Phương trinh đại số 2009

Chuyên đề :
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Nhắc lại:
Các hằng đẳng thức CƠ BẢN:
1.
+ = + +
2 2 2
( ) 2a b a ab b

2.
− = − +
2 2 2
( ) 2a b a ab b
3.
− = + −
2 2
( )( )a b a b a b

4.
+ = + + +
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b
5.
− = − + −
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b
6.
+ = + − +
3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b
7.

− = − + +
3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b
I. Giải và biện luận phương trình bậc nhất:
1. Dạng : ax + b = 0 (1)



số tham : ba,
số ẩn : x
2. Giải và biện luận:
Ta có : (1)
⇔
ax = -b (2)
Biện luận:
• Nếu a
≠
0 thì (2)
⇔
a
b
x
−=
• Nếu a = 0 thì (2) trở thành 0.x = -b
* Nếu b
≠
0 thì phương trình (1) vô nghiệm
* Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Tóm lại :
• a

≠
0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất
a
b
x
−=

• a = 0 và b
≠
0 : phương trình (1) vô nghiệm
• a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình:
Đònh lý: Xét phương trình ax + b = 0 ta có:
• (1) có nghiệm duy nhất
⇔
a
≠
0
• (1) vô nghiệm
⇔




≠
=
0
0
b
a

1
• (1) nghiệm đúng với mọi x
⇔




=
=
0
0
b
a
II.Giải và biện luận phương trình bậc hai:

1. Dạng:
2
0ax bx c+ + =
(1)



số tham : c, ba,
số ẩn : x
2. Giải và biện luận phương trình :
Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Nếu a
0
=
thì (1) là phương trình bậc nhất : bx + c = 0

• b
≠
0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất
b
c
x
−=

• b = 0 và c
≠
0 : phương trình (1) vô nghiệm
• b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Trường hợp 2: Nếu a
≠
0 thì (1) là phương trình bậc hai có
Biệt số
2
4b ac∆ = − ( hoặc
' 2 '
' với b
2
b
b ac∆ = − =
)
Biện luận:
 Nếu
0
∆ <
thì pt (1) vô nghiệm
 Nếu

0∆ =
thì pt (1) có nghiệm số kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
(
'
1 2
b
x x
a
= = −
)
 Nếu
0∆ >
thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
= (
' '
1,2
b
x

a
− ± ∆
=
)
3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai:
Đònh lý : Xét phương trình :
2
0ax bx c+ + =
(1)

 Pt (1) vô nghiệm
⇔






≠
=
=
0
0
0
c
b
a
hoặc




<∆
≠
0
0a
 Pt (1) có nghiệm kép
⇔




=∆
≠
0
0a
 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔




>∆
≠
0
0a
2
 Pt (1) có hai nghiệm
⇔





≤∆
≠
0
0a
 Pt (1) nghiệm đúng với mọi x
⇔






=
=
=
0
0
0
c
b
a

Đặc biệt
Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
4. Đònh lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:
 Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai :
2
0ax bx c+ + =

(
0a
≠
) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì







==
−=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.
 Đònh lý đảo : Cho hai số bất kỳ
,
α β
. Khi đó chúng là nghiệm của phương trình

x
2
- Sx + P = 0 với S =
α β
+
và P =
.
α β
 Ý nghóa của đònh lý VIÉT:
Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x
1
, x
2
và không thay đổi
giá trò khi ta thay đổi vai trò x
1
,x
2
cho nhau ) và xét dấu các nghiệm mà không cần giải phương trình .
Chú ý:
 Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là
1 2
1 và x
c
x
a
= =
 Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là
1 2
1 và x

c
x
a
= − = −
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:
Đònh lý: Xét phương trình bậc hai :
2
0ax bx c+ + =
(1) (
0a
≠
)
 Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt
> 0
P > 0
S > 0
∆


⇔



 Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt
> 0
P > 0
S < 0
∆



⇔



3
 Pt (1) có hai nghiệm trái dấu
P < 0⇔
II. Phương trình trùng phươngï:
1.Dạng :
4 2
0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠
(1)
2.Cách giải:
 Đặt ẩn phụ : t = x
2
. Ta được phương trình:
0
2
=++
cbtat
(2)
Giải pt (2) tìm t. Thay t tìm được vào t = x
2
để tìm x
III . Phương trình bậc ba:
1. Dạng:
3 2
0ax bx cx d+ + + =
(1) (
0a ≠

)
2 .Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)
Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1). Giả sử nghiệm là x = x
0
Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân
tử và đưa pt (1) về dạng tích số :
(1)
⇔
(x-x
0
)(Ax
2
+Bx+C) = 0

0
2

0 (2)
x x
Ax Bx C
=

⇔

+ + =

Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có).
Chuyên đề : BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Bất phương trình bậc nhất:
1. Dạng :

(1) 0
>+
bax
(hoặc
≤<≥
,,
)
2. Giải và biện luận:
Ta có :
(2) )1( bax
−>⇔
Biện luận:
• Nếu
0>a
thì
a
b
x
−>⇔
)2(
• Nếu
0
<
a
thì
a
b
x
−<⇔
)2(

• Nếu
0
=
a
thì (2) trở thành :
bx
−>
.0
*
0
≤
b
thì bpt vô nghiệm
*
0
>
b
thì bpt nghiệm đúng với mọi x
II. Dấu của nhò thức bậc nhất:
1. Dạng:
0)(a )(
≠+=
baxxf
2. Bảng xét dấu của nhò thức:
4
x
∞−

a
b

−

∞+
ax+b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

III. Dấu của tam thức bậc hai:
1. Dạng:
0)(a
2
)(
≠++=
cbxaxxf
2. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai:
3. Điều kiện không đổi dấu của tam thức:
Đònh ly ù: Cho tam thức bậc hai:
0)(a
2
)(
≠++=
cbxaxxf
•



>
<∆
⇔∈∀>
0a
0
Rx 0)(xf

•



<
<∆
⇔∈∀<
0a
0
Rx 0)(xf
5
x f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a
0 Cùng dấu a
acb 4
2
−=∆
x f(x) Cùng dấu a
0 Cùng dấu a
x f(x)
Cùng dấu a
0<∆
0=∆
0>∆