(Luận văn thạc sĩ) Một số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebra

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ HẰNG MƠ

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ,
GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ HẰNG MƠ

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ,
GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG

THÁI NGUYÊN - 2019

✶

▼ö❝ ❧ö❝
❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍
❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱
▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨ ●■❷■ ❚➑❈❍
✺
✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺
✺

✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✶✳✸✳ ▼ët sè ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✷✳ ▼ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ sè ❤å❝ ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t sè ✳

✾

✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷✳✷✳

❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ✈➲ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✶✳✷✳✹✳ ❈→❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ▲æ❣✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✶✳✷✳✺✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈î✐ ✣↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✶✳✷✳✻✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈î✐ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

❈❤÷ì♥❣ ✷ ❙Û ❉Ö◆● ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ▼❐❚ ❙➮ ❈❍❯❨➊◆
✣➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮✱ ●■❷■ ❚➑❈❍
✹✵
✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
✷✳✶✳✶✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❞↕♥❣ 1000...01 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
✷✳✶✳✷✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ ❞↕♥❣ 2p − 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶
n

✷✳✶✳✸✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ❞↕♥❣ 22 + 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺
✷✳✶✳✹✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❞↕♥❣ An = p2 p3 ...pn − 2 r❛ t❤ø❛ sè
♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼
✷✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✵

✷

✷✳✸✳ ❱➩ ✤ç t❤à ❤➔♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼
✷✳✹✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸
✷✳✹✳✶✳

❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

✷✳✹✳✷✳ ❱➲ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❞↕② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✾✾


✸

▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯
❉♦ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ✈÷ñt trë✐ ✭♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ❝â ❝➔✐ ✤➦t t✐➳♥❣ ❱✐➺t✱ ♣❤õ ❤➛✉
❤➳t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t❤➙♥ t❤✐➺♥✱✳✳✳✮✱

❜r❛

●❡♦❣❡✲

tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙② ✤➣ ✤÷ñ❝ ♣❤ê ❜✐➳♥ t↕✐ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ◆❤✐➲✉

❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✤➣ sû ❞ö♥❣

●❡♦❣❡❜r❛

tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ ✈✐➳t ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥

❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët ❝✉è♥ s→❝❤ ♥➔♦ ✈✐➳t

●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➯♥ ♠↕♥❣ t❤÷í♥❣ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ sû ❞ö♥❣
●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝❤÷❛ ❝â ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ ✈✐➳t ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤✉②➯♥ s➙✉✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ t❤✉②➳t ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣
✈➲

❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❣ç♠ ❤❛✐ ❈❤÷ì♥❣✳
❈❤÷ì♥❣ ✶ t➟♣ ❤ñ♣ ♠ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛

●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t

sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ♥❤➡♠ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼➦❝ ❞ò ❝❤÷❛ ❧✐➺t ❦➯
✤➛② ✤õ ❝→❝ ❧➺♥❤ ✈➔ ❝❤÷❛ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❤➳t ❝→❝ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣

●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣

❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ ❤✐ ✈å♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❧➔
t➔✐ ❧✐➺✉ ❝â ➼❝❤ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❛✐ ♠î✐ ❜➢t ✤➛✉ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈î✐
❈❤÷ì♥❣ ✷ ❣ç♠ ❜è♥ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✶

♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣

●❡♦❣❡❜r❛✳

❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛

tr♦♥❣ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✷

♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣

❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛

tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳
❈â t❤➸ ❝♦✐

●❡♦❣❡❜r❛

♥❤÷ ♠ët

❝æ♥❣ ❝ö t❤➼ ♥❣❤✐➺♠

✤➸ t➻♠ r❛ q✉② ❧✉➟t tr♦♥❣

♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❤♦➦❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ♣❤➛♥
❍➔♠ sè ✈➔ ✣ç t❤à✱ ♠ët ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣✳
❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✹ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ t➼♥❤ ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦❤â ❝❤➾ ❜➡♥❣ ♠ët ❧➺♥❤

