ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY Giải tích 1

ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY
HKI -2014-2015.
Môn Thi: Giải tích 1
Ngày thi: 31/01/2015.
Thời gian: 90 phút

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán - Ứng dụng

CA 1
Hình thức thi: TỰ LUẬN.
2
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = √
.
x 4 − x2
+∞

Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I =
0
+∞

Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
ln 2

√

1 + x2
dx.
xm (1 + xm+1 )

dx
.
(1 − e2x )ex

Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi
√
y = 2 − x, x = y, y = 0
quay quanh trục Oy.
Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân
(xy − y) arctan

y
=x
x

thỏa điều kiện y(1) = 0.
Câu 6: Giải phương trình vi phân y − 3y + 2y = 2xe2x .
Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân
x (t) = x(t) − y(t) + et ,
y (t) = x(t) + 3y(t) − 3.
Đề gồm 7 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy


Đáp án CA 1
2
1) y= √

. TXD: (−2, 0) ∪ (0, 2). 3 TCĐ: x = 0, x = ±2.
x 4 − x2
√
√
4x2 − 8
. Cực đại (− 2, −1), cực tiểu ( 2, 1).
y =
x2 (4 − x2 )3
√
√
−2
−2
0
2
+2
x
BBT:

f (x)

f (x)

+

−∞

−

0

−1

||

−∞ ||

+∞

2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I =
0

−

+∞

0

+

. Vẽ ĐT.
+∞

1

√

1 + x2
dx =
xm (1 + xm+1 )

1
0

+

+∞
1

= I1 + I2 . Hàm f (x) > 0, ∀x > 0

1
. Suy ra I1 hội tụ khi và chỉ khi m < 1.
xm
1
1
x → +∞ : f ∼ 2m . Suy ra I2 hội tụ khi và chỉ khi m >
x
2
1
Vậy I hội tụ khi và chỉ khi < m < 1.
2
dx
dt
+∞
+∞
3 ) Tính I = ln 2 x
. Đặt t = ex ⇒ I = 2
.
2x
e (1 − e )

(1 − t2 )t2
+∞
1
1
1 t+1 1
1 1
+∞
I= 2
+ 2 dt =
ln
−
I = − ln 3.
2
1−t
t
2 t−1 t 2
2 2
√
4 ) Tính Vy , D : y = 2 − x, y = x, y = 0.
38π
1
2 √
Cách 1: Vy = 2π 0 x.xdx + 2π 1 x 2 − xdx(1đ) =
15
38π
0
2 2
2
Cách 2: Vy = π −1 [(2 − y ) − y ]dy(1đ) =
15

y
5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy − y) arctan = x thỏa điều kiện y(1) = 0.
x
1
y
y
y =
y + x . Đặt u = x
arctan
x
dx
1
arctan udu =
=⇒ u arctan u − ln(1 + u2 ) = ln |x| + C.
x
2
y
y 1
y2
Thay điều kiện: C = 0. Vậy nghiệm arctan + ln(1 + 2 ) = ln |x|.
x
x 2
x
x → 0+ : f ∼

6 ) Giải y − 3y + 2y = 2xe2x .
Nghiệm thuần nhất y0 = C1 ex + C2 e2x
yr = x(Ax + B)e2x
=⇒ A = 1, B = −2. Vậy y = C1 ex + C2 e2x + (x2 − 2x)e2x .
7 ) Giải hệ phương trình vi phân

x (t) = x(t) − y(t) + et ,
y (t) = x(t) + 3y(t) − 3.

Cách 1: Khử x
y − 4y + 4y = et + 3 =⇒ y(t) = C1 e2t + C2 te2t + et +
3
Suy ra x = −C1 e2t + C2 (2t − 2)e2t − 2et + .
4
Cách 2: Khử y : x − 4x + 4x = −2et + 3 .

3
4


ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY
HKI -2014-2015.
Môn Thi: Giải tích 1
Ngày thi: 31/01/2015.
Thời gian: 90 phút

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán - Ứng dụng

CA 2
Hình thức thi: TỰ LUẬN.
x2 − 2x + 1
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
.

x2 − 4
1

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị m > 0 để tích phân I =
0
+∞

Câu 3: Tính tích phân suy rộng sau: I =
0

Câu 4: Cho miền phẳng D :
y ≥ 0, y ≤

2

x3 + x 3
dx hội tụ.
x2 + arctan xm

√
x3

x
dx.
+1

√
3x, x2 + y 2 ≤ 4

. Tính thể tích vật thể được tạo ra khi D quay quanh trục Ox.

Câu 5: Tìm nghiệm phương trình: xy − y(2y ln x − 1) = 0, thỏa điều kiện y(1) = 1.
Câu 6: Tìm nghiệm của phương trình y + 2y + y = 2 cos x.
Câu 7: Giải hệ phương trình :

x (t) = 7x(t) + 3y(t) − 2,
y (t) = 3x(t) − y(t) + 8t.

.
Đề gồm 7 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy


Đáp án CA 2
x2 − 2x + 1
. TXD: x = ±2. TCĐ: x = ±2, TCN: y = 1
x2 − 4
x2 − 5x + 4
y =2 2
. Cực đại (1, 0), cực tiểu (4, 43 ).
(x − 4)2 )
x
−∞
−2
1
2

1) y=

BBT:

f (x)

+

||

+∞

f (x) 1

||

0 −

+

0

−∞

||

−∞

||

−

+∞

4

+∞

0 +

3
4

.
1

Vẽ ĐT
2

x3 + x 3
dx.
2
m
0 x + arctan x
Hàm f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2], Ta sẽ so sánh khi x → 0+ Lưu ý: Không nhận xét f
dương thì trừ 0.25đ
2
1
x3
α > 2 : f ∼ 2 = 4 . Suy ra Tp PK.
x

x3
2
x3
α = 2 : f ∼ 2 . Suy ra Tp PK
2x2
x3
1
2
5
α < 2 : f ∼ α = α 2 . Suy ra tp HT khi và chỉ khi α − < 1 ↔ α <
x
3
3
x −3
5
Vậy I hội tụ khi và chỉ khi 0 < α <
3
√
+∞
+∞
+∞ 2t2 dt
√
x
π
2
3
3 ) Tính I =
x
⇒
I

=
=
dx.
Đặt
t
=
=
arctan
t
3
6
3
3
0 x +1
0 t +1
0
√
4 ) Tính Vx , D : y ≥ 0, y ≤ 3x, x2 + y2 ≤ 4.
√ 2
8π
2
1
2 √
Vx = π 0 x 3 dx + 1
4 − x2 dx =
.
3
1

2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I =

5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân xy − y(2y ln x − 1) = 0 thỏa điều kiện y(1) = 1.
ln x 2
1
y + y=2
y . Đặt z = y −1
x
x
1
ln x
ln x + 1
Ta được pt z − z = −2
=⇒ z = x 2
+C
x
x
x
1
Thay điều kiện: C = −1. Vậy nghiệm y =
2 (ln x + 1) − x
6 ) Giải y + 2y + y = 2 cos x..
Nghiệm thuần nhất ytn = C1 e−x + C2 xe−x
yr = A cos x + B sin x
=⇒ A = 0, B = 1. Vậy y = C1 e−x + C2 xe−x + sin x.
x (t) = 7x(t) + 3y(t) − 2,
y (t) = 3x(t) − y(t) + 8t.
Cách 1: Khử x, ta được pt y − 6y + 16y = −56t + 2
23
3
11

7
=⇒ y(t) = C1 e−2t + C2 e8t + t − . Suy ra x = −C1 e−2t + C2 e8t − t + .
2
16
2
6
Cách 2: Khử y, ta được pt x − 6x + 16x = 24t − 2
Cách 3: Dùng TR - VTR

7 ) Giải hệ phương trình vi phân

P =

−1 3
3 1

,D =

−2 0
0 8

, P −1 =

1
P
10


X
Y

= P −1

x
y

→

X
Y

−2t

=

C1 e 5 + 65 t − 12
8t
1
1
C2 e80 − 10
t + 16

→

x
y

=P

X

Y