SKKN dãy TRUY HỒI toán 9

1


Mục lục

Phần

Nội dung
Thông tin chung về sáng kiến

PHẦN MỞ ĐẦU

Trang
4
5

I. Bối cảnh của giải pháp

5

II. Lý do chọn giải pháp

5

III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

6

IV. Mục đích nghiên cứu

6

PHẦN NỘI DUNG

I. Thực trạng của giải pháp đã biết

8

II. Nội dung sáng kiến

8

1. Bản chất của giải pháp mới

8

Dạng 1: Các bài toán tăng trưởng

8

DẠNG 2: Các bài toán về dãy truy hồi

12

2. Ưu, nhược, điểm của giải pháp mới

18

III. Khả năng áp dụng của sáng kiến

18

IV. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có
thể thu được khi áp dụng giải pháp

18

PHẦN KẾT LUẬN

20

2


Danh mục chữ cái viết tắt

Trung học cơ sở

THCS

Máy tính cầm tay

MTCT

GV

GV

HS

HS

3


THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1. Tên sáng kiến: Một vài biện pháp hướng dẫn HS lớp 9 trường THCS
Chất lượng cao sử dụng máy tính Casio fx 570 ES để giải các bài toán tăng
trưởng và dãy truy hồi
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục
3. Tác giả:
Họ và tên: Bùi Đức Thụ, Nam (nữ): Nam
Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm toán
Chức vụ, đơn vị công tác: GV trường THCS Chất lượng cao
Điện thoại: 01666620589, Email:
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%
4. Đồng tác giả: không
Họ và tên:…………………..Nam (nữ)
Trình độ chuyên môn:……
Chức vụ, đơn vị công tác:…….
Điện thoại:……………..Email…
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến:
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến (nếu có)
Tên đơn vị: Trường THCS Chất lượng cao
Địa chỉ: Tiểu khu 8- Thị trấn Hát Lót, Mai Sơn, Sơn La
Điện thoại: 022 3 843 935
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến
Tên đơn vị: Trường THCS Chất lượng cao
Địa chỉ: Tiểu khu 9, thị trấn Hát Lót, Mai Sơn, Sơn La
Điện thoại: 022 3843 935

7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Từ tháng 9 năm 2017 đến
tháng 3 năm 2018

4


PHẦN MỞ ĐẦU

I. Bối cảnh của giải pháp
Trong phân phối chương trình của bộ môn toán, các tiết ôn tập chương
thường có yêu cầu ôn tập với sự trợ giúp của MTCT, nhưng chưa hướng dẫn cụ
thể việc trợ giúp đó ở mức độ như thế nào, như vậy có thể hiểu việc trợ giúp của
MTCT ở đây chỉ là giúp tính toán nhanh kết quả, thay cho tính toán thủ công,
chỉ giải các bài toán có sẵn chương trình, chưa quan tâm đến các bài toán có thể
giải nhanh nhờ sử dụng thuật toán trên MTCT, nhưng trái lại vấn đề chưa quan
tâm này lại là yêu cầu cơ bản của các đề thi trong các kì thi giải toán trên MTCT,
chính vì vậy khi thực hiện bồi dưỡng cho các đối tượng HS dự thi các kì thi giải
toán trên MTCT người giáo viên rất lúng túng trong việc định hướng chương
trình cho hợp lý đảm bảo theo yêu cầu của kì thi. Còn về vấn đề tài liệu, có thể
nói, có thể tìm kiếm trên mạng Internet nguồn tài liệu về MTCT là rất nhiều, rất
phong phú, nhưng điểm hạn chế là tính phù hợp không cao, rất tản mạn về các
dạng loại, một số tài liệu không chú ý xây dựng cơ sở lý thuyết của phương pháp
và thuật toán, chúng ta chưa có tài liệu chính qui nào hướng dẫn việc giảng dạy
và bồi dưỡng HS giỏi về MTCT.
Qua các thực trạng về dạy học MTCT theo chương trình sách giáo khoa
mà tôi đã nêu, người giáo viên trong quá trình giảng dạy chỉ dừng lại ở mức độ
hướng dẫn HS sử dụng MTCT tính toán thông thường theo mức độ yêu cầu của
sách giáo khoa, chưa quan tâm đến việc hướng dẫn HS giải một số bài toán bằng
MTCT có dùng những phương pháp và thuật toán để giải nhanh, có thể do hạn
chế về thời lượng của các tiết học, cũng có thể do ý thức chủ quan của người