P ừ r ỗ tớ ú tổ ụ t
r tr t

r sốt q tr ồ t ự t tổ
ữủ sỹ ú ù ừ t ổ ợ tt
t ỏ t tổ tọ ỏ t ỡ s s tợ P
Pữủ ữớ t t ú ù ữợ tổ tỹ
ự õ ỵ sỷ ỳ tổ t
ổ t ỡ ổ rữớ ồ ồ
ồ t t tr t tổ tự tr sốt
ồ t t tổ tr q tr ự
tr qỵ t tổ tr sốt ở ớ
ổ tọ ỏ t ỡ s s t t ừ tổ
ỳ ữớ ổ tổ ừ ở ở ộ ỹ ỳ
tổ t ồ t t õ ồ
ố ũ tổ ú qỵ ổ ỗ
sự ọ t ổ tr sỹ
ổ t ỡ


✺

❈❤÷ì♥❣ ✶

▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍
❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆
❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱
▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨
●■❷■ ❚➑❈❍

✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛
✶✳✶✳✶✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛
●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✤➢❝ ❧ü❝ trñ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
t♦→♥ ❤å❝✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷ñ❝ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣
❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝ ✭sè ❤å❝✱ ✤↕✐ sè✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱
t♦→♥ t❤è♥❣ ❦➯✱✳ ✳ ✳✮✱ ❞♦ ✤â r➜t t✐➺♥ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t
tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣ t❤❡♦ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ♠î✐ ✈î✐ ✤à♥❤
❤÷î♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ ♥➠♥❣ ❧ü❝✱ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ ❤å❝ s✐♥❤ tü ❤å❝✱ tü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛

●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ✈➔ ❝â

t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ✤ê✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú✱ t❤➼ ❞ö✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱
❝➔✐ ✤➦t ✈➔ t❤❛♦ t→❝ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❤✉➟♥ t✐➺♥✳ ❈â t❤➸ ❧➯♥ ♠↕♥❣ t↔✐

●❡♦❣❡❜r❛✱ t➻♠

❤✐➸✉ ❝➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ ✈✐➳t ✭t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ t✐➳♥❣ ❆♥❤✮ ❤♦➦❝ q✉❛
❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ð ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

●❡♦❣❡❜r❛ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ð ❱✐➺t ◆❛♠ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✱ ✈➔ ✤➣ ✤÷ñ❝
♥❤✐➲✉ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✭tø ❧î♣ ✻ ✤➳♥ ❧î♣ ✶✷ ✈➔ ✣↕✐ ❤å❝✮ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ tr♦♥❣




tỹ s t q tốt õ t sỷ
ử

r ở ỗ t t t tỹ t

t t ồ ự t t ởt số r tứ số tố t
tự r tứ số ỡ tự t t tố
ổ t tớ

r ụ ữủ ữ ữỡ tr ồ r ồ ỡ s
ợ r õ t ữợ ồ s ự ọ ữ t
ởt số tt số tố tr q ỳ t ồ
tỹ t ử õ t sỷ ử õ tố st tr ở ồ
t ừ ồ s ởt trữớ ở tờ tr ừ số ởt ợ
ỳ ỳ tỹ ỳ ợ

t
ttrr t
t ồ r s ở ữỡ tr
ữ ữợ

s ổ ỳ ử tứ t s t t

ts tr t ổ ử ồ ồ ồ
ts t ữủ t t ữ ữợ



✼

✶✳✶✳✸✳ ▼ët sè ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝❤➼♥❤
• ❈❤å♥ ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝✿ ❑❤✐ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s➩ ①✉➜t ❤✐➺♥
❜↔♥❣ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❞ò♥❣ ✤➸ ❧ü❛ ❝❤å♥ ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❣ç♠✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ✣ç
t❤à❀ ❍➻♥❤ ❤å❝❀ ❱➩ ✤ç ❤å❛ ✸❉❀ ❳→❝ s✉➜t t❤è♥❣ ❦➯✱✳✳✳ ▼æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝

✤÷ñ❝ ♠➦❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ✣↕✐

sè ✈➔ ✣ç t❤à✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤♦ ➞♥✴❤✐➺♥ ❜↔♥❣

♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❧✐❝❦ ❝❤✉ët ✈➔♦ ❜✐➸✉ t÷ñ♥❣ ♠ô✐ t➯♥ ð ❝↕♥❤ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ❝û❛
sê ✤➸ ❝❤å♥ ❧↕✐ ♠ët ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➳ ✤ë
❝â t❤❛♥❤

◆❤➟♣ ❧➺♥❤

✣↕✐ sè ✈➔ ✣ç t❤à

ð ❞÷î✐ ❝ò♥❣ ❝õ❛ ❝û❛ sê ❞ò♥❣ ✤➸ ♥❤➟♣ ❧➺♥❤ trü❝ t✐➳♣ ❦❤✐

✈➩ ❤➻♥❤✱ t➼♥❤ t♦→♥ ✭❍➻♥❤ ❞÷î✐✮✳


✽

●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ✤÷ñ❝ ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ✈✐➺❝✿ sè ❤å❝✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t❤è♥❣ ❦➯
✈➔ ①→❝ s✉➜t✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ✈❛✐ trá ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣
trñ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❤➻♥❤ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ trü❝ q✉❛♥✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤ë♥❣✱ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ✈➩
❤➻♥❤✱ ✈➩ t❤✐➳t ❞✐➺♥ ✈➔ ①♦❛②✱ t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤✱✳✳✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛

●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝✱ ▲þ

t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ ①→❝ s✉➜t
t❤è♥❣ ❦➯ ❝â t❤➸ ①❡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ð ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛
√
✶✳ sqrt(x) : ❈➠♥ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ x ✭ x✮
✷✳ ❛❜s(x) : ❚rà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ x ✭|x|✮✳
✸✳ ❢❧♦♦r(x) : ❍➔♠ s➔♥✱ ❤➔♠ ♣❤➛♥ ♥❣✉②➯♥ ✭sè ♥❣✉②➯♥ ❧î♥ ♥❤➜t ❦❤æ♥❣ ✈÷ñt q✉→

x✮✳
❱➼ ❞ö✿ ❢❧♦♦r(3.14) = 3;

√
❢❧♦♦r(− 2) = −2.

✹✳ ❝❡✐❧(x) : ❍➔♠ tr➛♥ ✭sè ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❧î♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ x✮✳
√
❱➼ ❞ö✿ ❝❡✐❧(3.14) = 4;
❝❡✐❧(− 2) = −1.
✺✳ r♦✉♥❞(x) : ▲➔♠ trá♥ ♠ët sè tî✐ ♠ët sè ❝❤ú sè ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤✳
❱➼ ❞ö✿
❛✳ ▲➔♠ trá♥ sè 23, 7825 ✤➳♥ ❤❛✐ ❝❤ú sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿
r♦✉♥❞(23.7855, 2) = 23.79.
❜✳ ▲➔♠ trá♥ sè 21, 5 ✤➳♥ ♠ët ✈à tr➼ t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✈➲ ❜➯♥ tr→✐ ❝õ❛ ❞➜✉ t❤➟♣ ♣❤➙♥✿
r♦✉♥❞(21.5, −1) = 20.
✻✳ ❡①♣(x) : ex .
✼❛✳ ❧❣(x) : ❧æ❣❛r✐t t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✭❧➔ log10 x ✮✳
✼❜✳ ❧♥(x) : ▲æ❣❛r✐t tü ♥❤✐➯♥ ✭❧➔ ❧æ❣❛r✐t ❝ì sè e✮✳
✽✳ ❍➔♠ sè ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝✿ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x).
ex − e−x
✾✳ s✐♥❤(x) :=
.
2

ex + e−x
✶✵✳ ❝♦s❤(x) :=
.
2
s✐♥❤(x)
✶✶✳ t❛♥❤(x) :=
.
❝♦s❤(x)


