1. Tính P[X > 362].

1. Tìm a.

2. Tính P[X ≤ 250.
3. Tính P

[275

2. Lập hàm mật độ f (x).
3. Tìm xác suất để X nhận
giá trị trong khoảng
(0,25;0,75).

< X ≤ 350].

Bài tập Nâng cao

Bài 30. Tuổi thọ (năm) của một
mạch điện tử trong máy tính là
một đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối mũ với kỳ vọng là
năm. Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử



nếu x < 0

 0

6,25. Thời gian bảo hành của mạch điện tử là 5

bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành?
nếu Bài 32.

 4x

Cho hàm số f (x) =
 40−4xnếunếu x ≥ 1.

1. Chứng minh f (x) là hàm mật độ của một bnn X.
2. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
·1

3. Tính P

3¸

theo hai cách.

4

5

4. Tìm kỳ vọng, phương sai và mode của X.
Y

X

5. Đặt = 3 +8, tính E[Y ].
6. Đặt Z = max{X, 1}, tính E[Z].

 0
 x3

Bài 33. Cho hàm số f (x) =

nếu x < 0

nếu
nếu

4
 20−xnếunếu x

≥ 2.

8


1. Chứng minh f (x) là hàm mật độ của một bnn X.
2. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
·5

3. Tính P

7¸

theo hai cách.

4

4

4. Tìm kỳ vọng, phương sai và mode của X.  a

khi x > 1



Bài 34. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x)

=

x0

1. Tìm hằng số a.
2. Tìm hàm phân phối xác suất F(x) của X.

9

3

khi x ≤ 1.


Bài 35. Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn N (µ;σ2). Biết rằng X lấy giá trị nhỏ hơn 60 với
xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác suất 0,0516.
1. Tính µ và σ.
2. Tính P[68 < X < 75].
Bài 36. Chiều cao của loại cây T sau khi trồng được 3 năm ở một vùng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với µ= 5 (mét) và độ lệch chuẩn σ= 0,4 (mét).
1. Chọn ngẫu nhiên 1 cây loại đó. Tính xác suất chọn được cây có chiều cao từ 5,1 đến 5,35 (mét)? item Cây
được xem là phát triển tốt nếu có chiều cao trên 5,2 (mét). Chọn ngẫu nhiên 20 cây, tính xác suất có từ
15 đến 18 cây phát triển tốt.

Bài tập Củng cố
Bài 37. Một lớp học 40 học sinh có tỉ lệ học sinh chăm chỉ là 0,4. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh, gọi X là số học

sinh chăm chỉ. Lập bảng phân phối của X. Trung bình chọn được bao nhiêu học sinh chăm chỉ?
Bài 38. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên bốn phát đạn vào bia với khả năng trúng hồng tâm mỗi lần đều bằng 0,8.
Tìm qui luật phân bố xác suất cho số viên đạn bắn trúng hồng tâm. Trung bình xạ thủ này bắn trúng mấy
phát?
Bài 39. Trọng lượng của một con gà 6 tháng tuổi là một đại lượng ngẫu nhiên X (đơn vị: kg) với hàm mật độ
=
k(x2−1) 

nếu 2 ≤ x ≤ 3

0

với x còn lại.

f (x)

1. Tìm k. Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.
2. Lập hàm phân phối của X.

x3+kx2

nếu 0 ≤ x <1

0

nếu x < 0 hoặc x ≥ 1.

Bài 40. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) =

1. Tìm k và tính kỳ vọng của X.

2. Tìm med(X).


Bài 41. Biết rằng X là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị là {1; 3; 6} với các xác suất P(X = 3) = 2P(X = 6) và P(X =
1) = 0,1.

