Đề thi + Đáp án Toán Ứng Dụng CKM UTE, Phương pháp tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN

BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ THI MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Mã môn học: MATH 121101
Thời gian 90 phút
Được sử dụng tài liệu

 y   x   x 2 y  1
Bài 1 (3đ): Cho bài toán Côsi 
 y  0   1.5

1. Áp dụng phương pháp Ơle, h=0.1 ta được y(0.2)(1) và y(0.5)(2). Từ đó suy ra
giá trị gần đúng y  0.5   3
2. Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, h=0.2 ta được y(0.2)(4) và y(0.4)(5)
3. Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến hai vòng lặp, h=0.3 ta được y(0.3)(6)
Bài 2(3đ): Cho phương trình x 2  3x  1  e x , trên khoảng tách nghiệm [-5;-2]
1. Áp dụng phương pháp Newton, x0= -4.1, chúng ta tính được x1  (7); x2  (8) và sai
số x  x2   9 
2. Áp dụng phương pháp lặp đơn, theo điều kiện của phương pháp, hãy cho biết
  x   10  . Khi đó với x0= -4.5 thì khi đó x1=(11) và x2=(12).
Bài 3(2đ): Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với số liệu:
x
y

0.1
3.1

0.2

0.3
0.4
0.5
4.8
6.0
8.1
10.7
1. Đặt y  a  b x ta có a=(13), b=(14). Áp dụng khi x=0.8 tính gần đúng y(15)
2. Đặt y  A  e x  B , suy ra B=(16)

Bài 4 (tự luận, 2đ): Cho các đa thức bậc 2 và bậc 3 lần lượt ký hiệu là P2(x) và P3(x). Giả
sử P2(xi) = P3(xi) tại ba mốc cách đều phân biệt xi  x0  ih,  h  0, i  0,1, 2 
x2

Chứng minh rằng khi đó

x2

 P  x  dx   P  x  dx . (Hướng dẫn: dung công thức Simpson)
2

x0

3

x0

Ghi chú:
- Giám thị không giải thích đề thi
- Dấu chấm là dấu thập phân

Ngày 19 tháng 11 năm 2014
Bộ môn duyệt


Họ và tên ...................................................

Chữ ký GT 1:...................GT2:...................

MSSV:........................................................

Điểm số:....................Điểm chữ:.................

Phòng thi...................STT:.........................

Chữ ký giáo viên chấm:..............................

BẢNG TRẢ LỜI BÀI 1, 2, 3
Đáp án

Câu

Đáp án

Câu

(1)

1.3014

(9)

Từ 10-2 đến 10-1

(2)

1.0353

(10)

 e x  1  3x

(3)

0.8501

(11)

-3.8093

(4)

1.3052

(12)

-3.5285

(5)

1.1283

(13)

-3.3457

(6)

1.2164

(14)

18.647

(7)

-3.4303

(15)

13.333

(8)

-3.3163

(16)

2.6160

Bài 4: (mỗi ý 0.5đ)
x2

- Đặt f  x   P3  x  , theo công thức Simpson 2 đoạn chia

x2

 P  x  dx   P  x  dx
3

x0

2

x0

M 2hh 4
- Sai số phép toán trên là  
180

- Trong đó M  max P3(4)  x   0
- Vậy   0 nên ta có điều cần chứng minh

*Lưu ý: câu (10) có nhiều đáp án, ví dụ
ứng

1  ex
 3 ,… Khi đó (11), (12) sẽ thay đổi tương
x

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN

BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ THI MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Mã môn học: MATH 121101
Thời gian 90 phút
Được sử dụng tài liệu

 y   x   x 2 y  1
 y  0   3.5

Bài 1 (3đ): Cho bài toán Côsi 

1. Áp dụng phương pháp Ơle, h=0.1 ta được y(0.2)(1) và y(0.5)(2). Từ đó suy ra
giá trị gần đúng y  0.5   3
2. Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, h=0.2 ta được y(0.2)(4) và y(0.4)(5)
3. Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến hai vòng lặp, h=0.3 ta được y(0.3)(6)
Bài 2(3đ): Cho phương trình x 2  3x  1  e x , trên khoảng tách nghiệm [-5;-2]
1. Áp dụng phương pháp Newton, x0= -4.2, chúng ta tính được x1  (7); x2  (8) và sai
số x  x2   9 
2. Áp dụng phương pháp lặp đơn, theo điều kiện của phương pháp, hãy cho biết
  x   10  . Khi đó với x0= -4.8 thì khi đó x1=(11) và x2=(12).
Bài 3(2đ): Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với số liệu:
x
y

