Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học chủ đề ứng dụng của định lý vi et

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ THƠM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 QUA DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI - 2019


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ THƠM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 QUA DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. DƢƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2019


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận đƣợc
sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ Phƣơng pháp dạy học môn Toán
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên trong khoa Toán. Qua đây, em
xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trong tổ Phƣơng pháp dạy
học môn Toán, đặc biệt là cô giáo – ThS. Dƣơng Thị Hà đã tận tình giúp đỡ,
chỉ dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận tốt
nghiệp.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận của em không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các
thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội,ngày 10 tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Thơm


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu của đề tài là kết quả nghiên cứu,
tìm tòi của bản thân. Đề tài và nội dung khóa luận là chân thực đƣợc viết trên
cơ sở khoa học không trùng với đề tài của các tác giả khác. Nếu sai tôi xin
chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Thơm


DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG KHÓA
LUẬN
GDPT

Giáo dục phổ thông

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NLTD và LLTH

Năng lực tƣ duy và lập luận toán học

PT

Phƣơng trình

TH

Trƣờng hợp

THCS

Trung học cơ sở

TM

Thỏa mãn

VD

Ví dụ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1.Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3.Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ........................................................................ 3
1.1. Khái niệm ................................................................................................... 3
1.1.1. Năng lực .................................................................................................. 3
1.1.2. Năng lực toán học ................................................................................... 3
1.1.3. Năng lực tƣ duy và lập luận toán học ..................................................... 4
1.2. Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực.................................................. 6
1.3. Dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực ................................ 7
1.4. Sự cần thiết của phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong dạy
học ..................................................................................................................... 8

1.5. Giải bài tập với phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học ............... 8
1.5.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học .............................................. 8
1.5.2. Dạy học giải bài tập................................................................................. 9
1.5.3. Biểu hiện của năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong quá trình giải
bài tập. ............................................................................................................. 11
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 13
CHƢƠNG 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN
HỌC QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET ....... 14


2.1.1. Vai trò .................................................................................................... 14
2.1.2. Định lý Vi-et ......................................................................................... 14
2.2 Hệ thống bài tập về ứng dụng định lý Vi-et nhằm phát triển năng lực tƣ
duy và lập luận toán học.................................................................................. 17
2.2.1 Dạng 1: Tìm 2 số khi biết tổng và tích................................................... 17
2.2.2 Dạng 2: Tìm nghiệm còn lại khi phƣơng trình bậc hai một ẩn cho biết
trƣớc một nghiệm ............................................................................................ 20
2.2.3 Dạng 3: Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm .............. 24
2.2.4 Dạng 4: Tìm giá trị tham số m thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho
trƣớc. ............................................................................................................... 28
2.2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức ...................................................... 33
2.2.6 Dạng 6: Tƣơng giao của hai đồ thị........................................................ 37
2.2.7 Dạng 7: Giải hệ phƣơng trình đối xứng loại I........................................ 44
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 49
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 51


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài

Nghị quyết số 29 – NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và
đào tạo đã đề ra: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo
hướng hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến
thức, kỹ năng của người học, khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi
nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ
sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng
lực”.
Dạy học định hƣớng phát triển năng lực thực hiện bƣớc chuyển từ
chƣơng trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của ngƣời học,
không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định kết quả đầu ra,
khả năng vận dụng vào thực tiễn. Vì vậy đổi mới phƣơng pháp dạy học theo
định hƣớng phát triển năng lực cho học sinh là vấn đề then chốt.
Toán học là một trong những ngành khoa học đóng vai trò quan trọng,
là yếu tố chủ chốt giúp ta có thể nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác. Các
năng lực chuyên biệt trong môn Toán bao gồm: năng lực tƣ duy và lập luận
toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực
giao tiếp toán học và năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện toán học. Trong
đó năng lực tƣ duy và lập luận toán học là một trong những năng lực quan
trọng mà ngƣời học cần phải đƣợc rèn luyện và phát triển. Nhờ tƣ duy con
ngƣời mới có thể tồn tại và phát triển. Nó chính là con đƣờng ngắn nhất dẫn
đến mọi sự thành công của mỗi con ngƣời.
Định lý Vi-et có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán từ THCS đến
THPT. Nó xuất hiện trong nhiều dạng toán có liên quan đến nghiệm của
phƣơng trình, các bài toán về tiếp tuyến,… đƣợc chƣơng trình Đại số 10 đề
cập đến. Việc giải các bài toán chứa đựng tiềm năng rất lớn trong việc phát
triển tƣ duy và lập luận toán học.
Với những lí do trên tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Phát triển năng
lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học chủ đề
ứng dụng của định lý Vi-et”.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua
chủ đề ứng dụng định lý Vi-et nhằm nâng cao chất lƣợng dạy học và đáp ứng
yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về năng lực tƣ duy và lập luận toán học, về
ứng dụng định lý Vi-et trong dạy học môn Toán.
- Xây dựng hệ thống bài tập dựa vào ứng dụng định lý Vi-et để phát
triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Năng lực tƣ duy và lập luận toán học
- Chủ đề ứng dụng định lý Vi-et trong chƣơng trình Toán lớp 10
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu luận
- Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai
chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận
Chƣơng 2: Phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học qua dạy học
chủ đề ứng dụng của định lý Vi-et
Kết luận
Tài liệu tham khảo