1. Lập bảng phân phối xác suất của X.
2. Lập hàm phân phối xác suất của X.
£

¤

3. Tính P X2 ≥ 7 .
4. Tính kỳ vọng, phương sai của X.
5. Tìm mod(X) và med(X).
6. Đặt Y = 2X2−3X +4. Tính kỳ vọng của Y .
Bài 42. Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A là một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với
các tham số µ = 10 và σ = 1 (đơn vị là phút). Tính xác suất để một sản phẩm loại A được sản xuất
1. trong khoảng thời gian trên 11 phút.
2. trong khoảng thời gian từ 9 phút đến 12 phút.
Bài 43. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20 mm; phương
sai 0,04. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết thì được chi tiết
1. có đường kính trong khoảng 19,9 mm đến 20,3 mm.
2. có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3 mm (các chi tiết như vậy được gọi là chi tiết loại A).
3. Một xưởng chế tạo mua ngẫu nhiên 20 chi tiết máy trên về để sử dụng. Tính xác suất xưởng đó mua
được trên 17 chi tiết loại A.
Bài 44. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ = 20 kg và σ2 =
1,44 kg2. Sản phẩm được xem là đạt chuẩn nếu có trọng lượng từ 19,5 kg đến 21 kg.

1. Tính tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của sản phẩm trên.

2. Một khách hàng mua ngẫu nhiên 20 sản phẩm, tính xác suất để trong đó có đúng 7 sản phẩm đạt chuẩn.
3. Một khách hàng khác mua ngẫu nhiên 10 sản phẩm, tính xác suất để trong đó có không dưới 8 sản phẩm
đạt chuẩn.


CHƯƠNG 3. MẪU THỐNG KÊ VÀ BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Bài tập Cơ bản
Bài 45. Hàm lượng kẽm trung bình thu được khi đo ở 36 địa điểm khác nhau trên một dòng sông là 2,6
gam/mi-li-lít. Biết rằng độ lệch chuẩn của tổng thể là 0,3.
1. Hãy tìm các khoảng tin cậy 95% cho hàm lượng kẽm trung bình trong dòng sông đó.
2. Muốn sai số của ước lượng không vượt quá 0,05 thì cỡ mẫu tối thiểu là bao nhiêu?
Bài 46. Thống kê tuổi thọ của 256 bóng đèn do một nhà sản xuất, ta có bảng thống kê:
Tuổi thọ (giờ)

−

Số bóng

Tuổi thọ (giờ)

Số bóng

1000−1100

4

1100−1200

10

1200−1300

16

1300−1400

20

1400−1500

36

1500−1600

48

1600−1700

42

1700−1800

32

1800−1900

26

1900−2000

14

2000

2100

8

Với độ tin cậy 95,6%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn này.
Bài 47. Một mẫu được lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với số liệu:
9,8

10,2

10,4

9,8

10,0

10,2

9,6.

Tìm khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình của tổng thể.
Bài 48. Gieo thử 400 hạt giống thì thấy 20 hạt không nảy mầm.
1. Tỉ lệ hạt giống không nảy mầm là bao nhiêu với độ tin cậy 90%? Trong trường hợp này sai số là bao
nhiêu?
2. Để sai số của ước lượng thấp hơn 1% thì số lượng hạt gieo thử ít nhất là bao nhiêu (độ tin cậy 90%)?
Bài49. Một giống lúa mới được gieo trong 10 miếng đất thí nghiệm có các điều kiện giống nhau, cho sản

lượng tính theo cùng một đơn vị như sau:
25,4
23,9

28,0
24,8

20,1
26,4

27,4
25,6
27,0
25,4
2
Biết rằng sản lượng lúa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ,σ ). Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho σ2.


Bài 50. Khối lượng một loại sản phẩm có phân phối chuẩn. Cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm loại đó thu được
bảng số liệu:
Khối lượng (gam)

29,3

29,7

30,0

30,5

30,7

4
5
8
5
3
Số sản phẩm
1. Tìm ước lượng không chệch cho phương sai của khối lượng loại sản phẩm này.

2. Với độ tin cậy 98%, tìm khoảng tin cậy cho phương sai của khối lượng loại sản phẩm đó.

Bài tập Nâng cao
Bài 51. Lô trái cây của một chủ hàng được đựng trong các sọt, mỗi sọt 100 quả. Người ta tiến hành kiểm tra 50
sọt thấy có 450 quả không đạt tiêu chuẩn.
1. Ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%.
2. Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt
được bao nhiêu phần trăm?
3. Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm
tra bao nhiêu sọt?
Bài 52. Để ước lượng số cá trong hồ, người ta bắt 2000 con, đánh dấu rồi thả xuống. Vài ngày sau người ta lại
bắt lên 400 con thì thấy có 80 con đánh dấu. Với độ tin cậy 95%, có thể nói số cá trong hồ là khoảng bao nhiêu
con?
Bài 53. Để ước lượng xác suất mắc bệnh A với độ tin cậy 95% và sai số không vượt quá 1% thì cần phải khám
tối thiểu bao nhiêu người? Biết rằng tỷ lệ mắc bệnh A thực nghiệm cho bằng 0,9.

