(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Đường kính và dây của đường tròn

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 9

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRỊN

§2 Đường kính và dây của đường tròn

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ

Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn HOẠT ĐỘNG
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các

Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách

giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: để nhận

Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ
được giải đáp.

2

Đ2 đờng kính và dây của đờng tròn

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1. so sánh độ dài của đờng kính và dây

Thí dụ 1: (Bài toán/tr 102 sgk): Gọi AB là dây cung bất kì của đờng tròn
(O; R). Chøng minh r»ng AB  2R.

 Gi¶i Học sinh tự vẽ hình

Ta xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu AB là đờng kính thì AB = 2R. (1)

Trêng hỵp 2: Nếu AB không là đờng kính thì trong OAB ta cã:

AB < OA + OB = R + R = 2R. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra AB 2R.

Nh vậy là có kết quả:
Định lí 1: Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn.

2. quan hệ vuông góc giữa Đờng kính và dây

Thí dụ 2: Đờng tròn (O; R) có đờng kính AB vuông góc với dây CD. Chứng
minh rằng AB đi qua trung điểm của CD.

Giải Häc sinh tù vÏ h×nh

Ta xÐt hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu CD là đờng kính thì hiển nhiên AB đi qua trung điểm O của
CD.

Trờng hợp 2: Nếu CD không là đờng kính thì gọi I là giao điểm của AB và CD,
trong OCD ta cã:

OC = OD = R OCD cân tại O

 OI lµ ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn  IC = ID, đpcm.

Nh vậy là có kết quả:

Định lí 2: Trong một đờng tròn, đờng kính vuông góc với một dây thì chia dây
ấy ra hai phần bằng nhau (Nói cách khác: Đờng kính vuông góc với một dây
thì đi qua trung điểm của dây ấy).

Yêu cầu: Tiếp theo, chúng ta đi xét bài toán ngợc lại với câu hỏi "HÃy ®a ra

mét vÝ dơ ®Ĩ chøng tá r»ng ®êng kÝnh ®i qua trung ®iĨm cđa mét
dây có thể không vuông góc với dây ấy".

Thí dụ 3: (HĐ 1/tr 102 sgk): Đờng tròn (O; R) có đờng kính AB đi qua trung
điểm I của dây CD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.

Giải Học sinh tù vÏ h×nh

Trong OCD ta cã:

OC = OD = R OCD cân tại O OI là đờng cao và đờng trung tuyến

 OI  CD AB CD, đpcm.

Nh vậy là có kết quả:

3

Định lí 3: Trong một đờng tròn, ®êng kÝnh ®i qua trung ®iĨm cđa mét d©y
(không qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.

Thí dụ 4: (HĐ 2/tr 104 sgk): Cho hình 67. HÃy tính độ dài dây AB, biết OA
= 13cm, AM = BM, OM = 5cm.

 Gi¶i  Sư dơng h×nh 67/tr 104  Sgk

Tõ gi¶ thiÕt AM = BM, suy ra:
OM  AB  OM AM OAM vuông tại M.

do đó, theo định lí Pytago ta đợc:
AM2 = OA2  OM2 = 132  52 = 144  AM = 12

 AB = 2AM = 2.12 = 24cm.

 Chó ý: ThÝ dơ tiÕp theo sẽ minh hoạ việc sử dụng kết quả của định lÝ trªn

cho bài toán cực trị.

Thí dụ 5: Cho một đờng tròn (O) và điểm P ở bên trong đờng tròn. Chứng

minh rằng trong tất cả các dây cung đi qua P thì dây cung vuông

gãc víi b¸n kÝnh qua P là dây cung ngắn nhất.

Giải C B

Gọi AB là dây cung qua P và vuông góc với OP và A HP

CD là dây cung bÊt kú ®i qua P. DO
H¹ OH vu«ng gãc víi CD, ta cã ngay:

OH OP, vì trong tam giác vuông cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền

AB CD AB là dây cung ngắn nhất.