giáo viên, chỉ thực hiện theo mức độ yêu cầu, không làm nhiều hơn, như vậy HS
không thể có được những kỹ năng cần thiết để giải các bài toán bằng MTCT hợp
lý, nhanh chóng.
II. Lý do chọn giải pháp
Có thể nói rằng các tài liệu ôn luyện MTCT hiện nay có rất nhiều, có tài
liệu sách, có tài liệu trên mạng Internet, những tài liệu đó đều rất hữu ích để
học và nghiên cứu. Nhưng để tổng hợp lại thành một tài liệu thực sự phù hợp
với HS của huyện Mai Sơn, cần hệ thống lại các bài tập theo trình tự thì vấn đề
mà tôi trình bày vẫn là mới.
Hiện nay, hằng năm, song song với các cuộc thi chọn HS giỏi toán các
cấp, thi giải toán qua mạng Internet, còn có cuộc thi HS giỏi giải toán trên
MTCT cũng được các cấp quản lý giáo dục quan tâm. Do đó, yêu cầu chất lượng
của kì thi HS giỏi giải toán trên MTCT ngày càng cao hơn. Xuất phát từ tình
hình đó tôi thấy cần có một tài liệu để áp dụng cho công tác bồi dưỡng HS giỏi
giải toán trên MTCT, đó cũng coi là đổi mới phương pháp dạy học, nhằm nâng

5


cao chất lượng và hiệu quả của công tác giảng dạy bộ môn toán nói riêng và chất
lượng đào tạo toàn diện của nhà trường.
Khi tham gia kỳ thi HS giỏi giải toán trên MTCT, HS hoặc là tự lực tìm
tòi tài liệu để tự trang bị cho mình kiến thức cần thiết, hoặc là nhà trường phân
công cho GV bộ môn phụ trách việc bồi dưỡng, nguồn tài liệu chủ yếu là tìm
kiếm trên mạng Internet, phải thừa nhận rằng nguồn tài liệu về MTCT trên mạng
là rất nhiều, rất phong phú cho tất cả các bậc học, nhưng điểm hạn chế là tính
phù hợp với trình độ tiếp thu của đối tượng HS ở trường không cao, rất tản mạn
về các dạng loại, một số tài liệu không chú ý xây dựng cơ sở lý thuyết của
phương pháp và thuật toán.
Đứng trước các thực trạng về tình hình giảng dạy và bồi dưỡng HS giỏi

giải toán trên MTCT đã nêu, tôi thấy để nâng cao được chất lượng việc giảng
dạy và bồi dưỡng cho HS về MTCT, cần thiết nhất là chúng ta phải có được một
tài liệu hợp lý, mang tính nhất quán, đảm bảo phù hợp về trình độ hiểu biết của
HS trong bậc học, tài liệu này có thể giúp cho người giáo viên tham khảo trong
công tác giảng dạy và bồi dưỡng HS giải toán trên MTCT. Với lý do đó, qua
nhiều năm nghiên cứu, tìm tòi, tập hợp và sáng tạo tôi mạnh dạn xây dựng, đề
xuất sáng kiến “Một vài biện pháp hướng dẫn HS lớp 9 trường THCS Chất
lượng cao sử dụng máy tính Casio fx 570 ES để giải các bài toán tăng trưởng
và dãy truy hồi”, với mong muốn giải quyết vấn đề mà người làm công tác
giảng dạy và bồi dưỡng về MTCT thấy cần thiết.
III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Căn cứ vào chương trình toán lớp 9 THCS, các dạng toán bồi dưỡng HS
giỏi giải toán trên MTCT, tham khảo các đề thi của các kì thi chọn HS giỏi giải
toán trên MTCT, tôi tập hợp phân loại và sắp xếp các dạng toán, xây dựng
phương pháp và thuật toán để giải trong phạm vi toán THCS.
Hiện nay HS được phép sử dụng một số loại máy có các tính năng gần
tương đương nhau, xét thuật toán hướng dẫn qui trình ấn phím để giải một bài
toán nào đó thì gần giống nhau, do đó đề tài tôi chỉ nêu qui trình ấn phím cho
một loại máy là fx-570 ES, các loại máy khác được suy ra tương tự, còn về mặt
phương pháp giải thì coi như được áp dụng chung. Sáng kiến được thực hiện từ
tháng 9 năm học 2017 - 2018 khi tôi tiến hành bồi dưỡng cho 12 HS đội tuyển
giải toán trên MTCT môn Toán lớp 9.
IV. Mục đích nghiên cứu
Trước thực tế khó khăn về vấn đề tài liệu đối với công tác bồi dưỡng HS
giải toán trên MTCT, tôi đề xuất sáng kiến này góp phần bổ sung cho người làm
công tác bồi dưỡng HS giải toán trên MTCT cũng như HS một tài liệu tham
khảo, chưa dám nói là đầy đủ, song tôi tin rằng các dạng toán mà đề tài đề cập là
những dạng toán quan trọng, rất cần thiết trang bị cho HS khi tham gia các kì
thi, có tác dụng hình thành các kĩ năng và tư duy cần thiết cho HS khi giải toán
trên MTCT.