2

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm
1.1.1. Năng lực
Khái niệm năng lực tùy theo cách tiếp cận nên có nhiều cách định nghĩa
khác nhau. Tuy nhiên để đảm bảo sự thống nhất và thuận tiện cho việc nghiên
cứu thì định nghĩa năng lực của chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể
(2018) cũng đã nêu đƣợc các đặc điểm bản chất của khái niệm này: “Năng lực
là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá
trình học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng hợp các kiến thức,
kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhau nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,...
thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn
trong những điều kiện cụ thể”.
1.1.2. Năng lực toán học
Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với
môn học. Năng lực toán học đƣợc tiếp cận theo nhiều phƣơng diện khác nhau.
Trong tâm lí học, khái niệm về năng lực toán học đƣợc theo hai hƣớng:
- Thứ nhất: đó là năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán
học với tƣ cách là khoa học. Ngƣời có năng lực toán học sẽ cống hiến cho
nhân loại những công trình toán học đầy ý nghĩa đối với hoạt động thực tiễn
của con ngƣời và đối với sự phát triển của khoa học toán học.
- Thứ hai: đó là năng lực trong học tập, trong việc nắm vững những
khái niệm, định lí, tính chất, hệ quả toán học với tƣ cách là môn học. Ở đây,
ngƣời học có năng lực toán học sẽ nhanh nhạy trong việc tiếp thu các kiến
thức toán học và thực hiện thành thạo các kĩ năng, kĩ xảo tƣơng ứng. Có thể
khẳng định năng lực toán học là điều kiện cần của năng lực sáng tạo toán học.
Bởi vì năng lực sáng tạo toán học có thể xuất phất từ việc tạo lập ra một định
nghĩa mới hay một định lý mới, nó hoàn toàn khác so với năng lực hiểu đƣợc
định lý toán học đã đƣợc chứng minh, thừa nhận trƣớc đó.
Theo quan điểm của UNESCO thì có 10 yếu tố cơ bản của năng lực

toán học là:

3


1.
Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán
và các khái niệm.
2.
Năng lực tính nhanh, cẩn thận và sử dụng các kí hiệu.
3.
Năng lực dịch chuyển dữ liệu kí hiệu.
4.
Năng lực biểu diễn dữ liệu bằng kí hiệu.
5.
Năng lực theo dõi một hƣớng suy luận hay chứng minh.
6.
Năng lực xây dựng một chứng minh.
7.
Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán Toán học.
8.
Năng lực áp dụng cho bài toán không Toán học.
9.
Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể sử
dụng.
10. Năng lực tìm cách khái quát hóa Toán học.
Theo chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể, các năng lực Toán học
cần hình thành cho học sinh đó là:
- Năng lực tƣ duy.
- Năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo.

