Đề thi HSg toán 9 - Quảng Trị

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2008 – 2009
Môn : Toán
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
− + +
= − −
− + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .
Bài 2 (4 điểm)
Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
2 2
1 2
2 1
3
x x

x x
   
+ ≥
 ÷  ÷
   
.
Bài 3 (3 điểm)
Cho x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 1
M
x y
= +
.
Bài 4 (2 điểm)
Cho phương trình :
2 2
2
2 2 2 2
x x
x x
+ −

+ =
+ + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
b) Giải phương trình .
Bài 5 (6 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và
AB BD⊥
. Hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và
đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB
a) Chứng minh
FDG
∆
đồng dạng với
ECG
∆
.
b) Chứng minh
EGF F
⊥
.
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
KÌ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2008-2009
Giải
Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức
2 9 3 2 1

5 6 2 3
x x x
A
x x x x
− + +
= − −
− + − −
.
c) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
d) Rút gọn biểu thức A .
Điều kiện :
0; 4; 9x x x≥ ≠ ≠

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 9 3 2 1
5 6 2 3
2 9 3 2 1
=
2 3
3 2
2 9 3 3 2 1 2
=
3 2
2 9 9 2 4 2

=
3 2
1 2
2 1
=
3
3 2 3 2
x x x
A
x x x x
x x x
x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x
x
x x x x
− + +
= − −
− + − −
− + +
− +
− −
− −
− − + − + + −
− −

− − + + + − −
− −
+ −
− − +
= =
−
− − − −
Bài 2 (4 điểm)
Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x
   
+ ≥
 ÷  ÷
   
.
Phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x

1
; x
2

, 2 2
4 0 4(*)k k⇔ ∆ = − > ⇔ >
.
Khi đó ta có :
1 2
1 2
2
4
x x k
x x
+ = −


=

Vậy :
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
3 3 3
2 3
4 8
3 2 3
4
2 3
2 3
(**)
2 3
x x x x
x x x x
x x x x x x
k
k
k
k
k
k
 
+ −
     
+

+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 ÷  ÷  ÷
 
     
 

− ≤ −
 
−
⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔

 ÷
− ≥
 



≤ −
⇔

≥ +


Kết hợp (*) và (**) ta có :
2
2
4
2
k

k
k
≤ −

≥ ⇔

≥

Vậy để phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa :
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x
   
+ ≥
 ÷  ÷
   
thì :
2x
< −
và
2x

>
.
Bài 3 (3 điểm)
Cho x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 1
M
x y
= +
.
Ta có : x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) +4(x + y) + 4 = 0
⇔
x
3

+ 3x
2
+ 3x +1 + y
3
+ 3y
2
+ 3y + 1 + x + y + 2 = 0
⇔
(x + 1)
3
+ (y + 1)
3
+ (x + y + 2) = 0
⇔
(x + y + 2)[(x + 1)
2
– (x + 1)(y + 1) + (y + 1)
2
+ 1] = 0 (*)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
V x 1 – x 1 y 1 y 1 1
1 3
= 1 1 1 1 0
2 4
ì
x y y

+ + + + + +
 
+ − + + + + >
 
 
Nên (*)
⇔
x + y + 2 = 0
⇔
x + y = - 2
1 1 2
Ta c :
x y
ó M
x y xy xy
+ −
= + = =
vì
( )
2
1 2
4 4 4 1 2x y xy xy
xy xy
−
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ −
.
Vậy MaxM = -2
⇔
x = y = -1 .
Bài 4 (2 điểm)

Cho phương trình :
2 2
2
2 2 2 2
x x
x x
+ −
+ =
+ + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
b) Giải phương trình .
a) điều kiện :
0 4x
< ≤
2 2
b) 2
2 2 2 2
2 2
2 (1)
2 4 2 2 4 2
x x
x x
x x
x x
+ −
+ =
+ + − −
+ −
⇔ + =

+ + − −
Đặt
4 2 x+
= a ;
4 2 x−
= b ( a ; b
≥
0) .
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
8
Ta c :
2
2 2
8

2 8 4 2
8
4 2 4 0
8
(I)
2 4 0

a b
ó
a b
a b
a b
a b ab a b a b ab
a b
a b ab ab
a b
a b ab

+ =


+ =

+ −


+ =


+ − − = + − −



+ =

⇔


− + − + =



+ =

⇔

− − + =


Vì ab + 4 > 0 nên :
( )
( )
2
2
2
2 8
2
2
2
2
2

1 3
2
2
2 2 0
1 3 (loai v a 0)
3 1 4 2 3 1

3
3 1
4 2 3 1
ab
a b ab
I
a b
a b
b
b
a
b
a
a
a
a
a a
a
a ì
a x
x
b
x

=
− + =

⇔ ⇔
 
− =

− =





=


=

=
  
⇔ ⇔ ⇔
  

= +
  
− =
− − =





= − <






= + + = +
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
= −


− = −



Bài 5 (6 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và
AB BD⊥
. Hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và
đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB
c) Chứng minh
FDG
∆
đồng dạng với
ECG
∆
.
d) Chứng minh
EGF F
⊥
.
ABCD : AB // CD ; CD > AB ;

AB BD⊥
.
AB BD⊥
; AG = CE ; BG = DF .
Chứng minh :
a)
FDG
∆
~
ECG
∆
.
b)
EGF F⊥
Chứng minh :
a) Ta có AB // CD
BG GD
AG GC
⇒ =
, mà AG = CE ; BG = DF
DF GD
CE GC
⇒ =
Xét
FDG
∆
và
ECG
∆
có :

·
·
0
; 90
DF GD
GDF GCE
CE GC
= = =

FDG
⇒ ∆
~
ECG
∆
( c-g-c)
b) Ta có
FDG
∆
~
ECG
∆

·
·
GFD GEC⇒ =

⇒
GFCE nội tiếp
⇒

·
·
GCE GFE=
cùng chắn
»
GE

mà
·
·
0 0
90 90GCE GFE GF FE= ⇒ = ⇒ ⊥
\\
//
X
X
F
E
D
C
G
B
A