6


Như tên của sáng kiến đã nêu“Một vài biện pháp hướng dẫn HS lớp 9
trường THCS Chất lượng cao sử dụng máy tính Casio fx 570 ES để giải các
bài toán tăng trưởng và dãy truy hồi” đã thể hiện rõ ràng nhiệm vụ cần giải
quyết của đề tài. Tuy nhiên đề tài không nêu lại những thuật toán có sẵn (chương
trình giải có sẵn) để giải một số bài toán cơ bản như: Giải phương trình bậc 2,
bậc 3, hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số, 3 ẩn số, …, coi như đây là những thuật
toán phải biết khi sử dụng MTCT. Đề tài chỉ quan tâm đến những dạng toán cần
khai thác những thuật toán khác sách giáo khoa, khai thác thế mạnh của MTCT
để giải cho kết quả nhanh chóng, chính xác. Đối với một số dạng toán đề tài xây
dựng phương pháp giải rõ ràng, có cơ sở lý thuyết vững chắc, từ đó nêu ra thuật
toán hướng dẫn qui trình ấn phím cụ thể, để người học có thể hiểu sâu, nắm
vững, thực hành thành thạo để giải tốt các dạng toán này, tuy nhiên đề tài cũng
đề cập đến một số dạng toán chưa phải là dạng toán thường gặp trong các kì thi,
nhưng nó mang tính chất là cơ sở về mặt thuật toán để xây dựng phương pháp
giải các dạng toán khác, như các bài toán tìm ước, bội, thuật toán kiểm tra số
nguyên tố…
Trên cơ sở chương trình toán bậc THCS, các dạng toán bồi dưỡng HS giỏi
giải toán trên MTCT, các đề thi của các kì thi chọn HS giỏi giải toán trên MTCT
tôi tập hợp, phân loại và sắp xếp các dạng toán, tiến hành xây dựng phương
pháp và thuật toán để giải, nhằm tạo ra một hệ thống các dạng loại bài tập có
tính lôgic, có khoa học, có phương pháp để có thể tiến hành tổ chức giảng dạy,
bồi dưỡng cho đối tượng HS giỏi tham gia các kì thi giải toán trên MTCT có
hiệu quả, có chất lượng.

7

PHẦN NỘI DUNG

I. Thực trạng của giải pháp đã biết
Thiếu tài liệu chính thống để GV và HS nghiên cứu học tập, việc tập huấn
tại Sở nội dung lại quá đơn giản, các tài liệu và sáng kiến trên mạng thì rất nhiều
nhưng rất tản mạn.
MTCT hiện nay của HS rất nhiều kiểu loại, nhiều GV hiện nay chưa nắm
được các chức năng của máy tính Casio chưa nói đến đến giải toán hay xử lý
lỗi trên máy tính đó. Bên cạnh đó, cũng có GV quan điểm HS lạm dụng máy
tính nên không có khả năng trình bày lời giải bài toán tự luận, các phép tính cơ
bản thì đa số HS đã biết. Do đó họ cho rằng không cần thiết phải dạy cách sử
dụng máy tính bỏ túi, nhất là các tiết ứng dụng máy tính theo phân phối của
ngành.
Thuật toán để giải các bài toán bằng ngôn ngữ MTCT cũng rất đa dạng.
Vì thế chọn dạng toán nào cho phù hợp với HS cũng không phải dễ. Kì thi giải
toán trên MTCT được tổ chức hằng năm ở các cấp, năm học 2017 – 2018 tôi tiếp
tục được phân công bồi dưỡng đội tuyển giải Toán trên máy tính cầm tay. Trong
quá trình ôn luyện khi HS gặp hai dạng toán tăng trưởng và dãy truy hồi thì hầu
như các em lúng túng và không giải được. Mặc dù các tài liệu về giải toán trên
MTCT không khó tìm song để có một kiến thức tương đối tổng hợp để giải
quyết được cơ bản các bài toán Giải toán trên MTCT nói chung, tôi đưa ra hai
dạng toán trên mà theo kinh nghiệm tôi thấy rất thường hay có mặt trong các kỳ
thi HS giỏi giải toán trên MTCT, nó rất cần phải được trang bị cho HS khi bồi
dưỡng HS giỏi giải toán MTCT. Khi đề xuất các dạng toán, điểm mà tôi quan
tâm nhất là xây dựng phương pháp và thuật toán trên MTCT để giải quyết
chúng, nhằm giúp HS khắc sâu cách giải.
II. Nội dung sáng kiến
1. Bản chất của giải pháp mới
Sau đây là hai dạng toán đặc trưng bài toán tăng trưởng và dãy truy hồi là
các dạng toán thường gặp khi ta giải toán bằng MTBT, cũng là dạng toán rất

thường gặp trong các kì thi cùng phương pháp giải.
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG

Ví dụ 1: Hiện nay dân số nước ta là a người; tỉ lệ tăng dân số mỗi năm là m%.
a) Hãy xây dựng công thức tính số dân của nước ta đến năm thứ n.
Giải
Gọi A i là dân số sau năm thứ i
Sau 1 năm dân số nước ta là: A 1 = a + ma = a(1 + m).
8


