Đột phá hình toán 11 quan hệ song song

CH

NG 4: Đ ỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG
SONG
CHUYÊN ĐỀ 1: ĐẠI C

P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ

NG VỀ Đ ỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

TÂM

1. Các tính chất thừa nhận
� Có một và chỉ một đườ

thẳ

� Có một và chỉ một mặt phẳ

đi qua hai điểm phân biệt.
đi qua ba điểm không thẳ

hàng.

� Nếu một đườ thẳ có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳ
đều thuộc mặt phẳ đ .

thì mọi điểm củ đườ

thẳ

� Có bố điểm không cùng thuộc một mặt phẳ .
� Nếu hai mặt phẳ

phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác ữ .

Do đ ếu hai mặt phẳ phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đườ
chung ấy. Đườ thẳ đ được ọi là giao tuyế củ hai mặt phẳ .
� Trên mỗi mặt phẳ

các kết quả đã biết trong hình học phẳ

thẳ

chung đi qua điểm

đều đú .

2. Cách xác định mặt phẳng
Một mặt phẳ
� Mặt phẳ

hoàn toàn xác đị h khi biết:
đ đi qua ba điểm không thẳ

hàng A, B, C.

Kí hiệu: ABC

� Mặt phẳ

đ đi qua một điểm A và một đườ

thẳ

d không đi qua điểm A đ .

Kí hiệu: A, d

� Mặt phẳ

chứ hai đườ

thẳ

cắt nhau d, d '

Kí hiệu: d, d '

Trang 1


P Ầ 2: CÁC DẠ

BÀI TẬP

Dạng 1: Giao tuyến hai mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Để xác đị h giao tuyế củ hai mặt phẳ
Đườ

thẳ

và

, ta tìm hai điểm chung củ chúng.

đi qua hai điểm chung đ chính là giao tuyế

A
í
îA

A=

Ç

B
í
îB

B=

Ç

Do đ AB =

Ç

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diệ ABCD. Gọi G là t ọ

tâm củ tam giác BCD. Giao tuyế củ mặt phẳ

ACD

và GAB là:
A. AM (M là trung điểm củ AB)

B. AN (N là trung điểm củ CD)

C. AH (H là hình chiếu củ B trên CD)

D. AK (K là hình chiếu củ C trên BD)
Hướ

A
Ta có: í
îA

dẫ

ACD
GAB

Do đ A = ACD Ç GAB .
A là điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ

ACD và GAB .

Gọi N là trung điểm củ CD.

Vì G là t ọ

tâm tam giác BCD nên BG Ç CD = N

N BG, BG Ì ABG
í
î N CD, CD Ì ACD
Do đ N

N

ABG

N

ACD

ACD Ç GAB .

N là điểm chung thứ hai iữ hai mặt phẳ

ACD và GAB .

Vậy AN = ACD Ç GAB với N là trung điểm củ CD
®

họ B.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD / /BC . Gọi M là trung điểm CD.
Giao tuyế củ hai mặt phẳ

MSB và SAC là:

A. SI (I là giao điểm củ AC và BM)

B. SJ (J là giao điểm củ AM và BD)
Trang 2


C. SO (O là giao điểm củ AC và BD)

D. SP (P là giao điểm củ AB và CD)
Hướ

S
Ta có: í
îS
Do đ S

dẫ

MSB
SAC
MSB Ç SAC

S là điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ

MSB và SAC .

Gọi I là giao điểm củ AC và BM.

I BM, BM Ì SBM
í
îI AC, AC Ì SAC
Do đ I

I

SBM

I

SAC

MSB Ç SAC

I là điểm chung thứ hai iữ hai mặt phẳ

MSB và SAC .

Vậy MSB Ç SAC = SI với I là giao điểm củ AC và BM.
®

họ A.

Ví dụ 3: Cho tứ diệ S.ABC. Lấy M SB, N AC, I SC sao cho MI không song song với BC, NI
không song song với SA. Gọi K = MI Ç BC. Tìm giao tuyế củ mặt phẳ
A. NK

B. NC

C. MI
Hướ

N MNI
Vì í
î N AC, AC Ì ABC
Do đ N

N

MNI với mặt ABC ?
D. MK

dẫ

ABC

MNI Ç ABC 1

Trong mp SBC , K = MI Ç BC
K MI, MI Ì MNI
í
îK BC, BC Ì ABC
Do đ K

K

MNI

K

ABC

MNI Ç ABC 2

ừ (1) và (2) suy ra MNI Ç ABC = NK
®

họ A.

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB//CD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyế củ hai mặt phẳ

SAC và SBD là SO (O là giao điểm củ AC và BD).

C. Giao tuyế củ hai mặt phẳ

SAD và SBC là SI (I là giao điểm củ AD và BC).

D. Giao tuyế củ hai mặt phẳ

SAB và SAD là đườ

trung bình củ ABCD.
Trang 3


Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm củ SD, J là điểm trên cạ h SC và J không trùng với

trung điểm SC. Giao tuyế củ 2 mặt phẳ

ABCD và AIJ là:

A. AK (K là giao điểm củ IJ và BC)

B. AH (H là giao điểm củ IJ và AB)

C. AG (G là giao điểm củ IJ và AD)

D. AF (F là giao điểm củ IJ và CD)

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB / /CD. Gọi I là giao điểm củ AC và
BD. Trên cạ h SB lấy điểm M. Tìm giao tuyế củ hai mặt phẳ

ADM và SAC .

A. SI

B. AE (E là giao điểm củ DM và SI)

C. DM

D. DE (E là giao điểm củ DM và SI)

Đáp án:
1-D

2-D

3-B

Dạng 2: Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Để tìm giao điểm củ đườ
ườ

d và mặt phẳ

hợp 1. Nếu trong P có sẵ một đườ

M d
í
î M d¢ Ì P
ườ

thẳ

M d
í
îM P

P ta cầ lưu ý một số t ườ
thẳ

hợp sau:

d ' cắt d tại M, khi đ :

M =dÇ P

hợp 2. Nếu trong P chư có sẵ d ' cắt d thì ta thực

hiệ theo các bước sau:
Bước 1: họ một mặt phẳ

Q chứ d

Bước 2: Tìm giao tuyế D = P Ç Q
Bước 3: Trong Q

ọi M = d Ç D thì M chính là giao điểm

củ d Ç P
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho bố điểm A, B, C, D không đồ

phẳ . Gọi M, N lầ lượt là trung điểm củ AC và BC.

