TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG.doc

TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG
Các bạn có biết các bất đẳng thức (BĐT) như Cô-si ; Bu-nhi-a-cốp-xki ; Trê-bư-
sép và nhiều BĐT “tên tuổi” khác đều là hệ quả của một BĐT rất quen thuộc, là
BĐT nào không ? Phải chăng đó chính là BĐT (a - b)
2
≥ 0 với mọi số thực a, b ?
Chúng ta hãy theo dõi một chuỗi biến đổi từ BĐT này. Ta có :
(a - b)
2
≥ 0 <=> a
2
+ b
2
≥ 2ab (*)
<=> a
2
+ b
2
+ 2ab ≥ 4ab <=> (a + b)
2
≥ 4ab
(*) <=> a
2
+ b
2
+ a
2
+ b
2
≥ 2ab + a
2

+ b
2

<=> 2(a
2
+ b
2
) ≥ (a + b)
2

Từ (1) và (2), với mọi a, b ta có :
Từ (1), với a ≥ 0 ; b ≥ 0 ta có BĐT Cô-si :
Với a > 0 ; b > 0 ta có :
Từ (4) và (5), với a > 0 ; b > 0 ; c > 0 ta có :
áp dụng BĐT (6) ta có BĐT Nes-bít :
áp dụng BĐT (*), với mọi a, b, c, d ta có BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski :
(ad)
2
+ (bc)
2
≥ 2adbc &nbp; (**)
<=> a
2
d
2
+ b
2
c
2
+ a

2
c
2
+ b
2
d
2
≥ 2ac.bd + a
2
c
2
+ b
2
d
2

<=> (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
) ≥ (ac + bd)
2

Với c > 0 ; d > 0 ta có :
áp dụng BĐT (9), ta có BĐT S-vác :
(trong đó a

1
, a
2
, ... , a
n
là các số dương)
Như vậy có thể khẳng định rằng rất nhiều BĐT quan trọng, có ứng dụng rất lớn
đều khởi nguồn từ BĐT hiển nhiên đúng (a - b)2 0. áp dụng BĐT này, các bạn
hãy thử chứng minh các kết quả sau :
1) 3(ab + bc +ca) ≤ (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2) (a + b)
3
≤ 4(a
3
+ b
3
)
3)
với mọi a > 0 ; b > 0.
Còn rất nhiều các BĐT khác là hệ quả của BĐT (a - b)
2
≥ 0 đang chờ các bạn

khám phá.