Sau 2 năm dân số nước ta là: A 2 = a(1 + m) + m(1 + m)a = a (1+m)2 .
Tương tự, sau n năm, dân số sẽ là:
An a1  m 

n 1

 ma a  m 

n 1

a1  m 

n

n
Hay An a1  m

(1)

b) Giả sử dân số nước ta tính đến năm 2007 là 80,3 triệu người. Hỏi đến năm
2020 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là
1,2%?
Giải
Áp dụng (1) trên máy :
13

12 

80,3 1 
 93,76963118 93,8 triệu người
 100 

c) Đến năm 2035, dân số nước ta có khoảng 110 triệu người. Hỏi tỉ lệ tăng dân
số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?
Giải
Từ (1)  m =

n

An
1
a

(2)
110
 1 0,965101275 �0,97%
80,3

Trên máy ta tính được:

Ví dụ 2

a) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng a đồng với lãi suất m%. Hỏi sau n
tháng người đó nhận được bao nhiêu cả gốc lẫn lãi?
Giải
- Sau tháng thứ nhất, người gửi có số tiền là T1= a(1 + m)
Vì hàng tháng người ấy tiếp tục gửi a đồng nên số tiền gốc của đầu tháng thứ
hai là :
a

a

2
2
a(1 + m) + a = a[(1 + m) + 1] = (1  m)  1 1  m   1  m 1  m   1

Số tiền cuối tháng thứ hai là:
T2 

a
1  m  2  1 (1  m)
m





Số tiền cả gốc lẫn lãi vào cuối tháng n là
Tn 

a
1  m  n  1 (1  m)
m





9

(3)


- Áp dụng với n = 24 (tháng), a =1500000 (đồng), m = 0,5% trên máy, áp dụng
1500000

24
(3) ta được: T24  0,5 : 100 1  0,5 : 100  1(1  0,5 : 100)

38338672,52 đ

b) Một người muốn rằng sau 2 năm phải có 20000 đô la. Hỏi phải gửi vào ngân
hàng một khoản tiền (như nhau) hàng tháng bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết
kiệm là 0,75%/tháng. Nếu tính ra tiền Việt Nam thì mỗi tháng người đó phải gửi
bao nhiêu tiền, biết 100 đô la bằng 1689500 đồng.
Giải
Giả sử người đó gửi vào ngân hàng mỗi tháng a đô la. Từ công thức (3)
suy ra: a 

Tn m

(4)

1  m  1(1  m)
n

- Áp dụng với T = 20000; m = 0,75%; n = 24
Ta có mỗi tháng người đó phải gửi số tiền là:
0,75
20000 
100
a


24
 0,75 

0,75 758,009772 đô la 12806575,1 đồng
)
  1 (1 
 1 
100 
100



Ví dụ 3
“Lãi đơn” lãi được tính theo tỉ lệ phần trăm trong một khoảng thời gian
cố định trước. Khi gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất r%/năm thì sau n năm
nhận được tổng số tiền là bao nhiêu?

Giải
Sau n năm nhận được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là:
Tn= a + arn = a(1 + rn) đồng

(5)

-Áp dụng : a = 1000000 đồng , r = 5%, n =10 năm

Ta có T10 1000000.1 


5

.10  1500000 đồng.
100 

Ví dụ 4: “Lãi kép” Sau một đơn vị thời gian (tháng, năm), lãi được gộp vào vốn
và được tính lãi. Khi gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất r%/năm (lãi suất
kép). Biết rằng người gửi không rút tiền ra. Hỏi sau n năm người ấy nhận được
bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi.
Giải
Sau 1 năm nhận được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là:
a + a.r = a(1+ r)
Toàn bộ số tiền này được coi làm gốc và tổng số tiền cuối năm thứ hai là:
a(1 + r) + a(1 + r).r = a(1 + r)2
10


Sau n năm nhận được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là:
Tn= a(1 + r)n

(6)

- Áp dụng:
a) Với a = 75000000 đồng, r = 5%, n = 15
15

5 

Ta có T15 1 
 . 75000000 155919613,5 đ
 100 

b) Muốn có một trăm triệu đồng (lãi suất 5%/năm) thì cần số năm là bao nhiêu
nếu số tiền gửi ban đầu là 10000000 đồng.
Giải
Thử trên máy:

5 

1 

 100 

70

5 

1 


 100 

100

5 

1 

 100 

95

5 

1 

 100 

94

30,4
131,5
103,0
98,1

Từ đó có kết luận: Để có số tiền 100000000 đồng thì cần phải có 95 năm.
Ví dụ 5: (Tăng trưởng đột biến): Gửi vào và rút ra một lượng tiền nào đó. Giả
sử vào ngày 1 tháng riêng ta gửi 100 đô la với lãi suất 0,5%/tháng. Khi ấy sang
ngày 1 tháng 2 ta có :
1000 + 1000 x 0,5% = 1005 đô la

Sang ngày 1/3 ta có số tiền là:
1005 + 1005 x 0,5% = 1010,025 đô la
Giả sử đầu tháng 3 ta rút ra 100 đô la như vậy số tiền mà ta còn lại là:
1010,025 – 100 = 910,025 đô la
Nói chung, nếu Tn là số tiền ta có vào đầu tháng thứ n thì số tiền ta có do
gửi tiết kiệm (lãi suất r %) vào đầu tháng thứ n + 1 sẽ là:
Tn 1 Tn  r %Tn 1  r % Tn

Nếu ta thêm hay bớt đi 1 lượng tiền d n vào đầu tháng thứ n + 1 thì số tiền
sẽ là:
Tn 1 1  r % Tn  d n với n = 0, 1, 2, ...