✾

✶✷✳ ❝♦t❤(x) :=

❝♦s❤(x)
.
s✐♥❤(x)

✶✸✳ s❡❝(x) := s❡❝❤(x) = (❝♦s❤(x))−1 =
✶✹✳ ❝♦s❡❝(x) := ❝s❝❤(x) = (s✐♥❤(x))−1
✶✺✳ s❣♥(x) : ❍➔♠ ❞➜✉✳
❱➼ ❞ö✿ s✐❣♥(π) = 1;

2
.
ex + e−x
2
= x
.
e − e−x

s✐❣♥(−π) = −1.

✶✳✷✳ ▼ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ sè ❤å❝ ✈➔ ❧þ
t❤✉②➳t sè
✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ♥❣✉②➯♥ tè
❛✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ r❛ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè
●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❦❤→ ❧î♥ r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ✐❢❛❝t♦r
❱➼ ❞ö ✶✳✶✿ P❤➙♥ t➼❝❤ sè 2410199501091995281220171308199315081988 r❛
t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✿ P❤➙♥ t➼❝❤ sè 2

(26 )

+ 1 r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❜✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✤ù♥❣ ♥❣❛② s❛✉ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ N
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ♥❡①t♣r✐♠❡✭◆✮
❱➼ ❞ö ✶✳✸✿ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✤ù♥❣ ♥❣❛② s❛✉
123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654321


✶✵

◆❤➟♥ ①➨t✿ ◆➳✉ ❞ò♥❣ ❧➺♥❤

✐❢❛❝t♦r (123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654433)

t❤➻ ●❡♦❣❡❜r❛ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ❞♦ sè q✉→ ❧î♥✳ ◆❤÷♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈➝♥ t➻♠
✤÷ñ❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✤ù♥❣ s❛✉ ♥â✳

❝✳ ❑✐➸♠ tr❛ ♠ët sè ❝â ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤æ♥❣
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❈âP❤↔✐◆❣✉②➯♥❚è✭❁❙è❃✮ ❤♦➦❝ ■s♣r✐♠❡✭❁♥✉♠❜❡r❃✮
❱➼ ❞ö ✶✳✹✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❈âP❤↔✐◆❣✉②➯♥❚è✭❁❙è❃✮ ❦✐➸♠ tr❛ sè 290324022019
❝â ♣❤↔✐ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤æ♥❣✳

❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r t❛ ✤÷ñ❝✿

❱➼ ❞ö ✶✳✺ ✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ■s♣r✐♠❡✭❁♥✉♠❜❡r❃✮ ❦✐➸♠ tr❛ sè 121499449 ❝â
♣❤↔✐ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤æ♥❣✳


✶✶

❱➼ ❞ö ✶✳✻✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ■s♣r✐♠❡✭❁♥✉♠❜❡r❃✮ ❦✐➸♠ tr❛ sè 290324022019
❝â ♣❤↔✐ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤æ♥❣✳

✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❞÷
❛✳ ❚➻♠ t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ♠ët sè a ❝❤♦ ♠ët sè b
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ P❤➨♣❈❤✐❛✭❁❙è ❜à ❝❤✐❛❃✱❁❙è ❝❤✐❛❃✮ ❤♦➦❝ ❞✐✈✐s✐♦♥✭✱✮✳
❱➼ ❞ö ✶✳✼✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❞✐✈✐s✐♦♥✭✱✮ t➻♠ t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè
2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021✳

❱➟② t❤÷ì♥❣ ✈➔ ♣❤➛♥ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021 ❧➔

998120643340 ✈➔ 1880.