1.1

3.1

1.2
1.3
1.4
1.5
4.8
6.0
8.1
10.7
1. Đặt y  a  b x ta có a=(13), b=(14). Áp dụng khi x=1.8 tính gần đúng y(15)
2. Đặt y  A  e x  B , suy ra B=(16)

Bài 4 (tự luận, 2đ): Cho các đa thức bậc 2 và bậc 3 lần lượt ký hiệu là P2(x) và P3(x). Giả
sử P2(xi) = P3(xi) tại ba mốc cách đều phân biệt xi  x0  ih,  h  0, i  0,1, 2 
x2

x2

Chứng minh rằng khi đó  P2  x  dx   P3  x  dx . (Hướng dẫn: dung công thức Simpson)
x0

x0

Ghi chú:
- Giám thị không giải thích đề thi
- Dấu chấm là dấu thập phân

Ngày 19 tháng 11 năm 2014
Bộ môn duyệt

Họ và tên ...................................................

Chữ ký GT 1:...................GT2:...................

MSSV:........................................................

Điểm số:....................Điểm chữ:.................

Phòng thi...................STT:.........................

Chữ ký giáo viên chấm:..............................

BẢNG TRẢ LỜI BÀI 1, 2, 3
Đáp án

Câu

Đáp án

Câu

(1)

3.3034

(9)

Từ 10-3 đến 10-2

(2)

3.0960

(10)

 e x  1  3x

(3)

3.0394

(11)

-3.9253

(4)

3.3132

(12)

-3.5771

(5)

3.1767

(13)

-41.209

(6)

3.2438

(14)

41.941

(7)

-3.4567

(15)

15.061

(8)

-3.3180

(16)

1.6160

Bài 4: (mỗi ý 0.5đ)
x2

- Đặt f  x   P3  x  , theo công thức Simpson 2 đoạn chia

 P  x  dx   P  x  dx
3

x0

M 2hh 4
- Sai số phép toán trên là  
180

- Trong đó M  max P3(4)  x   0
- Vậy   0 nên ta có điều cần chứng minh

x2
2

x0


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-15
Môn: Phương pháp tính
Mã môn học: MATH121101
Ngày thi: 19/06/2015
Thời gian: 90 phút
Đề thi có 2 trang
Mã đề: 121101-2015-02-001

SV được phép sử dụng tài liệu.
SV không nộp lại đề thi.

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
-------------------------

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho phương trình f ( x )  x  1,6  3, 6cos(2 x )  0 trên khoảng tách nghiệm 0;1 . (Lưu ý:
dùng đơn vị radian khi tính hàm lượng giác.)
a. Nghiệm gần đúng của phương trình trên tính bằng phương pháp Newton với 3 bước lặp,
với giá trị khởi đầu x0  0,8 là x  (1).
b. Trong khoảng tách nghiệm 0;1 thì | f '( x ) | (2) >0 và | f "( x ) | (3). Dùng phương pháp
Newton với giá trị khởi đầu x0  0,8 , để nghiệm gần đúng xn có sai số tuyệt đối không quá
10 5 thì | xn  xn 1 | (4).
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho f ( x )  x ln x 2 . Gọi P( x )  a  bx  cx 2 là đa thức nội suy của f ( x ) với 3 mốc nội suy
1,2,3 thì a  (5), b  (6) và sai số tuyệt đối của giá trị nội suy P(2.5) là   (7).
Câu 3: (2,0 điểm)
Dân số P của một thành phố được cho trong bảng sau (lấy mốc t  0 ứng với năm 1850)
t

0
20
40
60
80
100
120

P (ngàn người)
18,6
50,0
86,2
185,7
455,6
947,5
1 999,3

Áp dụng phương pháp bình phương bé nhất với dạng phương trình P(t )  Cekt , suy ra
C  (8) và k  (9).
Từ phương trình này ước tính dân số năm 1920 là P  (10) (ngàn người).
Cũng từ phương trình này ước tính thời gian tăng gấp đôi dân số, tức là thời gian T sao cho
P (t  T )  2 P (t ) , là T  (11).
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho F ( x ) (Newton) là một lực tác dụng phụ thuộc vào vị trí x (mét). Công W (Joule) của
lực đó đã thực hiện dùng để dịch chuyển một vật từ a đến b được tính như sau
b

