Đại cương về dao động tử điều hòa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

NGUYỄN THỊ HOAN

ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

NGUYỄN THỊ HOAN

ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Qua thời gian nghiên cứu và làm việc, tôi đã hoàn thành khóa luận của
mình. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo,
người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những tài liệu quý
báu trong suốt quá trình tôi thực hiện khóa luận này. Bên cạnh đó tôi đã nhận
được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo trong khoa vật lý nói chung và
các thầy cô giáo trong tổ vật lý lý thuyết nói riêng.
Ngoài ra, tôi xin gửi lời chúc tốt đẹp nhất đến bố mẹ, gia đình và bạn bè
đã luôn bên cạnh, giúp đỡ và động viên tôi vượt qua những khó khăn để hoàn
thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhưng chắc hẳn
sẽ còn nhiều hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và
các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoan


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành
khóa luận tôi có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã ghi trong phần tài
liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn là
trung thực và chưa từng được công bố bởi bất kì nơi nào khác.
Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoan


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc của đề tài......................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN................................................ 3
1.1. Cơ học lượng tử.......................................................................................... 3
1.2. Dao động tử điều hòa ................................................................................. 4
1.3. Phương trình Schrodinger .......................................................................... 6
1.4. Kí hiệu ket-bra............................................................................................ 8
1.5. Toán tử Hermite ......................................................................................... 8
1.6. Không gian Hilbert................................................................................... 11
CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ................................................. 12
2.1. Đại số của dao động tử điều hòa .............................................................. 12
2.2. Vector riêng, các toán tử xung lượng và hàm sóng của dao động tử điều
hòa ................................................................................................................... 18
CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA...... 26
3.1. Bài toán về hàm sóng và các mức năng lượng của dao động tử điều hòa26
3.2. Bài toán về trị trung bình của các đại lượng vật lý của dao động tử điều
hòa ................................................................................................................... 34
KẾT LUẬN CHUNG...................................................................................... 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 41


DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ, HÌNH VẼ
Hình 1.1. Dao động của con lắc đơn quanh vị trí cân bằng.............................. 5
Hình 1.2. Dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng............................ 5
Hình 1.3. Dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể....................... 5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Như chúng ta biết cơ học lượng tử là một lý thuyết vật lý nghiên cứu sự
vận động của vật chất trong thế giới vi mô, các hạt trong thế giới đó gọi là vi
hạt. Vấn đề ở đây là các quy luật vận động của vi hạt không tuân theo các quy
luật cổ điển. Chỉ có cơ học lượng tử mới giải quyết một cách sâu sắc các quy
luật và chính xác các hiện tượng này.
Tuy nhiên, bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận
dụng của cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có
lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng
như: Bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về
nguyên tử hidro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm).
Nhưng trong đó dao động tử điều hòa là bài toán cơ bản nhất, có lời giải
chính xác không những trong cổ điển mà cả trong cơ lượng tử và đây cũng là
bài toán giải được chính xác trong cơ lượng tử.
Khi tìm hiểu về dao động tử điều hòa có rất nhiều con đường khác nhau,
và với các lí do trên, tôi đã chọn đề tài “Đại cương về dao động tử điều
hòa” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu về dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector ket-bra)
và một số bài toán về dao động tử điều hòa.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu: Cơ học lượng tử.
Phạm vi nghiên cứu: Đại cương về dao động tử điều hòa.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu về dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector ketbra) và một số bài toán về dao động tử điều hòa.

1


5. Phương pháp nghiên cứu.
Đọc, tra cứu và tổng hợp tài liệu có liên quan.
6. Cấu trúc của đề tài.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc
của khóa luận gồm ba chương:
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA


NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Cơ học lượng tử.
Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ XX từ đề xuất của
các nhà khoa học Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner
Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac,
Wolfgang Pauli,…
Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của môn vật lý. Cơ
học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển (hay còn gọi là
cơ học Newton), là cơ sở của nhiều ngành vật lý như vật lý chất rắn, vật lý hạt
nhân và cả trong hóa học như hóa lượng tử. Khái niệm lượng tử dùng để chỉ

một số đại lượng vật lý như năng lượng không liên tục mà gián đoạn.
Cơ học lượng tử là một lý thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động và
các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như xung lượng và động năng
của các vật chất nhỏ bé, và thể hiện rõ lưỡng tính sóng-hạt. Lưỡng tính sóng
hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất, vì thế mà cơ học lượng tử
được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì cơ học lượng tử cho phép mô tả
chính xác và đúng rất nhiều hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể
giải thích được như ở nguyên tử hay nhỏ hơn là hạ nguyên tử (proton,
notron, electron và các hạt cơ bản khác). Cơ học cổ điển không thể giải thích
được tại sao các nguyên tử lại bền vững và không thể giải thích được một số
hiện tượng như siêu dẫn, siêu chảy. Hầu hết các tiên đoán của cơ học lượng tử
đã được thực nghiệm chứng minh sau một thế kỷ. Cơ học lượng tử là sự kết
hợp chặt chẽ của ít nhất bốn loại hiện tượng mà cơ học cổ điển không tính
đến, đó là: (i) việc lượng tử hóa một số đại lượng vật lý, (ii) lưỡng tính sóng
hạt, (iii) vướng lượng tử, (iv) nguyên lý bất định. Trong một số trường hợp,


các định luật của cơ học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở
mức độ chính xác cao hơn.
Cơ học lượng tử được kết hợp với thuyết tương đối để tạo nên cơ học
lượng tử tương đối tính và đối lập với cơ học lượng tử phi tương đối tính (khi
bỏ qua tính tương đối của chuyển động). Ta dùng khái niệm cơ học lượng tử
để chỉ cả hai loại trên. Cơ học lượng tử đồng nghĩa với vật lý lượng tử. Tuy
nhiên, nhiều nhà khoa học coi cơ học lượng tử có ý nghĩa như cơ học lượng tử
phi tương đối tính, và như thế nó hẹp hơn vật lý lượng tử.
Một số nhà vật lý cho rằng cơ học lượng tử cho ta một mô tả chính xác
về vật lý học ở hầu hết các điều kiện khác nhau. Dường như là cơ học lượng
tử không còn đúng ở lân cận các hố đen khi xem xét vũ trụ như một toàn thể.
Ở phạm vi này thì cơ học lượng tử lại mâu thuẫn với lý thuyết tương đối rộng,
một lý thuyết về hấp dẫn. Vấn đề giữa cơ học lượng tử và thuyết tương đối

rộng vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu rất sôi nổi.
Ngoài ra, một số vấn đề cơ bản của cơ học lượng tử vẫn được nghiên cứu
cho đến nay.
1.2. Dao động tử điều hòa.
Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hòa là một hệ thống cơ học thực
hiện dao động mà chuyển động có thể mô tả bởi những hàm số điều hòa của
thời gian, mà cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin. Năng lượng của dao
động tử điều hòa có thể nhận các giá trị liên tục và tần số bức xạ trùng với tần
số dao động cơ học của dao động tử điều hòa. Ví dụ như dao động của con lắc
đơn, dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng.


Hình 1.1. Dao động của con lắc đơn quanh vị trí cân bằng.

Hình 1.2. Dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng.
Trong cơ học lượng tử, dao động tử điều hòa là khi một vi hạt thực hiện
dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng. Năng lượng của các dao
động tử điều hòa có giá trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển). Ví dụ như
dao động của nguyên tử trong phân tử, dao động của các ion xung quanh nút
mạng tinh thể.

Hình 1.3. Dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể.


Xét chuyển động của hạt trong trường thế U 
x,

hạt chuyển động thực

hiện những dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng x0  0 nên ta có thể triển khai

thế năng này dưới dạng [2]:
U

2

n

U
1  U
 U n
x  ...
x  U
1
2
x
x
...