❱➼ ❞ö ✶✳✽✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❞✐✈✐s✐♦♥✭✱✮ t➻♠ t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè

103200610320061032006 ❝❤♦ sè 2010.


✶✷

❱➟② t❤÷ì♥❣ ✈➔ ♣❤➛♥ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021 ❧➔

998120643340 ✈➔ 1880.

❱➼ ❞ö ✶✳✾ ✿

❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤

P❤➨♣❈❤✐❛✭❁❙è ❜à ❝❤✐❛❃✱❁❙è ❝❤✐❛❃✮ t➻♠

t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè 1000000001 ❝❤♦ sè 11.

❱➟② 1000000001 ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ 11✱ ✤÷ñ❝ t❤÷ì♥❣ ❧➔ 90909091.

❜✳ ❚➻♠ sè ❞÷ ❦❤✐ ❝❤✐❛ ♠ët sè a ❝❤♦ ♠ët sè b
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❙♦❉✉✭❁❙è ❜à ❝❤✐❛❃✱❁❙è ❝❤✐❛❃✮
❱➼ ❞ö ✶✳✶✵ ✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❙♦❉✉✭❁❙è ❜à ❝❤✐❛❃✱❁×î❝ sè❃✮ t➻♠ sè ❞÷
❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021.

❱➟② sè ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021 ❧➔ 1880.

❝✶✳ ×î❝ sè
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❯♦❝❙♦✭❁❙è❃✮
▲➺♥❤ ❯♦❝❙♦✭❁❙è❃✮ ❝❤♦ ♣❤➨♣ t➼♥❤ t➜t ❝↔ ❝→❝ ÷î❝ sè ❝õ❛ sè ✤➣ ❝❤♦✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✶✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❯♦❝❙♦✭❁❙è❃✮ t➻♠ sè ÷î❝ sè ❝õ❛ sè 1000000001✳


✶✸

❝✷✳ ❉❛♥❤ s→❝❤ ÷î❝ sè
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭ ❁❙è❃✮
▲➺♥❤ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭❁❙è❃✮✿ ❈❤♦ ❜↔♥❣ ❞❛♥❤ s→❝❤ ❧✐➺t ❦➯ t➜t ❝↔ ❝→❝ ÷î❝
sè ❝õ❛ sè ✤➣ ❝❤♦✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✷✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭ ❁❙è❃ ✮ ❧✐➺t ❦➯ ❝→❝ ÷î❝ sè
❝õ❛ sè 1000000001✳

❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭✶✵✵✵✵✵✵✵✵✶✮
1, 7, 11, 13, 19, 77, 91, 133, 143, 209, 247, 1001, 1463, 1729, 2717, 19019, 52579, 368053, 578369,
683527, 999001, 4048583, 4784689, 6993007, 7518797, 10989011, 12987013, 52631579, 76923077,
90909091, 142857143, 1000000001✳
❱➟② 1000000001 ❝â 32 ÷î❝ sè✱ trò♥❣ ✈î✐ ✈➼ ❞ö ✶✳

❝✸✳ ❚ê♥❣ ÷î❝ sè
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿❚ê♥❣×î❝❙è✭❁❙è❃ ✮
▲➺♥❤ ❚ê♥❣×î❝❙è✭❁❙è❃✮ ❝❤♦ t➜t ❝↔ ❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛ ×î❝ sè ✤➣ ❝❤♦✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✸✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚ê♥❣×î❝❙è✭ ❁❙è❃ ✮ t➻♠ tê♥❣ ÷î❝ sè ❝õ❛ sè
1000000001✳

❑✐➸♠ tr❛✿ 1 + 7 + 11 + 13 + 19 + 77 + 91 + 133 + 143 + 209 + 247 + 1001 +

1463 + 1729 + 2717 + 19019 + 52579 + 368053 + 578369 + 683527 + 999001
+4048583 + 4784689 + 6993007 + 7518797 + 10989011 + 12987013 + 52631579 +
76923077 + 90909091 + 142857143 + 1000000001 = 1413350400✳