Bài tập 1: bài tập lần 1
Bài tập 2:
Bài tập 3: Cho ABC, các đờng cao BD và CE. Chứng minh r»ng:
Bµi tËp 4:
a. Các điểm B, E, D, C thuộc một đờng tròn.
Bài tập 5:
b. DE < BC.

Bài tập 6: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, dây CD không cắt đờng kính AB.
Gọi H và K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A và B đến
CD. Chøng minh r»ng CH = DK.
Cho ®êng tròn (O; R) và một dây cung AB = 2a (a < R). Gäi I lµ

trung ®iĨm cđa AB. Tia OI cắt cung A B tại M. Tính độ dài của dây
cung MA.
Cho ®êng tròn (O, R) và hai bán kính OA, OB. Trên c¸c b¸n kÝnh
OA, OB lần lợt lấy các ®iĨm M vµ N sao cho OM = ON. VÏ d©y
CD đi qua M và N (M nằm giữa C và N).
a. Chøng min b. Gi¶ sö AOh r»ng CM = DN. B = 900, h·y tÝnh OM, ON theo R sao cho:

CM = MN = ND.
Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB. Gọi M và N theo thø tù lµ
trung điểm của OA và OB. Qua M và N lần lợt vẽ các dây CD vµ
EF song song víi nhau (C vµ E cùng nằm trên một nửa đờng tròn đ-
êng kÝnh AB).

a. Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật.

b. Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn là 300, tính diÖn
tích hình chữ nhật CDFE.

Cho một đờng tròn (O) và một điểm P khác O ở bên trong đờng
trßn. Dùng một dây cung AB đi qua P sao cho PA = PB.

4

Bài tập 7: Cho đờng tr sao cho AOòn (O; R). Tìm quỹ tích trung điểm M của các dây AB B = 1200.

bài giảng nâng cao

A. Tóm tắt lí thuyết

1. so sánh độ dài của đờng kính và dây
Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn.

2. quan hệ vuông góc giữa Đờng kính và dây

Ta có các kết quả sau:

Đờng kính vuông góc với một dây thì chia dây ấy ra hai phần bằng nhau.

Đờng kính đi qua trung điểm của một dây (không qua tâm) thì vuông góc
víi d©y Êy.

B. phơng pháp giải toán

Dạng toán 2: Giải bái toán định tính và định lợng

Ví dụ 1: (Bài 10/tr 104 Sgk): Cho ABC, các đờng cao BD và CE. Chứng
minh r»ng:

a. Các điểm B, E, D, C thuộc một đờng tròn.

b. DE < BC.

 Híng dÉn: Ta lÇn lỵt:

 Với câu a), sử dụng tính chất tam giác vuông.

 Víi c©u b), sử dụng kết quả của định lí 1.

Giải A

a. Trong ABC, ta cã:

BD  AC  BPˆ C = 900 E D

 D thuộc đờng tròn có đờng kính BC.

CE AB  BMˆ C = 900 B OC
E thuộc đờng tròn có đờng kính BC.

Vậy bốn điểm B, D, E, C thuộc đờng tròn có đờng kính BC.

b. Vì BC là đờng kính còn DE là một dây nên luôn có DE < BC.

Ví dụ 2: (Bài 11/tr 104 Sgk): Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, dây CD

không cắt đờng kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đờng

vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.

Hớng dẫn: Kẻ OM vông góc với CD.

Giải Học sinh tự vẽ hình

Kẻ OM vuông góc với CD, ta cã nhËn xÐt:

MC = MD  TÝnh chÊt đờng kính vuông góc với một dây.(1)

OM // AH // BK OM là đờng trung bình của hình thang ABDC

 MH = MK. (2)

Trõ theo vÕ (2) cho (1) ta đợc:

MH MC = MK MD CH = DK, ®pcm.

5

Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O; R) và một d©y cung AB = 2a (a < R). Gäi I lµ

trung điểm của AB. Tia OI cắt cung A B tại M. Tính độ dài của dây
cung MA.

Hớng dẫn: Sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông tơng ứng.

Giải

Trong AMI, ta cã:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + MI2. (1) M
MỈt kh¸c:
A I B
MI = OM – OI = R – OI.