- Năng lực mô hình hóa.
- Năng lực giao tiếp Toán học.
- Năng lực sử dụng thiết bị công nghệ thông tin và truyền thông.
- Năng lực tính toán.
1.1.3. Năng lực tƣ duy và lập luận toán học
1.1.3.1. Tư duy
Theo từ điển Triết học: “Tƣ duy, sản phẩm cao nhất của vật chất đƣợc
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới
quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tƣ duy xuất hiện trong quá
trình hoạt động sản xuất của con ngƣời và đảm bảo phản ánh thực tại một
cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tƣ duy chỉ tồn tại
trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là
hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngƣời cho nên tƣ duy của con ngƣời
đƣợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tƣ
duy đƣợc ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tƣ duy là những quá trình
nhƣ trừu tƣợng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất
4


định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý
niệm. Kết quả của quá trình tƣ duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”
[Tr.21].
Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông: “Tƣ duy là giai đoạn cao của quá
trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật
bằng những hình thức nhƣ biểu tƣợng, khái niệm, phán đoán, suy lý”.
Các tác giả Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy,
Nguyễn Quang Uẩn (1992), (trong Tâm lí học, NXB Giáo dục, Hà Nội) đã
định nghĩa: “Tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tƣợng trong hiện
thực khách quan”.

1.3.3.2. Năng lực tư duy
Năng lực tƣ duy: là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu
tƣợng hóa, khái quát hóa, tƣởng tƣợng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và
linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực
tiễn.
1.1.3.3. Năng lực tư duy và lập luận toán học
Theo Chƣơng trình môn Toán 2018, năng lực tƣ duy và lập luận Toán
học đƣợc thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động:
- So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tƣơng tự,
quy nạp, diễn dịch.
- Chỉ ra đƣợc chứng cứ, lĩ lẽ và biết lập luận hợp lí trƣớc khi kết luận.
- Giải thích hoặc điều chỉnh đƣợc cách thức giải quyết vấn đề về
phƣơng diện toán học.
Năng lực tƣ duy và lập luận toán học ở cấp trung học phổ thông biểu
hiện nhƣ sau:
- Thực hiện đƣợc tƣơng đối thành thạo các thao tác tƣ duy, đặc biệt
phát hiện đƣợc sự tƣơng đồng và khác biệt trong những tình huống tƣơng đối
phức tạp và lí giải đƣợc kết quả của việc quan sát.
- Sử dụng đƣợc các phƣơng pháp lập luận, quy nạp và suy diễn đề nhìn
ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
5


- Nêu và trả lời đƣợc câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích,
chứng minh, điều chỉnh đƣợc giải pháp thực hiện về phƣơng diện toán học.
1.2. Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực
Hiện nay, chƣơng trình giáo dục của nhiều quốc gia trên thế giới đang
chuyển từ chƣơng trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của
ngƣời học (Competency-based Curriculum).
Theo Đặng Thành Hƣng (2014): “Bản chất của giáo dục theo tiếp cận

năng lực là lấy năng lực làm cơ sở (tham chiếu) để tổ chức chƣơng trình và
thiết kế nội dung học tập. Điều này cũng có nghĩa là năng lực của học sinh sẽ
là kết quả cuối cùng cần đạt đƣợc của quá trình dạy học hay giáo dục. Nói
cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các phẩm
chất và năng lực của ngƣời học. Năng lực vừa đƣợc coi là điểm xuất phát
đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục. Vì vậy, những yêu cầu về
phát triển năng lực của học sinh cần đƣợc đặt đúng chỗ của chúng trong mục
tiêu giáo dục”.
Do đó, dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực cần chú trọng vào
những điều sau:
- Năng lực cần có của mỗi ngƣời học không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ
năng, kĩ xảo, mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội. Nó chỉ
đƣợc hình thành và phát triển khi học sinh học tập, trau dồi, rèn luyện ở nhà
trƣờng, tác động của gia đình và xã hội,...
- Phát huy đƣợc tính tích cực nhận thức của học sinh, nghĩa là “lấy việc
học của học sinh làm trung tâm” giúp cho HS hoạt động tích cực, tìm tòi,
sáng tạo. Từ đó hình thành nên những con ngƣời mạnh dạn, tự tin, năng động
và sáng tạo trong tƣ duy, trong tình huống thực tế cuộc sống.
- Kết quả của dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực là “kết quả đầu
ra” của ngƣời học, không phải là họ “biết” đƣợc bao nhiêu kiến thức mà chú
trọng ngƣời học làm đƣợc những gì sau khi học. Tức là nhấn mạnh đến khả
năng vận dụng vào thực tiễn của ngƣời học.
- Cách học: Hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách
giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin...), tự giác, chủ động học theo

6


nhóm, học theo sở thích,... trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc
lập, sáng tạo của tƣ duy.

