ty số lượng giác 9

Bài 1 . Cho tam giác ABC vuông cân tại A ; AB = AC = a ; O trung điểm BC; M
trung điểm AC, trên BC lấy điểm D sao cho BD = 2 DC
a. Chứng minh BM
⊥
AD
b. Tính sinBAD
Giải
a/ BD = 2DC => BC = a
2
= 3DC => BD =
2a 2
3
;
DC =
a 2
3
; OD = OC – DC =
a 2
2
-
a 2
3
=
a 2
6
Trong tam giác ABC có G trọng tâm =>
OG 1
OA 3
=
OD
OC

=
a 2
6
:
a 2
2
=
1
3
=>
OD
OC
=
OG 1
OA 3
=
=> GD // AC => DK
⊥
AB.
Vậy trong tam giác ABD G là trực tâm => AD
⊥
B
b./ Trong tam giác vuông AHD => sinBAD =
KD
AD
KD
AC
=
2
3

=> DK = AC.
2
3
=
2a
3
; AD
2
= AO
2
+ OD
2
=
2
a 2
2
 
 ÷
 ÷
 
+
2
a 2
6
 
 ÷
 ÷
 
AD
2

=
2
2a
4
+
2
2a
36
=
2
18a
36
+
2
2a
36
=
2
20a
36
= AD =
a 5
3
sinBAD =
KD
AD
=
2a
3
:

a 5
3
=
2 5
5

sinBAD =
2 5
5
Bài 2 .Cho tam giác ABC có H trực tâm và là trung điểm của đường cao AH.
Chứng minh : tgB.tgC = 2

Giải.
tgB =
AD
BD
; tgC =
AD
DC
=> tgB. tgC =
AD
BD
.
AD
DC
∆ADB ∽ ∆ CDH =>
AD
CD
=
DB

DH
=> AD.DH = CD.DB
=> AD.
AD
2
= CD.DB ( Vì DH =
AD
2
_
=> AD
2
= 2. CD.DB =>
2
AD
CD.BD
= 2
G
D
M
A
O
B
C
K
H
D
B
C
A
=>

AD
BD
.
AD
DC
= 2 => tgB. tgC = 2 .
Bài 3. Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, AB < AC,
µ
C
µ
C
= 2α <45
0
, AM trung
tuyến, AH đường cao , AM = m. Chứng minh:
a. Sin2α = 2sinα.cosα b. 2cos
2
α = 1 + cos2α
c. 2sin
2
α = 1 – cos
2
α.
Giải
a. Có 2sinα.cosα = 2.
AH CH
.
AC AC
=
2

2AH.CH
AC
=
2AH.CH
CH.CB
=
2AH 2AH AH
CB 2AM AM
= = =
sin2α
Vậy 2sinα.cosα = sin2α
b. Có 2.cos
2
α = 2
2
CH
CA
 
 ÷
 
=
2
2CH 2CH CH
BC.CH 2AM AM
= =
(1)
Xét 1 + 2cos2α = 1 +
HM
AM
=

AM HM MC HM CH
AM AM AM
+ +
= =
(2)
Từ (1) và (2) => 2.cos
2
α = 1 + 2cos2α
c. Từ sin
2
α + cos
2
α = 1 => cos
2
α = 1- sin
2
α .Áp dụng kết qủa trên ta có
cos2α = 2cos
2
α – 1 = 2(1- sin
2
α) – 1 => 1 + cos2α = 2sin
2
α = 1-cos
2
α
Vậy 2sin
2
α = 1 – cos
2

α
Bài 4. Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, trung trung tuyến AM = m. và
AB = c, AC = b.
Chứng minh: 2m ≥ b.sinB + c.sinC
Vẽ (O; OA) ngoại tiếp của △ABC, vì các góc đều nhọn =>
Tâm O ở trong tam giác ABC, vẽ BD, CE vuông góc với tiếp
tuyến của (O) tại D và E.Áp dụng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
cung ta có :
µ
·
B CAE=
;
µ
·
C DAB=
, MH
⊥
DE
Trong tam giác vuông BDH => sinDAB =
DB
AB
=> DB = AB.sinDAB = c.sinC
Tương tự trong tam giác vuông AEC .
=> CE = b.sinB.
Trong hình thang vuông BDEC cosMH đường trung bình
2MH = BD + CE = c.sinC + b.sinB .
Mà trong tam giác vuông MHA : MH ≤ AM => 2MH ≤ 2AM
Vậy c.sinC + b.sinB ≤ 2Am = 2m => 2m ≥ b.sinB + c.sinC
M
HB

A
C
H
M
E
D
O
A
B C
Bài 5. Cho gócα và 0
0
< α <90
0
. Tìm góc α biết :
a/.2sin
2
α – sinα = 0 b/. tgα =3tg(90
0
-α). c/ sinα = 2cosα ( với 0
0
<α <45
0
)
Giải
a/ 2sin
2
α – sinα = 0 => sinα(2sinα – 1) = 0 vì 0
0
< α <90
0