Trên đoạ BD lấy điểm p sao cho BP = 2PD. Giao điểm củ đườ
giao điểm củ CD với đườ
A. NP

thẳ

CD và mặt phẳ

MNP là

thẳ :

B. MN
Hướ

C. MP

D. AP

dẫ

Cách 1:
Xét mặt phẳ

BCD chứ CD.

Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E.
Điểm E

NP, NP Ì MNP

E

MNP .

Vậy CD Ç MNP tại E.
Trang 4


Cách 2:
N BC
Ta có í

îP BD

NP Ì BCD suy ra NP, CD đồ

phẳ .

Gọi E là giao điểm củ NP và CD.
E

NP, NP Ì MNP

E

MNP

E CD.
Do đ CD Ç MNP = E.
Vậy giao điểm củ CD và MNP là giao điểm E củ NP và CD .
®

họ A.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳ
ABCD . Trên đoạ SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Giao điểm củ đườ
mặt phẳ

thẳ

SD với

ABM là:

A. Giao điểm củ SD và AB
B. Giao điểm củ SD và AM
C. Giao điểm củ SD và BK (với K = SO Ç AM)
D. Giao điểm củ SD và MK (với K = SO Ç AM)
Hướ
B
Ta có: í
îB
Do đ B

dẫ

SBD
ABM
SBD Ç ABM .

B là điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ
Trong mặt phẳ

SBD và ABM .

SAC , ọi K = AM Ç SO

Ta có
K SO,SO Ì SBD
K SBD
í
K ABM

îK AM, AM Ì ABM
Do đ K

SBD Ç ABM .

K là điểm chung thứ hai iữ hai mặt phẳ

SBD và ABM .

ừ đ ta có: KB = SBD Ç ABM .
Trong mặt phẳ

SBD , ọi N = BK Ç SD.

N BK, BK Ì ABM
í
î N SD

N

ABM

Do đ N = SD Ç ABM .
Trang 5


Vậy giao điểm củ

đườ

thẳ

SD với mặt phẳ

ABM

là giao điểm củ

SD và BK (với

K = SO Ç AM).
®

họ C.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm củ SD. I là giao
BI
điểm củ BM với mp SAC . Tính tỉ số
MI
A.

1
2

B.

1
3

C. 2

Hướ

Có S

D.

2
3

dẫ

SAC Ç SBD 1 .

Trong mp ABCD
O = AC Ç BD

ọi

O

SAC Ç SBD 2 .

ừ (1) và (2) suy ra SAC Ç SBD = SO.
Trong mp SBD

ọi I = BM Ç SO

I BM
í
îI SO Ì (SAC)

I = BM Ç SAC .
Trong DSBD có I là giao điểm củ hai đườ trung tuyế
SO và BM suy ra I là t ọ
tâm củ DSBD. Do đ
BI = 2IM
Vậy

BI
=2
MI

®

họ C.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ hật tâm O. Gọi M là trung điểm củ SB, N
là điểm thuộc đoạ SD sao cho SN = 2ND. E là giao điểm củ đườ
Tính
A.

thẳ

MN và mặt phẳ

ABCD .

EN
.
EM

2
3

B. 2

Hướ
Trong mp SBD

C.

1
2

D. 1

dẫ

ọi E = MN Ç BD,

E MN
có í
îE BD Ì ABCD
Trong mp SBD , dự

E = MN Ç ABCD .
DL || MN, L SB.
Trang 6


Có

SN SM
BM
=
=2Û
=2
ND ML
ML

Suy ra LD là đườ

L trung điêm củ BM.

trung bình củ DBEM

2LD = EM.

2
DL
EN
MN
2
Vậy có
= 1= 1- 3
=
EM
EM
2DL 3
®

họ A.

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song
với CD. Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD. H là giao điểm CD và MN, I là giao điểm
BD và HO. Tìm giao điểm của BD và OMN .
A. I

B. B

C. H

D. M

Câu 2. Cho tứ diệ ABCD. Trên AC và AD lầ lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song
với CD. Gọi O là một điểm thuộc miề trong tam giác BCD. K là giao điểm củ BO và CD. L là giao
điểm củ MN và AK. E là giao điểm củ AO và BL. Tìm giao điểm củ MN và ABO .
A. K

B. E

C. L

D. O

Đáp án:
1-A

2-C

Dạng 3: Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng
1. Phương pháp giải
hiết diệ củ hình chóp và mặt phẳ

P là đ giác iới hạ bởi các giao tuyế củ (P) với các mặt

hình chóp.
Xác đị h lầ lượt các giao tuyế củ

P với các mặt củ hình chóp theo các bước sau:

� ừ điểm chung có sẵ , xác đị h giao tuyế đầu tiên củ

P với một mặt củ hình chóp (Có thể là mặt

trung gian).
� Cho giao tuyế này cắt các cạ h củ mặt đ củ hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới củ

P với

các mặt khác. ừ đ xác đị h được các giao tuyế mới với các mặt này.
� iếp tục hư thế cho tới khi các giao tuyế khép kín ta được thiết diệ .
Chú ý:
Mặt phẳ

có thể chỉ cắt một số mặt củ hình chóp

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớ và P là một điểm trên
cạ h SD. hiết diệ củ hình chóp cắt bởi mặt phẳ

A. Tam giác

B. ứ giác

PAB là hình gì?
C. Hình thang

D. Hình bình hành
Trang 7


Hướ

dẫ

Trong mặt phẳ

ABCD , ọi E = AB Ç CD.

Trong mặt phẳ

SCD , ọi Q = SC Ç EP.

Ta có E AB nên E Ì ABP

Q

ABP

Do đ Q = SC Ç ABP .

hiết diệ là tứ giác ABQP.
®

họ B.

Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD. Gọi M, N lầ lượt là trung điểm các cạ h AB và AC, E là điểm trên cạ h
CD với ED = 3EC. hiết diệ tạo bởi mặt phẳ

MNE và tứ diệ ABCD là:

A. Tam giác MNE
B. ứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạ h BD
C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạ h BD mà EF / /BC
D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạ h BD mà EF / /BC
Hướ

dẫ

Tam giác ABC có M, N lầ lượt là trung điểm củ AB, AC.
Suy ra MN là đườ
ừ E kẻ đườ

thẳ

trung bình củ tam giác ABC

MN / /BC.

d song song với BC và cắt BD tại F

Do đ MN / /EF suy ra bố điểm M, N, E, F đồ
thang.

phẳ

EF / /BC.

và MNEF là hình

Vậy hình thang MNEF là thiết diệ cầ tìm.
®

họ D.

Ví dụ 3: Cho tứ diệ đều ABCD có cạ h bằ

a. Gọi G là t ọ

tâm tam giác ABC. Mặt phẳ

GCD

cắt tứ diệ theo một thiết diệ có diệ tích là:
A.

a2 3
2

B.

a2 2
4

C.
Hướ

a2 2
6

D.

a2 3
4

dẫ

Gọi M, N lầ lượt là trung điểm củ AB, BC suy ra AN Ç MC = G.
Dễ thấy mặt phẳ

GCD cắt đườ

thẳ

AB tại điểm M.

Suy ra tam giác MCD là thiết diệ củ mặt phẳ

GCD và tứ diệ

ABCD.

Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra MD =

a 3
2

Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra MC =

a 3
2

Trang 8


Gọi H là trung điểm củ CD

MH ^ CD

Với MH = MC2 - HC2 = MC2 -

1
SDMCD = .MH.CD
2

CD 2 a 2
=
4
2

1 a 2
a2 2

Vậy SDMCD = .
.a =
2 2
4
®

họ B.

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD
lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM) là:
A. ứ giác HKMN với N AD .
B. Hình thang HKMN với N AD và HK / /MN .
C. Tam giác HKL với L = KM Ç BD .
D. Tam giác HKL với L = HM Ç AD .
Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạ h đáy bằ
trung điểm củ SA, SB, SC. Mặt phẳ
A. a 2

B.

a a > 0 . Các điểm M, N, P lầ lượt là

MNP cắt hình chóp theo một thiết diệ có diệ tích bằ :

a2
2

C.

a2
4

D.

a2
16

Đáp án:
1-C

2-C

Dạng 4: Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
1. Phương pháp giải
Để chứ minh ba điểm (hay hiều điểm) thẳ hàng ta chứ minh chúng là điểm chung củ hai mặt
phẳ phân biệt, khi đ chúng ằm trên đườ thẳ giao tuyế củ hai mặt phẳ nên thẳ hàng.
Để chứ minh ba đườ
đườ thẳ còn lại

thẳ

đồ

quy ta chứ

minh giao điểm củ hai đườ

thẳ

thuộc đườ

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diệ SABC. Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt
BC tại J, FD cắt CA tại K. Khẳ đị h nào sau đây đú ?
A. Ba điểm B, J, K thẳ

hàng

C. Ba điểm I, J, K không thẳ

Hướ

I

ABC

hàng

D. Ba điểm I, J, C thẳ

hàng

dẫ

Ta có I = DE Ç AB, DE Ì DEF
AB Ì ABC

hàng

B. Ba điểm I, J, K thẳ

I

DEF ;

1.
Trang 9


ươ

tự J = EF Ç BC

J EF Ì DEF
2
í
îJ BC Ì (ABC)
K = DF Ç AC

K DF Ì DEF
í
îK AC Ì ABC

3

ừ (1), (2) và (3) ta có I, J, K là điểm chung củ hai mặt phẳ
®

ABC và DEF nên chúng thẳ

hàng.

họ B.

Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD. Gọi M, N lầ lượt là trung điểm AB và CD. Mặt phẳ
AD và BC lầ lượt tại P, Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳ
A. I, A, C

B. I, B, D

I

I
í
îI

I MP
í
î I NQ

Ta có MP cắt NQ tại I

hàng?

C. I, A, B
Hướ

qua MN cắt

D. I, C, D

dẫ

ABD
CBD

ABD Ç CBD

I BD
Vậy I, B, D thẳ
®

hàng.

họ B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, ọi O là giao điểm củ hai đườ
phẳ

cắt các cạ h bên SA, SB, SC, SD tươ

A. Các đườ

thẳ

MP, NQ, SO đồ

quy

C. Các đườ

thẳ

MP, NQ, SO song song.
Hướ

Trong mặt phẳ
Ta sẽ chứ

MNPQ

ứ

chéo AC và BD. Một mặt

tại các điểm M, N, P, Q. Khẳ

đị h nào đú ?

B. Các đườ

thẳ

MP, NQ, SO chéo nhau

D. Các đườ

thẳ

MP, NQ, SO trùng nhau

dẫ

ọi I = MP Ç NQ.

minh I SO

Dễ thấy SO = SAC Ç SBD .
I MP Ì SAC
í
îI NQ Ì SBD
Vậy MP, NQ, SO đồ
®

I
í
îI

SAC
SBD

I SO

quy tại I.

họ A

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Mặt phẳng

qua MN cắt

AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. I, A, C

B. I, B, D

C. I, A, B

D. I, C, D
Trang 10


Câu 2. Cho tứ diệ ABCD. G là t ọ

tâm DBCD , M là trung điểm CD, I là điểm ở trên đoạ thẳ

BI cắt mặt phẳ

đị h nào sau đây sai?

ACD tại J. Khẳ

A. AM = ACD Ç ABG

B. A, J, M thẳ

C. J là trung điểm củ AM

D. DJ = ACD Ç BDJ

AG,

hàng

Đáp án:
1-B

2-C

P Ầ 3: BÀI TẬP TỔ

ỢP

Câu 1. Trong mặt phẳng

, cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.

Điểm S không thuộc mặt phẳng
A. 4

. Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi S và hai trong bốn điểm nói trên?

B. 5

C. 6

D. 8

Câu 2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đ không có 4 điểm ở trên một mặt phẳ . Hỏi có bao nhiêu mặt
phẳ tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?
A. 10

B. 12

C. 8

D. 14

Câu 3. Cho tứ diệ ABCD. Gọi M, N lầ lượt là trung điểm củ AC và CD. Giao tuyế củ hai mặt
phẳ

MBD và ABN là

A. Đườ

thẳ

MN.