11

(7)


Ví dụ 6: “Lãi ngân hàng trả góp”. Một người vay T (đồng) theo phương thức
trả góp mỗi tháng trả x (đồng). Nếu người vay phải chịu lãi suất của số tiền chưa
trả là r%/tháng và mỗi tháng bắt đầu thứ tháng 2 người vay vẫn trả x đồng thì
sau bao nhiêu lâu người vay trả hết số tiền T (đồng).
Giải
+ Sau tháng thứ nhất người vay nợ là:
y1 T 

r
r 
r

T T 1 

 Tk với k 1 
;
100
100
 100 

Người vay trả x đồng, vậy còn nợ lại từ đầu tháng thứ hai là Tk – x
+ Sau tháng thứ hai người vay còn nợ là
r 

2
y 2 Tk  x 1 
  x Tk  x k  1
 100 

+ Sau tháng thứ ba người vay còn nợ là









y 3  Tk 2  x k  1 k  x Tk 3  x k 2  k  1 Tk 3  x.

k3  1
k1

+ Sau tháng thứ n người vay còn nợ là
 k1 k k 1  1
kn  1
x 
x

n
 k  x Tk  x.
y n  Tk x.
k n  T 

k1 
k1
k  1 k  1


r 

y n 1 

 100 

n

100 x  100 x

T 

r 
r



(8)

+ Sau n tháng người vay trả nợ xong , tức y n 0 , suy ra
n

n

r  
100 x  100 x
r 
100 x


0  1 
1 
 T 

 
r 
r
100 x  Tr
 100  
 100 
n

r 
100 x


Thử trên máy tính với n = 1, 2, 3,.. theo công thức 1 
để chọn n.
 
100 x  Tr
 100 

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI

1. Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát
un = f(n) ; với n  N*
(Trong đó f(n) là biểu thức của n cho trước)
* Cách lập qui trình ấn phím như sau:
- Gán giá trị n = 1 vào ô nhớ A : 1 SHIFT STO A
- Lập công thức tính un = f(n)

: f(A)

- Gán giá trị cho ô nhớ A thêm 1 đơn vị:
12


ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A

+ 1

- Lặp lại dấu bằng: = = = = . . .
Ví dụ : Tính 10 số hạng đầu tiên của dãy: { un } cho bởi công thức:
n
n
�

1 �
1 5 � �
1  5 ��
�
�
un 
�
� 2 �
� �
� 2 �
��
5�
�
� �
��
�

(Với n = 1; 2; 3; . . . )
Giải
Qui trình ấn phím để tính các số hạng của dãy như sau:
Ấn:

1 SHIFT STO A
(1 ÷

5) (((1 +

5 ) ÷ 2 )  ALPHA A - (( 1 -

5)÷ 2)

 ALPHA A
ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1
= = = …
Ta được kết quả: u1 = 1; u2 = 1; u3 = 2; u4 = 3; u5 = 5; u6 = 8; u7 = 13; u8 = 21;
u9 = 34; u10 = 55.
2. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng
� u1  a
*
;
với
n

N
�
un 1  f (un )
�

(Trong đó f(un) là biểu thức cho trước của un )
* Cách lập qui trình ấn phím như sau:
- Gán giá trị n = 1 vào ô nhớ A : 1 SHIFT STO A
- Lập công thức tính un+1 = f(un) và gán vào ô nhớ B : B = f(A) (Tức là chỗ
nào có un thì nhập vào ô nhớ A )
- Gán giá trị cho ô nhớ A cho ô nhớ B
ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B
- Lặp lại dấu bằng: = = = = . . .
*Chú ý : Ta có thể đặt thêm một biến đếm X các giá trị u1 ; u2 ; . . . khi ấn liên
tiếp các dấu bằng để đọc kết quả khỏi bị nhầm lẫn. Cách lập qui trình ấn phím trên
là tổng quát nhất, áp dụng cho mọi dãy truy hồi, vẫn còn cách khác là sử dụng
biến nhớ có sẵn của máy Ans để lập qui trình, tuy nhiên không được tổng quát.