❞✳ ❚➻♠ ❜ë✐ sè ❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿
❇❙❈◆◆ ✭❁❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮❀ ❇❙❈◆◆✭❁sè❃✱❁sè❃✮ ❤♦➦❝ ❧❝♠✭✱✮


✶✹

❱➼ ❞ö ✶✳✶✹✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❇❙❈◆◆✭❁sè❃✱❁sè❃✮ t➻♠ ❜ë✐ sè ❝❤✉♥❣ ♥❤ä
♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ sè 2410199501091995, 2812201711122017.

❍❛✐ sè 2410199501091995 ✈➔ 2812201711122017 ❝â
❇❙❈◆◆❂6777967161116340019928186953915.
▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔✱ t❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❤❛✐ sè ✤➣ ❝❤♦ r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè

❱➻ 2410199501091995 ✈➔ 2812201711122017 ❦❤æ♥❣ ❝â ÷î❝ ❝❤✉♥❣ ♥➯♥ ❇❙❈◆◆
❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✺ ✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❧❝♠✭✱✮ t➻♠ ❜ë✐ sè ❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ sè

2410199501091995, 2812201711122017.

❱➼ ❞ö ✶✳✶✻✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❇❙❈◆◆✭❁❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮ t➻♠ ❜ë✐ sè
❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ sè A = 118932, B = 157993, C = 38743.
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ✈➲ ❇❙❈◆◆ ❝õ❛ ❜❛ sè ❆✱❇✱❈ t❛ ❝â ❇❙❈◆◆✭❆✱❇✱❈✮❂❇❙❈◆◆✭❇❙❈◆◆✭❆✱❇✮✱❈✮✳
❱➟② ✤➸ t➻♠ ❇❙❈◆◆ ❝õ❛ ❜❛ sè ❆✱ ❇✱❈✱ t❛ ✤➦t ❊ ❂ ❇❙❈◆◆✭❆✱❇✮✱ s❛✉ ✤â t➻♠


✶✺

❇❙❈◆◆✭❊✱❈✮ t❛ ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ ❝➛♥ t➻♠✳
❈→❝❤ ✶✿

❍♦➦❝

❈→❝❤ ✷✿

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❛ t➼♥❤


✶✻

◆❤÷ ✈➟②✱ ❇❙❈◆◆ ❝õ❛ ❆✱ ❇✱ ❈ ❝❤➼♥❤ ❧➔

22 × 3 × 11 × 17 × 43 × 53 × 271 = 1385914596.

▲÷✉ þ✿❙❛✉ ❦❤✐ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ❊✿❂❇❙❈◆◆✭❆✱❇✮✱ ♠→② tü ✤ë♥❣ ❤✐➸♥ t❤à ❊ tr➯♥ ❞❛♥❤
s→❝❤ ❍✐➸♥ t❤à ✤è✐ t÷ñ♥❣✳

❡✳ ❚➻♠ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿
❯❙❈▲◆✭❁❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮❀ ❯❙❈▲◆✭❁sè❃✱❁sè❃✮ ❤♦➦❝ ❣❝❞✭✱✮
❱➼ ❞ö ✶✳✶✼✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❯❙❈▲◆✭❁sè❃✱❁sè❃✮ t➻♠ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❝õ❛
❤❛✐ sè 2410199501091995, 2812201711122017.

❍❛✐ sè 24101995 ✈➔ 01091995 ❝â ❯❙❈▲◆❂1.
▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔✱ t❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤ r❛ t❤ø❛ sè✿


✶✼

❍❛✐ sè ❦❤æ♥❣ ❝â ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❦❤→❝ 1 ♥➯♥ ❯❙❈▲◆ ❧➔ 1.