W   F  x  dx .
a

Cho lực tác động lên một vật là F  x   9 x 2 (5  x ) .
Mã đề: 121101-2015-02-001

1/2


a. Công thực hiện khi di chuyển vật đó từ vị trí x  0 đến x  3 tính bằng công thức hình

thang 6 đoạn chia là W  (12) với sai số tuyệt đối W  (13). Để sai số W không vượt quá
10 5 thì cần dùng công thức hình thang với số đoạn chia là n  (14).
b. Công thực hiện khi di chuyển vật đó từ vị trí x  0 đến x  3 bằng công thức Simpson
6 đoạn chia là W  (15).
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 5: ( 2,5 điểm)
Cho phương trình vi phân sau
 y '  0, 02( y  25)
,

 y  0   95

trong đó y  y  x  .
a. Dùng phương pháp Ơ-le với h  1 để tính gần đúng y  3 .
b. Dùng phương pháp Ơ-le cải tiến với h  1 để tính gần đúng y  3 .
c. Từ câu a suy ra giá trị gần đúng của y '  3 .
d. Hãy kiểm tra rằng y ( x )  25  (95  25)e 0,02 x là nghiệm của phương trình vi phân đã
cho. Tính sai số của hai giá trị gần đúng ở câu a và b.

Lưu ý: Các kết quả được làm tròn đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)
[CĐR 1.1, 1.2] Có khả năng áp dụng các phương pháp lặp
vào giải gần đúng các phương trình cụ thể, đánh giá sai số
[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp tìm
đa thức nội suy cho một hàm cụ thể
[CĐR 1.1, 1.2]:Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình phương
bé nhất và vận dụng tìm một số đường cong cụ thể
[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng công thức hình thang,
công thức Simpson tính gần đúng tích phân

[CĐR 1.1]: Có khả năng vận dụng các phương pháp Ơ-le,
Ơ-le cải tiến giải phương trình vi phân với điều kiện đầu

Nội dung kiểm tra
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5

Ngày 17 tháng 6 năm 2015
Thông qua bộ môn

Mã đề: 121101-2015-02-001

2/2


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-15
Môn: Phương pháp tính
Mã môn học: MATH121101
Ngày thi: 19/06/2015
Thời gian: 90 phút
Đề thi có 2 trang
Mã đề: 121101-2015-02-002
SV được phép sử dụng tài liệu.
SV không nộp lại đề thi.

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
-------------------------

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho phương trình f ( x )  2 x  2  3cos(2 x )  0 trên khoảng tách nghiệm 0;1 . (Lưu ý:
dùng đơn vị radian khi tính hàm lượng giác.)
a. Nghiệm gần đúng của phương trình trên tính bằng phương pháp Newton với 3 bước lặp,
với giá trị khởi đầu x0  0,8 là x  (1).
b. Trong khoảng tách nghiệm 0;1 thì | f '( x ) | (2) >0 và | f "( x ) | (3). Dùng phương pháp
Newton với giá trị khởi đầu x0  0,8 , để nghiệm gần đúng xn có sai số tuyệt đối không quá
10 5 thì | xn  xn 1 | (4).
Câu 2: (1,5 điểm)
ex
. Gọi P( x )  a  bx  cx 2 là đa thức nội suy của f ( x ) với 3 mốc nội suy 1,2,3
x
thì a  (5), b  (6) và sai số tuyệt đối của giá trị nội suy P(2.5) là   (7).

Cho f ( x ) 

Câu 3: (2,0 điểm)
Dân số P của một thành phố được cho trong bảng sau (lấy mốc t  0 ứng với năm 1850)
t

0
20
40
60

80
100
120

P (ngàn người)
29,6
54,7
99,6
182,1
331,2
602,1
1097,8

Áp dụng phương pháp bình phương bé nhất với dạng phương trình P(t )  Cekt , suy ra
C  (8) và k  (9).
Từ phương trình này ước tính dân số năm 1920 là P  (10) (ngàn người).
Cũng từ phương trình này ước tính thời gian tăng gấp đôi dân số, tức là thời gian T sao cho
P (t  T )  2 P (t ) , là T  (11).
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho F ( x ) (Newton) là một lực tác dụng phụ thuộc vào vị trí x (mét). Công W (Joule) của
lực đó đã thực hiện dùng để dịch chuyển một vật từ a đến b được tính như sau
b

W   F  x  dx .
a

Mã đề: 121101-2015-02-002

1/2

Cho lực tác động lên một vật là F  x   6 x 2 (6  x ) .
a. Công thực hiện khi di chuyển vật đó từ vị trí x  0 đến x  3 tính bằng công thức hình
thang 6 đoạn chia là W  (12) với sai số tuyệt đối W  (13). Để sai số W không vượt quá
10 5 thì cần dùng công thức hình thang với số đoạn chia là n  (14).
b. Công thực hiện khi di chuyển vật đó từ vị trí x  0 đến x  3 bằng công thức Simpson
6 đoạn chia là W  (15).