Ví dụ 1 : Tìm 20 số hạng đầu của dãy số { un} cho bởi :

13


� u1  1
�
un  2 ; với n  N*
�
u

�n 1 u  1
n
�

Giải
Qui trình ấn phím để tính các số hạng của dãy như sau:
Ấn:

2 SHIFT STO X (Tạo biến đếm các un bắt đầu từ u2)

1 SHIFT STO A (Gán u1 = 1 cho A )
ALPHA B ALPHA = ( ALPHA A + 2) ÷ ( ALPHA A
công thức tính un+1 theo A và đưa vào ô nhớ B, tức B = u2)

+ 1) (Lập

ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B (Gán u2 vào ô nhớ A)
ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 (Gán cho biến đếm X
thêm 1 đơn vị)

Lặp lại dấu = ta được u2 = 1,5
= ta được A = B ; tức A = u2 = 1,5
= ta thấy X = X + 1 = 3, biến đếm tăng 1 đơn vị
= ta được u3 = 1,4
.....
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi:
3
�
� u1  3
�
; với n  N*
3
3
un 1  (un )
�

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên
Giải
Qui trình ấn phím để tính các số hạng của dãy như sau:
Ấn:

2 SHIFT STO X

SHIFT

3

3 SHIFT STO A

ALPHA B ALPHA = ALPHA A  SHIFT

3

3

ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B
ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 (Gán cho biến đếm X
thêm 1 đơn vị)
Lặp lại dấu = , ta được u2 = 1,…
= , ta được A = B ; tức A = u2 = 1,5
= , ta thấy X = X + 1 = 3, biến đếm tăng 1 đơn vị
= , ta được u3 = 2,..
14


.....
Khi ta thấy X = X + 1 = 4, tức n = 4 thì u 4 = 3 là số nguyên . Vậy n = 4 là
số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm.
3. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng
� u1  a; u2  b
*
�
;
với
n

N
un  2  Aun 1  Bun  C
�

Ta có hai cách lập qui trình ấn phím để tính các số hạng của dãy như sau:
Cách 1: Sử dụng cách trao đổi biến
Ấn:

b SHIFT STO A x A + B x

a + C SHIFT STO B

(Gán u2 = b vào ô nhớ A , tính u3 theo u1 = a và u2 rồi đưa vào ô nhớ B )
x A + ALPHA A x B + C SHIFT STO A
(Tính u4 theo u3 = B và u2 = A rồi đưa vào ô nhớ A )
x A + ALPHA B x B + C SHIFT STO B
(Lặp lại dãy phím để tính u5 theo u4 và u3 rồi đưa và ô nhớ B
Tiếp tục vòng lặp trên bằng chức năng COPY để lặp lại dãy phím
Ấn:

 SHIFT COPY

Lặp lại dấu bằng để lấy kết quả: Ấn = = = . . . .
Cách 2: Sử dụng cách lập công thức:
Ấn:

a SHIFT STO A (Gán u1 = a vào ô nhớ A)
b SHIFT STO B (Gán u2 = b vào ô nhớ B)
ALPHA C ALPHA = A x ALPHA B + B x ALPHA A
(Lập công thức đưa vào ô nhớ C giá trị u3 được tính theo u2 và u1)
ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B
(Đưa u2 vào ô nhớ A)
ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C
(Đưa u3 vào ô nhớ B)

Lặp lại dấu = để lấy kết quả:
Ấn:

= ta được C = u3
= ta được A = B = u2
= ta được B = C = u3
= ta được C = u4
15

+ C


....
*Chú ý: Với cách này ta có thể đưa vào thêm một biến đếm X để đếm các un.
Đầu chương trình ta khai báo thêm một biến X :
3 SHIFT STO X (Tính từ u3)
Cuối chương trình ta thêm dãy phím:
ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1
Ví dụ 1: Cho dãy số xác định bởi:
� u1  1; u2  2
*
�
;
với
n

N
un  2  3un 1  4un  5
�

Lập qui trình tính un .
Giải
Ta có hai cách lập qui trình ấn phím để tính các số hạng un của dãy như sau:
Cách 1 :
Ấn:

2 SHIFT STO A x 3 + 4 x

1 + 5 SHIFT STO B

x 3 + ALPHA A x 4 + 5 SHIFT STO A
x 3 + ALPHA B x 4 + 5 SHIFT STO B
 SHIFT COPY
Lặp lại dấu =

 u6 = 954

=

 u7 = 3823

=

 u8 = 15290

=

 u9 = 61167

=

 u10 = 244666

=

 u11 = 978671

.....
Nhận xét : Cách này số lần ấn phím ít nhưng dễ nhầm lẫn.
Cách 2 : Lập công thức :
Ấn : 3 SHIFT STO X 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
ALPHA C ALPHA = 3 x ALPHA B + 4 x ALPHA A
ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B
ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C
ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1

16

+ 5


Lặp lại dấu = = = . . . để lấy kết quả, sau dấu = đầu tiên ta có: u3 = 15
và chú ý rằng sau giá trị của biến điếm X = X + 1 ta được kết quả là giá trị của u
tương ứng.
Nhận xét : Cách này số lần ấn phím nhiều nhưng nhưng bù lại thuật toán rất
trực quan dễ hiểu, không sợ nhầm lẫn.
Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi:
�u1  1; u2  1
�
; với n  N, n ≥ 2

un 1  un  u n 1
�

Lập qui trình ấn phím tính un+1 .
Giải
Ta có qui trình ấn phím để tính các số hạng un+1 như sau:
Ấn : 3 SHIFT STO X 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO B
ALPHA C ALPHA = ALPHA B +