0
2
n
x
2 x
n! x

Dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng nên các số hạng ứng với xn và n  3
ta có thể bỏ qua, mà

U
 0 (do thế năng điều hòa), nên:
x
U  x  U
0

1
2
 U 2

2 x
2 x

(1.1)

Vậy một hạt thực hiện những dao dộng điều hòa như (1.1) là dao động
tử điều hòa.
Hay chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là dao động điều hòa và
đó là một hiện tượng rất quan trọng của vật lý nói chung và của cơ học lượng
tử nói riêng.
1.3. Phương trình Schrodinger.
Phương trình Schrodinger là một phương trình cơ bản của vật lý lượng
tử mô tả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay
thế cho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển.
Trong cơ học lượng tử, trạng thái lượng tử của một hệ vật lý được mô tả
đầy đủ nhất bởi một vector trạng thái thí dụ như hàm sóng trong không gian
cấu hình, nghiệm của phương trình Schrodinger. Nghiệm của phương trình
Schrodinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (proton,
notron, electron và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vĩ mô, thậm chí có thể

là toàn bộ vũ trụ. Phương

trình này được đặt tên theo nhà vật

lý người Áo Erwin Schrodinger, người đầu tiên thiết lập vào năm 1926.


Tùy thuộc điều kiện từng bài toán khác nhau mà nghiệm phương trình
Schrodinger có dạng khác nhau. Như vậy khi nghiên cứu chuyển động của hạt
hoặc hệ hạt trong trường thế nào đó ta sẽ biết được năng lượng E và hàm
sóng  tương ứng ở những trạng thái khác nhau. Khi xác định được năng
lượng và hàm sóng của hạt ở trạng thái nào đó ta có thể tính toán được các
yếu tố ứng với phép đo đại lượng F nào đó của hệ lượng tử như mật độ xác
suất, xác suất, trị trung bình,…
Phương trình Schrodinger có nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào các
điều kiện khác nhau của hệ vật lý.
* Đối với hạt chuyển động trong trường lực tổng quát Wˆ , có năng
lượng
biến đổi theo thời gian thì phương trình Schrodinger tổng quát có dạng [1]:
2

2
i
 (x, , z,t)  (   Wˆ) (x, y, z,t)
2m
y
2
2
Có Hˆ     Wˆ
2m

Nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát là:


 (x, y, z,t) 



i

E tn

 0 (x, y, z)e

n0

Trong đó: En là năng lượng.

 0 (x, y, là hàm sóng chỉ phụ thuộc không gian của hạt ở
z)
trạng thái lượng tử n.
* Đối với hạt có khối lượng m chuyển động trong trường thế U(x, y, z)
phương trình Schrodinger có dạng:
2 (x, y, z) 
2m

 E U x, y, z) (x, y, z)  0
(

Đây là phương trình schrodinger dừng không phụ thuộc vào thời gian mà
chỉ phụ thuộc vào không gian.

1.4. Kí hiệu ket-bra.
Trong lĩnh vực cơ học lượng tử, ký hiệu bra-ket là biểu diễn chuẩn dùng
để mô tả những trạng thái lượng tử và được kí hiệu là:



với phần bên trái  gọi là bra và phần bên phải  gọi là ket. Ký hiệu
được giới thiệu bởi nhà toán học Paul Dirac năm 1939 nên còn có tên gọi là ký
hiệu
Dirac, mặc dù Grassman đã dùng ký hiệu  cho tích vô hướng của mình
| 
hàng trăm năm trước đó.
Tuy vậy, ngày nay ứng dụng chủ yếu của ký hiệu bra-ket chủ yếu nằm ở
cơ học lượng tử. Hầu hết các hiện tượng được giải thích bằng cơ học lượng tử
(bao trùm cả một phần của vật lý hiện đại) đều được biểu diễn dưới dạng braket. Cách biểu diễn này thuận lợi hơn biểu diễn hàm sóng ở chỗ là tính độc
lập trong biểu diễn trừu tượng của đối tượng mà nó ký hiệu, cộng với tính linh
hoạt khi tạo ra những biểu diễn đặc thù (tọa độ, động lượng hoặc hàm riêng
cơ sở) một cách dễ dàng, hoặc phụ thuộc quá nhiều vào không gian tuyến tính
có liên quan.
1.5. Toán tử Hermite.
Tích vô hướng [1]:

 x , Fˆx 
i

j

 Fij

T
Ta gọi F là phần tử  i, j  của toán tử Fˆ còn phần tử:
ij
,



Fˆx i, x j

 

 j,x Fi ˆx



*

*

ij F ij F



(dấu (+) ở trên Fij chỉ phép toán vừa lấy liên hợp phức vừa chuyển vị trí



i
của Fij ), Fij được gọi là phần tử liên hợp của phần tử Fij của toán tử


j


Fˆ còn toán tử tương ứng với nó là toán tử Fˆ  được gọi là toán tử liên hợp
,
của toán tử Fˆ .



Nếu: Fij  Fij tức là xi ,Fˆ x j
,
, xj

   Fˆx hay Fˆ  Fˆ



i



thì toán tử
Fˆ

được gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử Hermite.

Tính chất của toán tử Hermite [1, 3, 4]:
a. Tổng của hai toán tử Hermite là một toán tử Hermite.
b. Tích của toán tử Hermite với một số là một toán tử Hermite khi số đó

là thực.
c. Tích của hai toán tử Hermite là toán tử Hermite khi hai toán tử giao
hoán với nhau.
Chứng minh:
Ta có:

 y,  FˆGˆ  x    y,Fˆ (Gˆ x)   Fˆy,Gˆ x   Gˆ  Fˆy , x   Gˆ Fˆ 
y, x     FˆGˆ  y, x 
Vậy Fˆ là toán tử hecmite khi FˆGˆ 
Gˆ
Gˆ Fˆ

(đpcm).

d. Các trị riêng của toán tử Hermite là số thực.
Chứng minh:
Aˆn u

 x  nna u
 x

Nếu A là toán tử Hermite thì an là số thực.
Thực vậy, ta có:
*

ˆ

ˆ

*

Hay

u

n





 u  Au 

Aun dx 

n


*

un anun dx 


n





* *

un anun dx

dx


Ở đây, các thừa số bên trong dấu tích phân đều là những số, không phải
toán tử nên ta có thể thay đổi thứ tự, còn an là hằng số không phụ thuộc biến
số x, có thể đưa ra khỏi dấu tích phân.
Vậy


u *u dx  0

*

(a  a )
n

n



n

n


Tích phân nói chung khác không, nên:

a  a* 
0n
n
an trùng với lượng tử liên hợp phức của nó, vậy trị riêng an là số thực.
e. Tập hợp các vector riêng của toán tử Hermite trong trường hợp không
suy biến là trực giao.
Chứng minh:
Giả sử X '  X là tập hợp các vector riêng của toán tử Hermite Fˆ nào
'

đó: X 
x

;

ˆ
mF x

 f x .
j



Ta có: x ,
Fˆx
i

j



j

f

j

 x ,    Fˆx 


j

x

i

j

,x

i

j

 f
i

Từ đây suy ra:   f *   x ,   0 .
f
j x i
i

j
Nếu x  x ,  x , x  với x  0, cho
i
j
i
i
i
nên
0

*

x , x .
i

j

f j  f *j .

Nếu xi  x j trong trường không suy biến fi  f j .
Do đó



xi , x j 

(đpcm).

0

f. Các hàm riêng của toán tử Hermite là trực giao.


Chứng minh:
Giả sử các hàm sau: f1  x  f 2  x  ,
,
của toán tử
Aˆ

…

fk  x  , fn 
…

thì ta có các hàm này là trực giao tức là:
f L (x) f K (x)   (L  K)

x

là các hàm riêng


Hàm Delta 
x



vậy  (L 
K)

nhận giá trị 1 nếu L  K, và nhận giá trị 0 khi L khác K.