GS. Hoàng Tụy đã từng nói: “Vai trò quyết định đối với chất lƣợng
giáo dục vẫn thuộc về các yếu tố có liên quan trực tiếp tới ngƣời thầy”. Giáo
viên là ngƣời thiết kế, tổ chức và hƣớng dẫn học sinh tích cực, tự lực thực
hiện các nhiệm vụ học tập.
- Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tƣơng tác tích cực giữa HS với
HS, giữa GV với HS, thúc đẩy và tạo cho HS thực hiện hóa năng lực của
mình thông qua quan sát, tìm tòi, khám phá, sáng tạo.
- Tích cực ứng dụng công nghệ, sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy
học.
1.3. Dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực
- Năng lực toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà
còn cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán. Muốn có năng
lực toán học học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập
môn Toán.
- Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra, dựa trên những gì ngƣời học làm
đƣợc (có tính đến khả năng thực tế của học sinh). Khuyến khích ngƣời học
tìm tòi, khám phá tri thức toán học và vận dụng vào thực tiễn. Đích cuối cùng
cần đạt là phải hình thành đƣợc năng lực học tập môn Toán ở học sinh.
- Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của ngƣời học. GV là ngƣời
hƣớng dẫn và thiết kế, còn HS phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán
học của riêng mình.
- Xây dựng môi trường dạy học tƣơng tác tích cực. Phối hợp các hoạt
động tƣơng tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động
chung cả lớp và hoạt động tƣơng tác giữa GV và HS trong quá trình dạy học
môn Toán.
- Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học môn Toán
(đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại) nhằm tối ƣu hóa
việc phát huy năng lực của ngƣời học.

7

1.4. Sự cần thiết của phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học
trong dạy học
Môn Toán là nền tảng của nhiều môn khoa học khác, đƣợc xem nhƣ bộ
não của con ngƣời. Học Toán không chỉ giúp HS rèn luyện khả năng tính toán
mà còn rèn luyện năng lực tƣ duy và lập luận toán học. Nhờ có sự tƣ duy và
lập luận mà các em có thể hiểu biết sâu sắc, nhạy bén và học tốt hơn các môn
học khác. Đồng thời, giúp bản thân tham gia trải nghiệm các hoạt động thực
tế tốt hơn và đó cũng là cách để các em khẳng định bản thân trong xã hội
ngày nay.
Bên cạnh đó, từ thực tiễn môn Toán thi theo hình thức trắc nghiệm cho
thấy còn khá nhiều HS bộc lộ những sự yếu kém hay hạn chế về năng lực tƣ
duy và lập luận toán học. HS nhìn các đối tƣợng toán học một cách rời rạc,
thiếu logic, tƣ duy không linh hoạt, phụ thuộc nhiều vào máy tính cầm tay do
các em chỉ cần nhớ hàng loạt các công thức tính nhanh,... Nhiều khi có thể HS
biết thông thạo các phép tính để đi đến kết quả nhƣng để trình bày câu từ sao
cho logic thì lại không thể làm đƣợc. Khi đó không làm rõ đƣợc mức độ tƣ
duy cũng nhƣ khả năng lập luận, diễn đạt bằng lời của HS khi làm toán.
Từ những lý do trên có thể khẳng định rằng năng lực tư duy và lập luận
toán học sẽ được phát triển tốt thông qua một chủ đề giải toán trong chương
trình Toán trung học phổ thông.
1.5. Giải bài tập với phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học
1.5.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Theo G.Polya: “Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng
nhƣng không thể đạt đƣợc ngay”.
Bài tập là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho ngƣời học
nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó.
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang

hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh cần thực hiện những
hoạt động: nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng

8


pháp; những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến
trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập toán học đƣợc thể hiện trên 3 bình diện (mục tiêu,
nội dung và phƣơng pháp dạy học do có liên hệ mật thiết với hoạt động của
học sinh), cụ thể nhƣ sau:
- Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trƣờng phổ thông
là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện
mức độ đạt mục tiêu. Ngoài ra, những bài tập cũng thể hiện những chức năng
khác nhau hƣớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán cụ thể
là:
 Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
 Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tƣ duy, hình
những phẩm chất trí tuệ.
 Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của ngƣời lao động mới.
- Trên bình diện nội dụng dạy học, bài tập toán học là giá mang những
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội
dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày
trong phần lý thuyết.
- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó
thực hiện các mục tiêu dạy học khác.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác

nhau về phƣơng pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,... Đặc biệt về mặt kiểm tra, khả
năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh...
1.5.2. Dạy học giải bài tập
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

9


 Phát biểu đề bài dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán.
 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề
bài.
Bƣớc 2: Tìm lời giải
 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm
đoán: biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay
một bài toán nào đó có liên quan sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với
từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng
hình,...
 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan...
 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải
hợp lí nhất.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc

đó.
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải bài toán
 Xem lại toàn bộ các bƣớc giải bài toán, từ đó rút ra tri thức phƣơng
pháp để giải một bài toán.
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
 Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn
đề.
10


1.5.3. Biểu hiện của năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong quá trình
giải bài tập.
 Xác định đƣợc dạng toán:
- Dạng toán quen thuộc, đã từng gặp hay gặp dạng toán này ở một dạng
gần giống.
- Phát hiện đƣợc sự tƣơng đồng và khác biệt trong các dạng toán.
- Biết quy lạ về quen bằng cách có thể phát biểu bài toán bằng một
cách khác, đƣa thêm một số yếu tố phụ, ...
 Liên hệ với các bài toán liên quan có thể là dễ hơn hay tổng quát hơn
hay chỉ là một trƣờng hợp riêng.
 Liên hệ tới các bài toán thực tế.
 Tìm đƣợc nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. So sánh các
cách giải xem có điểm gì giống và khác nhau; từ đó đƣa ra cách giải ngắn gọn
và hợp lí nhất.
Sau đây là ví dụ minh họa:
Ví dụ: Một mảnh vƣờn hình chữ nhật có tổng 2 cạnh là 16m và diện
tích là 60m2 . Tính độ dài hai cạnh của mảnh vƣờn.
 Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
- Đây là bài toán thực tế có nội dung hình học.

- Bài toán cho biết mảnh vƣờn hình chữ nhật có tổng 2 cạnh là 16m và
diện tích là 60m2 .
- Yêu cầu: tính độ dài hai cạnh của mảnh vƣờn
 Bƣớc 2: Tìm cách giải
Từ giả thiết và công thức tính diện tích hình chữ nhật ta dễ dàng tìm
đƣợc tổng và tích hai cạnh của hình này. Bài toán trở về dạng quen thuộc đó
là tìm hai số khi biết tổng và tích.
Để làm dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tích ta chỉ cần áp dụng
định lý Vi-et đảo.
 Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật lần lƣợt là u và v (u > 0, v > 0)

11


Do hình chữ nhật có tổng hai cạnh là16m , diện tích là 60m2 nên ta có
u  v  16
hệ phƣơng trình: 
 u.v  60

Đặt u  v  S  16; uv  P  60
Kiểm tra điều kiện: S 2  4P  0 ta thấy thỏa mãn. Do đó u và v là 2
nghiệm của PT: x2  16 x  60  0 (*)
Suy ra PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1  10; x2  6
Vậy độ dài hai cạnh của hình chữ nhật đó lần lƣợt là 10m và 6m.
 Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Bài toán tƣơng tự: Một mảnh vƣờn hình chữ nhật có hiệu 2 cạnh là 4m
và diện tích là 60m2 . Tính độ dài hai cạnh của mảnh vƣờn.

12

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Với những gì đã nghiên cứu, có thể khẳng định việc dạy học theo
hƣớng phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua
dạy học một chủ đề giải toán là thiết thực nhằm nâng cao chất lƣợng dạy và
học. Sang chƣơng sau khóa luận sẽ xây dựng các dạng bài tập ứng dụng của
định lí Vi-et nhằm phát triển NLTD và LLTH.

13


CHƢƠNG 2:
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC QUA
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET
2.1 Định lý Vi-et
2.1.1. Vai trò
Định lý Vi-et là một nội dung cơ bản trong chƣơng trình toán THPT.
Ở cấp THCS chƣơng trình phần Đại số nói chung và chƣơng trình Đại
số 9 nói riêng thì việc giải phƣơng trình bậc 2 một ẩn là một nội dung quan
trọng. Định lý Vi-et có nhiều ứng dụng và nó giúp ta giải quyết đƣợc các dạng
toán liên quan đến phƣơng trình bậc hai một ần.
Dạy học ứng dụng của định lý Vi-et giúp học sinh:
- Hình thành các kiến thức cơ bản, có cái nhìn tổng thể về các ứng dụng
của định lý Vi-et.
- Có sự định hƣớng để giải các bài toán liên quan nhƣ: tìm điều kiện
của tham số thỏa mãn điều kiện cho trƣớc, tính giá trị biểu thức đối xứng giữa
các nghiệm, chứng minh bất đẳng thức, giải hệ phƣơng trình, sự tƣơng giao
của 2 đồ thị,...
- Việc khai thác giả thiết bài toán, tìm ra phƣơng pháp giải giúp học

sinh hình thành và phát triển tƣ suy logic, khả năng lập luận, tìm tòi, sáng
tạo,... . Đồng thời hình thành và phát triển tính kiên trì, linh hoạt và rèn luyện
thói quen tự học, hứng thú học toán.
2.1.2. Định lý Vi-et
2.1.2.1 Định lý Vi-et tổng quát:
 Định lý thuận:
Cho phƣơng trình bậc n:
an xn  an1x n1  ...  a1x  a0  0 với an  0

Nếu phƣơng trình có n nghiệm x1; x2 ;...; xn thì ta có hệ thức Vi-et sau:

14


an1

x

x

x

...

x

1
2
3
n


an

an2

 x1 x2  x2 x3  ...  xn1 xn 
an


..............................

a

x1 x2 ...xn  (1) n 0

an


 Định lý đảo:
Cho n số thực tùy ý u1, u2 ,..., un .
Đặt

S1  u1  u2  ...  un
S2  u1u2  u2u3  ...  un1un

....................................
Sk 



1i1 i2 ...n

ui1ui2 ...uik

...................................
Sn  u1u2 ...un

Khi đó u1, u2 ,..., un là các nghiệm của phƣơng trình:
xn  S1xn1  ...  (1)k Sk xnk  ...  (1)n Sn  0

2.1.2.2 Định lý Vi-et đối với một số phương trình cụ thể
Định lý Vi-et đối với phƣơng trình bậc ba:
 Định lý thuận:
Cho phƣơng trình: ax3  bx2  cx  d  0 ( a  0 )
Nếu phƣơng trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì ta có:
b

x

x

x

1
2
3

a

c


 x1 x2  x2 x3  x1 x3 
a

d

x
x
x

1
2
3

a


 Định lý đảo:
Cho 3 số thực x1 , x2 , x3
15


Đặt

S1  x1  x2  x3

S2  x1x2  x2 x3  x1x3
S3  x1x2 x3

Khi đó x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phƣơng trình:

x3  S1x 2  S2 x  S3  0

Định lý Vi-et đối với phƣơng trình bậc hai:
Ở lớp 9 giới thiệu cho HS định lý Vi-et thuận và định lý Vi-et đảo.
 Định lý thuận:
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phƣơng trình ax2  bx  c  0 ( a  0 ) thì:
b

x

x

1
2

a

 xx c
 1 2 a
 Định lý đảo:
x  x  S
Nếu có 2 số x1 , x2 thỏa mãn:  1 2
thì hai số đó là nghiệm của PT:
x
x

P
 1 2

x2  Sx  P  0

Điều kiện để có 2 số đó là: S 2  4P  0 .
2.1.3 Một số dạng bài tập
 Dạng 1: Tìm 2 số biết tổng và tích
 Dạng 2: Tìm nghiệm còn lại khi phƣơng trình bậc hai một ẩn cho biết
trƣớc một nghiệm
 Dạng 3: Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
 Dạng 4: Tìm giá trị tham số m thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho
trƣớc
 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
 Dạng 6: Tƣơng giao của hai đồ thị
 Dạng 7: Giải hệ phƣơng trình đối xứng loại I

16


2.2 Hệ thống bài tập về ứng dụng định lý Vi-et nhằm phát triển năng lực
tƣ duy và lập luận toán học
2.2.1 Dạng 1: Tìm 2 số khi biết tổng và tích
 Phƣơng pháp: Dựa vào định lý Vi-et đảo.
u  v  S
Nếu có 2 số u và v thỏa mãn: 
thì hai số đó là nghiệm của
uv

P


phƣơng trình: x2  Sx  P  0
Điều kiện để có 2 số đó là: S 2  4P  0 .