Bài tập Củng cố
Bài 54. Điều tra năng suất lúa trên 100 ha trồng lúa của một vùng, thu được bảng số liệu:
46

48

52

54

10 20 30 15
Diện tích (ha)
1. Tìm ước lượng không chệch của năng suất lúa trung bình.

10

10

5

Năng suất (tạ/ha)

41

44

45

2. Những thửa rộng có năng suất lúa từ 48 tạ/ha trở lên gọi là những thửa ruộng năng suất cao.
Tìm ước lượng không chệch của tỉ lệ diện tích lúa có năng suất cao trong vùng.
3. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng năng suất trung bình của toàn bộ vùng này.
Bài 55. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 chiếc ô tô cùng loại có mức tiêu thụ xăng (dặm/ga-lông) như sau:

18,6

18,4

19,2

10,8

19,4

20,5.

Hãy ước lượng khoảng tin cậy 90% cho mức tiêu thụ xăng trung bình của loại ô tô trên với giả thiết là tổng thể
có phân phối chuẩn.
Bài 56. Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng của một loại hàng trong thành phố, người ta tiến hành điều tra 100 gia
đình thì thấy 60 gia đình có nhu cầu về loại hàng hóa nói trên. Hãy ước lượng tỉ lệ gia đình có nhu cầu về mặt
hàng đó của toàn thành phố với độ tin cậy 96,4%.
Bài 57. Đo đường kính của 100 chi tiết do một máy sản xuất, kết quả cho ở dạng khoảng (a,b] như sau:
Đường kính (mm)

1980−1985

1985−1990

3

Số chi tiết
Đường kính (mm)

1990−1995

6

2000−2005

1995−2000

15

2005−2010

28

2010−2015

2015−2020

23
14
7
4
Số chi tiết
Theo qui định, những chi tiết có đường kính lớn hơn 19,9 mm đến 20,1 mm là những chi tiết đạt tiêu chuẩn.

1. Ước lượng đường kính trung bình của những chi tiết đạt tiêu chuẩn do máy này sản xuất với độ tin cậy
95%.
2. Ước lượng tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn của máy với độ tin cậy 96%.
3. Khi ước lượng tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn, nếu muốn độ chính xác đạt được 5% và độ tin cậy 99% thì cần
đo thêm bao nhiêu chi tiết nữa?
Bài 58. Quan sát thu nhập (triệu/tháng) của một số người làm việc ở một công ty, ta có kết quả dạng khoảng

[a,b) cho bởi bảng dưới đây:
Thu nhập

3−5

5−7

7−9

9−11

11−13

13−15

15−17

17−19

5
9
12
35
66
47
24
18
Số người
1. Tìm ước lượng không chệch cho thu nhập trung bình của một người ở công ty này.

19−25
9

2. Những người có thu nhập từ 15 (triệu/tháng) trở lên là những người có thu nhập cao. Tìm ước lượng
không chệch cho tỉ lệ những người có thu nhập cao ở công ty này.
3. Ước lượng thu nhập trung bình của một người ở công ty này với độ tin cậy 95%.
Bài 59. Từ một lô thuốc lẫy ngẫu nghiên một mẫu gồm 15 viên thuốc có độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 0,8% của
thành phần A của thuốc. Với độ tin cậy 90%, hãy tìm khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể toàn bộ lô thuốc
đó (giả thiết tổng thể có phân phối chuẩn).
Bài 60. Khối lượng một sản phẩm có phân phối chuẩn. Cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm loại đó người ta thu được
kết quả:
Khối lượng (gam)

293

297

30

305

307

Số sản phẩm
4
5
8
5
3
1. Tìm ước lượng không chệch cho phương sai của khối lượng sản phẩm.