ALPHA A

ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B
ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C
ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1
Lặp lại dấu = = = . . .
Ta được kết quả : u3 = 2; u4 = 3; u5 = 5; u6 = 8; u7 = 13; .. . .
Chú ý: Dãy số trên chính là dãy Fibonaci mà HS đã biết từ lớp 6.
4. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng
u1  a
�
; với n  N*
�
u

f
({n,u
})
n
�n 1

Trong đó f({n, un}) là biểu thức tính theo n và un.
* Thuật toán để lập qui trình ấn phím tính số hạng của dãy gồm các bước sau:
- Sử dụng 3 ô nhớ:

A chứa giá trị của n
B chứa giá trị của un
C chứa giá trị của un+1

- Lập công thức tính un+1.
- Thực hiện gán thêm 1 đơn vị cho ô nhớ A : A = A + 1 và trao đổi giá trị hai
biến B = C để tính số hạng tiếp theo của dãy.
- Lặp lại phím = để nhận kết quả.
17


Ví dụ : Cho dãy số xác định bởi:
u1  0
�
�
n
�
; với n  N*
u

(
u

1)
n 1
n

�
n 1
�

Hãy lập qui trình ấn phím tính un .
Giải
Ta có qui trình ấn phím để tính các số hạng un như sau:
Ấn : 1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B
ALPHA C ALPHA =
(ALPHA A ÷ (ALPHA A

+ 1)) x (ALPHA B + 1)

ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1
ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C
Lặp lại dấu = = = . . .
Ta được kết quả : u2 = 0,5; u3 = 1; u4 = 1,5; u5 = 2; u6 = 2,5; ...
2. Ưu, nhược, điểm của giải pháp mới
Trên đây là một số dạng toán mà sáng kiến tôi đề xuất, mỗi dạng toán đã
được xây dựng phương pháp và thuật toán giải rõ ràng, căn cứ vào đó HS có thể
dễ dàng giải được các bài tập tương tự, tuy nhiên có thể nói là chưa thật sự đầy
đủ. Song, một số dạng toán đã nêu cũng khá đầy đủ và chi tiết, rất cần thiết để
trang bị cho HS các lớp bồi dưỡng giải toán trên MTCT. Bên cạnh đó còn có
một số dạng toán mà chưa đề cập trong sáng kiến, chẳng hạn các bài toán về
hàm số, các bài toán hình học v.v... Sở dĩ tôi không đưa vào sáng kiến, bởi các
lý do, một là khuôn khổ của sáng kiến, hai là các bài toán trên thiên về tư duy
toán học hơn là tư duy thuật toán trên MTCT, khi tiến hành bồi dưỡng cho HS
giải toán trên MTCT, GV bộ môn xây dựng giáo án chắc chắn là không thể bỏ
qua các dạng toán này.
III. Khả năng áp dụng của sáng kiến

Sáng kiến của tôi có thể áp dụng làm tài liệu tham khảo, để tiến hành bồi
dưỡng cho đối tượng HS giỏi chuẩn bị tham gia các kì thi giải toán trên MTCT
do các cấp quản lý giáo dục hằng năm tổ chức.
IV. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được khi áp
dụng giải pháp
1. Về tâm lý HS tự tin hơn khi gặp những bài toán ở dạng “Dãy truy hồi,
toán tăng trưởng” này, bởi đã có những suy luận lôgíc và các công thức giải
quyết. Sự hấp dẫn bởi những bài toán không những nội dung thực tế mà còn có
cả số liệu cụ thể trong cuộc sống.
18


Về kỹ năng tính toán có thể lập các công thức thành hàm trong máy tính
để có thể cho ra nhiều kết quả khi thay đổi số liệu.
2. Việc nắm được hệ thống công thức về toán tăng trưởng phần trăm để áp
dụng vào giải toán có nội dung thực tế liên quan đến dạng này đem lại hứng thú
cho người giải toán, nhất là HS bởi với bài toán tăng trưởng phần trăm nào HS
cũng có thể tự mình mày mò và tìm ra được công thức giải không bị bế tắc. Có
được công thức rồi lại có thể thay đổi số liệu, thay đổi nội dung để có bài toán
thực tế mới có tính thời sự thực sự lý thú. Nó đem lại sự tự tin, niềm say mê với
bộ môn Toán học với sự trợ giúp của máy tính cầm tay, rèn tính nhanh nhạy
trong tư duy, trong tính toán.
Kết quả thi cấp huyện của 12 HS đội tuyển giải toán trên MTCT năm học
2017 - 2018
Nhất

