Phương pháp quy hoạch động giải một số bài toán tối ưu

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

❚↕ ❚❤ó② ❱➙♥

P❍×❒◆● P❍⑩P ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ✣❐◆●
●■❷■ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➮■ ×❯

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

❚↕ ❚❤ó② ❱➙♥

P❍×❒◆● P❍⑩P ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ✣❐◆●
●■❷■ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➮■ ×❯
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿

❚❙✳ ❑✐➲✉ ❱➠♥ ❍÷♥❣

❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽


▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❡♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ tr✐
➙♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ tê t♦→♥ Ù♥❣ ❞ö♥❣
✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ❣✐↔♥❣ ❞↕② tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❡♠ ❤å❝ t➟♣ ✈➔
r➧♥ ❧✉②➺♥ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❡♠ ①✐♥ ❣û✐
❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tî✐ t❤➛② ❣✐→♦ ✲

❚❙✳ ❑✐➲✉ ❱➠♥ ❍÷♥❣ ✤➣ ♥❤✐➺t

t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❡♠ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥✳
▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐ ♠ët ❝→❝❤ ❤♦➔♥
❝❤➾♥❤ ♥❤➜t ♥❤÷♥❣ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➔ ✈è♥ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤✐➲✉ t❤✐➳✉ sât✳ ❱➻ ✈➟② r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥
✤÷ñ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥
✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳
❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

❚↕ ❚❤ó② ❱➙♥


▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ t➻♠

❤✐➸✉✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛

❍÷♥❣

❚❙✳ ❑✐➲✉ ❱➠♥

✈➔ ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤➨♣ ❜➜t ❝ù ♠ët ✤➲ t➔✐ ♥➔♦ ❦❤→❝✳

◆❣♦➔✐ r❛✱ ✤➸ ❣✐ó♣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ♠ët ❝→❝❤ tèt ♥❤➜t✱ ❡♠ ✤➣
t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❣❤✐ rã tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚➔✐
❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❊♠ ①✐♥ ❝❤à✉ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

❚↕ ❚❤ó② ❱➙♥


▼ö❝ ❧ö❝
▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯

✶

✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð

✸

✶✳✶

✣➺ q✉②

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✶

❈æ♥❣ t❤ù❝ tr✉② ❤ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✷

❈➔✐ ✤➦t ✤➺ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✸

▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♠❛♥❣ ❜↔♥ ❝❤➜t ✤➺ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷

❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✸

◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✸✳✶

▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✸✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✸✳✸

❈→❝ ❜÷î❝ ❝➔✐ ✤➦t ♠ët ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ö♥❣
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ✣❐◆●

✷✷

✷✸

✷✳✶

❉➣② ❝♦♥ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ ❞➔✐ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✷

❇✐➳♥ ✤ê✐ ①➙✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✷✳✸

❇➔✐ t♦→♥ ❝→✐ tó✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

❑➌❚ ▲❯❾◆

✸✽

✐✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✸✾

✐✐✐



ũ ợ sỹ t tr ừ t ữợ ổ tổ t
õ ởt trỏ t sự q trồ t ở t tt
ỹ ớ số ở t r ổt t tữỡ õ
ởt sỹ t tr t ỏ ọ ử õ sỹ q
t ú ự rt tt õ ởt ỗ ỹ
ự ổ õ õ ỷ ở ữợ
tợ t tr tự ừ ữợ t õ r ừ t ợ õ

ởt tt t õ t ữủ ởt t ữ ởt
t õ t ữủ rt tt t tt
t q õ ữ t t t ừ q
tr q ữỡ tr tữớ t ỳ ỏ ọ ợ
ổ ở ợ ởt ố ữủ t t ờ ỗ t
t r tt t ũ ủ ồ tố t
ữủ ở ợ ở rr ởt
tt ỡ õ t t ổ tự tr ỗ
ữ trỳ t ở ởt t q t t t ộ ữợ ợ
ử sỷ ử t ừ q ở t t ổ

t t tứ tr ố ổ t t




❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

✏tø ❞÷î✐ ❧➯♥✑ ✭❇♦tt♦♠✲✉♣✮✳ ❚ø ✏♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✑ ð ✤➙② ❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥
❣➻ tî✐ ✈✐➺❝ ❧➟♣ tr➻♥❤ ❝❤♦ ♠→② t➼♥❤✱ ✤â ❧➔ ♠ët t❤✉➟t ♥❣ú ♠➔ ❝→❝ ♥❤➔
t♦→♥ ❤å❝ ❤❛② ❞ò♥❣ ✤➸ ❝❤➾ r❛ ❝→❝ ❜÷î❝ ❝❤✉♥❣ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët
❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❤❛② ♠ët ❧î♣ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲✳ ❑❤æ♥❣ ❝â ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ tê♥❣
q✉→t ✤➸ ❣✐↔✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉②
❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤❛② ❝â ♥❤✐➲✉ ÷✉ ✤✐➸♠ t✉② ♥❤✐➯♥ ❝ô♥❣
❝â ♥❤÷ñ❝ ✤✐➸♠ ✤â ❧➔ ❦❤â t➻♠ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr✉② ❤ç✐✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❧➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣
✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♠❛♥❣ ❜↔♥ ❝❤➜t ✤➺ q✉②✱ ❣✐ó♣ ❝❤♦
✈✐➺❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ trð ♥➯♥ ❞➵ ❞➔♥❣✱ ♥❤❛♥❤✱ ❣å♥ ♥❤➭ ❤ì♥✱
tè♥ ➼t ❜ë ♥❤î✳ ❱➻ ♥❤ú♥❣ ❧þ ❞♦ tr➯♥ ❡♠ ✤➣ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✧ ❝❤♦

❝ù✉ ✧

❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❈➜✉ tró❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❣ç♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❡♠ tr➻♥❤ ❜➔②
♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❡♠

tr➻♥❤ ❜➔② ❝ö t❤➸ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣

✷


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð
✶✳✶ ✣➺ q✉②
✶✳✶✳✶

❈æ♥❣ t❤ù❝ tr✉② ❤ç✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳

❈æ♥❣ t❤ù❝ tr✉② ❤ç✐ ❝õ❛ ❞➣② sè

❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ①→❝ ✤à♥❤

u(n − 1)

u(n)

❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû

u(0)✱ u(1)✱ u(2)✱
u(0)✱ u(1)✱ u(2)✱

✳✳✳
✳✳✳✱

tr÷î❝ ♥â✳

u(n) = F (u(0), u(1), u(2), ..., u(n − 1)).
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà ❣→♥ ❝❤♦ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤➛♥
tû ❜❛♥ ✤➛✉✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ❈❤♦ sè tü ♥❤✐➯♥ m ≤ 100✳ ❍➣② ❝❤♦ ❜✐➳t ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤
♣❤➙♥ t➼❝❤ sè

m

t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❝→❝ ❝→❝❤

♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧➔ ❤♦→♥ ✈à ❝õ❛ ♥❤❛✉ ❝❤➾ t➼♥❤ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤✳
❱➼ ❞ö:

m=4

❝â ✺ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤

✶✳

4 = 1 + 1 + 1 + 1,

✷✳

4 = 1 + 1 + 2,

:

✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✭

✸✳

4 = 1 + 3,

✹✳

4 = 2 + 2,

✺✳

4 = 4.

❈❤ó þ : m = 0

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

✈➝♥ ❝♦✐ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè

♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✭✵ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ré♥❣✮✮✳
✣➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② t❛ ❝â t❤➸ ❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧✐➺t ❦➯ t➜t ❝↔ ❝→❝
❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✈➔ ✤➳♠ sè ❝➜✉ ❤➻♥❤✳ ❇➙② ❣✐í t❛ t❤û ♥❣❤➽ ①❡♠ ❝â ❝→❝❤
♥➔♦ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ♥❣❛② r❛ sè ❧÷ñ♥❣ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ♣❤↔✐
❧✐➺t ❦➯ ❤❛② ❦❤æ♥❣✳ ❇ð✐ ✈➻ ❦❤✐ sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❧î♥ ♣❤÷ì♥❣

♣❤→♣ ❧✐➺t ❦➯ tä r❛ ❦❤→ ❝❤➟♠✳

◆❤➟♥ ①➨t ✿
◆➳✉ ❣å✐
❞÷ì♥❣

F (u, v)

≤ u✳

❧➔ sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè

v

t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥

❑❤✐ ✤â✿

❈→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè

v

t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

≤u

❝â t❤➸

❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ❧♦↕✐✿
▲♦↕✐ ✶: ❑❤æ♥❣ ❝❤ù❛ sè

u

tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ ❦❤✐ ✤â sè ❝→❝❤

♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧♦↕✐ ♥➔② ❝❤➼♥❤ ❧➔ sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè
sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

< u✱

❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

v

t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝

tù❝ ❧➔ sè ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè

≤u−1

✈➔ ❜➡♥❣

v

t❤➔♥❤ tê♥❣

F [u − 1, v]✳

▲♦↕✐ ✷: ❈â ❝❤ù❛ ➼t ♥❤➜t ♠ët sè ✉ tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤✳ ❑❤✐ ✤â
♥➳✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧♦↕✐ ♥➔② t❛ ❜ä ✤✐ sè ✉ ✤â t❤➻ t❛ s➩

✤÷ñ❝ ❝→❝ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè

≤ u✳

v − u t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

✭ ▲÷✉ þ: ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤➾ ✤ó♥❣ ❦❤✐ ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❧➦♣ ❧↕✐ ❝→❝ ❤♦→♥

✹


õ tốt ồ

ể

ừ ởt õ t số ữủ số
t

r trữớ ủ
ủ

uv

F [u, u v]

u > v t õ t ỏ trữớ

t õ t t:

F [u 1, v]u > v,

F [u 1, v] + F [u, v u]u v.
F [u, v]

õ ổ tự ỹ
tự õ t ồ
t

F [n, n]:

F [u , v ]

n = 4



ổ tự tr ỗ



F [u, v u]

ữ t



F

tr

ổ

F [u, v]



ợ ỳ ọ ỡ t t s q t

F

n

s :

t t r

ởt tỷ tr

F [u, v]

F [u 1, v]

ữủ t tờ ừ
ởt tỷ ũ

F [u, v u]

F [4, 4]

t


F [u 1, v]

số t t tờ số ữỡ

ử ợ

ử

tứ

s ữủ t

F [1, 4] + F [2, 2]

F [u, v u]

F [3, 4] + F [0, 0]

t



F [2, 4]

s ữủ

F [u, v] t F [u 1, v]

ữủ t trữợ r tự tỹ ủ ỵ t




õ tốt ồ
tỷ tr

F

ể

s t tự tỹ tứ tr ố tr

ộ t t t tự tỹ tứ tr q
õ õ t t ừ :

số õ tỷ

F [0, 0] = 1

ỏ

0

F [0, v]

F [0, v] =

tờ t q ữợ t

ợ ồ

v>0

s õ ũ ổ

tự tr ỗ t r tt tỷ ừ ố ũ
số t t

ử



u1 = 2 u2 = 3 u3 = 8 u4 = 19 u5 = 46

ổ tự tr ỗ ừ

õ

un = 2un1 + un2

õ ởt ố tữủ q õ ữủ

q õ ố tữủ ũ ợ õ
q

ử

ởt ữớ ự trữợ ữỡ ữỡ

ừ ữớ ỏ tr t ừ ữớ t
ừ ữỡ tt õ ụ ự ừ ữớ
ự trữợ ữỡ ự ữ t õ t t ởt ổ
ừ ữớ ữỡ

ử ữớ t t trỹ t t t ỗ
ổ t tr tr ừ õ
ừ t t õ ỗ ổ t tr
ự ữ t

r t ồ t ụ q

õ tốt ồ


tứ ừ

n(n!) :

ể


n = 0

t

n! = 1;



n > 0

t

n! = n.(n 1)!


ỵ số tỷ ừ ởt t ủ ỳ
t

|S| = 0;

S =

t tt õ ởt tỷ

|S| : S =
x S

õ

|S| = |S\{x}| + 1



t q

ổ tự tr ỗ t
t r t


F [u, v u]
F



F [u, v]

F [u, v] = F [u 1, v] + F [u, v u]

t t ữủ

t

F [u 1, v]

ữ tự tỹ t tỷ tr

tỷ t trữợ tỷ t s q trồ

t õ t t ỹ tr ởt q ổ
q t tợ tự tỹ t t
t ởt q t ổ tự tr ỗ ỡ ữ
ử t õ t t

rr s
r
tr
t t tr t

t
t t
s t
s
t t t
s t t t

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

❡♥❞❀

❜❡❣✐♥
❲r✐t❡✭✬♥ ❂ ✬✮❀ ❘❡❛❞▲♥✭♥✮❀
❲r✐t❡▲♥✭●❡t❋✭♥✱ ♥✮✱ ✬ ❆♥❛❧②s❡s✬✮❀
❡♥❞✳

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝➔✐ ✤➦t ♥➔② tä r❛ ❦❤→ ❝❤➟♠ ✈➻ ♣❤↔✐ ❣å✐ ♥❤✐➲✉ ❧➛♥ ♠é✐
❤➔♠

GetF (u, v)✳

❤❛✐ ❝❤✐➲✉

❚❛ ❝â t❤➸ ❝↔✐ t✐➳♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ♠ët ♠↔♥❣

F ✳ ❇❛♥ ✤➛✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ❋ ✤÷ñ❝ ❝♦✐ ❧➔ ✧❝❤÷❛ ❜✐➳t✧ ✭❜➡♥❣

❝→❝❤ ❣→♥ ♠ët ❣✐→ trà ✤➦❝ ❜✐➺t✮✳ ❍➔♠
♥➳✉

F [u, v]

❝❤÷❛ ❜✐➳t t❤➻ ❤➔♠

✤➺ q✉② ✤➸ t➼♥❤ ❣✐→ trà ❝õ❛

F [u, v]

rç✐ ❞ò♥❣ ❣✐→ trà ♥➔② ❣→♥ ❝❤♦ ❦➳t q✉↔

s➩ tr❛ ❝ù✉ tî✐

❤➔♠✱ ❝á♥ ♥➳✉

F [u, v]

F [u, v]✱

GetF (u, v) ❦❤✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ tr÷î❝ ❤➳t

F [u, v]

GetF (u, v)

s➩ ❣å✐

✤➣ ❜✐➳t t❤➻ ❤➔♠ ♥➔② ❝❤➾ ✈✐➺❝ ❣→♥ ❦➳t q✉↔ ❤➔♠ ❧➔

♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ❣å✐ ✤➺ q✉② ✤➸ t➼♥❤ t♦→♥ ♥ú❛✳

♣r♦❣r❛♠ ❆♥❛❧②s❡✷❀
❝♦♥st
♠❛① ❂ ✶✵✵❀
✈❛r

♥✿ ■♥t❡❣❡r❀
❋✿ ❛rr❛②❬✵✳✳♠❛①✱ ✵✳✳♠❛①❪ ♦❢ ▲♦♥❣■♥t❀
❢✉♥❝t✐♦♥ ●❡t❋✭✉✱ ✈✿ ■♥t❡❣❡r✮✿▲♦♥❣■♥t❀
❜❡❣✐♥
✐❢ ❋❬✉✱ ✈❪ ❂ ✲✶ t❤❡♥
❜❡❣✐♥
✐❢ ✉ ❂ ✵ t❤❡♥
✐❢ ✈ ❂ ✵ t❤❡♥ ❋❬✉✱ ✈❪ ✿❂ ✶
❡❧s❡ ❋❬✉✱ ✈❪ ✿❂ ✵

✽


õ tốt ồ

ể

s
t t
s t t

t



rt
r
rtt ss

sỷ ử ữỡ q ổ tự tr ỗ ởt
tt ữ ỵ ởt ổ tự tr ỗ ự t õ
tự tỹ t t t ữỡ tọ r rt q
ỡ t ỳ õ ró ỡ t q ừ ổ tự tr ỗ



ởt số t t q

ử số
số t ỗ tứ t ờ s s ừ
tọ t t r ữ s
tọ ổ ớ t
t s r ớ ộ tọ s s r ởt tọ
ởt ỹ ởt
s rỗ t ự ộ t t t ú s ữủ
ởt ợ




❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

●✐↔ sû tø ✤➛✉ t❤→♥❣ ✶ ❝â ♠ët ❝➦♣ ♠î✐ r❛ ✤í✐ t❤➻ ✤➳♥ t❤→♥❣ t❤ù ♥ ❝â
❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝➦♣✳
❱➼ ❞ö

n = 5✱

t❛ t❤➜②✿

•

●✐ú❛ t❤→♥❣ t❤ù ✶: ✶ ❈➦♣

(ab)✱

✭❝➦♣ ❜❛♥ ✤➛✉✮✳

•

●✐ú❛ t❤→♥❣ t❤ù ✷: ✶ ❈➦♣

(ab)✱

✭❝➦♣ ❜❛♥ ✤➛✉ ✈➝♥ ❝❤÷❛ ✤➫✮✳

•

●✐ú❛ t❤→♥❣ t❤ù ✸: ✷ ❈➦♣

(ab)(cd)✱

✭❝➦♣ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➫ r❛ t❤➯♠ ♠ët

❝➦♣ ❝♦♥✮✳

•

●✐ú❛ t❤→♥❣ t❤ù ✹: ✸ ❈➦♣

•

●✐ú❛ t❤→♥❣ t❤ù ✺: ✺ ❈➦♣

(cd)

(ab)(cd)(ef )

✭❝➦♣ ❜❛♥ ✤➛✉ t✐➳♣ tö❝ ✤➫✮✳

(ab)(cd)(ef )(gh)(ik)✱

✭❝↔ ❝➦♣

(ab)

✈➔

❝ò♥❣ ✤➫✮✳

❇➙② ❣✐í✱ t❛ ①➨t tî✐ ✈✐➺❝ t➼♥❤ sè ❝➦♣ t❤ä ð t❤→♥❣ t❤ù

n : F (n)

◆➳✉ ♠é✐

❝➦♣ t❤ä ð t❤→♥❣ t❤ù

n−1

ð t❤→♥❣ t❤ù ♥ s➩ ❧➔✿

F (n) = 2 ∗ F (n − 1)

◆❤÷♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐

♥❤÷ ✈➟②✱ ❝❤➾ ❝â ♥❤ú♥❣ ❝➦♣ t❤ä ð t❤→♥❣ t❤ù

n − 2 ♠î✐ s✐♥❤ ❝♦♥ ð t❤→♥❣

t❤ù ♥ ✤÷ñ❝ t❤æ✐✳ ❉♦ ✤â
sè s✐♥❤ r❛✮✳ ❱➟②

F (n) = 1

♥➳✉

F (n)

✤➲✉ s✐♥❤ r❛ ♠ët ❝➦♣ t❤ä ❝♦♥ t❤➻ sè ❝➦♣ t❤ä

F (n) = F (n − 1) + F (n − 2) ✭ ❜➡♥❣ sè ❝ô ❝ë♥❣

❝â t❤➸ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉:

n ≤ 2✳

F (n) = F (n − 1) + F (n − 2)

♥➳✉

n > 2✳

❢✉♥❝t✐♦♥ ❋✭♥✿ ■♥t❡❣❡r✮✿ ■♥t❡❣❡r❀
❜❡❣✐♥
✐❢ ♥ ❁❂ ✷ t❤❡♥ ❋ ✿❂ ✶
❡❧s❡ ❋ ✿❂ ❋✭♥ ✲ ✶✮ ✰ ❋✭♥ ✲ ✷✮❀
❡♥❞❀

✶✵


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

❱➼ ❞ö ✶✳✻✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐
✣➙② ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠ët trá ❝❤ì✐✱ ❞↕♥❣ t❤÷í♥❣ ❣➦♣
♥❤➜t ❝õ❛ trá ❝❤ì✐ ♥➔② ❣ç♠ ♠ët ❜ë ❝→❝ ❦➼❝❤ t❤÷î❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ❝â ❧é ð
❣✐ú❛✱ ♥➡♠ ①✉②➯♥ tr➯♥ ❜❛ ❝→✐ ❝å❝✳
❇➔✐ t♦→♥ ✤è ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ s➢♣ ①➳♣ ❝→❝ ✤➽❛ t❤❡♦ tr➟t tü ❦➼❝❤ t❤÷î❝

❍➻♥❤ ✶✳✶✿
✈➔♦ ♠ët ❝å❝ s❛♦ ❝❤♦ ✤➽❛ ♥❤ä ♥❤➜t ♥➡♠ tr➯♥ ❝ò♥❣✱ tù❝ ❧➔ t↕♦ r❛ ♠ët
❞↕♥❣ ❤➻♥❤ ♥â♥✳ ❨➯✉ ❝➛✉ ❝õ❛ trá ❝❤ì✐ ❧➔ ❞✐ ❝❤✉②➸♥ t♦➔♥ ❜ë sè ✤➽❛ s❛♥❣
♠ët ❝å❝ ❦❤→❝✱ t✉➙♥ t❤❡♦ q✉② t➢❝ s❛✉:

∗

❑❤✐ ❞✐ ❝❤✉②➸♥ ♠ët ✤➽❛✱ ♣❤↔✐ ✤➦t ✈➔♦ ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ ❝ët ✤➣ ❝❤♦✳

∗

▼é✐ ❧➛♥ ❞✐ ❝❤✉②➸♥ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❞✐ ❝❤✉②➸♥ ♠ët ✤➽❛ ✈➔ ♣❤↔✐ ❧➔ ✤➽❛ ð
tr➯♥ ❝ò♥❣✳

∗

❚↕✐ ♠ët ✈à tr➼✱ ✤➽❛ ♥➔♦ ♠î✐ ❝❤✉②➸♥ ✤➳♥ s➩ ♣❤↔✐ ✤➦t ❧➯♥ tr➯♥ ❝ò♥❣✳

∗

▼ët ✤➽❛ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✤➦t ❧➯♥ tr➯♥ ✤➽❛ ❧î♥ ❤ì♥✱ ✭❦❤æ♥❣ ♥❤➜t
t❤✐➳t ❤❛✐ ✤➽❛ ♥➔② ♣❤↔✐ ❝â ❦➼❝❤ t❤÷î❝ ❧✐➲♥ ❦➲✮✳

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝â ✷ ✤➽❛ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷ s❛✉:

✶✶


õ tốt ồ

ể

ọ s ồ ợ s ồ rỗ ọ tứ
ồ s ồ
ữớ tữớ ợ số t t t qt ữ

số ợ t tr ự t ợ tữ
q t ồ sỹ ộ trủ ừ t t t t tr

t t r: õ





n=1

n



t t t õ tứ ồ ởt s ồ





sỷ r t õ ữỡ ữủ
s ồ t
tữỡ tỹ 1



xy 3

n1

tứ ồ

tứ ồ s ồ ụ



sỷ r t õ ữỡ ữủ
ồ t ý

n1

n1

ỳ

n tứ ồ s ồ t ồ ồ ỏ



z = 6 x y t t ồ n 1 tứ ồ

x

s ồ

z

s õ t t s ồ ố ũ

t t ồ

y

n1

ồ

ỗ t t

õ ữủ t tr từ tử q ữợ

rr tr

t rt
s





z

s ồ


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

▼♦✈❡✭✶✱ ①✱ ②✮❀
▼♦✈❡✭♥ ✲ ✶✱ ✻ ✲ ① ✲ ②✱ ②✮❀
❡♥❞❀
❡♥❞❀

❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤➼♥❤ r➜t ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ❝❤➾ ❣ç♠ ❝â ✷ ✈✐➺❝✿ ◆❤➟♣ ✈➔♦ sè
❣å✐

n ✈➔

M ove(n, 1, 2)✳

❱➼ ❞ö ✶✳✼✳ ❍➔♠ ❣✐❛✐ t❤ø❛

❢✉♥❝t✐♦♥ ❋❛❝t♦r✐❛❧✭♥✿ ■♥t❡❣❡r✮✿ ■♥t❡❣❡r❀
❜❡❣✐♥
✐❢ ♥ ❂ ✵ t❤❡♥ ❋❛❝t♦r✐❛❧ ✿❂ ✶
❡❧s❡ ❋❛❝t♦r✐❛❧ ✿❂ ♥ ✯ ❋❛❝t♦r✐❛❧✭♥ ✲ ✶✮❀
❡♥❞❀

Ð ✤➙② ♣❤➛♥ ♥❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦➳t q✉↔ t↕✐
✈î✐

n > 0✮

❝õ❛

n − 1✳

❝á♥ ♣❤➛♥ ✤➺ q✉②✭ ù♥❣

s➩ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦➳t q✉↔ ❤➔♠ q✉❛ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♥ ✈➔ ❣✐❛✐ t❤ø❛

❱➼ ❞ö ♥❤÷ ❧➔ ♠✉è♥ t➼♥❤
tü ✤➸ t➼♥❤

n = 0✱

3!

4! tr÷î❝ ❤➳t ♣❤↔✐ t➼♥❤ 3! ❜ð✐ 4! = 4 ∗ 3!✳ ❚÷ì♥❣

♥â ❧↕✐ ✤✐ t➼♥❤

2!

✈➻

3! = 3 ∗ 2!✱

♠✉è♥ t➼♥❤

2!

t❤➻ ❝➛♥ t➼♥❤

1! ✈➻ 2! = 2 ∗ 1!✱ 1! = 1 ∗ 0!✱ ♥❤÷ ✈➟② ❧➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ t❛ ✤÷❛ ✈➲ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥❡♦✱ tø ✤➙② ♥â t➼♥❤ ✤÷ñ❝

3! = 6✱

✈➔ t➼♥❤ ✤÷ñ❝

0! = 1✳

4! = 8 :

4! = 4 ∗ 3!✳
→ 3! = 3 ∗ 2!✳
→ 2! = 2 ∗ 1!✳

✶✸

❚ø ✤â t❛ t➼♥❤ ✤÷ñ❝

2! = 2✱


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

→ 1! = 1 ∗ 0!✳
→ 0! = 1✳

✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉
❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉✿ ❣ç♠ ❝â ♠ët ❤➔♠ ❢ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❤❛② ❤➔♠ ✤→♥❤
❣✐→❀ ❝→❝ ❤➔♠

g1 , g2 , . . . , gm

❝❤♦ ❣✐→ trà ❧♦❣✐❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ r➔♥❣ ❜✉ë❝✳ ❨➯✉

❝➛✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ t➻♠ ♠ët ❝➜✉ ❤➻♥❤ ① t❤♦↔ ♠➣♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝

g1 , g2 , . . . , gm : gi (x) = T RU E (∀i : 1 ≤ i ≤ m)
♥❣❤➽❛ ❦❤æ♥❣ tç♥ t↕✐ ♠ët ❝➜✉ ❤➻♥❤
❜✉ë❝ ♠➔

f (y)

❱➼ ❞ö ✶✳✽✳

tèt ❤ì♥

❚➻♠

❍➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ✿

(x, y)

x

❧➔ tèt ♥❤➜t✱ t❤❡♦

♥➔♦ ❦❤→❝ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ❤➔♠ r➔♥❣

f (x)✳
✤➸

x − y −→

❍➔♠ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✿

y

✈➔

♠❛①✳

x2 + y 2 ≤ 4✳

❳➨t tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t♦↕ ✤ë✱ ♥❤ú♥❣ ❝➦♣

(x, y)

t❤♦↔ ♠➣♥✿

x2 + y 2 ≤ 4

❧➔ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â t➙♠ ❖ ❧➔ ❣è❝ t♦↕
✤ë✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✷✳ ❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➢t ❜✉ë❝ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤
trá♥ ✤â✳
◆❤ú♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

x − y = C ✱ ✭❈ ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè✮❧➔

✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ ♣❤➛♥ t÷ t❤ù ❤❛✐✳❚❛
♣❤↔✐ t➻♠ sè ❈ ❧î♥ ♥❤➜t ♠➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

(O, 2)✳
√
x − y = 2 2✳

✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥
trá♥✿

x − y = C ✱ ✈➝♥ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣

✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤â ❧➔ ♠ët t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣

❈→❝ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ r➜t ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ✈➔ ✤❛ ❞↕♥❣✱ ù♥❣ ❞ö♥❣

✶✹


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

❍➻♥❤ ✶✳✷✿
♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳✱ ♥❤÷♥❣ ❝ô♥❣ ❝➛♥ ❜✐➳t r➡♥❣✱ ✤❛ sè ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ q✉②
❤♦↕❝❤ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔✐ ✤÷ñ❝✱ ❤♦➦❝ ❝❤÷❛ ❣✐↔✐ ✤÷ñ❝✳

✶✳✸ ◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣
❚r♦♥❣ ♥❣➔♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✱ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❣✐↔♠ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤↕② ❝õ❛ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ t❤➸ ❤✐➺♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝
❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ❣è✐ ♥❤❛✉ ✭♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ s✉❜♣r♦❜❧❡♠✮ ✈➔ ❝➜✉ tró❝ ❝♦♥ tè✐
÷✉ ✭♦♣t✐♠❛❧ s✉❜str✉❝t✉r❡✮✳ ✭❚r➼❝❤ ❇→❝❤ ❦❤♦❛ t♦➔♥ t❤÷ ♠ð ❲✐❦✐♣❡❞✐❛✮
◆â ❧➔ ♠ët ❦➽ t❤✉➟t t❤✐➳t ❦➳ t❤✉➟t t♦→♥ t❤❡♦ ❦✐➸✉ ❝❤✐❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧î♥

t❤➔♥❤ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥✱ sû ❞ö♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ✤➸ t➻♠
❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ❑❤→❝ ✈î✐ ❝❤✐❛ ✤➸ trà✱ q✉② ❤♦↕❝ ✤ë♥❣✱
t❤❛② ✈➻ ❣å✐ ✤➺ q✉②✱ s➩ t➻♠ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ✈➔ ❧÷✉ ✈➔♦ ❜ë
♥❤î ✭t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠ët ♠↔♥❣✮✱ ✈➔ s❛✉ ✤â ❧➜② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ð
tr♦♥❣ ♠↔♥❣ ✤➣ t➼♥❤ tr÷î❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧î♥✳ ❱✐➺❝ ❧÷✉ ❧↕✐ ❧í✐ ❣✐↔✐ ✈➔♦
❜ë ♥❤î ❦❤✐➳♥ ❝❤♦ t❛ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ t➼♥❤ ❧↕✐ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥

✶✺


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

♠é✐ ❦❤✐ ❝➛♥✱ ❞♦ ✤â✱ t✐➳t ❦✐➺♠ ✤÷ñ❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥✳

✶✳✸✳✶

▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t

❑❤✐ ♥➔♦ t❤➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ✤➳♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣❄ ✣â ❧➔ ♠ët ❝➙✉ ❤ä✐ r➜t
❦❤â tr↔ ❧í✐✳ ❑❤æ♥❣ ❝â ♠ët ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥➔♦ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤÷ ✈➟②✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝â ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ t❛ ❝â t❤➸ ♥❣❤➽ ✤➳♥ q✉②
❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ ❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥ê✐ ❜➟t ♥❤➜t tr♦♥❣ sè ❝❤ó♥❣✿

•

❇➔✐ t♦→♥ ❝â ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ❣è✐ ♥❤❛✉✳

•

❇➔✐ t♦→♥ ❝â ❝➜✉ tró❝ ❝♦♥ tè✐ ÷✉✳

❚❤÷í♥❣ t❤➻ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ✤õ ❝↔ ❤❛✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸
❞ò♥❣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✤÷ñ❝✳ ▼ët ❝➙✉ ❤ä✐ r➜t t❤ó ✈à ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❞ò♥❣ q✉②
❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❝â ✤÷ñ❝ ❦❤æ♥❣❄ ❈➙✉ tr↔ ❧í✐ ❧➔ ❝â✱ ♥❤÷♥❣ s➩ tè♥ r➜t ♥❤✐➲✉
t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ✈➔ ❜ë ♥❤î ✤➸ ❧÷✉ trú✳ ✣➸ ❤✐➸✉ rã ❤ì♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩
t➻♠ ❤✐➸✉ tø♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♣❤➛♥ ❞÷î✐ ✤➙②✿

✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ❣è✐ ♥❤❛✉
❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐❛ ✤➸ trà✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤
✤ë♥❣ ❝ô♥❣ ❝❤✐❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧î♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ♥❤ä ❤ì♥✳
◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ ❦❤✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐
✤✐ ❣å✐ ❧↕✐✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ s➩ ❧÷✉ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ❝♦♥ ♥➔②✱ ✈➔ ❦❤✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐✱ ♥â s➩ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t➼♥❤ ❧↕✐✱ ❞♦
✤â ❧➔♠ ❣✐↔♠ t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥✳ ◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ s➩ ❦❤æ♥❣ t❤➸
→♣ ❞ö♥❣ ✤÷ñ❝ ✭❤♦➦❝ ♥â✐ ✤ó♥❣ ❤ì♥ ❧➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝ô♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝â t→❝
❞ö♥❣ ❣➻✮ ❦❤✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ❦❤æ♥❣ ❣è✐ ♥❤❛✉✳ ❱➼ ❞ö ✈î✐ t❤✉➟t
t♦→♥ t➻♠ ❦✐➳♠ ♥❤à ♣❤➙♥✱ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❝ô♥❣ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tè✐ ÷✉

✶✻


õ tốt ồ

ể

ữủ ộ ọ t ợ t
t ộ t ụ ởt ổ
ớ ữủ ồ

trú tố ữ
trú tố ữ ởt t t ớ ừ t ợ
s t ủ ớ tứ t ọ ỡ

ử r t t ữớ t tr ỗ t
ởt út

x tr ữớ t ỳ út u v

ữớ t tứ
t tứ

u



x

u



v

t

s tờ ủ ừ ữớ

ữớ t tứ

x



v

ổt số tt

t t ữớ tr ỗ t ờ t t õ str
ỹ tr t t õ ụ ử q ở
t trú tố ữ rt q trồ õ ú
t t ợ ỹ t ữủ
ổ õ t t ú t ổ t ử q
ở ữủ
ổ t ụ õ t t trú tố ữ
ử ợ ỗ t s ữớ t tứ

b c d



b a d

b d

s

ữ ổ ố ữ

t t ữớ t ữớ t ổ tờ
ủ ừ ỳ ữớ t õ t ổ
õ trú tố ữ
ử ữớ
t tứ

b c d ổ tờ ủ ừ ữớ

b c

ữớ t tứ



c d

ữớ


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

❍➻♥❤ ✶✳✸✿
✤✐ ❞➔✐ ♥❤➜t
♥❤➜t tø

✶✳✸✳✷

b −→ c

c −→ d

♣❤↔✐ ❧➔

♣❤↔✐ ❧➔

b −→ a −→ d −→ c

✈➔ ✤÷í♥❣ ✤✐ ❞➔✐

c −→ b −→ a −→ d✳

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❞ò♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❝â ❜↔♥ ❝❤➜t
✤➺ q✉②✱ tù❝ ❧➔ ✈✐➺❝ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â ❝â t❤➸ ✤÷❛
✈➲ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥✳ ✣è✐
✈î✐ ♥❤✐➲✉ t❤✉➟t t♦→♥ ✤➺ q✉② ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ t➻♠ ❤✐➸✉✱ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❝❤✐❛ ✤➸
trà ✭❞✐✈✐❞❡ ❛♥❞ ❝♦♥q✉❡r✮ t❤÷í♥❣ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá ❝❤õ ✤↕♦ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t❤✐➳t
❦➳ t❤✉➟t t♦→♥✳ ✣➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❧î♥✱ t❛ ❝❤✐❛ ♥â ❧➔♠ ♥❤✐➲✉
❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ❝ò♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ ♥â ✤➸ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤ë❝ ❧➟♣✳ ❚r♦♥❣
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✱ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ♥➔② ❝➔♥❣ ✤÷ñ❝ t❤➸ ❤✐➺♥ rã✿
❑❤✐ ❦❤æ♥❣ ❜✐➳t ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ♥➔♦✱ t❛ s➩ ✤✐
❣✐↔✐ q✉②➳t t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ✈➔ ❧÷✉ trú ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❤❛② ✤→♣
sè ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ✈î✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤ sû ❞ö♥❣ ❧↕✐ t❤❡♦ ♠ët sü ♣❤è✐ ❤ñ♣ ♥➔♦ ✤â

✶✽

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚❸ ❚❍Ó❨ ❱❹◆

✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥✳ ✣â ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤✐➸♠ ❦❤→❝
♥❤❛✉ ❣✐ú❛ ◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ ❣✐↔✐ ✤➺ q✉② ✈➔ ❝ô♥❣ ❧➔ ♥ë✐
❞✉♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✿

•

P❤➨♣ ♣❤➙♥ ❣✐↔✐ ✤➺ q✉② ❜➢t ✤➛✉ tø ❜➔✐ t♦→♥ ❧î♥ ♣❤➙♥ r➣ t❤➔♥❤
♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ✈➔ ✤✐ ❣✐↔✐ tø♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ✤â✳ ❱✐➺❝ ❣✐↔✐ tø♥❣
❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ❧↕✐ ✤÷❛ ✈➲ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ r➣ t✐➳♣ t❤➔♥❤ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥
♥❤ä ❤ì♥ ✈➔ ❧↕✐ ✤✐ ❣✐↔✐ t✐➳♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤ä ❤ì♥ ✤â ❜➜t ❦➸ ♥â ✤➣ ✤÷ñ❝
❣✐↔✐ ❤❛② ❝❤÷❛✳

•

◗✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣ ❜➢t ✤➛✉ tø ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤ä ♥❤➜t
✭ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì sð✮ ✤➸ tø ✤â tø♥❣ ❜÷î❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥
❧î♥ ❤ì♥✱ ❝❤♦ tî✐ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧î♥ ♥❤➜t ✭❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♥
✤➛✉✮✳

❚❛ ①➨t ♠ët ✈➼ ❞ö ✤ì♥ ❣✐↔♥✿
❉➣② ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ❧➔ ❞➣② ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✿

F (n) = 1

♥➳✉

n ≤ 2✳

F (n) = F (n − 1) + F (n − 2)
❍➣② t➼♥❤

F [5]

♥➳✉

n > 2✳

❳➨t ❤❛✐ ❝→❝❤ ❝➔✐ ✤➦t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

❈→❝❤ ✶✿

♣r♦❣r❛♠ ❋✐❜♦✶❀
❢✉♥❝t✐♦♥ ❋✭✐✿ ■♥t❡❣❡r✮✿ ■♥t❡❣❡r❀
❜❡❣✐♥
✐❢ ♥ ❁ ✸ t❤❡♥ ❋ ✿❂ ✶

✶✾

F [1]✱ F [2]✱ ✳ ✳ ✳

✤÷ñ❝