, nên sinα ≠ 0
 2sinα – 1 = 0 => sinα =
1
2
=>
α
= 30
0
b/ tgα = 3tg(90
0
- α ) => tgα = 3.cotgα =
3
tgα
=> tg
2
α = 3 => tgα =
3
Vậy => α = 60
0
( tgα >0)
c/Có / sinα = sin(90
0
-2α) => α = 90
0
- 2α => 3α = 90
0


=> α = 30
0

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên BC lấy điểm D sao cho BD = 2DC.
Tính sinBAD.
Giải.
Vẽ DH vuông góc AB =>
BH BD
2
AH DC
= =
=> BH = 2AH
△BDH vuông cân tại H => HD = BH
=> HD = 2AH. Áp dụng định lý Py ta go
AD = AH.
5
.
sinBAD =
DH 2AH
AD
AH. 5
=
=
2 2 5
5
5
=
Vậy sinBAD =
2 5
5

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c; AC =b; BC = a (c < b) và
µ

C
= 2α.
Phân giác của góc C cắt AB tại D .
a. Tính tgα theo a; b; c
b. Chứng minh tg2α = tgα.
cos2 +1
cos2
α
α
Giải
a. tgα =
AD
AC
Và :
AD AC
BD BC
=
(tính chất tia phân giác trong)

AD DB AD DB c
AC BC AC BC b a
+
= = =
+ +
Tgα =
c
b a+
H
D
A

B C
c
a
b
B
A
C
α
α
b. ta có tg2α =
AB
AC
=
c
b
=>
tg2 c c b a a
: 1
tg b b a b b
α +
= = = +
α +
= 1 +
1
b
a
= 1+
1
cos2α
=> tg2α = tgα

1
1
cos2
 
+
 ÷
α
 
= tgα.
cos2 +1
cos2
α
α
. Vậy tg2α = tgα.
cos2 +1
cos2
α
α
Bài 8. Cho tam giác ABC các góc đều nhọn,
µ µ
B C>
, AH đường cao, AM trung tuyến,
đặt
·
MAH = α
. Tìm hệ thức giữa tgα và cotgB với cotgC.

Giải
Gọi độ dài AH = h, trong tam giác vuông AHC
Ta có : cotgC =

CH
AH
=> HC = AH.cotgC = h.cotgC
Tương tự trong tam giác vuông AHB: HB = h cotgB
Vì
µ µ
B C>
=> cotgB < cotgC.
Trong tam giác vuông AHM ta có
Tgα =
HM
HA
Xét hiệu HC – HB = h.cotgC - h cotgB (1)
HC – HB = h.(cotgC - cotgB). Ngoài ra HC – HB = (HM + MC) – (BM – MH) = 2MH
HC – HB = 2HM = 2htgα (2). Từ (1) và (2) => 2htgα = h.cotgC - h cotgB
=> tgα =
h.cotgC h.cotgB cotgC cotgB
2h. 2
− −
=
Vậy :
cot gC cot gB
tg
2
−
α =
Bài 9.Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, AI; BD; CE các đường cao giao nhau tại
H.Chứng minh AB + BC + CA = (BH + CH)sinA + (AH + CH)sinB + (AH +BH)sinC
Giải
Hai tam giác vuông BHI và BCD đồng dạng

△BHI∽△BCD => BH.BD = BI.BC
△CIH∽△CEB => CH.CE = CI.CB. Cộng vế theo vế
BH.BD + CH.CE = BI.BC +CI.CB = BC(BI + IC) = BC
2
BH.BD + CH.CE = BC
2
. Chia hai vế cho BC
=> BH.
BD
BC
+ CH.
CE
BC
= BC=> BH.sinC + CHsinB = BC
Tương tự AH.sinB + BHsinA = AB
AH.sinC + CHsinA = AC
=> BH.sinC + CHsinB + AH.sinB + BHsinA + AH.sinC + CHsinA = BC + AB + AC
Bài 10. Tìm 0
0
< α < 90
0
Biết 2sin
2
α – 5sinα +2 = 0
A
MH
B
C
α
H

D
E
I
A
B
C
Đặt sinα = x > 0 và x < 1=> 2x – 5x + 2 = 0
(x – 2)(2x – 1) = 0 => x = 2 ; x =
1
2

Sinα = 2 : Loại; sinα =
1
2
=> α = 30
0
Bài 11. Cho sinα.cosα =
1
2
. Tính sin
10
α +cos
10
α
Có 2.sinαcosα = 1 (vì sinα.cosα =
1
2
) và sin
2
α + cos

2
α = 1
Vậy sin
2
α + cos
2
- α 2.sinαcosα = 0 => (sinα – cosα)
2
= 0
sinα = cosα => sinαcosα= sin
2
α=
1
2
=> sin α =
2
2
=> α= 45
0
Vậy sin
10
α +cos
10
= 2.α
10
2
2
æ ö
÷
ç

÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
=
1
16
Vậy sin
10
α +cos
10
= α
1
16

MONG CÁC BẠN HÀI LÒNG