❱➼ ❞ö ✶✳✶✽✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❯❙❈▲◆✭❁❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮ t➻♠ ÷î❝ sè

❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❜❛ sè 2000, 1975, 1910.
▼✉è♥ t➻♠ ❯❙❈▲◆ ❝õ❛ ❜❛ sè 2000, 1975, 1910 t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ❯❙❈▲◆ ❝õ❛ ❤❛✐ sè

2000, 1975 ❜➡♥❣ 25 s❛✉ ✤â t➻♠ ❯❙❈▲◆ ❝õ❛ 25 ✈➔ 1910.

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔✱ t❛ t➼♥❤✿

❱➼ ❞ö ✶✳✶✾✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❣❝❞✭✱✮ t➻♠ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ sè
24101995, 01091995.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✵✿

❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤

2000, 1975, 1910.

❣❝❞✭✱✮ t➻♠ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❜❛ sè


✶✽

❢✳ ▼➝✉ sè ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿▼❛✉❙♦❈❤✉♥❣✭ ❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃✱ ❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃ ✮
❱➼ ❞ö ✶✳✷✶✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ▼❛✉❙♦❈❤✉♥❣✭ ❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃✱ ❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃
✮ t➻♠ ♠➝✉ sè ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ 121 , 211 ✳

❣✳ ❈❤✉②➸♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ♠ët sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè a s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè b
❣✶✳ ❈❤✉②➸♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ♠ët sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè a s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭ ✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧✱❁❈ì
sè❃ ✮
Ð ✤➙②✱✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧ ❧➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè ✤➣ ❝❤♦✱ ❁❈ì
sè❃ ❧➔ ❝ì sè ♠➔ sè ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t✱ ❦➳t q✉↔ ❧➔ sè tr♦♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✷✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭ ✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥
❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥ sè 1000001 tø ❤➺ ❝ì sè 2 s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷ s❛✉✿

10000012 = 1.26 + 0.25 + 0.24 + 0.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20


✶✾

= 64 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 65.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✸✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤
❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥
sè 10002 tø ❤➺ ❝ì sè 3 s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷ s❛✉✿

100023 = 1.34 + 0.33 + 0.32 + 0.31 + 2.30
= 81 + 0 + 0 + 0 + 2
= 83.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✹✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤
❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥
sè 10004 tø ❤➺ ❝ì sè 3 s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

▼→② ✤➦t ❞➜✉ ❄ ✈➻ tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè 3 ❦❤æ♥❣ ❝â sè 10004.

❣✷✳ ❈❤✉②➸♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ♠ët sè tr♦♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥ s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè b
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❈❤✉②➸♥❍➺✣➳♠✭❁❙è❃✱❁❈ì sè❃✮
Ð ✤➙②✱ ❁❙è❃ ❧➔ ❜✐➸✉ ❝õ❛ sè tr♦♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✱ ❁❈ì sè❃ ❧➔ ❝ì sè ♠➔ t❛ ❝➛♥
❝❤✉②➸♥ sè ✤➣ ❝❤♦ s❛♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✺✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❍➺✣➳♠✭❁❙è❃✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥

sè 10001 tø ❤➺ ❝ì sè 10 s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè 2✳


✷✵

❱➼ ❞ö ✶✳✷✻✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❍➺✣➳♠✭❁❙è❃✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥ sè
65 tø ❤➺ ❝ì sè ✶✵ s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè 7.

❣✸✳ ❈❤✉②➸♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ♠ët sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè a s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè b
❇÷î❝ ✶✿ ❈❤✉②➸♥ ♠ët sè tø ❤➺ ❝ì sè a s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè 10 t❤❡♦ g1.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✼✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤
❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥
sè 10002 tø ❤➺ ❝ì sè 3 s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

❇÷î❝ ✷✿ ❈❤✉②➸♥ sè ✈ø❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè 10 s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè b t❤❡♦ g2.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✽✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❍➺✣➳♠✭❁❙è❃✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥ sè
83 tø ❤➺ ❝ì sè ✶✵ s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè 7.


✷✶

✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ✈➲ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤
❛✳ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✭tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤➙♥✮
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✿ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤➙♥ ❝õ❛ n sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ x1.x2..., xn > 0 ❧➔
√
n

x1 , x2 ...xn

❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❍✐♥❤❍♦❝✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
❱➼ ❞ö ✶✳✷✾✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❍✐♥❤❍♦❝✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
t➻♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤➙♥ ❝õ❛ ❝→❝ sè 15, 17, 19, 21✳

❑✐➸♠ tr❛ tr➯♥

❈❛s✐♦ ❢①✲✺✽✵❱◆❳✿

❑✐➸♠ tr❛ tr➯♥

●❡♦❣❡❜r❛✿

▲÷✉ þ r➡♥❣ ✤→♣ sè ❝â t❤➸ ❝❤➾ ❧➔ ❣➛♥ ✤ó♥❣✳

❜✳ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤✐➲✉ ❤á❛
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✿ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❝õ❛ n sè t❤ü❝ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ x1, x2, ..., xn

❧➔

H=

n
1
1
1
+
+ ... +
x1 x2
xn

❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❉✐❡✉❍♦❛✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
❱➼ ❞ö ✶✳✸✵✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❉✐❡✉❍♦❛✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
t➻♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❝õ❛ ❝→❝ sè 14, 17, 29, 56.


✷✷

❑✐➸♠ tr❛ tr➯♥

❈❛s✐♦ ❢①✲✺✽✵❱◆❳✿

❑✐➸♠ tr❛ tr➯♥

●❡♦❣❡❜r❛✿

❝✳ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝➠♥ t❤ù❝
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❈❛♥❚❤✉❝✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮

❱➼ ❞ö ✶✳✸✶✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❈❛♥❚❤✉❝✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
t➻♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝➠♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❤❛✐ sè 1 ✈➔ 3.

✶✳✷✳✹✳ ❈→❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ▲æ❣✐❝
❍❛✐ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❝â ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❦❤æ♥❣
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤æ♥❣✭❁✣è✐ t÷ñ♥❣❃✱❁✣è✐ t÷ñ♥❣❃✮
▲➺♥❤ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤æ♥❣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ s♦ s→♥❤ ❤❛✐ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❝â ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❤❛②
❦❤æ♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✷✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤æ♥❣✭❁✣è✐ t÷ñ♥❣❃✱❁✣è✐ t÷ñ♥❣❃✮
s♦ s→♥❤ 3, 14 ✈➔ π.


✷✸

❱➼ ❞ö ✶✳✸✸✿
❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤æ♥❣✭❁✣è✐ t÷ñ♥❣❃✱❁✣è✐ t÷ñ♥❣❃✮
√
s♦ s→♥❤ √

√
2+1
✈➔ 3 + 2 2.
2−1

✶✳✷✳✺✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈î✐ ✣↕✐ sè
❛✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❢❛❝t♦r
❱➼ ❞ö ✶✳✸✹ ✭❚❤✐ ❍❙● ❧î♣ ✽✱ ❤✉②➺♥ ●✐❛♦ ❚❤õ②✱ ✷✵✶✺ ✲ ✷✵✶✻✮ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛
t❤ù❝ x2 (y − z) + y 2 (z − x) + z 2 (x − y) t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✿

●✐↔✐
x2 (y − z) + y 2 (z − x) + z 2 (x − y) = x2 (y − z) + y 2 z − y 2 x + z 2 x − z 2 y
= x2 (y − z) + (y 2 z − z 2 y) − (y 2 x − z 2 x)
= x2 (y − z) + yz(y − z) − x(y 2 − z 2 )
= x2 (y − z) + yz(y − z) − x(y − z)(y + z)
= (y − z)(x2 + yz − xy − xz)
= (y − z)[x(x − y) − z(x − y)]
= (y − z)(x − y)(x − z).