PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THẠCH HÀ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9
NĂM HỌC 2018-2019
Bài 1.
a) Tính giá trị của A 4 15
10 6
4 15
b) Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
2018
2019
M
M
x2 2 x 3
x 2x 3
Bài 2. a) Cho 3 số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn a b c 0. Chứng minh:
1 1 1
1 1 1
a 2 b2 c 2 a b c
1 1
1 1
1
1
2 1 2 2 .... 1
2
2
1 2
2 3
2018 20192
Bài 3. a) Cho đa thức f x , tìm dư của phép chia f x cho x 1 x 2 . Biết
b) Tính giá trị của B 1
rằng f x chia cho x 1dư 7 và f x chia cho x 2 dư 1
b) Giải phương trình x3 3x2 2 x 6 0
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 y 2 17 2 xy
Bài 4. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a
b
c
a)
2
bc ca ab
1
1
1
b)
là độ dà ba cạnh của một tam giác.
;
;
ab bc ca
Bài 5.
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , trung tuyến AM , phân giác
4
AI . Tính HI , IM biết rằng AC AB và diện tích tam giác ABC là 24cm2
3
2) Qua điểm O nằm trong ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song với ba cạnh
của tam giác. Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC lần lượt
tại E và D, đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại
M và N, đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB, BC lần lượt tại
F , H . Biết diện tích các tam giác ODH , ONE, OMF lần lượt là a 2 , b2 , c 2 .
a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo a, b, c
b) Chứng minh rằng S 3 a 2 b2 c2
ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) Ta có:
10 6 4 15 4 15 8 2
3 . 5 3 5 3 5 3 2
A 4 15
5
15
5 3
2
b) Điều kiện xác định của biểu thức M là
x 1
x 2 2 x 3 0 x 1 x 3 0
x 3
x 0
2 x 3 0
2
x3
Điều kiện xác định của biểu thức N là
x 2x 3 0 x 2x 3
Bài 2.
a) Ta có:
1 1 1
1
1 1 1 1 2 a b c
1 1 1
1
2
2 2 2
2
2
2
abc
a b c a b c
ab bc ca a b c
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2
2
a b c
a b c
a b c
b) Với n là số nguyên dương, từ câu a ta thay a 1, b n, c n 1 ta có:
2
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
2
1 2
1
2
2
2
1 n n 1
1 n n 1
n n 1
n n 1
Do đó:
1
1
1
4076360
1 1 1 1
B 1 1 .... 1
2019
2019
2019
1 2 2 3
2018 2019
Bài 3.
a) Gọi dư của phép chia f x cho x 1 x 2 là ax b
Ta có : f x p x . x 1 7 q( x). x 2 1 k x . x 1 x 2 ax b
a b 7
3a 6
a 2
Thay x 1, x 2 được
.
2
a
b
1
b
7
a
b
5
Do đó dư cần tìm là 2 x 5
b) Phương trình x3 x 2 4 x 2 4 x 6 x 6 0 x 1 x 2 4 x 6 0
Vì x2 4 x 6 x 2 2 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x 1
2
c) Phương trình x y 2 x 17 x y 2 x 12 42 .
2
2
2
2
Vì 2x chẵn nên ta có
y 2 1
y 3
x 2 y 2 1
y 2 1 y 1
2x 4
y 2 1
y 1
x 2 y 2 1
y 2 1 y 3
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là:
x; y 2;1; 2;3; 2; 3; 2; 1
Bài 4.
a
2a
. Tương tự:
bc abc
b
2b
c
2c
;
ca a bc a b a bc
Cộng vế theo vế các BĐT này lại ta được:
2 a b c
a
b
c
2
bc ca ab
abc
b)
Ta có :
a) Vì a b c
c a b 2c 2a 2b 3c 3a 2b 4c 4a a 2b c
4
1
a 2b c c a
1 1
4
1
1
4
với x, y 0 ta có
x y x y
a b b c a 2b c
1
1
1
Do đó
. Tương tự ta cũng có:
ab bc ca
1
1
1
1
1
1
,
bc ca ab ca ab bc
Áp dụng BĐT
Bài 5.
1)
A
C
B
M
H I
Diện tích tam giác ABC là 24cm2
AB 6(cm)
4
suy ra AB. AC 48 AB. AB 48
AC AB HC HB do
AC
8
cm
3
đó M nằm giữa H và C.
Ta có BC AB2 AC 2 10cm
Suy ra MB MC MA 5cm MAC cân MAC C mà C BAH
MAC BAH MAC 450 IAC và BAH 450 IAB . Do đó I nằm giữa
điểm H và điểm M.
AB 2
3,6cm
Áp dụng hệ thức lượng ta có: AB BH .BC BH
BC
2
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
IB AB 3
IB IC IB IC BC 10
30
IB (cm)
IC AC 4
3
4
3 4
7
7
7
24
5
cm và IM BM IB cm
35
7
Do đó: HI IB BH
2)
A
E
F
N
O
M
B
D
H
C
a) Dễ dàng nhận thấy các tam giác ABC, ODH , EON , FMO đồng dạng
với nhau
Các tứ giác AFOE, BMOD, CHON là các hình bình hành nên OD MB, EO FA
Ta có:
2
2
SODH OD MB
a
MB
S
S AB
AB AB
2
(1)
2
S EON EO FA
b
FA
S
S AB
AB AB
(2)
2
S FMO FM
c
FM
(3)
S
AB
S
AB
Cộng vế theo vế 1 , 2 , 3 ta có:
a b c MB FA FM
2
1 S a b c
AB
S
b) Ta có :
S 3 a 2 b2 c 2 a b c 3 a b c 2 a 2 b2 c 2 2 ab bc ca
2
a b b c c a 0 luôn đúng.
2
2
2
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c
Khi đó O là trọng tâm của tam giác ABC.
2