B. Đườ

thẳ

AM.

C. Đườ

thẳ

BG (G là t ọ

D. Đườ

thẳ

AH (H là t ực tâm DACD) .

tâm DACD) .

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lầ lượt là trung điểm AD và
BC. Giao tuyế củ hai mặt phẳ

SMN và SAC là:

A. SD

B. SO (O là tâm hình bình hành ABCD)

C. SG (G là trung điểm AB)

D. SF (F là trung điểm CD)

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm
DSCD . Gọi E trung điểm của CD. G là giao của AC và BE. H là giao của MN và SG. K là giao SC và
AH. Chọn đáp án đúng?
A. H là giao điểm củ MN và ABCD

B. K là giao điểm củ SC và AMN

C. K là giao điểm củ SA và CMN

D. E là giao điểm củ MN và SAC

Câu 6. Cho tứ diệ SABC. Gọi K, N lầ lượt là trung điểm SA và BC. M là điểm thuôc đoạ SC sao cho
IA
3SM = 2MC. Mặt phẳ
KMN cắt AB tại I. Tính tỉ số
.
IB
A.

2
3

B. 2

C. 1

D.

3
4

Câu 7. Cho tứ diện SABC; lấy điểm M là trung điểm SA; lấy điểm N là trọng tâm DSBC , I là giao điểm
của MN với ABC . Tứ giác ABIC là hình gì?
Trang 11

A. Hình bình hành

B. Hình thang

C. Hình thoi

D. Hình chữ hật

Câu 8. Cho tứ diệ SABC. Lấy điểm E, F lầ lượt trên đoạ SA, SB và điểm G t ọ
H là giao điểm củ EF và AB. J là giao điểm củ HG và BC. Tìm giao tuyế củ
A. AH

B. GE

C. JF

tâm tam giác ABC.

EFG và SBC ?
D. HG

Câu 9. Cho tứ diệ ABCD. Trên AC và AD lầ lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song
với CD. Gọi O là một điểm thuộc miề trong tam giác BCD. K là giao điểm củ BO và CD. L là giao
điểm củ MN và AK. E là giao điểm AO và BL. Tìm giao điểm củ AO và BMN .
A. E

B. K

C. L

D. O

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lầ lượt là trung điểm SA, SB.
Khẳ đị h nào sau đây sai?
A. IJCD là hình thang

B. SAB Ç IBC = IB

C. SBD Ç JCD = JD

D. IAC Ç JBD = AO (O là tâm ABCD).

Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD cỏ độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC, BC; P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng MNP cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích
là:
a 2 11
A.
2

a2 2
B.
4

a 2 11
C.
4

a2 3
D.
4

Câu 12. Cho tứ diệ SABC. Gọi L, M, N lầ lượt là các điểm trên các cạ h SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳ
lượt tại K, I, J. Ba điểm nào sau đây thẳ
A. K, I, J

LMN cắt các cạ h AB, BC, SC lầ

hàng?

B. M, I, J

C. N, I, J

D. M, K, J

Câu 13. Cho tứ diệ ABCD. Gọi G là t ọ tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạ thẳ AG, BI cắt mặt phẳ (ACD) tại J. Khẳ đị h nào sau đây sai?
A. AM = ACD Ç ABG

B. A, J, M thẳ

hàng

C. J là trung điểm củ AM

D. DJ = ACD Ç BDJ

Đáp án:
1

C

2 A

3 C

11

C

12 B

13 C

4

B

5 B

6 A

7 A

8 C

9 A

10

D

Trang 12


CH

NG 4: Đường thẳng và mặt phẳng TKG. QH song song
CHUYÊN ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG

P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ

TÂM

1. Hai đường thẳng chéo nhau. Hai đường thẳng song song
trí tươ
Cho hai đườ

đối củ hai đườ
thẳ

thẳ

trong không gian.

a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các t ườ

hợp sau:

Tính chất
Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm không ằm trên đườ
đườ thẳ song song với đườ thẳ đã cho.
Tính chất 2: Hai đườ
nhau.

thẳ

thẳ

phân biệt cùng song song với một đườ

cho t ước, có một và chỉ một
thẳ

thứ ba thì song song với

Đ h lý 1: Nếu ba mặt phẳ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyế phân biệt thì ba giao tuyế ấy hoặc
đồ quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳ phân biệt lầ lượt chứ hai đườ thẳ song song thì giao tuyế củ hai mặt
phẳ đó ( ếu có) cũ song song với hai đườ thẳ đó (hoặc trùng với một trong hai đườ thẳ đó).

Trang 1


2. Hai mặt phẳng song song
Đ h

hĩ : Hai mặt phẳ

Kí hiệu

được ọi là song song ếu chúng không có điểm chung.
Æ.

//

Đ h lý:
Nếu mặt phẳ
thẳ

(α) chứ hai đườ

thẳ

này cùng song song với mặt phẳ

,b Ì
ìa Ì
ï
ậy ía b M
ïa //
, b //
î

Þ

//

cắt nhau a, b và hai đườ
(β) thì

//

.

Tính chất: Qua một điểm ằm ngoài mặt phẳ
đã cho.

có một và chỉ một mặt phẳ

Hệ quả 1: Nếu d//(α) thì trong (α) có một đườ
phẳ song song với (α).
Hệ quả 2: Hai mặt phẳ

.

thẳ

song song với d và qua d có duy hất một mặt

phân biệt cùng song song với mặt phẳ

Hệ quả 3: Cho điểm A không ằm trên mặt phẳ (α). Mọi đườ
đều ằm trong mặt phẳ đi qua A song song với (α).
ìA Ï
ï
ïA Î d
ậy í

ïd//
ï //
î

song song với mặt phẳ

thứ ba thì chúng song song với nhau.
thẳ

đi qua A và song song với (α)

,AÎ
ÞdÌ

Đ h lý: Cho hai mặt phẳ song song. Nếu một mặt phẳ
kia và hai giao tuyế đó song song với nhau.
ìï
//
ậy í
ïî d

a

Þ d

Hệ quả: Hai mặt phẳ

cắt mặt phẳ

này thì cũ

cắt mặt phẳ

b//a .
song song chắ trên hai cát tuyế song song hữ

đoạ bằ

nhau.