Trong OAI, ta cã: O

OI2 = OA2  AI2 = R2  a2  OI = R 2  a 2

 MI = R  R2  a 2 . (2)

Thay (2) vµo (1), ta ®ỵc:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + (R  R 2  a 2 )2

= a2 + R2 – 2R R 2  a 2 + R2  a2 = 2R2 – 2R R 2  a 2

 AM = 2R 2  2R R 2 a 2 .

Vậy, độ dài d©y cung AM = 2R2  2R R2  a 2 .

Nhận xét: Trong lời giải trên để tính độ dài dây cung AM chúng ta lựa chọn

phơng pháp trình bày theo hớng phát sinh yêu cầu rồi thực hiÖn
yêu cầu này để đạt đợc mục đích cuối cïng lµ AM, cơ thĨ:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + MI2 cần xác định MI.

MI = OM  OI = R OI cần xác định OI.

OI đợc xác định dựa vào OAI.

Từ đó, thay ngợc lại kết quả ®Ĩ nhËn ®ỵc AM.

Cách trình bày nh vậy sẽ rất dễ hiểu, tuy nhiên nó lại tỏ ra dài
dòng, chính vì lý do này mà các em học sinh hÃy lu trử nó
trong suy nghÜ cßn khi trình bày lời giải thì trình bày theo kiểu

ngợc lại, cụ thÓ:

Suy nghÜ Trình bày

1. Để tính AM cần xác định MI. Trong OAI, ta có:

2. Để tính MI cần xác định OI. OI2 = OA2  AI2 = R2  a2

3. OI đợc xác định dựa vào  OI = R 2  a 2 R2  a2
OAI. Suy ra MI = OM  OI = R 

Trong AMI, ta cã:

AM2 = AI2 + MI2

= a2 + (R  R2  a 2 )2.

 AM = 2R 2  2R R 2  a 2 .

C¸c em häc sinh có thể luyện tập bằng việc giải lại ví dụ trên trong trờng hợp
R = 5cm và a = 3cm.

6

Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O, R) và hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính
OA, OB lần lợt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON. VÏ d©y
CD đi qua M và N (M nằm giữa C và N).

a. Chøng minh r»ng CM = DN.


b. = 900, h·y tÝnh OM, ON theo R sao cho:
Gi¶ sư AOB

CM = MN = ND.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Víi c©u a), sử dụng định lí Talét cùng mối quan hệ giữa vông
gãc vµ song song để sử dụng đợc kết quả của định lí 2.

 Với câu b), sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông tơng
øng.

 Giải

a. Hạ OE vuông góc với AB cắt CD tại F.
Trong OAB cân tại O, ta cã:

OM ON  MN // AB  OF  MN và MF = NF.
OA OB

Ta có nhận xét thêm:

OF MN  OF  CD  CF = DF.

Khi ®ã: O

CM = CF – MF = DF NF = DN, đpcm.

b. Đặt MF = x, suy ra: CM FN D

CF = CM + MF = MN + MF = 3MF = 3x. A
OF = x, v× OMF vuông cân tại F. E B

Trong OCF, ta cã:

OF2 = OC2 – CF2  x2 = R2 – 9x2  10x2 = R2  x = R .
10

Khi ®ã, ta đợc:

ON = OM = OF 2 = R . 2 = R .
10 5

VËy, víi ON = OM = R thoả mÃn điều kiện đầu bài.
5

VÝ dô 5: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB. Gọi M và N theo thø tù lµ
trung ®iĨm cđa OA và OB. Qua M và N lần lợt vẽ các dây CD và
EF song song víi nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đờng tròn đ-
êng kÝnh AB).

c. Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật.

d. Giả sử CD và EF cùng tạo với AB mét gãc nhän lµ 300, tÝnh diƯn
tích hình chữ nhật CDFE.

Hớng dẫn: Tham khảo ví dụ 4.
Giải

a. Hạ OP vuông góc với CD cắt EF tại Q, suy ra:

CP = DP, tính chất đờng kính vuông góc với dây cung.
OQ  EF, v× EF // CD
 EQ = FQ, tÝnh chÊt ®êng kÝnh vuông góc với dây cung.

Xét hai tam giác vuông OPM và OQN, ta có:

7

OM = 1 OA = 1 OB = ON
2 2
MÔP = NÔQ, vì đối đỉnh

do đó:

OPM = OQN (cạnh huyền và góc nhọn) OP = OQ  CD = EF.
Khi ®ã, tø gi¸c CDFE cã:

CD //EF CDFE là hình bình hành.
Trong hình bình hành CDFE, ta có:

PQ là đờng trung b×nh  PQ // CE  CD  CE

CDFE là hình ch÷ nhËt.

b. Ta cã:

SCDFE = CE.CD. (1)

Trong OPM vuông tại P, với OM P = 300, suy ra:

OP = 1 OM = 1 . 1 OA = R .
2 22 4

CE = PQ = 2OP = R . (2)
2

Trong OPC vuông tại P, ta có: E

CP = OC2  OP2 = R2  R2 = R 15 . C
16 4
(3) AO Q
NB
CD = 2CP = R 15 . M
2 P F

Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: D
S R CDFE = . R 15 = R 2 15 .
22 4

Dạng toán 3: Giải bái toán dựng hình

Ví dụ 1: Cho một đờng tròn (O) và một điểm P khác O ở bên trong đờng

trßn. Dùng một dây cung AB đi qua P sao cho PA = PB.

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của định lí 3.

Giải

Phân tích: Giả sử đà dựng đợc dây AB ®i qua P sao cho

PA = PB, ta cã:

PA = PB  OP  AB. A P B
Cách dựng: Dựng đờng thẳng (d) qua P và vuông góc với
OP cắt (O) tại hai ®iĨm A, B. O

Chøng minh: V×:
OP AB PA = PB.

Biện luận: Bài toán cã mét nghiƯm h×nh.

 Lu ý: NÕu P  O; bài toán có vô số nghiệm hình.

8

Dạng toán 4: Giải bái toán quỹ tích

Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O; R). Tìm quỹ tích trung điểm M của các dây AB

sao cho AOB = 1200.
Híng dÉn: Víi AB kh«ng đổi thì OM sẽ không đổi. Bằng việc tính đợc ®é dµi cđa
OM = R1 ta sẽ nhận đợc kết luận M(O; R1).

Giải
Phần thuận: Giả sử có điểm M là trung ®iĨm cđa d©y

cung AB sao cho AOB = 1200. A MB

Trong OAM, ta cã:
 

AOM = 600  OAM = 300

 OM = 1 OA = R  M(O; R ). O
2 2 2

Phần đảo: Lấy một điểm M bất kỳ trên đờng tròn (O; R ), dựng d©y cung AB
0 2

qua M và vuông góc với OM. Ta ph¶i chøng minh AOB = 120 .
Thật vậy, trong OAM vuông tại M, ta có:

OM = 1 OA  O¢M = 300   = 600
2 AOM

   = 1200.
AOB = 2 AOM

KÕt luËn: Quü tÝch cña điểm M là đờng tròn (O; R ).
2

bài tập lần 2

Bài 1: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm
của OA và OB. Qua M và N lần lợt vẽ các dây CD vµ EF song song víi nhau (C vµ E
cïng n»m trên một nửa đờng tròn đờng kính AB).

a. Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật.
b. Giả sử CD và EF cùng tạo víi AB mét gãc nhän lµ 300, tÝnh diƯn tÝch hình chữ

nhật CDFE.

Bµi 2: Cho ABC cã ba gãc nhän. ë phÝa ngoài tam giác vẽ các nửa đờng tròn có đ-
ờng kÝnh theo thø tù lµ AB vµ AC. Qua A vẽ đờng thẳng (d) cắt các nửa đờng tròn trên
thứ tù ë E vµ F. Chøng minh r»ng.

a. Nếu (d) song song với BC thì BEFC là hình chữ nhật.
b. Nếu (d) vuông góc víi trung tun AM cđa ABC th× AE = AF.

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 550.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

9

Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

10