2. Với độ tin cậy 95% hãy tìm khoảng tin cậy cho phương sai của khối lượng sản phẩm.


CHƯƠNG 4. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Bài tập Cơ bản
Bài 61. Một nhà sản xuất khẳng định rằng khối lượng trung bình của dây câu có thể chịu là 8 kg, với độ lệch
chuẩn là 0,5 kg. Người ta lấy 50 dây ngẫu nhiên để kiểm tra và khối lượng trung bình dây có thể chịu là 7,8 kg.
Hãy kiểm định khẳng định của nhà sản xuất với mức ý nghĩa 0,01.
Bài 62. Tuổi thọ trung bình của một loại bóng đèn là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ= 2000 h
và σ= 36 h. Nghi ngờ chất lượng của lô bóng mới sản suất bị giảm sút, người ta lấy 16 bóng đi kiểm tra và tính
được tuổi thọ trung bình là 1975 h. Với mức ý nghĩa 0,01 hãy kiểm định điều nghi ngờ trên.
Bài 63. Cân nặng trung bình của SV trường ĐH X năm trước là 55 kg. Nghi ngờ rằng năm nay SV chăm học hơn
nên sẽ bị giảm cân, người ta cân thử 100 SV của trường thu được cân nặng trung bình là 52 kg với độ lệch
chuẩn điều chỉnh là 12kg. Với mức ý nghĩa 10%, hãy kết luận xem điều nghi ngờ trên có đúng hay không?
Bài 64. Một báo cáo khẳng định mỗi máy hút bụi tiêu thụ khoảng 46 kWh mỗi năm. Từ một mẫu gồm 12 gia
đình được nghiên cứu, cho thấy máy hút bụi tiêu thụ trung bình 42 kWh mỗi năm với độ lệch chuẩn hiệu
chỉnh 11,9 kWh. Liệu có thể nói, với mức ý nghĩa 0,05 thì trung bình máy hút bụi tiêu thụ khoảng 46 kWh mỗi
năm hay không?
Giả sử tổng thể đang xét có phân phối chuẩn.
Bài 65. Điều tra 15 sinh viên của một trường Đại học X, thấy trung bình mỗi tháng tiêu hết 3 triệu đồng với độ
lệch chuẩn hiệu chỉnh là 900 nghìn đồng. Có ý kiến cho rằng: Sinh viên trường X tiêu trung bình một tháng
trên 2,8 triệu đồng. Hãy kiểm định ý kiến trên với mức ý nghĩa 10%.
Bài 66. Nếu máy móc hoạt động bình thường thì trọng lượng của sản phẩm X là đại lượng ngẫu nhiên tuân
theo phân phối chuẩn N (100g; 4g2). Sau một thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ trọng lượng sản phẩm tăng
lên. Cân thử 100 sản phẩm thì trọng lượng trung bình của chúng là 100,4g. Với mức ý nghĩa α= 0,05, hãy kết
luận về điều nghi ngờ trên.
Bài 67. Tỉ lệ phế phẩm do một máy tự động sản xuất là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 phế
phẩm. Có ý kiến cho rằng tỉ lệ phế phẩm do máy đó sản suất đã tăng lên. Hãy kết luận điều nghi ngờ đó với

mức nghĩa 0,05.
Bài 68. Trọng lượng của gà con mới nở là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Nghi ngờ độ đồng đều về
trọng lượng của gà con giảm sút, người ta cân thử 12 con và tìm được s02 = 11,41 gam2. Với mức ý nghĩa 5%,
hãy kết luận về điều nghi ngờ trên, biết rằng bình thường độ phân tán của trọng lượng gà con là 10 gam2.


Bài 69. Nếu máy móc hoạt động bình thường thì trọng lượng sản phẩm tuân theo quy luật phân phối chuẩn
với độ lệch chuẩn là 1 kg. Có thể coi là máy móc hoạt động bình thường hay không nếu cân thử ngẫu nhiên 30
sản phẩm thấy độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu là 1,1 kg. Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa 0,01.
Bài 70. Tỉ lệ cam hỏng là 10%. Sau một thời gian bảo quản lấy ngẫu nhiên 400 quả cam kiểm tra thì thấy 60 quả
bị hỏng. Có ý kiến cho rằng việc bảo quản cam không được tốt. Hãy kiểm định ý kiến đó với mức ý nghĩa 1%.
Bài 71. Tỉ lệ khách hàng tiêu dùng một loại sản phẩm ở 1 địa phương là 30%. Sau một chiến dịch quảng cáo
người ta cho rằng tỉ lệ này đã tăng lên. Phỏng vấn 600 người ngẫu nhiên thấy có 198 người tiêu dùng loại sản
phẩm đó. Với mức ý nghĩa 5% hãy kết luận về ý kiến trên.

Bài tập Củng cố
Bài 72. Khối lượng một loại sản phầm theo qui định là 6 kg. Sau một thời gian sản suất, người ta tiến hành
kiểm tra 121 sản phẩm và tính được trung bình mẫu x = 5,975 kg, phương sai mẫu (điều chỉnh) là s02 = 0,1024
kg2. Sản xuất được xem là bình thường nếu khối lượng trung bình của các sản phẩm được sản xuất bằng với
khối lượng qui định. Với mức ý nghĩa α = 5%, hãy kết luận về tình hình sản suất.
Bài 73. Khối lượng trung bình khi xuất chuồng ở một trại chăn nuôi gà công nghiệp năm trước là 2,8 kg/con.
Năm nay người ta sử dụng một loại thức ăn mới. Cân thử 25 con khi xuất chuồng người ta tính được trung
bình mẫu 3,2 kg và phương sai hiệu chỉnh s02 = 0,25.
1. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về tác dụng của loại thức ăn mới có làm tăng khối lượng trung bình
của đàn gà hay không?
2. Nếu trại chăn nuôi báo cáo rằng khối lượng trung bình khi xuất chuồng là 3,3kg thì có chấp nhận được
hay không? (với α= 5%).
Bài 74. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5%. Năm nay áp dụng biện pháp kỹ thuật mới.
Người ta lấy một mẫu gồm 800 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 24 phế phẩm.
1. Với mức ý nghĩa α= 5%, hãy kết luận xem biện pháp kỹ thuật mới này có thực sự làm giảm tỉ lệ phế phẩm

của nhà máy hay không?
2. Với mức ý nghĩa α= 1%, hãy kết luận xem biện pháp kỹ thuật mới này có thực sự làm giảm tỉ lệ phế phẩm
của nhà máy hay không?


Bài 75. Khảo sát ngẫu nhiên 400 quả xoài ở một vùng thì thấy khối lượng trung bình là 397,5 g/quả và độ lệch
chuẩn là s0 = 114,1329 g. Có ý kiến cho rằng khối lượng trung bình của loại xoài này là 400 g/quả. Với mức ý
nghĩa 5%, hãy kết luận xem ý kiến trên có chấp nhận được hay không?
Bài 76. Trong một cuộc điều tra về nhịp mạch của 64 thanh niên làm nghề A, kết quả là nhịp mạch trung bình
74 lần/phút và độ lệch chuẩn bằng 9 (lần/phút). Với mức ý nghĩa α = 1%, hãy kiểm định xem đặc điểm nghề A

có làm cho nhịp mạch của thanh niên tăng quá mức bình thường không, biết rằng nhịp mạch bình thường của
thanh niên là 72 nhịp/phút.
Bài77. Một nhà máy sản xuất bóng đèn cho rằng chất lượng bóng đèn được coi là đồng đều nếu tuổi thọ của
bóng đèn có độ lệch chuẩn không quá 1000 h. Lấy ngẫu nhiên 10 bóng để kiểm tra thì được độ lệch chuẩn là
1150 h. Với mức ý nghĩa 5%, có thể coi chất lượng bóng đèn do nhà máy đó sản suất là đồng đều không? Biết
rằng tuổi thọ của bóng đèn là bnn có phân phối chuẩn.
Bài 78. Khối lượng trung bình một loại mỳ chính là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với khối lượng
trung bình là 500 g. Sau một thời gian sản suất người ta nghi ngờ khối lượng của loại mỳ chính này có xu
hướng giảm sút nên tiến hành cân thử 25 túi và thu được kết quả cho ở bảng:
Khối lượng (g)

480

485

490

495

2
3
8
5
Số túi
Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận nghi ngờ trên có đúng hay không?

500

510

3

4