Đ h lí Ta-lét:
Ba mặt phẳ đôi một song song chắ trên hai cát tuyế bất kì hữ
đoạ thẳ tươ ứ tỉ lệ.
// c

//
ì
ï
íd1
ï
îd 2

A1 , d1
A2 , d2

B1 , d1
B2 , d 2

c
c

C1 Þ
C2

A1B1
B1C1

A 2 B2
.
B2 C 2

Đ h lí Ta-lét đảo:
Cho hai đườ

d1, d2 chéo nhau và các điểm A1, B1, C1 ằm trên
A B A 2 B2
d1; các điểm A2, B2, C2 ằm trên d2 sao cho 1 1
. Lúc đó, các
B1C1 B2 C2
đườ

thẳ

thẳ

A1A2, B1B2, C1C2 cùng song song với một mặt phẳ .
Trang 2


3. Phép chiếu song song

Cho đườ

thẳ

ừ M dự

∆ cắt mặt phẳ

đườ

thẳ

(α). Lấy một điểm M trong không gian.

d (d//∆ hoặc d ≡ ∆). Đườ

thẳ

{M¢} .

d

Ta nói M¢ là hình chiếu củ M theo phép chiếu song song là đườ
Ta kí hiệu Ch D

M

thẳ

∆.

M¢ .

Tính chất:
Bảo toàn sự thẳ

hàng và thứ tự các điểm.

Biế đườ

thành đườ

thẳ

Biế hai đườ

thẳ

thẳ

, biế tia thành tia, biế đoạ thẳ

song song thành hai đườ

thẳ

thành đoạ thẳ .

song song hoặc trùng nhau.

Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài củ hai đoạ thẳ
song hoặc cùng ằm trên một đườ thẳ .

ằm trên hai đườ

thẳ

song

Hình biểu diễ củ một hình không gian trên mặt phẳ .
Hình biểu diễ củ một hình trong không gian là chiếu song song củ hình đó lên mặt phẳ
phươ chiều nào đó hoặc hình đồ dạ với hình chiếu đó.
Hình biểu diễ củ tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều thườ

theo một

là một tam giác bất kỳ.

Hình biểu diễ củ hình bình hành, hình thoi, hình chữ hật, hình vuông thườ

là hình bình hành.

Hình biểu diễ củ hình thang là một hình thang.
Hình biểu diễ củ hình tròn là hình elip hay hình tròn.
P Ầ 2: CÁC DẠ

BÀI TẬP

Dạng 1: Hai đường thẳng chéo nhau. Hai đường thẳng song song.
1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các mệ h đề sau, mệ h đề nào sai?
A. Hai đườ

thẳ

không có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đườ

thẳ

chéo nhau thì không có điểm chung.

C. Hai đườ

thẳ

phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

D. Hai đườ

thẳ

phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau, hoặc song song.

Hướ dẫ
Hai đườ thẳ không có điểm chung thì chúng có thể song song với nhau (khi chúng đồ
chéo nhau (khi chúng không đồ phẳ ).
® Chọ A.
Ví dụ 2: Chọ khẳ

đ h sai trong các khẳ

đ h sau:

A. Hai mặt phẳ

có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác ữ .

B. Hai mặt phẳ

có một điểm chung thì chúng có một đườ

C. Hai mặt phẳ

phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đườ

D. Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳ
Khẳ đ h sai là B vì hai mặt phẳ
đườ thẳ chung.
® Chọ B.

phẳ ) hoặc

thẳ

chung duy hất.
thẳ

chung duy hất.

phân biệt thì chúng thẳ

hàng.

Hướ dẫ
có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau, tức là có vô số

Trang 3


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lầ lượt là trung điểm
SA, SB, SC, SD. Trong các đườ thẳ sau, đườ thẳ nào không song song với IJ?
A. EF.

B. DC.
Hướ

Ta có IJ là đườ

C. AD.

D. AB.

dẫ

trung bình tam giác SAB nên IJ//AB.

ABCD là hình bình hành nên AB//CD. Suy ra IJ//CD.
EF là đườ

trung bình tam giác SCD nên EF//CD. Suy ra IJ//EF.

® Chọ C.
Ví dụ 4: Cho tứ diệ ABCD. Gọi M, N, P, Q lầ lượt là trung điểm củ các cạ h AB, AD, CD, BC. Mệ h
đề nào sau đây sai?
1
BD .
2

B. MN//PQ và MN = PQ.

C. MNPQ là hình bình hành.

D. MP và NQ chéo nhau.

A. MN//BD và MN

Hướ
Có MN, PQ lầ lượt là đườ

dẫ

trung bình tam giác ABD, BCD nên

1
ì
ïïMN //BD, MN 2 BD
í
ïPQ //BD, PQ 1 BD

ïî
2
Nên MN//PQ và MN = PQ.
Suy ra MNPQ là hình bình hành.
Do đó MP và NQ cùng thuộc mặt phẳ

MNPQ.

® Chọ D.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạ h đáy AB và CD. Gọi I, J lầ
lượt là trung điểm củ các cạ h AD và BC và G là t ọ tâm củ tam giác SAB. Tìm điều kiệ củ AB và
CD để thiết diệ củ (IJG) và hình chóp là một hình bình hành.
A. AB

2
CD .
3

B. AB CD .
Hướ

C. AB

3
CD .
2

D. AB 3CD .

dẫ

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm củ AD, BC nên IJ//AB.
ìG Î SAB
ï
ïAB Ì SAB
ậy í
ïIJ Ì IJG
ïAB//IJ
î
Þ SAB

IJG

IJG

MN / / I J / /AB với M Î SA,N Î SB

Dễ thấy thiết diệ là tứ giác MNJI.
Trang 4


Do G là t ọ
nên

MN
AB

Þ MN

SG

SE

2
( E là trung điểm củ AB)
3

2
AB .
3
1
AB + CD . Vì MN//IJ nên MNJI là hình thang, do đó MNJI là hình bình hành khi
2
2
1
AB
AB + CD
AB 3CD .
3
2

Lại có IJ
MN

tâm tam giác SAB và MN//AB

IJ

ậy thiết diệ là hình bình hành khi AB = 3CD.
® Chọ D.
2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng đ nh nào sau
đây đúng khí nói về hai đường thẳng AD và BC?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau.