nhận giá trị 1 nếu x  0 , và nhận giá trị 0 khi x khác 0. Như

Ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa cho các hàm riêng f  x  f  x  ,…
1
2
,
f k  x  , f n  x  của toán Aˆ :
…
tử

 dxf

L

(x) f K (x)   (L  K )

g. Các hàm riêng của toán tử Hermite hợp thành một hệ đủ: Nghĩa là một
có thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến

hàm riêng U (x) bất kỳ của toán tử
Aˆ
tính theo các hàm f  x  f  x  ,
1
2
,

…

fk  x  , fn 
x

…
U(x) 

của toán tử Aˆ :

n

C

k

f k (x)

k 1

Trong đó Ck là các số thực được chọn duy nhất.
1.6. Không gian Hilbert.
Không gian Hilbert là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà
không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có tích vô
hướng, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt là khái
niệm trực giao hay vuông góc). Hơn nữa, không gian Hilbert thỏa mãn một
yêu cầu nữa là tính đầy đủ để chắc chắn rằng giới hạn là tồn tại khi cần, làm
các định nghĩa khác nhau trong tính toán vi tích phân dễ dàng hơn. Các không
gian Hillbert cho phép các trực giác hình học có thể áp dụng vào một số
không gian hàm vô hạn chiều. Chúng cung cấp một khung để hệ thống hóa và
tổng quát hóa khái niệm chuỗi Fourier theo một hệ bất kì của các hàm số trực

giao và của phép biến đổi Fourier, là những khái niệm trung tâm của giải tích
hàm. Không gian Hilbert đóng vai trò quan trọng trong việc hình thức hóa
toán học cơ học lượng tử.


CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
2.1. Đại số của dao động tử điều hòa.
Trong phần này ta đưa ra dạng toán học về đại số của dao động tử điều
hòa. Việc tìm các tính chất toán học về đại số của dao động tử điều hòa có
nghĩa là tìm ra cách các toán tử tác động trên vector của không gian Hilbert.
Để làm được điều đó, ta đưa ra toán tử mới aˆ và toán tử aˆ  (kết hợp
của
P

1   ˆ
i
ˆ
Q
aˆ 


2 
1   ˆ
i
aˆ 
Q


2 

trong đó:
Qˆ

là toán tử tọa độ.

(2.1)


ˆP



aˆ ) :



Pˆ là toán tử xung lượng.
Tiếp theo, ta định nghĩa toán tử mới [3, 5]:

Nˆ 

aˆ aˆ,

Nˆ được gọi là toán tử số
hạt.

(2.2)

Thế (2.1) vào (2.2), ta được:

 ˆ
Q 

Nˆ 
2

với:

1

Pˆ 2 i PQˆ QP
ˆˆ ,
2
2



2



ˆ
Pˆ Qˆ 
Qˆ Pˆ 
ˆ

Pˆ 2

i

Iˆ,

 2 ˆ
Hˆ là toán tử năng lượng.
Nên:


H

2



2

2

Q ,


1
1
Nˆ  H ˆ I.ˆ

2
Tương tự, tính:
1 ˆ 1
aˆaˆ   H 
I.
2

ˆ



Do đó, ta thu được hệ thức giao hoán:
aˆ,aˆ







 aˆaˆ  aˆ aˆ
 Iˆ.

Hơn nữa, có thể biểu diễn toán tử năng lượng
Hˆ

(2.3)

và aˆ  :

theo

aˆ


1


Hˆ  aˆ  aˆ  Iˆ   Nˆ 

Iˆ .
Để tìm các giá trị riêng và các vector riêng của toán tử
Hˆ
Giả sử rằng có ít nhất một vector riêng của toán tử
Nˆ

(2.4)
và toán tử Nˆ
.

trong không gian

Hilbert, và gọi giá trị riêng  (đây không phải một giả thuyết tầm thường, vì
có nhiều toán tử không có vector riêng trong không gian Hilbert). Gọi 
là
vector riêng, do đó:
Nˆ    .

Ta có:
Nˆ aˆ aˆ
aˆ

  aˆ
 aˆaˆ











 aˆ Nˆ  Iˆ   aˆ   1
Do đó



 Iˆ aˆ aˆ  Iˆ 
 aˆ aˆ

   1 aˆ .


N
ˆ

 aˆ    
1 (aˆ ).

Vậy aˆ  0 aˆ là một vector riêng của toán với giá trị riêng

tử Nˆ
 1 . hoặc
Với trường hợp: