Các phép biến hình trong mặt phẳng EUCLIDE

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
TRONG MẶT PHẲNG EUCLIDE
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
TRONG MẶT PHẲNG EUCLIDE
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Th.S. PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI – 2018

Mục lục
Mở đầu

1

Bảng kí hiệu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1

Góc đinh hướng giữa hai tia. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2

Góc định hướng giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . .

2

Đường phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.1

4

1.3

Các định lý cơ bản khác về góc . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Nội dung chính
2.1

2.2

6

Phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.1

Sơ lược về phép biến hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.2

Phép biến hình affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Phép đẳng cự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.1

Sơ lược về phép đẳng cự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.2

Phép đẳng cự trong mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.3

Các phép đẳng cự đặc biệt trong mặt phẳng Euclide. . . . .

14

2.2.4

Hợp thành của các phép đẳng cự. . . . . . . . . . . . . . . .

35

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3

Các phép biến hình khác.

Nguyễn Phương Thảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Kết luận

58

Tài liệu tham khảo

58

2


Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình dạy và học toán ở phổ thông, phân môn Hình học luôn là
một môn học khó đối với các em học sinh. Bởi không chỉ cần học nội dung trong
sách giáo khoa, các em còn cần phải tư duy logic, tưởng tượng sáng tạo và vận dụng
linh hoat nhiều kiến thức liên quan để giải bài tập. Một trong số các nội dung học
sinh được học đó là các phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng. Đây là
một công cụ đắc lực để giải các dạng bài tập quỹ tích, chứng minh, bài toán dựng
hình... là những câu hỏi khó trong đề bài. Phép biến hình trong mặt phẳng được
giới thiệu trong chương trình Toán lớp 8 và được củng cố trong chương trình Toán
trung học phổ thông với nhiều bài tập đa dạng hơn. Tuy nhiên các tài liệu tham
khảo hiện tại không đi vào chuyên sâu nội dung của các phép biến hình. Do đó em
làm đề tài này nhằm mục đích khai thác một cách cụ thể và hiệu quả các phép
biến hình trong mặt phẳng, đồng thời đưa ra một số dạng bài tập vận dụng trong
chương trình toán phổ thông nhằm giúp các em học sinh hiểu rõ hơn nội dung này,
có thể vận dụng một cách linh hoạt các phép biến hình để giải toán.
Xuất phát từ quan sát trên cùng với sự hướng dẫn tận tình của Th.S Phạm
Thanh Tâm, em xin chọn đề tài: “Các phép biến hình trong mặt phẳng
Euclide” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.
Khóa luận được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Chương 2. Các phép biến hình trong mặt phẳng Euclide.
2 Mục đích nghiên cứu

• Đi sâu vào nội dung phép biến hình trong mặt phẳng Euclide.
• Đưa ra một số bài toán trong chương trình phổ thông giúp học sinh vận dụng
linh hoạt các phép biến hình đã học trong một số dạng bài tập.
3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

• Phép biến hình trong mặt phẳng Euclide.
• Một số bài tập hình học liên quan trong chương trình toán phổ thông.
4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các phép biến hình và mối quan hệ giữa các phép biến hình trong
mặt phẳng Euclide.
5 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích các bài giải minh họa, tích cực nghiên
cứu dưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn.
6 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

Là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành Toán, các học sinh Trung
học phổ thông tham khảo.
Hà Nội, tháng 04 năm 2018
Tác giả khóa luận

Nguyễn Phương Thảo
2


Bảng kí hiệu
(AB) đường thẳng AB
[AB)

tia [AB)

[AB]

đoạn thẳng [AB]

|AB|

độ dài của đoạn thẳng [AB]

3


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Góc

Định nghĩa 1.1.1. Một cặp tia h, k cùng gốc O sẽ gọi là một góc, kí hiệu là (h, k).
Điểm O gọi là đỉnh của góc và h, k gọi là hai cạnh của góc.

Định nghĩa 1.1.2. Độ lớn α của một góc có đỉnh là A và có hai cạnh là hai tia
theo thứ tự đi qua hai điểm B và C sẽ được tính bởi công thức:
cos α =

CA2 +AB 2 −BC 2
2.CA.AB

(0 ≤ α ≤ π)

Trong đó AB, BC, CA là các độ dài đoạn thẳng.
Định lý 1.1.1. Cho góc (h, k) mà các cạnh thuộc một mặt phẳng α và một tia h
cũng thuộc mặt phẳng đó hay mặt phẳng α khác. Khi đó bao giờ cũng có một tia k
ở về một phía cho trước của đường thẳng chứa tia h sao cho góc (h, k) toàn đẳng
với góc (h , k ), viết là (h, k) ≡ (h , k ).
Định lý 1.1.2. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng ( không cùng thuộc một
đường thẳng) và ba điểm A , B , C cũng không thẳng hàng. Nếu AB ≡ A B , AC ≡
A C và (BA, AC) ≡ (B A , A C ,) ( kí hiệu là BAC = B A C ) thì bao giờ cũng
có:
ABC ≡ A B C và ACB = A C B
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Phương Thảo

Góc định hướng

1.2.1

Góc đinh hướng giữa hai tia.

Định nghĩa 1.2.1. Cho hai tia OA và OB. Góc định hướng giữa hai tia OA và
OB là hình gồm hai tia OA và OB và một trong hai tập hợp do hai tia đó phân
hoạch mặt phẳng ra; đồng thời giữa hai tia OA và OB ta quy ước tia nào là tia
đầu, tia nào là tia cuối.
Dễ thấy với hai tia OA, OB có
hai góc định hướng tạo bởi hai tia.
Ký hiệu:(OA, OB).

Nhận xét 1.2.1. Nếu α là một giá trị của góc định hướng giữa hai tia OA và OB
thì những giá trị khác sai khác nhau một lượng bằng k2π:
α = α + k2π

(k ∈ Z)

Định nghĩa 1.2.2. Hệ thức Salo: Cho n tia OA1 ; OA2 ; ...; OAn trong mặt phẳng
định hướng ta có hệ thức Salo:
(OA1 , OA2 ) + (OA2 , OA3 ) + ... + (OAn−1 , OAn ) = (OA1 , OAn ).
1.2.2

Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.2.3. Trong mặt phẳng định hướng, cho hai đường thẳng a và b.
• Nếu a ∩ b ≡ O thì góc định hướng từ a đến b là góc quay quanh O để a trùng b.
• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b bằng 0.
Kí hiệu: (a, b)

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Nhận xét 1.2.2. Nếu α là một giá trị của góc định hướng giữa hai đường thẳng a
và b thì các giá trị α khác của nó có dạng:
α = α + kπ

(k ∈ Z)

Định nghĩa 1.2.4. Hệ thức Salo. Trong mặt phẳng đã được định hướng cho n
đường thẳng a1 , a2 , ..., an cắt nhau tại O. Khi đó ta có:
(a1 , a2 ) + (a2 , a3 ) + ... + (an−1 , an ) = (a1 , an ).

1.3

Đường phân giác

Định nghĩa 1.3.1. Tia phân giác: Cho hai tia OA, OB trong mặt phẳng (P ) đã
được định hướng. Tia OT thuộc mặt phẳng (P ) được gọi là tia phân giác của góc
định hướng giữa hai tia OA, OB nếu:
(OA, OT ) = (OT , OB)
⇔ (OA, OT ) + (OT , OB) = 2(OT , OB)
⇔ (OA, OB) = 2(OT , OB)
⇔ (OT , OB) = 12 (OA, OB)
Định nghĩa 1.3.2. Đường phân giác: Trong mặt phẳng (P ) được định hướng,
cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O. Đường thẳng t qua O trong mặt phẳng

(P ) gọi là đường phân giác của góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b cắt
nhau tại O nếu:
(a, t) = (t, b)
⇔ (a, t) + (t, b) = 2(t, b)
⇔ (a, b) = 2(t, b)
⇔ (t, b) = 12 (a, b)
Nhận xét:
Các điểm nằm trên đường phân giác cách đều hai đường thẳng hợp thành góc
mà nó chia đôi.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Định nghĩa 1.3.3. ˙
Đường phân giác trong: Trong mặt phẳng (P ) cho

ABC. Đường thẳng t1

qua A, cắt đoạn BC tại điểm D sao cho BAD = DAC gọi là đường phân giác
trong của góc BAC.
Đường phân giác ngoài: Đường thẳng t2 đi qua A và chia đôi góc ngoài của
tam giác

ABC thành hai góc bằng nhau được gọi là đường phân giác ngoài góc

A của tam giác

ABC.

Nhận xét: t1 ⊥ t2
Định lý 1.3.1. Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia đôi cạnh đối
diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
1.3.1

Các định lý cơ bản khác về góc

Định lý 1.3.2. Hệ thức về góc định hướng giữa ba đường thẳng.
Cho ba điểm A, B, C là ba điểm phân biệt trong mặt phẳng Affine Euclide. Khi
đó:
(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) = 0
Định lý 1.3.3. Góc và đường tròn.
Cho A, B, C là ba điểm phân biệt trên đường tròn tâm O. Ta có:
(OA, OB) = 2(CA, CB).
Định lý 1.3.4. Góc giữa tiếp tuyến và dây cung.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến tại điểm B của đường tròn (C) có tâm O và
nếu A là một điểm khác B trên (C) thì:
(OA, OB) = 2(AB, d).
Định lý 1.3.5. Góc cùng chắn một cung.
Cho A, B và C là ba điểm phân biệt. Một điểm D thuộc đường tròn ngoại tiếp ba

điểm đó nếu và chỉ nếu:
(CA, CB) = (DA, DB).

5


Chương 2

Nội dung chính
2.1
2.1.1

Phép biến hình
Sơ lược về phép biến hình.

Định nghĩa 2.1.1. Trong không gian Euclide n chiều En , một ánh xạ f : En → En
được gọi là phép biến hình nếu f là song ánh.
Ví dụ 2.1.1. Cho tập hợp T = ∅, phép đồng nhất Id : T → T là phép biến hình
và gọi là phép biến hình đồng nhất.
Ví dụ 2.1.2. Trong E2 , cho điểm I cố định. Xét ánh xạ:
1
NI2 : E2 → E2
I→I
M =I→M

 M ∈ IM
Ta có:
 IM .IM =

1

2

1

Khi đó: +NI2 là một ánh xạ.
1

+NI2 là một đơn ánh.
1

+NI2 là một toàn ánh.
1

⇒ NI2 là một phép biến hình của E2 .
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Nhận xét: IP .IP = IQ.IQ = 12 ; P, P , Q, Q thuộc cùng một đường tròn.
1

Trong trường hợp này, NI2 không biến đường thẳng thành đường thẳng.
Định nghĩa 2.1.2. Hợp của hai phép biến hình
Giả sử f và g là hai phép biến hình trên En đã cho, khi đó tích f ◦ g cũng là
một ánh xạ từ En vào En nên tích đó cũng là phép biến hình trên En .
Định nghĩa 2.1.3. Điểm bất động, hình kép, hình bất động.
Cho phép biến hình f .

• A gọi là điểm bất động của f nếu f (A) = A.
• Φ gọi là hình kép nếu f nếu f (Φ) = Φ.
• Φ gọi là hình cố định nếu f (A) = A ∀A ∈ Φ.
Định nghĩa 2.1.4. Phép biến hình đảo ngược.
Cho phép biến hình f . Ánh xạ ngược f −1 của song ánh f gọi là phép biến hình
đảo ngược của phép biến hình f hay là nghịch đảo của phép biến hình f .
Định nghĩa 2.1.5. Phép biến hình đối hợp.
Phép biến hình f gọi là đối hợp nếu f 2 = Id, nghĩa là f = f −1 .
2.1.2

Phép biến hình affine.

Định nghĩa 2.1.6. Cho song ánh f : En → En là một phép biến hình của En . Ta
gọi f là một phép biến hình affine ( gọi tắt là phép affine) nếu f biến một đường
thẳng bất kì thành một đường thẳng.
Định lý 2.1.1. Điều kiện tương đương cho phép biến hình affine.
Cho song ánh f : En → En là một phép biến hình. Khi đó f là một phép biến
hình affine ⇔ f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và biến ba điểm
không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Ví dụ 2.1.3. Trong không gian E2 , cho điểm M cố định. Xét ánh xạ:
XM : E2 → E2
M →M
I=M →I

−−→
−−→
Sao cho IM = −I M
Khi đó:
+ XM là một ánh xạ.
−−→ −−→
+ XM là đơn ánh. Vì ∀I ∈ E2 , ∃I ∈ E2 do IM , I M đồng phẳng.
+ XM là toàn ánh. Vì:
−−→
−−→
−−→
−−→
XM : I → I : IM = −I M ⇒ I M = −IM ⇒ XM : I → I
⇒ XM là phép biến hình trong E2 .
Nhận xét: Trong trường hợp này, XM biến đường thẳng thành đường thẳng.
Tính chất 2.1.1.
Phép affine biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
Phép affine biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
Phép afin biến đường thẳng thành đường thẳng.
Tính chất 2.1.2. Phép affine biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
Tính chất 2.1.3. Phép affine bảo tồn tính song ánh của hai đường thẳng.
Tính chất 2.1.4. Phép affine bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng.
Tính chất 2.1.5. Phép affine biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng.
Tính chất 2.1.6. Phép affine bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
⇒ Phép biến hình affine bảo tồn trung điểm của đoạn thẳng và bảo tồn tỉ số của
các đoạn thẳng song song với nhau.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Định lý 2.1.2. Điều kiện xác định phép affine trong mặt phẳng.
Trong En , cho hai tam giác

A1 A2 A3 và

A1 A2 A3 , tồn tại duy nhất một phép

affine của E2 biến Ai thành Ai , (i = 1, 2, 3).
Hay ta có thể nói: Phép affine trong mặt phẳng E2 được xác định bởi hai tam
giác tương ứng.

Chứng minh:
Giả sử M ∈ E2 .
−−−→
−−−→
−−−→
Ta có sự biểu diễn: A1 M = m1 .A1 A2 + m2 .A1 A3 .
Ta gọi (m1 , m2 ) là bộ số ứng với điểm M và đặt f (M ) = M . xác định như sau:
−−−→
−−−→
−−−→
A1 M = m1 .A1 A2 + m2 .A1 A3
Dễ dàng chứng minh được f là phép biến hình của E2 . Ta phải chứng minh f
biến đường thẳng thành đường thẳng.
Giả sử M, N, P là ba điểm thẳng hàng có các bộ số tương ứng là (m1 , m2 ); (n1 , n2 );
(p1 , p2 ) và các ảnh tương ứng của chúng qua f là M , N , P . Vì M, N, P thẳng hàng
nên:

−−→
−−→
M P = k M N hay p1 − m1 = k(n1 − m1 ) và p2 − m2 = k(n2 − m2 ).
Ta lại có:
−−−→
−−−→
−−−→
M P = (p1 − m1 ).A1 A2 + (p2 − m2 ).A1 A3 ;
−−−→
−−−→
−−−→
M N = (n1 − m1 ).A1 A2 + (n2 − m2 ).A1 A3
−−−→
−−−→
Vậy M P = k M N hay M , N , P thẳng hàng. Ta đã chỉ ra f là phép affine.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Giả sử g cũng là phép affine của E2 biến Ai thành Ai , (i = 1, 2, 3). Xét điểm M
bất kì của E2 và đặt f (M ) = M , g(M ) = M . Giả sử bộ số tương ứng của M là
(m1 , m2 ) thế thì:
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
f (A1 M ) = A1 M = m1 .A1 A2 + m2 .A1 A3

−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
g(A1 M ) = A1 M = m1 .A1 A2 + m2 .A1 A3 .
Theo trên M = M hay g = f .

Phân loại.
i) Phép affine giữ nguyên chiều của hình gọi là phép affine loại một.
ii) Phép affine làm đảo chiều của hình gọi là phép affine loại hai.

2.2
2.2.1

Phép đẳng cự.
Sơ lược về phép đẳng cự.

Định nghĩa 2.2.1. Trong không gian En và ánh xạ f : En → En là phép biến
hình của En , ta gọi f là phép đẳng cự nếu:
∀M, N ∈ En : d(f (M ), f (N )) = d(M, N ).
Tính chất 2.2.1. Phép đẳng cự là phép affine nên bảo toàn mọi tính chất của phép
affine.
Tính chất 2.2.2. Phép đẳng cự bảo toàn tính thẳng hàng và tỉ số đơn.
Tính chất 2.2.3. Phép đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.
2.2.2

Phép đẳng cự trong mặt phẳng.

Định nghĩa 2.2.2. Phép biến hình trong mặt phẳng Euclide bảo tồn khoảng cách
giữa hai điểm gọi là phép đẳng cự trong mặt phẳng Euclide, tức là:

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Nếu D là phép biến hình và D(A) = A1 , D(B) = B1 thì |AB| = |A1 B1 |.
Ví dụ 2.2.1. Trên mặt phẳng (P ) cho đường tròn (O; 1) và tập hợp n điểm A1 , A2 , ..., An
(n > 2). Chứng minh rằng luôn tìm được điểm M trên đường tròn (O; 1) sao cho:
n

M Ak ≥ n .
k=1

Ta chứng minh bài toán như sau:
Lấy trên đường tròn (O; 1) một điểm M bất kì.
Xét phép đẳng cự: f : O → O; M = O → M sao cho:
−−→
−−→
OM = −OM ⇒ |OM | = |OM | = 1.
Khi đó M cũng thuộc đường tròn (O; 1) và ta có:
Ak M + Ak M ≥ M M = 2.

(∀k = 1, n).

Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức đó theo n điểm A1 , A2 , ..., An (n > 2), ta được:
n

n

Ak M ≥ 2n .

Ak M +
k=1

k=1
n

Ak M ≥ n,

Rõ ràng một trong hai tổng ở vế trái không nhỏ hơn n, chẳng hạn
k=1

khi đó M là điểm phải tìm.
Định lý 2.2.1. Điều kiện xác định phép đẳng cự trong mặt phẳng.
Có một và chỉ một phép đẳng cự biến các đỉnh A, B, C của một tam giác không
suy biến, tương ứng thành các đỉnh A1 , B1 , C1 của tam giác toàn đẳng với nó. Nghĩa
là, phép đẳng cự được hoàn toàn xác định bởi hai tam giác bằng nhau.
Chứng minh:
Sự tồn tại được suy ra từ tính toàn đẳng của
Cho

ABC =

ABC và

A1 B1 C1 .

A1 B1 C1 . Theo định lí về sự xác định phép affine trong mặt

phẳng thì tồn tại duy nhất một phép affine f biến ba đỉnh A, B, C thành ba đỉnh
tương ứng A1 , B1 , C1 .
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Ta chứng minh tính duy nhất.
Giả sử D là phép đẳng cự phẳng nào đó thỏa mãn
D(A) = A1 , D(B) = B1 , D(C) = C1 .
Giả sử X là một điểm bất kì của mặt phẳng. Rõ ràng điểm D(X) phải cách
các đỉnh A1 , B1 , C1 các khoảng |XA|, |XB|, |XC|. Nhưng ba đường tròn với tâm
A1 , B1 , C1 không thẳng hàng thì chỉ có không quá một điểm chung, nghĩa là D(X)
được xác định duy nhất.
Mệnh đề 2.2.1. Phép đẳng cự là phép affine: Qua một phép đẳng cự, ba
điểm thẳng hàng biến thành ba điểm thẳng hàng trong đó thứ tự của các điểm được
giữ nguyên.
Chứng minh:
Giả sử cho ba điểm thẳng hàng A, X, B và X nằm giữa A, B nghĩa là:
|AX| + |XB| = |AB|
Giả sử D(A) = A1 , D(X) = X1 , D(B) = B1 . Theo định nghĩa phép đẳng cự ta
có:
|AX| = |A1 X1 |, |XB| = |X1 B1 |, |AB| = |A1 B1 |
Suy ra |A1 X1 | + |X1 B1 | = |A1 B1 |, tức là A1 , X1 , B1 thẳng hàng và X1 nằm giữa A1
và B1 .
Mệnh đề 2.2.2. Qua một phép đẳng cự, hai đường thẳng song song biến thành
hai đường thẳng song song.

Chứng minh:
Giả sử D(a) = a1 , D(b) = b1 và a//b.
Nếu a1 ∩ b1 = M1 (duy nhất) thì ∃M = a ∩ b sao cho D(M ) = M1 .
Điều này vô lí vì a//b. Vậy a1 //b1 .
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Mệnh đề 2.2.3. Qua một phép đẳng cự, đường tròn biến thành đường tròn cùng
bán kính.
Chứng minh:
Giả sử D : O → O1 , ∀X ∈ (O1 , r) → X1 và |OX| = |O1 X1 | = r.
Suy ra X1 ∈ (O1 , r) . Vậy D((O)) ⊂ (O1 ).
Tương tự: D−1 ((O1 )) ⊃ (O).
Vậy phép đẳng cự biến đường tròn (O, r) thành đường tròn (O1 , r).
Mệnh đề 2.2.4. Phép đẳng cự biến một góc thành góc bằng nó.
(Đặc biệt điểm khác so với phép affine là phép đẳng cự bảo toàn quan hệ vuông góc.)
Chứng minh:
Giả sử qua phép đẳng cự:
D : [OX) → [O1 X1 )
[OY ) → [O1 Y1 )
Lấy A ∈ [OX), B ∈ [OY ). Giả sử:
D : A → A1 ; B → B1
Thế thì |OA| = |O1 A1 |, |OB| = |O1 B1 |, |AB| = |A1 B1 |.
Suy ra OAB ∼
= O1 A1 B1 ⇒ XOY ∼
= X1 O1 Y1

Phân loại phép đẳng cự. Gồm hai loại:

i) Phép dời hình: Không làm đổi hướng của hình.
Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép affine loại một, bao
gồm: Phép quay, phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến.
ii) Phép phản chiếu: Làm đổi hướng của hình.
Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép affine loại hai, bao
gồm: Phép đối xứng trục, phép đối xứng trượt.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Định nghĩa 2.2.3.
Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình bằng nhau.
Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối xứng.
Định lý 2.2.2.
• Tích của hai phép dời hình là phép dời hình.
• Tích của hai phép phản chiếu là phép dời hình.
• Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là một phép phản
chiếu.
• Phép đảo ngược của dời hình (phản chiếu) là phép dời hình (phản chiếu).
2.2.3

Các phép đẳng cự đặc biệt trong mặt phẳng Euclide.

A. PHÉP DỜI HÌNH.

1.Phép đối xứng tâm.
Định nghĩa 2.2.4. Trong không gian En (n = 2, 3) cho một điểm O. Phép biến
−−→
−−→
hình của không gian cho ứng điểm M với điểm M sao cho OM = −OM gọi là
phép đối xứng tâm qua tâm O.
Kí hiệu: XO là phép đối xứng tâm O.
Mệnh đề 2.2.5.
i) Đối xứng tâm là phép biến hình đối hợp, tâm đối xứng là điểm bất động duy nhất.
ii) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó.
iii) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng không qua tâm thành đường thẳng song
song với nó.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

iv) Hai đường thẳng song song được coi là ảnh của nhau qua phép đối xứng tâm.
Chứng minh:
i) và ii)) là hiển nhiên.
iii) Giả sử b = XO (a), a ∩ b = B và B1 = XO (B). Vì B = O nên B1 = B. Do đó
B1 cùng thuộc cả b và a. Điều này trái giả thiết a, b là hai đường thẳng phân biệt.
Vậy a//b.
iv) Giả sử a//b, A ∈ a, B ∈ b, O là điểm chính giữa của [AB]. Rõ ràng XO (A) =
B và giả sử XO (a) = a thì a đi qua B và song song với a. Từ đó ta suy ra
a ≡ b.
Hợp thành của các phép đối xứng tâm.
Mệnh đề 2.2.6.

i) Mỗi phép đối xứng tâm có thể phân tích bằng vô số cách thành tích hai phép
đối xứng trục có trục vuông góc với nhau.
→ với A = B.
ii) XB ◦ XA = T2−
AB

−→ −−→
iii) XC ◦ XB ◦ XA = XO , trong đó AO = BC(B = C).
Chứng minh:
−−−→
−→
i) Giả sử XA (M ) = M , XB (M ) = M1 . Rõ ràng M M1 = 2AB.
−→
Vậy XB ◦ XA là phép tịnh tiến theo vectơ 2AB.
Nếu A ≡ B thì XB ◦ XA = Id.
−→ = T −→ = XO ◦ XA .
ii) Vì B = C nên XC ◦ XB = T2−
BC
2AO

Suy ra
XC ◦ XB ◦ XA−1 = XO . Do XA−1 = XA
nên
XC ◦ XB ◦ XA = XO .
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Tổng quát ta có thể phát biểu:
+ Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến.
+ Hợp thành của một số lẻ các phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.
Mệnh đề 2.2.7.
i) XC ◦ XB ◦ XA = XA ◦ XB ◦ XC .
ii) Hợp thành của các phép đối xứng tâm là không thay đổi nếu ta thay đổi vị trí
của các nhóm những thừa số đứng liền nhau trong đó mỗi nhóm chứa một số
chẵn lần các phép đối xứng tâm.
iii) Hợp thành của các phép đối xứng tâm là không thay đổi nếu ta thay đổi vị trí
của các thừa số đứng ở những hàng cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Chứng minh:
→ , XA ◦ XB ◦ XC = T −→ ◦ XC .
i) Ta có: XC ◦ XB ◦ XA = XC ◦ T2−
AB
2BA
→ = T −→ ◦ XC nên ta suy ra điều phải chứng minh.
Do XC ◦ T2−
AB
2BA

ii) Ví dụ ta phải chứng minh:
(XA XB )(XC XD XE XF ) = (XC XD XE XF )(XA XB ).
Kết quả có được là do tính chất giao hoán của hợp thành các phép tịnh tiến.
iii) Ví dụ ta phải chứng minh:
X7 X6 X5 X4 X3 X2 X1 = X1 X2 X3 X4 X7 X6 X5 .
Theo tính chất i) ta có:
X7 X6 X5 X4 (X3 X2 X1 ) = X7 X6 X5 X4 (X1 X2 X3 )
=X7 X6 (X1 X4 X5 )X2 X3 = X1 X6 X7 X4 X5 X2 X3
Cứ làm tiếp tục như vậy ta được kết quả cuối cùng.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

Hình có tâm đối xứng. Đối xứng bậc n.
Định nghĩa 2.2.5. Hình H biến thành chính nó qua phép đối xứng tâm gọi là
hình có tâm đối xứng.
Định nghĩa 2.2.6. H gọi là hình có đối xứng bậc n. Nếu H biến thành chính nó
qua phép quay xung quanh một điểm O nào đó đi một góc α =

360o
n ,

(n là số tự

nhiên). Điểm O gọi là tâm đối xứng bậc n của hình.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho 4 đường thẳng trong đó không có hai đường nào song song và một
điểm O không nằm trên các đường thẳng đó. Hãy dựng một hình bình
hành mà 4 đỉnh nằm trên 4 đường thẳng và nhận O làm giao điểm các
đường chéo.

a) Phân tích:
Ta kí hiệu x, y, z, t là bốn đường thẳng có tính chất đã nêu và ABCD là hình
bình hành cần dựng (A ∈ x, B ∈ y, C ∈ z, D ∈ t). Phép đối xứng tâm XO biến
A thành C, B thành D thì biến x thành x , y thành y . C là giao của z và x , D
là giao của t và t .

b) Dựng hình:

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Thảo

- Dựng đường thẳng x : XO : x → x , x ∩ z = C.
- Dựng đường thẳng y : XO : y → y , y ∩ t = D.
- Tìm điểm A : XO : C → A; B: XO : B → D.
- Nối 4 điểm ta được hình bình hành ABCD cần dựng.
c) Chứng minh:
XO : x → x ; ⇒; A ∈ x ⇒ XO (A) ∈ x .
d) Biện luận: Bài toán có 3 nghiệm hình.
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A, b và số a > 0. Hãy dựng
một đường thẳng d đi qua A và cắt hai đường tròn thành hai dây cung
mà hiệu độ dài bằng a.

a) Phân tích:
Gọi M, M là các giao điểm của d với đường tròn (O), (O ) ( khác A) và coi
AM ≥ AM . Phép đối xứng tâm XA biến M thành M sẽ biến (O ) thành
đường tròn (O ).
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AM và AM , khi đó O H ⊥ AM
và OK ⊥ AM . Gọi E là hình chiếu của O trên O H, ta có OE song song và
bằng KH.
18