 Các ví dụ:
u  v  1
VD1: Tìm 2 số u và v biết rằng: 
 uv  6

Phân tích: Đây là một dạng toán quen thuộc. Giả thiết bài toán cho biết
tổng và tích của hai số u và v.
Tìm cách giải: Đối với các dạng bài tập này ta áp dụng định lý Vi-et
đảo.
 Lời giải:
u  v  1
Từ 
ta đặt u  v  1  S ; uv  6  P
uv


6


Kiểm tra điều kiện: S 2  4P  0 ta thấy thỏa mãn. Do đó u và v là 2
nghiệm của PT: x2  x  6  0 (*)
  (1)2  4.1.(6)  25  0    5

Suy ra PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1  2; x2  3
u  2
 u 3
Vì vai trò của u và v là nhƣ nhau nên ta có: 
hoặc 
 v3
v  2

Nhận xét: Qua ví dụ 1 ta thấy HS đã thực hiện đƣợc tƣơng đối thành
thạo thao tác tƣ duy, cụ thể là phép đặc biệt hóa ( S = 1; P = -6 ). Đồng thời
biết lập luận vai trò của u, v là nhƣ nhau trƣớc khi kết luận. Từ đó, góp phần
phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học.
 u  v  2
VD2: Tìm 2 số u và v biết:  2
2
u  v  20
17


Phân tích: Dựa vào giả thiết thì bài toán trên không thuộc dạng toán
thƣờng gặp nào mà ta đã biết. Vậy làm thế nào để đƣa về các dạng toán quen
thuộc?
Tìm cách giải: Để tìm 2 số u và v, ta dựa vào định lý Vi-et đảo. Tức là
ta phải tính đƣợc tổng và tích của 2 nghiệm. Mà bài toán đã cho biết tổng
u  v  2 , do đó ta chỉ cần đi tìm tích uv là quay trở về bài toán quen thuộc.
Để tìm tích uv ta liên hệ tới hằng đẳng thức: (u  v)2  u 2  v 2  2uv

 Lời giải:
Ta có: (u  v)2  u 2  v 2  2uv  (2)2  20  2uv  uv  8
Khi đó: u  v  2 ; uv  8 .
Ta thấy: (2)2  4.(8)  36  0 nên u và v là 2 nghiệm của PT:
x2  2 x  8  0 (*)

'  12  1.(8)  9  0  '  3

Suy ra PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1  2, x2  4
u  4

u2
Vì vai trò của u và v là nhƣ nhau nên ta có: 
hoặc 
 v2
v  4

Nhận xét: Trong VD2 đòi hỏi HS tƣ duy để qui lạ về quen, thực hiện
phát hiện ra u 2  v2  20 chƣa có sự tƣơng đồng với tình huống quen thuộc là
mối quan hệ về tích nhƣng có thể đƣa về mối quan hệ này nhờ việc liên hệ với
hằng đẳng thức  u  v  . Bài toán đƣợc đƣa về dạng toán đã biết cách làm.
2

Do vậy, năng lực tƣ duy và lập luận toán học đƣợc phát triển.
VD3: Nhà bạn An có một mảnh vƣờn trồng rau hình chữ nhật có chu
vi là 24m , diện tích là 27 m2 . Mẹ bạn An dự định chia nhỏ mảnh vƣờn thành
các phần bằng nhau để trồng các loại rau khác nhau, muốn vậy cần phải tìm
đƣợc chiều dài và chiều rộng của mảnh vƣờn. Hãy cùng An tính độ dài các
cạnh của mảnh vƣờn.
Phân tích: Đây là bài toán thực tế có nội dung hình học, chƣa thuộc
dạng toán thƣờng gặp nào. Từ các dữ kiện bài cho ta liên hệ với phần hình
học để tìm ra sự quen thuộc trong bài toán này.

18