II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 5: ( 2,5 điểm)
Cho phương trình vi phân sau
 y '  0, 02( y  25)
,

 y  0   95

trong đó y  y  x  .
a. Dùng phương pháp Ơ-le với h  1 để tính gần đúng y  3 .
b. Dùng phương pháp Ơ-le cải tiến với h  1 để tính gần đúng y  3 .
c. Từ câu a suy ra giá trị gần đúng của y '  3 .
d. Hãy kiểm tra rằng y ( x )  25  (95  25)e 0,02 x là nghiệm của phương trình vi phân đã
cho. Tính sai số của hai giá trị gần đúng ở câu a và b.

Lưu ý: Các kết quả được làm tròn đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)
[CĐR 1.1, 1.2] Có khả năng áp dụng các phương pháp lặp
vào giải gần đúng các phương trình cụ thể, đánh giá sai số
[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp tìm
đa thức nội suy cho một hàm cụ thể

[CĐR 1.1, 1.2]:Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình phương
bé nhất và vận dụng tìm một số đường cong cụ thể
[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng công thức hình thang,
công thức Simpson tính gần đúng tích phân
[CĐR 1.1]: Có khả năng vận dụng các phương pháp Ơ-le,
Ơ-le cải tiến giải phương trình vi phân với điều kiện đầu

Nội dung kiểm tra
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5

Ngày 17 tháng 6 năm 2015
Thông qua bộ môn

Mã đề: 121101-2015-02-002

2/2


ĐÁP ÁN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
(Thi ngày 19/6/2015)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Đề 1
Câu

Trả lời

Điểm

Câu

Trả lời

Điểm

(1)

0,88532

0,5

(9)

0,03854

0,5

(2)

1

0,5

(10)

294,25125 (làm tròn 294,3)

0,5

(3)

14,4

0,5

(11)

17,98514 (làm tròn 18)

0,5

(4)

0,0012

0,5

(12)

701,55691

0,5

(5)

-1,72609

0,5

(13)

17,67146

0,5

(6)

1,20284

0,5

(14)

7977

0,5

(7)

0,03013

0,5

(15)

699,78976

0,5

(8)

19,81878

0,5

Đề 2
Câu

Trả lời

Điểm

Câu

Trả lời

Điểm

(1)

0,83913

0,5

(9)

0,03007

0,5

(2)

2

0,5

(10)

244,86521 (làm tròn 244,9)

0,5

(3)

12

0,5

(11)

23,05112 (làm tròn 23)

0,5

(4)

0,00183

0,5

(12)

639,70680

0,5

(5)

3,76643

0,5

(13)

14,13717

0,5

(6)

-2,06035

0,5

(14)

7134

0,5

(7)

0,06881

0,5

(15)

636,17251

0,5

(8)

29,83875

0,5

II. PHẦN TỰ LUẬN (câu 5)
a. Các giá trị gần đúng được tính theo sơ đồ sau
y(x + h)  y ( x )  h[0, 02( y ( x )  25)]
Từ đó ta tính lần lượt và được y (3)  90,88344 (1,0đ)
Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV

1/4

b. Các giá trị gần đúng theo sơ đồ sau
h
y(x + h)  y ( x )  [0, 02( y ( x )  25)  0, 02( y(x + h)  25)]
2
Trong đó y(x + h) được giải chính xác từ phương trình trên hoặc giải bằng PP lặp đơn 1 bước
lặp theo sơ đồ
y0 (x + h) = y ( x )  h[ 0,02( y ( x )  25)]
h
y(x + h)  y1 (x + h) = y ( x )  [ 0,02( y ( x )  25)  0, 02( y0 (x + h)  25)]
2
Từ đó ta tính lần lượt và được y (3)  90, 92379 (0,5đ)
c. y '(3)  0, 02(90,88344  25)  1, 31767 (0,5đ)
d. Ta có y ( x )  25  (95  25)e 0,02 x nên y '( x )  0,02  (95  25)  e 0,02 x  0,02  ( y  25)
và y (0)  25  (95  25)e 0,020  25  95  25  95
Vậy y ( x )  25  (95  25)e 0,02 x là nghiệm của phương trình vi phân đã cho (0,25đ)

Tính sai số: (0,25đ)
y (3)  25  (95  25)e 0,06  90,92352
Sai số của kết quả câu a là | 90, 92352  90,88344 | 0, 04008

Sai số của kết quả câu b là | 90, 92352  90, 92379 | 0, 00027

Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV

2/4