B. Cắt nhau.

C. Song song nhau.

D. Chéo nhau.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyế củ hai mặt phẳ
(SAD) và (SBC). Khẳ đ h nào sau đây đú ?
A. d qua S và song song với BC.

B. d qua S và song song với DC.

C. d qua S và song song với AB.

D. d qua S và song song với BD.

Câu 3. Cho hai đườ

thẳ

a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳ

A. 0.

B. 1.

Câu 4. Hãy chọ câu đú

chứ a và song song với b?

C. 2.

D. Vô số.

:

A. Hai đườ

thẳ

cùng song song với một đườ

B. Hai đườ

thẳ

song song với nhau ếu chúng không có điểm chung.

C. Hai đườ

thẳ

cùng song song với một mặt phẳ

D. Không có mặt phẳ

nào chứ cả hai đườ

thẳ

thẳ

thứ ba thì song song với nhau.
thì song song với nhau.

a và b thì ta nói a và b chéo nhau.

Đáp án:
1–D

2–A

3–B

4–D

Dạng 2: Đường thẳng song song với mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Để chứ

minh đườ

thẳ

d song song với mặt phẳ

minh d song song với một đườ

thẳ

( ) ta chứ

d ' ằm trong ( ) .

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lầ lượt là trung điểm củ
SA và SC, G là t ọ tâm củ tam giác ABC. Kẻ Gx song song với AC, Gx là giao tuyế củ hai mặt
phẳ nào?
A. (ABCD) và (GSC).

B. (GHK) và (ABCD).

C. (ABCD) và (GSB).

D. (GHA) và (ABCD).

Trang 5


Hướ

dẫ

ìG Î GHK
ABCD
ï

íHK //AC
Ta có ï
îHK Ì GHK ; AC Ì ABCD
Þ GHK

ABCD

Gx // HK // AC.

® Chọ B.
Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD. Gọi G là t ọ
P là trung điểm củ AB. Khẳ

tâm tam giác ABD, Q thuộc cạ h AB sao cho AQ = 2QB,

đ h nào sau đây đú

?

A. GP//(BCD).

B. GQ//(BCD).

C. GQ cắt (BCD).

D. Q thuộc mặt phẳ
Hướ

(CDP).

dẫ

Gọi M là trung điểm củ BD.
Vì G là t ọ

tâm tam giác ABD Þ

Điể Q Î AB sao cho AQ
Suy ra

AG
AM

2QB Þ

AG
AM

AQ
AB

2
.
3
2
3

AQ
. Do đó GQ//BD.
AB

Mặt khác BD ằm trong mặt phẳ

(BCD) suy ra GQ // (BDC).

® Chọ B.
Ví dụ 3: Cho tứ diệ ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm củ các cạ h AC, BD, AB,
CD, AD, BC. Bố điểm nào sau đây không đồ phẳ ?
A. P. Q, R, S.

B. M, P, R, S.
Hướ

Theo tính chất củ đườ
suy ra P, Q, R, S đồ
ươ

C. M, R, S, N.

D. M, N, P, Q.

dẫ

trung bình củ tam giác ta có PS//AC//QR

phẳ .

tụ, ta có được PM//BC//NQ suy ra P, M, N, Q đồ

Và MR//CD//SN suy ra M, R, S, N đồ

phẳ .

phẳ .

® Chọ B.
Ví dụ 4: Cho tứ diệ ABCD. Gọi H là một điểm ằm trong tam giác ABC, (α) là mặt phẳ
song song với AB và CD. Mệ h đề nào sau đây đú về thiết diệ củ (α) và tứ diệ ?
A. hiết diệ là hình vuông.

B. hiết diệ là hình thang cân.

C. hiết diệ là hình bình hành.

D. hiết diệ là hình chữ hật.

đi qua H

Trang 6


Hướ
Qua H kẻ đườ
tại M, N.

thẳ

dẫ

(d) song song AB và cắt BC, AC lầ lượt

ừ N kẻ NP song song với CD P Î AD .
ừ P kẻ PQ song song với AB Q Î BD .
Ta có MN //PQ //AB suy ra M, N, P Q đồ

phẳ

và

AB// MNPQ .
Suy ra MNPQ là thiết diệ củ (α) và tứ diệ .
ậy tứ thiết diệ là hình bình hành.
® Chọ C.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao điểm hai đườ chéo AC
và BD. Lấy điểm E trên cạ h SC sao cho EC = 2ES. M là giao điểm củ hai đườ thẳ AE và mặt
SO
phẳ (SBD). Tính tỉ lệ
?
SM
A. 1.

B. 2.

C. 3.
Hướ

D.

3
.

2

dẫ

Chọ mp(SAC) chứ AM.
Ta tìm giao tuyế củ mp(SAC) và mp(SBD):
Có S và O là 2 điểm chung củ hai mặt phẳ
nên giao tuyế củ chúng là đườ thẳ SO.

(SAC) và (SBD)

Điểm M cầ tìm là giao điểm củ SO và AE.
Trong (SAC) dự

OI//SC, I Î AM ,

ừ đó suy ra OI là đườ
Þ OI

trung bình củ tam giác ACE.

1
CE , ngoài ra có SE
2

1
CE Þ OI SE .
2

Như vậy tứ giác SEOI là hình bình hành.

Þ M trung điểm củ SO. Do đó

SO
SM

2.

® Chọ B.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M, N lầ lượt là trung điểm củ
AB, CD. Xác đ h thiết diệ củ hình chóp cắt bởi (α) đi qua MN và song song với mặt phẳ (SAD).
hiết diệ là hình gì?
A. Tam giác.

B. Hình thang.

C. ứ giác.
Hướ

D. Hình bình hành.

dẫ

Trang 7


ỡùM ẻ SAB
Ta cú: ớ
SAD
ùợ SAB

SA

ị SAB

MK //SA, K ẻ SB .

t:

ỡ N ẻ SCD
ù
/ / SAD
ớ
ù
SAD
ợ SCD

ị SCD

NH // SD, H ẻ SC

SD

D thy HK

SBC . hit di l t giỏc MNHK.