Nhì

Ba

Khuyến khích

0

2

1

4

19


PHẦN KẾT LUẬN
1. Những bài học kinh nghiệm được rút ra từ quá trình áp dụng sáng
kiến
Song song với nhiệm vụ nâng cao chất lượng đại trà thì nhiệm vụ đào tạo
nhân tài, đào tạo đội ngũ HS giỏi các bộ môn cũng là một nhiệm vụ trọng tâm và
không kém phần khó khăn của các đơn vị nhà trường, bồi dưỡng HS giỏi giải
toán trên MTCT cũng là một trong những nhiệm vụ khó khăn đó. Nhận thức về
vai trò trách nhiệm của một GV bộ môn, tôi thấy để có được một đội ngũ HS
giỏi bộ môn nói chung, đội ngũ HS giỏi giải toán trên MTCT nói riêng chúng ta
cần phải có một kế hoạch tổ chức bồi dưỡng hợp lý, mà trong đó điểm quan
trọng phải nói đến là tài liệu bồi dưỡng, người GV bồi dưỡng phải xây dựng
được tài liệu hợp lý thì bồi dưỡng mới đạt hiệu quả cao. Sáng kiến “Một vài
biện pháp hướng dẫn HS lớp 9 trường THCS Chất lượng cao sử dụng máy
tính casio fx 570 ES để giải các bài toán tăng trưởng và dãy truy hồi” của tôi
xây dựng nhằm giải quyết vấn đề tài liệu.
Qua thời gian tìm tòi, nghiên cứu, sáng tạo và đúc kết kinh nghiệm tôi tin
tưởng rằng sáng kiến này là một tài liệu hợp lý, bổ ích cho công tác bồi dưỡng

HS giỏi giải toán trên MTCT, sáng kiến xây dựng một hệ thống các dạng loại bài
toán giải trên MTCT, chú ý đến cơ sở lý thuyết các phương pháp và thuật toán
cho từng loại dạng toán, giúp cho HS có cách giải các dạng toán này một cách
hiệu quả, vận dụng tốt đảm bảo phù hợp chương trình, phù hợp trình độ nhận
thức của HS trong bậc học.
Trong quá trình giảng dạy tại đơn vị, tôi và đồng nghiệp cũng vận dụng
thường xuyên các nội dung của sáng kiến này, các tiết học toán có sử dụng
MTCT, hoặc các tiết học có các dạng toán có thể vận dụng giải nhanh bằng
MTCT chúng tôi đều lồng ghép hướng dẫn cho HS vận dụng các phương pháp,
các thuật toán để giải các dạng toán này, về hiệu quả chúng tôi thấy HS có một
tác phong học tập và làm việc với máy tính nhạy bén, thao tác nhanh nhẹn, có
kết qủa nhanh chóng chính xác, có tư duy thuật toán hợp lý, tạo cho các em
hứng thú tìm tòi, phát hiện kiến thức, khắc ghi kiến thức tiếp thu một cách bền
vững. Đặc biệt với HS tính toán còn hạn chế nhờ MTCT có thể giúp học kiểm
tra nhanh kết quả, có thể dựa vào đó để rèn luyện tính toán, suy luận bổ sung
chỗ hổng kiến thức, bước đầu tạo niềm tin và hứng thú học toán cho các em, và
chính đây cũng là một trong những biện pháp tốt để thực hiện đổi mới phương
pháp dạy học, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo.
2. Những kiến nghị, đề xuất điều kiện để triển khai, ứng dụng sáng
kiến vào thực tiễn
- Như trên đã nêu, sáng kiến tôi chưa có cơ hội áp dụng ở một qui mô
rộng rãi, nên hiệu quả cũng mới dừng ở mức nội bộ, với hi vọng rằng sáng kiến
này là một tài liệu hợp lý, bổ ích cho công tác bồi dưỡng HS giỏi giải toán trên
MTCT, tôi mong mỏi các cấp lãnh đạo góp ý, bổ sung, điều chỉnh những điểm
20


thiếu sót, hạn chế để sáng kiến này được hoàn thiện ở mức cao hơn, có thể là
một tài liệu tốt để các đồng nghiệp trong huyện nhà có thể tham khảo, giúp ích
trong công tác bồi dưỡng HS giỏi giải toán trên MTCT.

- Bên cạnh đó, trong công tác giảng dạy thường xuyên, tôi xin kiến nghị,
đối với GV bộ môn toán, cần cho HS thường xuyên thực hành giải toán trên
MTCT, không chỉ dừng lại ở việc tính toán thông thường các phép tính nhờ
MTCT, mà HS phải biết giải những bài toán bằng MTCT có phương pháp và
thuật toán, điều này phải có sự trợ giúp của GV bộ môn, có như vậy chúng ta
dần dần hình thành một đội ngũ HS có tư duy, có kĩ năng giải toán trên MTCT
tốt, đó sẽ là hạt giống tốt hình thành đội ngũ HS giỏi giải toán trên MTCT cho
các đơn vị trường và cho ngành giáo dục huyện nhà.
3. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền
Tôi cam kết không sao chép, nếu vi phạm tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm
Mai Sơn, tháng 4 năm 2018
Người viết

Bùi Đức Thụ
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

21


22