Ba mt ph (ABCD), (SBC) v () ụi mt ct nhau theo cỏc giao
tuy l MN, HK, BC m MN//BC ị MN//HK.
y thit di l mt hỡnh thang.

đ Ch B.
SM
SA
() i qua M song song vi AB v CD, ct hỡnh chúp theo mt t giỏc cú di tớch l:

Vớ d 7: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú c h ỏy b
Mt mt ph
A.

400
.
9

B.

20
.
3

C.
H

Ta cú ()// B v CD m A, B, C, D

ph

10. M l im trờn SA sao cho

4
.

9

D.

2
.
3

16
.
9

d

suy ra ()//( BCD)

Gi s () ct cỏc c h bờn SA, SB, SC, SD l lt ti cỏc
im M, N, P, Q vi M ẻ SA, N ẻ SB, P ẻ SC, Q ẻ SD suy ra
MNPQ .
Khi ú MN //AB ị


SM
SA

t, ta cú c

MN
AB

NP
BC

2
.
3

PQ
CD

QM
DA

2
v MNPQ l hỡnh
3

vuụng.
Vỡ t l th tớch b
2

SMNPQ

ổ2ử
ỗ ữ SABCD
ố3ứ

bỡnh ph
4
SABCD

9

t l
4
.10.10
9

d

nờn ta cú:

400
9

đ Ch A.
3. Bi tp t luyn
Cõu 1. Cho ng thng a nm trong mt phng (P) v ng thng b ậ P . Mnh no sau õy
ỳng?
A. Nu b//(P) thỡ b//a.
B. Nu b ct (P) thỡ b ct a.
C. Nu b//a thỡ b//(P).
D. Nu b ct (P) v mt ph

(Q) ch b thỡ giao tuy c (P) v (Q) l

th

ct c a v b.
Trang 8

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M Î SC . Kẻ Mt song song với
DC. Mt là giao tuyế củ hai mặt phẳ nào?
A. (ABM) và (SCD).

B. (SAB) và (ABM).

C. (SBM) và (SCD).

D. (SBM) và (AMC).

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi I, K lầ lượt là trung điểm củ
SB và SD. J là giao điểm củ SA và (CKB). Đườ thẳ nào sau đây song song với mặt phẳ (IJD)?
A. AD.

B. AB.

C. BC.

D. AC.

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lầ lượt là trung điểm củ
SA và SC, G là t ọ tâm củ tam giác ABC. Gọi F là trung điểm củ HK. M là giao điểm củ SD và
(GHK). Khẳ đ h nào sau đây đú ?
A. M là giao điểm củ SD và GK.

B. G, M, F thẳ

hàng.

C. M là giao điểm củ SD và GH.

D. G, K, M thẳ

hàng.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. M, N lần lượt là hai trung
điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện
của (P) và hình chóp là:
A. Hình bình hành.

B. Hình thang.

C. Hình chữ hật.

D. Hình vuông.

Đáp án:
1–C

2–A

3–B

4–B

5–B

Dạng 3: Hai mặt phẳng song song
1. Phương pháp giải

Để chứ

minh hai mặt phẳ

song song ta có thể thực hiệ theo một trong hai hướ

Cách 1: Chứ minh trong mặt phẳ
cùng song song với mặt phẳ kia.
ìa Ì
ï
ïa b
í
ïa //
ïb //
î

I

// g
// g

thẳ

cắt nhau

,b Ì
Þ

Cách 2: Chứ
thứ ba.

ìï
í
ïî

này có hai đườ

sau:

Þ

//

.

minh hai mặt phẳ

đó cùng song song với một mặt phẳ

//

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các mệ h đề sau, mệ h đề nào đú
A. Nếu hai mặt phẳ
với (β).

?

(α) và (β) song song với nhau thì mọi đườ

thẳ

B. Nếu hai mặt phẳ (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đườ
song với bất kì đườ thẳ nào ằm trong (β).

ằm trong (α) đều song song
thẳ

ằm trong (α) cũ

song

Trang 9


C. Nếu hai đườ
biệt thì (α)//(β).
D. Nếu đườ

thẳ

thẳ

phân biệt a và b song song lầ lượt ằm trong hai mặt phẳ

d song song với mp(α) thì nó song song với mọi đườ
Hướ

thẳ

ằm trong mp(α).

dẫ

Nếu hai mặt phẳ (α) và (β) song song với nhau thì hai đườ
thể chéo nhau, ta loại B.

thẳ

bất kì lầ lượt thuộc (α) và (β) có

Nếu hai đườ thẳ phân biệt a và b song song lầ lượt ằm trong hai mặt phẳ
hai mặt phẳ (α) và (β) có thể cắt nhau, ta loại C.

Nếu đườ thẳ d song song với mặt phẳ
ằm trong (α), ta loại D.

(α) và (β) phân

(α) và (β) phân biệt thì

(α) thì nó có thể chéo nhau với một đườ

thẳ

nào đó

® Chọ A.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung
điểm củ SA, SD và AB. Khẳ đ h nào sau đây đú ?
A. (NOM) cắt (OPM).

C. PON

MNP

B. (MON) // (SBC).
NP .

D. (NMP) // (SBD).
Hướ

Ta có MN là đườ

dẫ

trung bình củ tam giác SAD.

Suy ra MN//AD. (1)
Và OP là đườ

trung bình củ tam giác BAD.

Suy ra OP//AD. (2)
ừ (1) và (2) suy ra MN//OP//AD Þ M, N, O, P đồ

phẳ .

Lại có MP//SB, OP//BC.
Suy ra (MNOP)//(SBC) hay (MON)//(SBC).
® Chọ B.
Trang 10

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ có các cạ h bên AA¢, BB¢, CC¢, DD¢ . Khẳ

đ h nào dưới đây

sai?
A. AA¢B¢B // DD¢C¢C .

B. BA¢D¢ // ADC¢ .

C. A¢B¢CD là hình bình hành.

D. BB¢D¢D là một tứ giác.
Hướ

dẫ

Dự vào hình vẽ dưới và tính chất củ hình hộp, ta thấy ằ

:

Hai mặt bên AA¢B¢B và DD¢C¢C đối diệ , song song với nhau.
ABCD , A¢B¢C¢D¢

Hình hộp có hai đáy

là hình bình hành

Þ A¢B¢ CD và A¢B¢//CD suy ra A¢B¢CD là hình bình hành.

BD //B¢D¢ suy ra B, B¢, D¢, D đồ

Mặt phẳ

BA¢D¢ chứ đườ

phẳ

Þ BB¢D¢D là tứ giác.

thẳ

CD¢ mà CD¢ cắt C¢D suy ra

BA¢D¢ không song song với mặt phẳ

ADC¢ .

® Chọ B.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt
phẳ (P) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạ h AC (không trùng với A hoặc C). hiết diệ củ
(P) và hình chóp là hình gì?
A. Hình bình hành.

B. Tam giác cân.
Hướ

ABCD

D. Tam giác đều.

dẫ

Gọi MN là đoạ thẳ giao tuyế củ mặt phẳ
M thuộc AB và N thuộc AD.
Vì P // SBD , P

C. Tam giác vuông.

MN và SBD

(P) và mặt đáy (ABCD).
ABCD

BD suy ra

MN//BD.
Lập luậ tươ

tự ta có:

(P) cắt mặt phẳ

(SAD) theo giao tuyế NP với NP//SD.

(P) cắt mặt phẳ

(SAB) theo giao tuyế MP với MP//SB.

ậy tam giác MNP đồ

đều MNP.

dạ

với tam giác SBD nên thiết diệ củ (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác

® Chọ D.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏ mãn AB = AC = 4, BAC 30° . Mặt phẳ
(P) song song với (ABC) cắt đoạ SA tại M sao cho SM = 2MA. Diệ tích thiết diệ củ (P) và hình chóp
S.ABC bằ bao nhiêu?
A.

16
.
9

B.

14
.
9

C.

25
.
9

D.1.

Trang 11


Hướ
Diệ tích tam giác ABC là SDABC

dẫ

1
AB.AC.sin BAC
2

Gọi N, P lầ lượt là giao điểm củ mặt phẳ
Vì (P)//(ABC) nên theo đ h lí Ta-lét, ta có

1
.4.4.sin 30° 4 .
2

(P) và các cạ h SB, SC.
SM
SA

SN
SB

SP
SC

2

.
3

Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diệ là tam giác MNP đồ
2
dạ với tam giác ABC theo tỉ số k
.
3
2

ậy SDMNP

k 2 .SDABC

16
æ2ö
.
ç ÷ .4
9
è3ø

® Chọ A.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạ h BC = 2, hai đáy AB = 6,
CD = 4. Mặt phẳ (P) song song với (ABCD) và cắt SA tại M sao cho SA = 3SM. Diệ tích thiết diệ
củ (P) và hình chóp S.ABCD bằ bao nhiêu?
A.

5 3
.
9

B.

2 3
.
3

C. 2.
Hướ

D.

7 3
.
9

dẫ

Gọi H, K lầ lượt là hình chiếu vuông góc củ D, C trên AB.
ìAH BK;CD HK
ABCD là hình thang cân Þ í
Þ BK 1 .
îAH + HK + BK AB
Tam giác BCK vuông tại K, có CK

BC2 - BK 2

Suy ra diệ tích hình thang ABCD là SABCD

CK.

22 - 12

AB + CD
2

3.
4+6
2

3.

5 3.

Gọi N, P, Q lầ lượt là giao điểm củ (P) và các cạ h SB, SC, SD.
Vì (P)//(ABCD) nên theo đ h lí Ta-lét, ta có

MN
AB

NP
BC

PQ
CD

QM
AD

1

.
3
2

Khi đó (P) cắt hình chóp theo thiết diệ MNPQ có diệ tích SMNPQ

2

k .SABCD

æ1ö
ç ÷ .5 3
è 3ø

5 3
.
9

® Chọ A.
Trang 12


3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho đường thẳng a Ì mp P và đường thẳng b Ì mp Q . Mệnh đề nào sau đây không sai?
A. P // Q Þ a //b .

B. a //b Þ P // Q .

C. P // Q Þ a// Q và b// P .

D. a và b chéo nhau.

Câu 2. Hãy chọ câu đú

:

A. Nếu hai mặt phẳ song song thì mọi đườ
đườ thẳ
ằm trên mặt phẳ kia.
B. Nếu hai mặt phẳ
nhau.

thẳ

ằm trên mặt phẳ

(P) và (Q) lầ lượt chứ hai đườ

C. Hai mặt phẳ

cùng song song với một đườ

thẳ

D. Hai mặt phẳ

phân biệt không song song thì cắt nhau.

thẳ

này đều song song với mọi

song song thì chúng song song với

thì song song với nhau.

Câu 3. Hãy chọ câu sai:
A. Nếu hai mặt phẳ
kia.
B. Nếu mặt phẳ
với nhau.

song song thì mọi đườ

(P) chứ hai đườ

thẳ

thẳ

ằm trên mặt phẳ

cùng song song với mặt phẳ

C. Nếu hai mặt phẳ (P) và (Q) song song nhau thì mặt phẳ
giao tuyế củ chúng song song nhau.
D. Nếu một đườ

thẳ

Câu 4. Cho hình lă

này song song với mặt phẳ

cắt một trong hai mặt phẳ

(Q) thì (P) và (Q) song song

(R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các

song song thì sẽ cắt mặt phẳ

t ụ ABC.A1B1C1 . Trong các khẳ

đ h sau, khẳ

đ h nào sai?

A. ABC / / A1B1C1 .

B. AA1 // BCC1 .

C. AB / / A1B1C1 .

D. AA 1B1B là hình chữ hật.

Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Khẳ

còn lại.

đ h nào dưới đây là sai?

A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đườ

thẳ

A1C, AC1, DB1, D1B đồ

quy.

C. (ADD1A1)//(BCC1B1).
D. AD 1CB là hình chữ hật.
Câu 6. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Mặt phẳ
phẳ

AB¢D¢ song song với mặt phẳ

nào trong các mặt

sau đây?

A. BCA¢ .

B. BC¢D .

C. A¢C¢C .

D. BDA¢ .

Đáp án:
1–C

2–D

3–B

4–D

5–D

6–B

Trang 13